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陕西省西安一中2015年高考数学自主命题模拟试卷(理科)


2015 年陕西省西安一中高考数学自主命题模拟试卷(理科) (二)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 12 小题,每小 题 5 分,共 60 分) 1.设 i 为虚数单位,若 =b﹣i(a,b∈R) ,则 a+b=( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若 p,q 都为命题,则“p 或 q 为真命题”

是“? p 且 q 为真命题”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

3.已知三点 A(﹣1,﹣1) ,B(3,1) ,C(1,4) ,则向量 A. B. C. D.

在向量

方向上的投影为(



4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正(主)视图如图所示,则其侧面积等于(



A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.如图程序框图中,若输入 m=4,n=10,则输出 a,i 的值分别是( )

A. 12,4 B. 16,5 C. 20,5 D. 24,6 6.已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是螺口灯 泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D.

7.如图,在等腰直角△ABO 中,OA=OB=1,C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的垂线 l,P 为垂线上任一点,则 等于( )

A. ﹣

B.

C. ﹣

D.

8.若函数 则 f(x)的单调递增区间是( A. C. D. )

,且 f(α)=﹣2,f(β)=0,|α﹣β|的最小值是



B.

9. 设偶函数 f (x) 对任意 x∈R 都有 f (x) =﹣ =( ) D. ﹣

且当 x∈时 f (x) =4x, 则f (119.5)

A. 10 B. ﹣10 C.

10.设 f(x)是

展开式的中间项,若 f(x)≤mx 在区间上恒成立,则实数 m

的取值范围是( ) A. (﹣∞,5) B. (﹣∞,5] C. (5,+∞) D. 上的最大值. (Ⅱ)当 m=0 时,试比较 e
f(x﹣2)

与 g(x)的大小,并证明.

四、选做题【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的角平分线,△ADC 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2AC (Ⅰ)求证:BE=2AD;

(Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程选讲】 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C:ρsin θ
2

=2acosθ(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为:

,直线 L

与曲线 C 分别交于 M,N. (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 L 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|, (1)解关于 x 的不等式 f(x)+x ﹣1>0 (2)若 g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空,求实数 m 的取值范围.
2

2015 年陕西省西安一中高考数学自主命题模拟试卷(理 科) (二)
参考答案与试题解析

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 12 小题,每小 题 5 分,共 60 分) 1.设 i 为虚数单位,若 =b﹣i(a,b∈R) ,则 a+b=( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 解答: 解:∵ =b﹣i(a,b∈R) ,

∴a+2i=bi+1, ∴a=1,2=b, 则 a+b=3. 故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题. 2.若 p,q 都为命题,则“p 或 q 为真命题”是“? p 且 q 为真命题”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 从两个方向来判断:先看 p 或 q 为真命题能否得到¬p 且 q 为真命题,然后看¬p 且 q 为真命题能否得到 p 或 q 为真命题, 这样即可得出 p 或 q 为真命题是¬p 且 q 为真命题的什么 条件. 解答: 解: (1)若 p 或 q 为真命题,则:p,q 中至少一个为真命题; ∴可能是 p 为真命题,q 为假命题; ∴这时¬p 且 q 为假命题; ∴p 或 q 为真命题不是¬p 且 q 为真命题的充分条件; (2)若¬p 且 q 为真命题,则: p 假 q 真; ∴p 或 q 为真命题; ∴p 或 q 为真命题是¬p 且 q 为真命题的必要条件; ∴综上得“p 或 q 为真命题”是“¬p 且 q 为真命题”的必要不充分条件. 故选 B.

点评: 考查 p 或 q,p 且 q,¬p 的真假和 p,q 真假的关系,以及充分条件、必要条件、必 要不充分条件的概念.

3.已知三点 A(﹣1,﹣1) ,B(3,1) ,C(1,4) ,则向量 A. B. C. D.

在向量

方向上的投影为(



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先求出向量 的坐标,由投影的定义便得到向量 在向量 方向上的投影为

,从而根据向量的坐标求向量长度

,求数量积

即可.

