特征方程求递推数列通项公式

特征方程求递推数列通项公式 一、一阶线性递推数列通项公式的研究与探索
若数列 ?an ? 满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d (c ? 1), 求数列 {an } 的通项 an 它的通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列： 设 an?1 ? t ? c(an ? t ),则an?1 ? can ? (1 ? c)t ， 令 (1 ?

c)t ? d ，即 t ?

d ，当 c ? 1 时可得 1? c d d a n ?1 ? ? c(a n ? )， 1? c 1? c
? d ? ? 是以 c 为公比的等比数列， 1? c?

知数列 ?a n ? ?

? an ?

d d ? (a1 ? )c n ?1 1? c 1? c

将 a1 ? b 代入并整理，得 a n ? 观察可发现

bcn ? ?d ? b ?c n ?1 ? d . c ?1

d 即为方程 x ? cx ? d 的根 1? c d 为特征方程的根。 1? c

我们称方程 x ? cx ? d 为递推公式 an?1 ? can ? d (c ? 1) 的特征方程，

将上述参数法类比到二阶线性递推数列 an?1 ? pan ? qan?1 , 能得到什么结论？

二、二阶线性递推数列通项公式的研究与探索
若数列 ?an ? 满足 an?1 ? pan ? qan?1 , 设 an?1 ? tan ? s(an ? tan?1 ) ， 则 an?1 ? (s ? t )an ? sta n?1 , 令?

?s ? t ? p ?st ? q

①

（1） 若方程组①有两组不同的实数解 ( s1 , t1 ), ( s 2 , t 2 ) , 则 an?1 ? t1an ? s1 (an ? t1an?1 ) ,

an?1 ? t 2 an ? s2 (an ? t 2 an?1 ) ,

即 ?an?1 ? t1an ?、 ?an?1 ? t 2 an ?分别是公比为 s1 、 s2 的等比数列， 由等比数列性质可得 an?1 ? t1an ? (a2 ? t1a1 )s1
n?1

, ,

an?1 ? t 2 an ? (a2 ? t 21 a1 )s2
∵ t1 ? t 2 , 由上两式消去 a n ?1 可得

n ?1

an ?

?a2 ? t1a1 ? .s n ? a2 ? t 2 a1 .s n . 1 2 s1 ?t1 ? t 2 ? s 2 ?t1 ? t 2 ?
? s1 ? s 2 ，易证此时 t1 ? ?s1 ，则 ?t1 ? t 2
n?1

（2） 若方程组①有两组相等的解 ?
2

an?1 ? t1an ? s1 ?an ? t1an?1 ? ? s1 (an?1 ? t1an?2 ) ? … ? s1
? an?1 s1
n ?1

(a2 ? t1a1 ) ，

?

an s1
n

?

a2 ? s1a1 s1
2

,即 ?

? an ? 是等差数列， n ? ? s1 ?

由等差数列性质可知

an s1
n

?

a1 a ?s a ? ?n ? 1?. 2 2 1 1 ， s1 s1

?? ? ? 所以 a n ? ?? a1 ? a 2 ? s1 a1 ? ? a 2 ? s1 a1 .n? s1 n ． 2 2 ? ? s1 s1 ?? s1 ? ? ? ?
这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数 列的通项，若将方程组①消去 t 即得 s ? ps ? q ? 0 ，显然 s1 、 s2 就是方程 x ? px ? q 的两
2 2

根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列 an?1 ? pan ? qan?1 的特征方程， 结论：设递推公式为 an?1 ? pan ? qan?1 , 其特征方程为 x ? px ? q即x ? px ? q ? 0 ，
2 2

1、 若方程有两相异根 s1 、 s2 ，则 an ? c1 s1 ? c2 s2 ；
n n

2、 若方程有两等根 s1 ? s 2 ，则 an ? (c1 ? nc2 )s1 .
n

其中 c1 、 c2 可由初始条件确定。 例 1.（1）已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ) ，求数列 {an } 的通项 an
*

（2）已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N * ) ，求数列 {an } 的通项 an

三、分式线性递推数列 an?1 ?

a ? an ? b 通项公式的研究与探索 c ? an ? d

仿照前面方法，等式两边同加参数 t ，

b ? dt a ? an ? b a ? ct ? t ? (a ? ct ) 则 a n ?1 ? t ? c ? an ? d c ? an ? d an ?
令t ?

②

b ? dt ，即 a ? ct

ct 2 ? (a ? d )t ? b ? 0

③

记此方程的两根为 t1 ,t 2 ， （1） 若 t1 ?t 2 ，将 t1 ,t 2 分别代入②式可得

an?1 ? t1 ? (a ? ct1 )

an ? t1 c ? an ? d

an?1 ? t 2 ? (a ? ct2 )

an ? t 2 c ? an ? d

以上两式相除得

an?1 ? t1 a ? ct1 an ? t1 ， ? ? an?1 ? t 2 a ? ct2 an ? t 2

于是得到 ?

? a n ? t1 ? a ? ct1 ， ? 为等比数列，其公比为 a ? ct2 ? an ? t 2 ?

数列 ?an ? 的通项 an 可由

an ? t1 a1 ? t1 a ? ct1 n?1 ? ?( ) 求得； an ? t 2 a1 ? t 2 a ? ct2 an ? t1 , c ? an ? d

（2）若 t 1 ? t 2 ，将 t ?t 1 代入②式可得 an?1 ? t1 ? (a ? ct1 ) 考虑到上式结构特点，两边取倒数得

c(an ? t1 ) ? d ? ct1 1 1 ? ? an?1 ? t1 a ? ct1 an ? t1
由于 t 1 ? t 2 时方程③的两根满足 2t1 ? ?

④

a?d ，∴ a ? ct1 ? d ? ct1 c

于是④式可变形为

1 c 1 ? ? a n ?1 ?t1 a ? ct1 a n ? t1

∴?

?

1 ? c ， ? 为等差数列，其公差为 a ? ct1 ? a n ? t1 ?

数列 ?an ? 的通项 an 可由

1 1 c 求得． ? ? (n ? 1) ? a n ? t1 a1 ? t1 a ? ct1

这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求 得其通项。如果我们引入分式线性递推数列 a n ?1 ? 程为 x ?

a ? an ? b （ a, b, c, d ? R, c ? 0 ）的特征方 c ? an ? d

ax ? b 2 ，即 cx ? (d ? a) x ? b ? 0 ，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数， cx ? d

于是我们又有如下结论： 分式线性递推数列 a n ?1 ? 即 cx ? (d ? a) x ? b ? 0 ，
2

a ? an ? b ax ? b （ a, b, c, d ? R, c ? 0 ） ，其特征方程为 x ? ， cx ? d c ? an ? d

1、若方程有两相异根 s1 、 s2 ，则 ?

? a n ? s1 ? a ? cs1 ； ? 成等比数列，其公比为 a ? cs2 ? an ? s2 ?

2、若方程有两等根 s1 ? s 2 ，则 ?

?

1 ? c . ? 成等差数列，其公差为 a ? cs1 ? a n ? s1 ?

例 2. （1）已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ? 2 ?

1 , n ? N * ,求通项 an . an ?1

（2）已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

an?1 ? 2 (n ? 2) ，求数列 {an } 的通项 an 2an?1 ? 1

（3）设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a n?1 ?

5an ? 4 , 求an . 2an ? 7

例 3.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列 ?an ? , a1 ? a, a2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的 正数 m, n, p , q 都有

a p ? aq 1 4 am ? an .(1)当 a ? , b ? 时,求通项 an ; ? 2 5 (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )