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高考数学题型全归纳第十二章计数原理第4节二项式定理


第四节 二项式定理
?考纲解读
1. 能用计数原理证明二项式定理.
2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.

?知识点精讲
一、二项式定理
n 0 1 n?1 r n ?r r 0 n * (a ? b)n ? C0 b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn n a b ? Cn a n

a b (n ? N ).

展开式具有以下特点: (1)项数:共 n ? 1 项.
0 1 2 ? ,C0 (2)系数:依次为组合数 Cn,Cn,Cn, n.

b 的升幂 (3)每一项的次数是一样的,即为 n次,展开式依 a 的降幂排列、

排列展开.
n 1 2 n n 特别地, (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x .

二、二项展开式的通项(第 r ? 1 项)
r n?r r 二项展开式的通项为 Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1,2,3,?, n.).

其中Cnr 叫 Tr ?1 的二项式系数. 令变量(常用 x )取 1 ,可得 Tr ?1 的系数. 1 1 1 1 ?1 ?m 3 2 3 x 2. Tr ?1 中变量 x 的幂指数的形式 m ? x , x ? x , x ? x , x x 三、系数和
0 1 2 n n n 1.二项式系数和 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? (1 ? 1) ? 2 .

奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和,
0 2 4 1 1 1 n?1 即 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2 .

2. 求系数和,令 x ? 1 ;变号系数和,令 x ? ?1 ;求常数项,令 x ? 0. 四、二项式系数的函数特征
n C , C ,?, C ?, C (r ? 1,2,?, n)作为 r 的函数,以r ? 为界,左递增,右递 2 n r n?r 2 n ; 减. 并具有对称性,即Cn ? Cn ,其最大值: 为偶数中间一项最大,为C n
0 n 1 n r n n n

n 为奇数相邻两项最大, Cn =Cn .

n ?1 2

n?1 2

?题型归纳及思路提示
题型171 证明二项式定理的展开式及通项 9 9 ?a ? 3 x a ? _____. 【例12.31】(1)? ? ?展开式中 x 的系数为 4 , 2? ?x
1 ? ? x ? (2) ). ? ? 的展开式中常数项为( 2 x ? ? 35 35 35 A. B. C. D.105 16 8 4 r r 9? r ? ? ? ? x 1 r ?a? r 9? r ? ,令 x ? 1 得系数为 C a ? 【解析】(1)Tr ?1 ? C9 ? ? ? , 9 ? ? ? ?x? ? 2? ?r 2? 9? r r ? 1 ? 32r ?9 3 r ?9 r ?1? ? (9 ? r ) r 9?r 2 2 x?? ? x ?x ?x ? x ? Tr ?1C9 a ? ? ? x , ?x? ? 2? ? 3r ? 2 ?9 ? 3 9 ? r 由展开式中x3的系数为 ,得 b 2 ? 4ac ? , ? ? 4 ?C r a 9 ? r ? ? 1 ? ? 9 9 ? r ? 2? 4 ? ? 1? 9 3r 8 9 ?8 由 ? 9 ? 3,得r ? 8,C9 a ? ? ? ? ? a ? 4. 2 2 ? ? 4
8

? ?

1 8?22 r 1 ? 1 ? ? 2r r r r (2)Tr ?1 ? C8 x ? ? ? ? x ? C8 ? r x ? C8 ? r x 4?r, 2 2 ?2? 1 35 4 令4 ? r ? 0,解得r ? 4,即常数项为T5 ? C8 ? 4 ? .故选B. 2 8 题型172 二项式定理展开式中的系数和
8? r

? ?

8? r ? 1 ? r 2 ?? ? =C8 ? x ?2 x ?

r

r

【例12.34】已知 (1 ? 2 x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a7 x 7 . 求:

(1)a1 ? a2 ? ? ? a7;
(2)a1 ? a3 ? a5 ? a7; (3)a0 ? a2 ? a4 ? a6;

(4)a1 ? a2 ? ? ? a7 .
【解析】令 x ? 1,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ①;
7 令 x ? ?1 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 3 ②. 0 ? 1 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?2. (1)因为 a0 ? C7 ?1 ? 37 (2) (① ? ②) ? 2得a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? ?1094. 2 7 ?1 ? 3 (3) (① ? ②) ? 2得a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ?1093. 2

a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5,a7 小于零, (4)解法一:因为展开式中,
所以 a0 ? a1 ? ? ? a7 ? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) 由 可知,其值为2187. (2) (3)
7 解法二: a0 ? a1 ? ? ? a7 即为展开式 (1 ? 2 x) 中各项的系数和,故只需要

对(1 ? 2 x)7 令 x ? 1 即可得 a0 ? a1 ? ? ? a7 的值等于37 ? 2187. 题型173 展开式系数的最值问题 【例12.36】 ? a ? b ? 展开式中:
n

(1)只有第 7 项的二项式系数最大,则n ? _____ ;
n ? _____. (2)第7 项二项式系数取最大值,

【分析】只有一项二项式系数最大?n是偶数. 有两项二项式系数最大? n是奇数.
n?r r (1) Tr ?1 ? Cr b 只有T6?1二项式系数最大, 【解析】 na n 6 n 2 n为偶数,最大值为Cn ? Cn, ? 6,得n ? 12. 2 n ?1 n ?1 2 (2)当n为偶数时,n ? 12;n为奇数时,最大二项式系数为C n 和C n2

n ?1 n ?1 ? ? 6或 ? 6 ? n ? 13或n ? 11.所以n ? 11,12,13. 2 2


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