解答: 解:

=(﹣2,3) ,



向量

在向量

方向上的投影为:

cos

=



故选 A. 点评: 考查投影的定义,及求投影的公式,向量夹角的余弦公式,根据向量的坐标求向量的 长度,以及数量积的坐标运算. 4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正(主)视图如图所示,则其侧面积等于( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,知该三棱柱是直三棱柱,底面正三角形的边长为 2,高为 1,由此求出三 棱柱的侧面积. 解答: 解:根据题意,得 该三棱柱是直三棱柱,且底面正三角形的边长为 2, 三棱柱的高为 1; 所以,该三棱柱的侧面积为: 3×2×1=6. 故选:D. 点评: 本题考查了利用几何体的三视图求侧面积的应用问题,是基础题目.

5.如图程序框图中,若输入 m=4,n=10,则输出 a,i 的值分别是(



A. 12,4 B. 16,5 C. 20,5 D. 24,6 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 i,a 的值,当 a=20 时,满足条件 n 整除 a, 退出循环,输出 a 的值为 20,i 的值为 5. 解答: 解:模拟执行程序,可得 m=4,n=10,i=1 a=4, 不满足条件 n 整除 a,i=2,a=8 不满足条件 n 整除 a,i=3,a=12 不满足条件 n 整除 a,i=4,a=16 不满足条件 n 整除 a,i=5,a=20 满足条件 n 整除 a,退出循环,输出 a 的值为 20,i 的值为 5. 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 i,a 的值是解题的关键, 属于基本知识的考查. 6.已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是螺口灯 泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计.

分析: 把本题转化为古典概率来解,他第 2 次抽到时,盒子中还有 2 只螺口灯泡与 7 只卡口 灯泡,根据古典概率计算公式求得他第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率. 解答: 解:在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下,这时盒子中还有 2 只螺口灯泡与 7 只卡 口灯泡, 这时,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为 = ,

故选 D. 点评: 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用,体现了转化的数学思想,属于基础 题. 7.如图,在等腰直角△ABO 中,OA=OB=1,C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的垂线 l,P 为垂线上任一点,则 等于( )

A. ﹣

B.

C. ﹣

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将 , 带入 ,然后根据条件进行数量积

的运算即可求得答案. 解答: 解:由已知条件知,AB= 又 ∴ , = ;

,∠OAB=45°;

=

=



故选 A. 点评: 考查向量加法、减法的几何意义,两向量垂直时数量积为 0,向量数量积的运算及计 算公式.

8.若函数 则 f(x)的单调递增区间是( A. C. D. )

,且 f(α)=﹣2,f(β)=0,|α﹣β|的最小值是



B.

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件求得ω的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,求得 f(x)的单 调递增区间. 解答: 解:由题意可得 令 2kπ﹣ ≤2x+ = ? = ,∴ω=1,f(x)=2sin(2x+ ≤x≤kπ+ ) .

≤2kπ+

,k∈z,求得 kπ﹣

,故函数的增区间为,

k∈z, 故选:A. 点评: 本题主要考查正弦函数的图象特征,正弦函数的单调性,属于基础题. 9. 设偶函数 f (x) 对任意 x∈R 都有 f (x) =﹣ =( ) D. ﹣ 且当 x∈时 f (x) =4x, 则f (119.5)

A. 10 B. ﹣10 C.

考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据条件求出函数的周期,然后根据周期进行化简得 f(119.5)=f(﹣0.5) ,再根 据奇偶性和条件将﹣0.5 转化到区间上,代入解析式可求出所求. 解答: 解:∵函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x)=﹣ ∴f(x+3)=﹣ , ,

则 f(x+6)=f(x) , 即函数 f(x)的周期为 6, ∴f(119.5)=f(20×6﹣0.5)=f(﹣0.5)=﹣ 又∵偶函数 f(x) , 当 x∈时,有 f(x)=4x, ∴f(119.5)=﹣ 故选:C. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性,要特别利用好题中有 f(x)=﹣ 的关系式.在解题过程中,条件 f(x+a)=﹣ 中档题. 通常是告诉我们函数的周期为 2a.属于 =﹣ =﹣ = . =﹣ ,

