当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学题型全归纳第十二章计数原理第4节二项式定理


第四节 二项式定理
?考纲解读
1. 能用计数原理证明二项式定理.
2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.

?知识点精讲
一、二项式定理
n 0 1 n?1 r n ?r r 0 n * (a ? b)n ? C0 b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn n a b ? Cn a n

a b (n ? N ).

展开式具有以下特点: (1)项数:共 n ? 1 项.
0 1 2 ? ,C0 (2)系数:依次为组合数 Cn,Cn,Cn, n.

b 的升幂 (3)每一项的次数是一样的,即为 n次,展开式依 a 的降幂排列、

排列展开.
n 1 2 n n 特别地, (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x .

二、二项展开式的通项(第 r ? 1 项)
r n?r r 二项展开式的通项为 Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1,2,3,?, n.).

其中Cnr 叫 Tr ?1 的二项式系数. 令变量(常用 x )取 1 ,可得 Tr ?1 的系数. 1 1 1 1 ?1 ?m 3 2 3 x 2. Tr ?1 中变量 x 的幂指数的形式 m ? x , x ? x , x ? x , x x 三、系数和
0 1 2 n n n 1.二项式系数和 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? (1 ? 1) ? 2 .

奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和,
0 2 4 1 1 1 n?1 即 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2 .

2. 求系数和,令 x ? 1 ;变号系数和,令 x ? ?1 ;求常数项,令 x ? 0. 四、二项式系数的函数特征
n C , C ,?, C ?, C (r ? 1,2,?, n)作为 r 的函数,以r ? 为界,左递增,右递 2 n r n?r 2 n ; 减. 并具有对称性,即Cn ? Cn ,其最大值: 为偶数中间一项最大,为C n
0 n 1 n r n n n

n 为奇数相邻两项最大, Cn =Cn .

n ?1 2

n?1 2

?题型归纳及思路提示
题型171 证明二项式定理的展开式及通项 9 9 ?a ? 3 x a ? _____. 【例12.31】(1)? ? ?展开式中 x 的系数为 4 , 2? ?x
1 ? ? x ? (2) ). ? ? 的展开式中常数项为( 2 x ? ? 35 35 35 A. B. C. D.105 16 8 4 r r 9? r ? ? ? ? x 1 r ?a? r 9? r ? ,令 x ? 1 得系数为 C a ? 【解析】(1)Tr ?1 ? C9 ? ? ? , 9 ? ? ? ?x? ? 2? ?r 2? 9? r r ? 1 ? 32r ?9 3 r ?9 r ?1? ? (9 ? r ) r 9?r 2 2 x?? ? x ?x ?x ? x ? Tr ?1C9 a ? ? ? x , ?x? ? 2? ? 3r ? 2 ?9 ? 3 9 ? r 由展开式中x3的系数为 ,得 b 2 ? 4ac ? , ? ? 4 ?C r a 9 ? r ? ? 1 ? ? 9 9 ? r ? 2? 4 ? ? 1? 9 3r 8 9 ?8 由 ? 9 ? 3,得r ? 8,C9 a ? ? ? ? ? a ? 4. 2 2 ? ? 4
8

? ?

1 8?22 r 1 ? 1 ? ? 2r r r r (2)Tr ?1 ? C8 x ? ? ? ? x ? C8 ? r x ? C8 ? r x 4?r, 2 2 ?2? 1 35 4 令4 ? r ? 0,解得r ? 4,即常数项为T5 ? C8 ? 4 ? .故选B. 2 8 题型172 二项式定理展开式中的系数和
8? r

? ?

