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2015-2016学年上学期高一数学期末复习卷


天门实验高级中学 2015-2016 学年高一期末复习

数学试题
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(60 分,每小题 5 分)
2 2 1. 已知 M ? x y ? x ? 1 , N ? y y ? x ? 1 ,则 M ? N ? (

?

?

?

r />
?



A. ?

B. M

C. N
2

D. R
( )

2.已知扇形周长为 6cm,面积为 2 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 A.2 B.4 C.1 或 4 3.若 sin ? cos ? ? 0 ,则角 ? 的终边在 A.第二象限 B.第四象限 C.第二、四象限 D.2 或 4

4、若四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? 0 ,( AB ? AD) ? AC ? 0 ,则该四边形一定是( A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 5.把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移

??? ? ???? ??? ?

( D.第三、四象限

) )

? 个单位长度,再把所得图象上所有 6


点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数为(

? ) ,x∈R 3 1 ? C.y=sin( x ? ) ,x∈R 2 6
A.y=sin(2x﹣

B.y=sin(2x+

? ) ,x∈R 3 1 ? D.y=sin( x ? ) ,x∈R 2 6
( D. (2,3) ) )

6.函数 f ( x) ? e x ?1 ? 4x ? 4 的零点所在区间为 A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2)

7、已知向量 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为( A. ?

1 7

B.

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6
( )

? 1 x x?4 ?( ) , 8.已知函数 f(x)满足:当 f ( x) ? ? 2 ,则 f(2+log23)= ? ? f ( x ? 1) x ? 4
A. 1 24 1 B. 12 1 C. 8 3 D. 8

9.函数 y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则实数 a 的取值范围是(



D. a ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 10、已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么
( )

A. 0 ? a ? 1

B. 1 ? a ? 2

C. a ? 1

A. AO ? OD

????

????

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2 AO ? OD

????

????

1

11.设 f ( x) ? ax ? bx ? 2 是定义在 ?1 ? a, 2? 上的偶函数,则 (?3)b ? 3?
2

1?a

?(



A.

10 9

B.

1 9

C. 10

D. 不能确定

12.若关于 a , b 的代数式 f (a, b) 满足:① f (a, a) ? a; ② f (ka, kb) ? kf (a, b); ③ f (a1 ? a2 , b1 ? b2 ) ? f (a1 , b1 ) ? f (a2 , b2 ); ④ f ( a, b) ? f (b, 则 f ( x, y) ? ( A.
x ? 2y 3

a?b ). 2

) B.
2x ? y 3

C.

x ? 2y 3

D.

2x ? y 3

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(20 分,每小题 5 分) 13.函数 y ? 2sin x , x ? ?0, ? ? 的值域为 14、若向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 2, (a ? b) ? a ,则向量 a与b 的夹角等于 15.设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数, 且满足 f ( x) ? f (? x) , f ( x) 在区间 (??, 0) 上是 减函数,并且 f (2a2 ? a ? 6) ? f (3a 2 ? 2a ? 2) ,则实数 a 的取值集合是_____________. 16. 给出下列五种说法: ①函数 y ? x 2 与函数 y ? ( ) x 的值域相同; ②若函数 f ( x) 的定义域为 [0,2] ,则函数 f ( 2 x ) 的定义域为 [0,4] ; ③函数 y ?
1

? ?

?

?

? ?

?

1 2

(1 ? 2 x ) 2 1 1 与y? 均为奇函数; ? x x ? 2x 2 2 ?1
f (2) f (4) f (2014) f (2016) ? ?? ? ? ? 2016 ; f (1) f (3) f (2013) f (2015)

④若 f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ,且 f (1) ? 2 ,

2 2 ⑤已知 f ( x) ? kx , g ( x) ? (k ? 2) x ? 2kx ,若 f (x), g( x) 至少有一个在 (1, ??) 上单调递

增,则实数 k 的取值范围是 [? 3, ? 2) ? (0, ??) . 其中错误说法的序号是___________. 三、解答题(本答题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
log 2 ? log2 8 ? log2 ? log3 (1)计算 27 ? 2 2 3
3

1

3

4



(2)

已知 tan(? ? ? ) ? 3 ,



2 cos(? ? a) ? 3 sin(? ? a) 的值. 4 cos(?a) ? sin(2? ? a)

2

18. (本小题满分 12 分) 函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 在 x ? ? 0,7? ? 内只取到一个最大值

和一个最小值,且当 x ? ? 时, ymax ? 3 ;当 x ? 6? 时, ymin ? ?3 . (Ⅰ)求此函数的解析式; (Ⅱ)求此函数的单调递增区间.

19. (本小题满分 12 分) (12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos x ? 1, x ? [? (1)求 y ? f ( x) 的值域; (2)若 f ( x) ? a ? 0 有两个不相等的实根,求 a 的取值范围.

? 2?
3 , 3

].

20. (本小题满分 12 分) 若天门市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解答下面的问题: (1)请写出天门市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)请计算 10 年以后天门市人口总数(精确到 0.1 万人); (3)请计算大约多少年以后天门市人口将达到 120 万人(精确到 1 年). 10 15 16 (参考数据 1.012 =1.127,1.012 =1.195,1.012 =1.213)

3

21(12 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 , y ? f ( x) 在 x ? (??,1] 单调递增,在 x ? [1, ??) 单调递减,且有最大值 4 . (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)设 g ( x) ? 围.

f ( x) x

若 g (2 ? sin ? ) ? m2 ? m 对任意 ? ? R 恒成立,则实数 m 的取值范

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? 4 ? 2 ? 1,其中 a ? R .
x x

(1)设函数 g ( x) ? lg

f ( x) ,若当 x ? ? ??,1? 时, g ( x) 有意义,求 a 的取值范围; 2

(2)是否存在是实数 m ,使得关于 x 的方程 f ( x)=m 对于任意非正实数 a ,均有实数根? 若存在,求 m ;若不存在,说明理由.