10.设 f(x)是 的取值范围是( )

展开式的中间项,若 f(x)≤mx 在区间上恒成立,则实数 m

A. (﹣∞,5) B. (﹣∞,5] C. (5,+∞) D. 上恒成立 ∴ ∴m ∴ 当 x= 时, 有最大值 5 ≤mx 在区间上恒成立 在区间上恒成立 上的最大值

∴m≥5 故选项为 D 点评: 二项式定理通项及其展开式是高考常考知识点,1 高考不排除与其他知识点结合应 用.属于基础知识、基本运算的考查

11.已知抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C:
2

2

=1(a>0,b>0)渐近线的距离为



点 P 是抛物线 y =8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的 距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( ) A. B. C. D.

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得 b=2a,再利用抛物线的定义, 结合 P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3,可得 FF1=3,从而可求双曲线的几何量,从而可得结论. 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0) ,双曲线 C: 近线的方程为 ax﹣by=0, ∵抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C:
2 2

=1(a>0,b>0)的一条渐

=1(a>0,b>0)渐近线的距离为



∴ ∴b=2a ∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3, ∴FF1=3 2 ∴c +4=9 ∴ 2 2 2 ∵c =a +b ,b=2a

∴a=1,b=2 ∴双曲线的方程为 故选 B. 点评: 本题考查抛物线、双曲线的几何性质,考查抛物线的定义,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题. 12.设函数 y=f(x)在(0,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 fK(x) = ,取函数 f(x)= ,恒有 fK(x)=f(x) ,则( )

A. K 的最大值为

B. K 的最小值为

C. K 的最大值为 2 D. K 的最小值为 2 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知条件可得 k≥f(x)max,用导数确定函数函数的单调性,求解函数的最值,进 而求出 k 的范围,进一步得出所要的结果. 解答: 解:∵函数 fK(x)= ∴等价为 K≥f(x)max, ∵f(x)= , ,

∴f′(x)=



设 g(x)=



则 g(x)在(0,+∞)单调递减,且 g(1)=0, 令 f′(x)=0,即 ,

解出 x=1, 当 0<x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 故当 x=1 时,f(x)取到极大值同时也是最大值 f(1)= 故当 k≥ 时,恒有 fk(x)=f(x) 因此 K 的最小值为 . 故选:B. .

点评: 本题考查与函数有关的新定义题目,利用导数求闭区间上函数的最值,考查运算求解 能力,推理论证能力,解题时要认真审题,仔细解答.综合性较强,有一定的难度. 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知等差数列{an}中,a1+a3+a8= ,那么 cos(a3+a5)= ﹣ .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知结合等差数列的性质求得 a4,则 a3+a5 可求,其余弦值可求. 解答: 解:在等差数列{an}中,由 a1+a3+a8= , ∴ 即 ∴a3+a5= 则 cos(a3+a5)= 故答案为:﹣ . , , , =﹣ . ,得

点评: 本题考查等差数列的性质,考查了三角函数的值,是基础题.

14.设 f(x)=

,若 f(f(1) )=1,则 a=

1 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 先根据分段函数求出 f(1)的值,然后将 0 代入 x≤0 的解析式,最后根据定积分的 定义建立等式关系,解之即可. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(1)=0,则 f(f(1) )=f(0)=1 即∫0 3t dt=1=t |0 =a 解得:a=1 故答案为:1. 点评: 本题主要考查了分段函数的应用,以及定积分的求解,同时考查了计算能力,属于基 础题.
a 2 3 a 3

15.在三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB 的面积分别为 , ,则三棱锥 A﹣BCD 的外接球的体积为 π .



