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高中数学二分法教案


天津职业技术师范大学

人教 A 版数学必修 1 第 89-91 页

3.1.2 用二分法求方程 的近似解

数学 0701 班 陈霞

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一、 教材分析
本课是人教 A 版数学 1(必修)第三章“函数的应用”第一节“函 数与方程”第二部分的内容。必修课程的呈现力

求展现由具体到抽象 的过程,努力体现数学知识中蕴涵的基本思想方法和内在联系,体现 数学知识的发生、发展过程和实际应用。 在本课之前,学生已经学习了集合、函数的概念、基本性质,指、 对、幂三种基本初等函数以及函数的零点定理。本课主要是在函数零 点定理的条件下,结合指、对、幂函数的相关性质,学习用二分法求 方程的近似解。

(一) 教学目标
1、 知识目标:理解用二分法求方程近似解的原理; 能够借助计算器用二分法求方程的近似解。 2、 能力目标:体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方

法; 在学习过程中, 让学生感受近似、 逼近的思想方法。 3、 情感目标:培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新 能力; 让学生在自我解决问题的过程中, 体验成功的喜悦。

(二)教学难点
1、 2、 方程近似解所在初始区间的确定; 近似解精确度的判定。

(三)教学重点
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1、了解用二分法求方程的近似解的一般步骤; 2、能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

二、 学情分析
本课之前学生已了解集合与函数的概念和指、对、幂函数的性质 以及函数的零点定理。但本学期是学生进入高中的第一学期,只具备 九年义务教育所要求的基本数学知识储备,因此,通过生活中一些浅 显的游戏寻找解题方法,并在解方程过程中用“数形结合”的方式会 更容易使学生接受。最后再指导同学们具体问题,这样,学生既学习 了知识又培养了探索的能力。

三、 教学条件支持
以“播放—回顾—讲解—概括” 的方式播放幻灯片,解析例题, 向学生呈现用二分法求方程的近似解的过程, 以帮助学生对新知识形 成表象,促进教学。

四、 教学过程(设计)
总体设计思路:游戏引入-游戏分析-知识回顾--讲授新知-解决 问题—总结新课 (一) 导入新课
播放一段综艺视频——幸运 52 的价钱竞猜游戏。选手竞猜了两 个商品,其中第一件掌上电脑猜了 11 次后得到商品,其中第二件踏 步器猜了 9 次后时间到未拿到商品。 然后将选手竞猜价格的过程与每次报价为高、 低价的中间值的过 程相对比。
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掌上电脑: 1800 —— 2000—— 2500 —— 2300—— 2200 —— 2200—— 2100——2200——2300——2250——2280——2260 建议:1800——2000——2500——2250——2280——2260 踏步器: 280——300——400——600——800——900——880——870 ——890× 887 建议:200——2000——1100——750——925——850——887 每次都将所给区间一分为二,进行比较后得到新的区间,再一分 为二,如此下去,使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。这种思 想就是二分法。 设计意图:通过看综艺视频,来提高学生的学习兴趣,让他们在乐的 过程中初步体会二分法的思想。

(二) 回顾旧知
1、方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y=f(x)有零点; 2、如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有 f(a).f(b)<0,那么, 函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点, 即存在 c? (a,b), 使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 设计意图:1、联系函数的零点与相应方程根的关系,让学生体验并 理解函数与方程的相互转化的数学思想方法;2、让学生理解函数零 点存在是用二分法求方程近似解的基础。

(三)讲授新课
1、介绍二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 f ?a ? ? f ?b ? ? 0

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的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使 区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分 法. 2、给定精确度ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤: (1)选取满足条件 f ?a ? ? f ?b? ? 0 的实数(一般取整数)a,b , 确定 区间[a,b]; (2)求区间(a,b)的中点

a?b ,记为 c ; 2

(3)计算 f(c),并进行判断: <1>若 f(c) =0,则 c 就是函数的零点,结束; <2>若 f ?a ? ? f ?c ? ? 0 ,则 x0 ? (a, c),令 b=c,转向(4) ; <3>若 f ?c ? ? f ?b ? ? 0 ,则 x0 ? (c, b) ,令 a=c,转向(4) ; (4) 、判断是否达到精确度

?



若新区间的区间长度(两端点之差的绝对值)小于 ? ,则达到了精确 度,取区间端点之一为零点的近似值即告结束;否则,重复 2-4 的 工作。

(四)解决问题
1、练习:解方程

ln x ? 2 x ? 1.5 ? 0

提示: (1)如何确定函数零点所在区间? 然后在几何画板上画出 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 1.5 的整体图像, 可知区间 为(0,1) 。将图像放大到(0,1)之间,其中当 x 趋于 0 时函数为 负值,当 x 为 1 时函数为正。然后找到中点 x0 ? 0.5 ,将图像在 x0 ? 0.5 处放大,得到 y0 ? ?1.19315,为负值,将区间缩小到(0.5,1) 。依此
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类推: 第一次 f (0.5) ? 0, f (1) ? 0 ? x0 ? (0.5,1) 第二次 f (0.75) ? 0, f (1) ? 0 ? x0 ? (0.75,1) 第三次 f (0.75) ? 0, f (0.875) ? 0 ? x0 ? (0.75,0.875) 提示: (2)何时停止二分区间?当区间长度小于所给的精确度 第 四 次 f (0.8125 ,0.875) 区 间 长 度 为 ) ? 0, f (0.875) ? 0 ? x0 ? (0.8125 0.0625>0.5 第五次 f (0.8125 ) ? 0, f (0.84375 ) ? 0 区间长度为 0.3125<0.5 得出结论:0.84375 为所要求的近似解 设计意图: 在学生对二分法有了抽象认识的基础上给出二分法的准确 定义及解题步骤, 更能让同学们接受; 通过解方程 ln x ? 2 x ? 1.5 ? 0 , 进一步从内涵上理解二分法的科学性并且逐步掌握二分法的解题技 巧:定区间,找中点,中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在 异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断.

2、老师有 10 个硬币,其中一个是假币,假币比真币略轻,现有一个 无砝码的天平,如何用最少的次数称出这个假币?(动态演示) 提示:可以先将 10 个硬币编号,前五个放在天平的左边,后五个放 在天平的右边,轻的那一边则是有假币的。再把有假币的这五个分成 三分,分别是 2、2、1,将天平的两边分别放上 2 个硬币,若天平平 衡则为另一个硬币,若天平不平衡,则挑出轻的一边再称即可。 设计意图:在同学对二分法的步骤有了一定了解后,再举现实生活中
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的例子, 在让同学们进一步熟悉二分法, 了解数学其实是来源与生活, 又应用于生活。此例要求的设备很简单,这使学生亲自动手操作成为 了可能,并且解法不唯一,更大的激发了学生学习数学的积极性。

(五)总结新课
1、二分法是一种求方程近似解的常用方法。 2、二分法求方程的近似解的步骤:定区间,找中点,中值计算两边 看.同号去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来 判断。 3.数学来源于生活,又应用于生活。同学可以在生活中感受到数学的 乐趣。

(六)课后作业
由于时间的关系,本堂课旨在从内涵上了解二分法,在解题过程 中起示范作用。所以,课后习题主要是让学生借助计算器解题:P91 T1、T2。

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