4

天门实验高级中学 2015-2016 学年高一期末复习

数学参考答案
一、选择题(60 分,每小题 5 分) 题号 答案 13、 ?1,2? 1 C 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 A 9 B 10 A 11 A 12 C 二、填空题(20 分,每小题 5 分) 14.

? 4

15.

(??, ?1) ? (4, ??)

16.. ①②⑤

三、解答题(本答题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) (1)20…………(5 分) (2) 由已知得:tana=-3 …………(7 分)

原式=

? 2 cos ? ? 3 sin ? ? 2 ? 3 tan ? 11 ? ? ? …………(10 分) 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 7
1 2

18、 (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由题意得 A ? 3 , T ? 5? , ∴ T ? 10? ,∴ ? ?

2? 1 ? …………(2 分) T 5

∴ y ? 3sin ? x ? ? ? .∵点 ?? ,3? 在此函数图象上,∴ 3sin ? x ? ? ? ? 3 . ∴

?1 ?5
2

? ?

?1 ?5

? ?

?
5

?? ?

?

? 2k? , k ? Z .∵ 0 ? ? ?

?
2

,∴ ? ?

3? 10

∴ y ? 3sin ?

3? ? ?1 x? ? .…………(6 分) 10 ? ?5

?
(Ⅱ)当

?
2

? 2 k? ?

1 3? ? x? ? ? 2 k? 5 10 2 ,…………(9 分)

即 ?4? ? 10k? ? x ? ? ? 10k? 时,

3? ? ?1 y ? 3sin ? x ? ? 10 ? 单调递增, ?5 函数
所以此函数的单调递增区间为 ??4? ?10k? , ? ?10k? ? ? k ? Z ? .…………(12 分)
19、 (本小题满分12分) (1) f ( x) ? sin x ? cos x ?1 ? ? cos x ? cos x , x ? [?
2 2

? 2?
3 , 3

]

令 cos x ? t ? [ ?

1 ,1] 2
5

1 y ? ?t 2 ? t , t ? [? ,1] 2 3 1 y ? [? , ] 4 4 1 (2) a ? [0, ) 4
20、 (本小题满分 12 分) 解:(1)1 年后天门市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) 2 年后天门市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)2. 3 年后天门市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)2×(1+1.2%)=100×(1+1.2%)3. x 年后天门市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x. …………(4 分) (2)10 年后人口数为 100×(1+1.2%)10≈112.7(万).…………(7 分) (3)设 x 年后天门市人口将达到 120 万人,即 100×(1+1.2%)x=120, x=log1.0121.20≈16(年). 答:1)x 年后天门市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x. (2)10 年后人口数为 100×(1+1.2%)10≈112.7(万). (3)约 16 年后天门市人口将达到 120 万人…………(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 由题知:

?b ? ?1 ? ? 则? 2a ? ?a ? b ? 3 ? 4

解得: ?

?a ? ?1 …………..3 分 ?b ? ?2

? f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 ………..4 分
(2)由(1) g ( x) ?

? x2 ? 2 x ? 3 3 = ?x?2 x x
1 ? 2 ? sin ? ? 3 ………..5 分

? ? ? R ? ?1 ? sin ? ? 1

下用定义证明: g ( x) 在 [1,3] 上是单调减函数(不证扣 4 分)………..9 分

? 当 g (2 ? sin ? )min ? g (3) ? 0
? m2 ? m ? 0

………..10 分

? 0 ? m ? 1……. …….. …. …….. ……...12 分

6

22(本小题满分 12 分) 解: (1)当 x ? ? ??,1? 时, g ( x) 有意义,即等价于 x ? ? ??,1? 时,

a ? 4x ? 2x ? 1 ? 0 成立. 2

?? 1 ? x ? 1 ? x ? 将不等式变形,分离出 a ? ? ?? ? ? ? ? ? , ?? 4 ? ? 2 ? ? ? ?
原命题等价于 x ? ? ??,1? 是,求使得 a ? ? ??

?? 1 ? x ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? 恒成立的 a 的取值范围. 4 ? ? ? ? ?2? ? ?
....................2 分

?? 1 ? x ? 1 ? x ? 令 y ? ? ?? ? ? ? ? ? ,当 x ? ? ??,1? 时,只需 a ? ymax ,为此求 ymax . ?? 4 ? ? 2 ? ? ? ? ?? 1 ? x ? 1 ? x ? 3 而 y ? ? ?? ? ? ? ? ? 在 x ? ? ??,1? 上是增函数,故当 x ? 1 时,有 ymax ? ? . 4 ?? 4 ? ? 2 ? ? ? ?
因此取 a ? ?

3 ? 3 ? ,即 a 得取值范围是 ? ? , ?? ? . 4 ? 4 ?

.....................6 分

(2)假设存在 m 满足条件.
x x x 关于 x 的方程 a ? 4 ? 2 ? 1 ? m 对于任意实数 a 恒有实数根,设 t ? 2 (t ? 0) ,
2 即关于 t 的方程 a ? t ? t ? 1 ? m ? 0 有正实数根.

.....................8 分

当 a ? 0 时,方程的解 t ? m ? 1 ,令 t ? 0 ,即 m ? 1 ? 0 ,得 m ? 1 ;
2 当 a ? 0 时,函数 y ? a ? t ? t ?1 ? m 的开口向下,对称轴为直线 t ? ?

1 ? 0 ,由图象可 2a

知, ? ? 0 ,化简得 m ? 1 ?

1 ,对 a ? 0 恒成立,即 m ? 1 ; 4a
....................12 分

综上所述,没有满足条件的实数 m .

7


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