考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用三棱锥侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,长方 体的对角线就是球的直径,求出长方体的三度,从而求出对角线长,即可求解外接球的体积. 解答: 解:三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同 一个,长方体的对角线就是球的直径, 设长方体的三度为 a,b,c,则由题意得:ab= ,ac= ,bc= , 解得:a= ,b= ,c=1, 所以球的直径为: = 所以球的半径为 , = π

所以三棱锥 A﹣BCD 的外接球的体积为

故答案为: π 点评: 本题考查几何体的外接球的体积,三棱锥转化为长方体,两者的外接球是同一个,以 及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在. 16.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存在一 点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .
2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由于圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,由题意可知,只需(x﹣4) +y =1 与直线 y=kx﹣2 有公共点即可. 解答: 解:∵圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,整理得: (x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4,0) 为圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx﹣2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C′: (x﹣4) +y =1 与直线 y=kx﹣2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx﹣2 的距离为 d, 则 d= ≤2,即 3k ﹣4k≤0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴0≤k≤ . ∴k 的最大值是 .

故答案为: . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“ (x﹣4) +y =4 与直线 y=kx﹣2 有公共 点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意 n∈N*,总有 an,Sn,an 成等差数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: .
2 2 2

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质;数列递推式. 专题: 计算题. 分析: (1)根据 an=Sn﹣Sn﹣1,整理得 an﹣an﹣1=1(n≥2)进而可判断出数列{an}是公差为 1 的等差数列,根据等差数列的通项公式求得答案. (2)由(1)知 ,因为
* 2

,所以

,从而得证.

解答: 解: (1)由已知:对于 n∈N ,总有 2Sn=an+an ①成立 ∴
2

(n≥2)②
2

①﹣②得 2an=an+an ﹣an﹣1﹣an﹣1 ,∴an+an﹣1=(an+an﹣1) (an﹣an﹣1) ∵an,an﹣1 均为正数,∴an﹣an﹣1=1(n≥2)∴数列{an}是公差为 1 的等差数列 2 * 又 n=1 时,2S1=a1+a1 ,解得 a1=1,∴an=n. (n∈N ) (2)解:由(1)可知 ∴ 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质,考查放缩法.从而综合考查 了学生分析问题的能力. 18.如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,将△ACD 沿矩形的对角线 AC 翻折,得到如图 2 所 示的几何体 D﹣ABC,使得 BD= . (1)求证:AD⊥BC; (2)若在 CD 上存在点 P,使得 VP﹣ABC= VD﹣ABC,求二面角 P﹣AB﹣C 的余弦值. ∵

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 分析: (1)通过勾股定理可得 AD⊥BD,利用线面垂直的判定定理即得结论; (2)过 D 作 DQ⊥AB 交 AB 于 Q 点,则能以 Q 为原点,以 QB、QD 所在直线分别为 x、z 轴建立 空间直角坐标系,则所求值为平面 PAB 的法向量与平面 ABC 的一个法向量的夹角的余弦值. 解答: (1)证明:∵在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,BD= , ∴AD=2,AB =AD +BD , ∴AD⊥BD, 又∵AD⊥CD,∴AD⊥平面 BCD, ∴AD⊥BC; (2)解:由(1)知 AD⊥BC,又 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 ABD, 过 D 作 DQ⊥AB 交 AB 于 Q 点,则 DQ⊥平面 ABC, 以 Q 为原点,以 QB、QD 所在直线分别为 x、z 轴建立空间直角坐标系如图, 则 DQ= = = ,BQ= = = , ) ,
2 2 2

∴Q(0,0,0) ,B( ,0,0) ,C( ,1,0) ,D(0,0, ∵VP﹣ABC= VD﹣ABC, ∴P 为 CD 的中点,∴P( , , ∴ =( ,0,0) , ) , ) ,

=(﹣ , ,

设平面 PAB 的法向量为 =(x,y,z) ,



,得



取 y=﹣ 而

,得 =(0,﹣

,1) ,

=(0,0,

)是平面 ABC 的一个法向量,



=

=

=



∴所求二面角 P﹣AB﹣C 的余弦值为



点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的计算,考查空间想象能力、计算能力,注 意解题方法的积累,属于中档题. 19.为了分流地铁高峰的压力,某市发改委通过听众会,决定实施低峰优惠票价制度.不超 过 22 公里的地铁票价如下表: 乘坐里程 x(单位:km) 0<x≤6 6<x≤12 12<x≤22 票价(单位:元) 3 4 5 现有甲、乙两位乘客,他们乘坐的里程都不超过 22 公里.已知甲、乙乘车不超过 6 公里的概 率分别为 , ,甲、乙乘车超过 6 公里且不超过 12 公里的概率分别为 , . (Ⅰ)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)求出甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为 , ,求出甲、乙 两人所付乘车费用相同的概率,即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率. (Ⅱ)求出ξ=6,7,8,9,10,求出概率,得到ξ的分布列,然后求解期望即可. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可知,甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为 , 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 (Ⅱ)由题意可知,ξ=6,7,8,9,10 则 …(2 分) …(4 分)