8? r ? 1 ? r 2 ?? ? =C8 ? x ?2 x ?

r

r

【例12.34】已知 (1 ? 2 x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a7 x 7 . 求:

(1)a1 ? a2 ? ? ? a7;
(2)a1 ? a3 ? a5 ? a7; (3)a0 ? a2 ? a4 ? a6;

(4)a1 ? a2 ? ? ? a7 .
【解析】令 x ? 1,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ①;
7 令 x ? ?1 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 3 ②. 0 ? 1 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?2. (1)因为 a0 ? C7 ?1 ? 37 (2) (① ? ②) ? 2得a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? ?1094. 2 7 ?1 ? 3 (3) (① ? ②) ? 2得a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ?1093. 2

a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5,a7 小于零, (4)解法一:因为展开式中,
所以 a0 ? a1 ? ? ? a7 ? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) 由 可知,其值为2187. (2) (3)
7 解法二: a0 ? a1 ? ? ? a7 即为展开式 (1 ? 2 x) 中各项的系数和,故只需要

对(1 ? 2 x)7 令 x ? 1 即可得 a0 ? a1 ? ? ? a7 的值等于37 ? 2187. 题型173 展开式系数的最值问题 【例12.36】 ? a ? b ? 展开式中:
n

(1)只有第 7 项的二项式系数最大,则n ? _____ ;
n ? _____. (2)第7 项二项式系数取最大值,

【分析】只有一项二项式系数最大?n是偶数. 有两项二项式系数最大? n是奇数.
n?r r (1) Tr ?1 ? Cr b 只有T6?1二项式系数最大, 【解析】 na n 6 n 2 n为偶数,最大值为Cn ? Cn, ? 6,得n ? 12. 2 n ?1 n ?1 2 (2)当n为偶数时,n ? 12;n为奇数时,最大二项式系数为C n 和C n2

n ?1 n ?1 ? ? 6或 ? 6 ? n ? 13或n ? 11.所以n ? 11,12,13. 2 2


相关文章:
...总复习第10章计数原理概率与统计第2节二项式定理及...
【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 10 章 计数原理、概率与 统计 第 2 节 二项式定理及其应用模拟创新题 理一、选择题 4 ? 6 b? 3 3 1.(2016·...
...课时检测:第十四章 计数原理与二项式定理]
【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测:第十四章 计数原理二项式定理]_高中教育_教育专区。【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测:第十四章...
...计数原理、随机变量及其分布——第2节_二项式定理(...
2014高考数学复习:计数原理、随机变量及其分布——第2节_二项式定理(学生版)_...(3) 各项二项式系数的和; 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结. 四、双基...
高三一轮复习《计数原理》
高三一轮复习《计数原理》_数学_高中教育_教育专区。排列、组合和二项式定理 ...12 ? 36 种【2013 高考北京版理第 12 题】 将序号分别为 1,2,3,4,5 ...
...第九章 计数原理、概率与统计 第三节 二项式定理习...
【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第三节 二项式定理习题 理_数学_高中教育_教育专区。第三节 [基础达标] 一、选择...
2018版高考数学一轮复习第十章计数原理10.3二项式定理理
2018版高考数学一轮复习第十章计数原理10.3二项式定理理_高中教育_教育专区。第...( A.-15x 4 ) B.15x 4 4 C.-20ix 答案 A D.20ix 4 解析 由题意...
...总复习第10章计数原理概率与统计第2节二项式定理及...
大高考2017版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第2节二项式定理及其...n 解析 根据题意知 a0=1,a1=3,a2=4, 1 C ·=3, ? ? a 结合二项式...
2010年高考题: 第10章 计数原理 第二节 二项式定理
2010年高考题: 第10章 计数原理 第节 二项式定理_高考_高中教育_教育专区。...x 2 ? ? ? x 2 的系数是 -12+6=-6 3 5 4.( 4.(2010 全国卷 1...
...复习专题10计数原理概率与统计第68练二项式定理练习...
江苏专用2018版高考数学专题复习专题10计数原理概率与统计第68练二项式定理练习理_数学_高中教育_教育专区。(江苏专用)2018 版高考数学专题复习 专题 10 计数原理、...
...章计数原理概率随机变量及其分布第三节二项式定理课...
【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 第三节 二项式定理课后作业 理 [全盘巩固]一、选择题 1.(2015·陕西高考)...
更多相关标签: