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复合函数单调性的求法与含参数问题


复合函数单调性的求法与含参数问题
(一)求复合函数解析式 例1、 (1)设 f(x)=2x?3 g(x)=x2+2 求 f[g(x)](或 g[f(x)]) 。

(2)已知:f(x)=x2?x+3

求:f(

1 ) x

f(x+1)

(二)求复合函数相关定义域

一、已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域 3] ,求 f ( x 2 ? 2x) 定义域。 例 1、 (1) 已知 f ( x) 的定义域为 (0, 2? x x? ?2? (2)设 f ? x ? ? lg ,则 f ? ? ? ? f ? ? 的定义域为 ( 2? x ?2? ? x? A. ?? 4,0? ? ?0,4? B. ?? 4,?1? ? ?1,4? C. ?? 2,?1? ? ?1,2? D. ?? 4,?2? ? ?2,4? 二、已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f ( x) 的定义域 例 2、 若函数 f ?3 ? 2 x? 的定义域为 ?? 1,2? ,求函数 f ?x ? 的定义域



三、已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f [h?x?] 的定义域 3) ,求 f ?x ? 2? 的定义域。 例 3 、已知 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,

(三)复合函数的单调性 判断复合函数的单调性的步骤如下: (1)求复合函数定义域; (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数); (3)判断每个常见函数的单调性; (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围; (5)求出复合函数的单调性。 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型: 例 1、已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( (A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). [ 2,+∞)
1

)

二、外函数只有一种单调性,而内函数有两种单调性的复合型: 例 2、函数 y=log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?

例 3、讨论函数 y=0.8x2-4x+3 的单调性。

三、外函数有两种单调性,而内涵数只有一种单调性的复合型: 例 4 、在下列各区间中,函数 y=sin(x+ (A).[ π ,π ] 2 (B).[0, π ] 4 π )的单调递增区间是( 4 (D). [ ) π π , ] 4 2

(C).[-π ,0]

例 5、讨论函数 y=(log2x)2+log2x 的单调性。

四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型: 例 6、已知函数 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f(2-x2),那么 g(x) ( ) (A).在区间(-1,0)上是减函数; (B).在区间(0, 1)上是减函数; (C).在区间(-2,0)上是增函数; (D).在区间(0, 2)上是增函数. (四)利用复合函数求参数取值范围 例 1.已知函数 f(x)= 值范围是_______。 (x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数 a 的取

2

例 2.若 f(x)=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是_______。

【反馈训练】 1.关于 x 的函数 y ? log 1 (?ax ? a2 ? 2a) 在[1,+∞ ) 上为减函数,则实数 a 的取
2

值范围是 ( A. (-∞,0)

) B.(-1,0)

C.(0,2 ] ) (C) [0, 4) )

D.(-∞,-1)

2、函数 y ? 16 ? 4x 的值域是( (A) [0, ??) 3、 函数 f ? x ? ? (B) [0, 4]
4x ? 1 的图象( 2x

(D) (0, 4)

A. 关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

B. 关于直线 y=x 对称 D. 关于 y 轴对称

4、若函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( ) (A) 0 ? m ? 4 三、解答题 1.已知函数 f ( x) ? loga (a x ?1)(0 ? a ? 1) (1)求 f ( x) 的定义域; (2) 讨论 f ( x) 的单调性。 (B) 0 ? m ? 4 (C) m ? 4 (D) 0 ? m ? 4

3

2、求 y ? ( ) x ? ( ) x ? 1 , x ? ?? 3,2? 的值域。
1 4 1 2

3、已知函数 f ( x) ?

ax ?1 (a ? 0且a ? 1) ax ?1

(1)求 f ( x) 的定义域及值域。 (2)讨论 f ( x) 的奇偶性。 (3)讨论 f ( x) 的单调性。

4


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