…(10 分) 所以ξ的分布列为 ξ 6 7 8 9 10

P 则 …(12 分)

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法,考查计算能力.

20. 已知点 P 为 y 轴上的动点, 点 M 为 x 轴上的动点. 点F (1, 0) 为定点, 且满足 ? =0.

+

= ,

(Ⅰ)求动点 N 的轨迹 E 的方程. (Ⅱ)A,B 是 E 上的两个动点,l 为 AB 的中垂线,求当 l 的斜率为 2 时,l 在 y 轴上的截距 m 的范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设出 N 点的坐标,由已知条件 标,求出 和 的坐标,代入 ? 可知 P 为 MN 的中点,由题意设出 P 和 M 的坐

可求动点 N 的轨迹 E 的方程; ,直线与圆

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,l 方程为 y=2x+m,则 AB 的方程为: 锥曲线联立求得中点坐标,继而求出答案. 解答: 解: : (Ⅰ)设动点 N 的坐标为(x,y) ,P(0,b)M(a,0)则 ,

, 由



, 可得



∴y =4x; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,l 方程为 y=2x+m,则 AB 的方程为: ,

2



可得:x ﹣4(b+4)x+4b =0,△=16(b+4) ﹣16b >0,∴b>﹣2,

2

2

2

2

x1+x2=4(b+4) ,∴AB 的中点坐标为(2b+8,﹣4) ,﹣4=4b+16+m ∴m=﹣4b﹣20,故:m∈(﹣∞,﹣12) . 点评: 本题考查了轨迹方程的求法,考查了平面向量数量积的运算,考查了直线与圆锥曲线 的关系,直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点,常和弦长问题、存在性问题结合考查,

解答时往往采用“设而不求”的解题方法,借助于一元二次方程的根与系数关系解题,该种 类型的问题计算量较大,要求学生有较强的运算能力,是难题. 21.已知 f(x)=e ,g(x)=x﹣m(m∈R) ,设 h(x)=f(x) ? g(x) . (Ⅰ)求 h(x)在上的最大值. (Ⅱ)当 m=0 时,试比较 e
f(x﹣2) x

与 g(x)的大小,并证明.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 分类讨论;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出 h(x)的导数,讨论 m 的范围,若 m≤1,若 1<m<2 时,若 m≥2 时,求 出函数的单调性,即可得到最大值; (Ⅱ)当 m=0 时,求得 g(x) ,对 x 讨论,①当 x≤0 时,②当 x>0 时,求出单调性,结合零 点存在定理和对数的运算性质,即可判断大小. 解答: 解: (Ⅰ)h(x)=(x﹣m)e ,h′(x)=(x﹣m+1)e , 由 0≤x≤1,h′(x)>0 可得 0≤x≤1 且 x>m﹣1; 若 m≤1,h(x)在递增,h(x)max=h(1)=(1﹣m)e; 若 1<m<2 时,h(x)在递增, h(x)max=max{h(0) ,h(1)},而 h(1)﹣h(1)=m(1﹣e)+e, 当 1<m< 当 时,h(x)max=(1﹣m)e,
x x

≤m<2 时,h(x)max=﹣m;

若 m≥2 时,h(x)在递减,h(x)max=h(0)=﹣m.

综上可得 h(x)max=



(Ⅱ)当 m=0 时,e

f(x﹣2)

=

,g(x)=x,

①当 x≤0 时,显然有 e >g(x) ; f(x﹣2) x﹣2 ②当 x>0 时,lne =e ,lng(x)=lnx, 设φ(x)=e
x﹣2

f(x﹣2)

﹣lnx,φ′(x)=e

x﹣2

﹣ ,

φ′(x)在(0,+∞)递增,而φ′(1)<0,φ′(2)>0, φ′(x)在(0,+∞)有唯一的实数根 x0, 且 1<x0<2,e
x0﹣2

﹣=

,φ(x)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,

φ(x)≥φ(x0)=e
x﹣2

x0﹣2

﹣lnx0=

+x0﹣2=
x﹣2

>0,

即有φ(x)=e ﹣lnx>0,即 e f(x﹣2) 即有 e >g(x) . f(x﹣2) 综上可得,e >g(x) .

>lnx,

点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查构造函数运用导数判断单 调性,运用分类讨论的思想方法是解题的关键. 四、选做题【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的角平分线,△ADC 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2AC (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析:(Ⅰ) 连接 DE, 证明△DBE∽△CBA, 利用 AB=2AC, 结合角平分线性质, 即可证明 BE=2AD; (Ⅱ)根据割线定理得 BD? BA=BE? BC,从而可求 AD 的长. 解答: (Ⅰ)证明:连接 DE, ∵ACED 是圆内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA, 又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA,即有 又∵AB=2AC,∴BE=2DE, ∵CD 是∠ACB 的平分线,∴AD=DE, ∴BE=2AD;…(5 分) (Ⅱ)解:由条件知 AB=2AC=6,设 AD=t, 则 BE=2t,BC=2t+6, 根据割线定理得 BD? BA=BE? BC, 即(6﹣t)×6=2t?(2t+6) ,即 2t +9t﹣18=0, 解得 或﹣6(舍去) ,则 .…(10 分)
2



点评: 本题考查三角形相似,考查角平分线性质、割线定理,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程选讲】

23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C:ρsin θ

2

=2acosθ(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为:

,直线 L

与曲线 C 分别交于 M,N. (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 L 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 考点: 参数方程化成普通方程;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)消去参数可得直线 l 的普通方程,曲线 C 的方程可化为ρ sin θ=2aρcosθ, 2 从而得到 y =2ax.
2 2

(II)写出直线 l 的参数方程为

,代入 y =2ax 得到

2

,则有
2

,由

|BC| =|AB|,|AC|,代入可求 a 的值. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin θ=2acosθ? ρ sin θ=2a ρcosθ, 即 y =2ax,
2

直线 L 的参数方程为:

,消去参数 t 得:直线 L 的方程为 y+4=x+2 即 y=x﹣2(3

分)

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

代入 y =2ax 得到 则有 因为|MN| =|PM|? |PN|,所以
2

2

, …(8 分)

即: ﹣4×8(4+a)=8(4+a) 解得 a=1…(10 分) 点评: 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 直线的参数方程中参数的几何意义, 是一道基础题.

2

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|, (1)解关于 x 的不等式 f(x)+x ﹣1>0 (2)若 g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空,求实数 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1) 由不等式 f (x) +x ﹣1>0 可化为: |x﹣1|>1﹣x , 即: 1﹣x <0 或
2 2 2 2



,解出即可;

(2)g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空?|x﹣1|+|x+3|<m 的解集非空?(|x ﹣1|+|x+3|)min<m,利用绝对值不等式的性质即可得出. 2 2 解答: 解: (1)由不等式 f(x)+x ﹣1>0 可化为:|x﹣1|>1﹣x 即:1﹣x <0 或
2





解得 x>1 或 x<﹣1,或? ,或 x>1 或 x<0. ∴原不等式的解集为{x|x>1 或 x<0}, 综上原不等式的解为{x|x>1 或 x<0}. (2)∵g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x) , ∴|x﹣1|+|x+3|<m. 因此 g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空?|x﹣1|+|x+3|<m 的解集非空. 令 h(x)=|x﹣1|+|x+3|, 即 h(x)=(|x﹣1|+|x+3|)min<m, 由|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|=4, ∴h(x)min=4, ∴m>4. 点评: 本题考查了含绝对值的不等式的解法、分类讨论、绝对值不等式的性质等基础知识与 基本技能方法,属于难题.


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