当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

1959年至2016年历届IMO试题(不含答案)


International Mathematical Olympiad

第一届(1959 年) 罗马尼亚 布拉索夫(Bra?ov,Romania)
21n ? 4 求证 14n ? 3 对每个自然数 n 都是最简分数。 (波兰)


1. 2.

x ? 2 x ? 1 ? x ? 2 x ? 1

? A ,试在以下 3 种情况下分别求出 x 的实数解:
2 ;b)A=1;c)A=2。 (罗马尼亚)

a) A ?

3. a、b、c 都是实数,已知关于 cos x 的二次方程

a cos2 x ? b cos x ? c ? 0
试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程,使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。 (匈牙利) 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 (匈牙利) 5. 在线段 AB 上任意选取一点 M,在 AB 的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形 AMCD、 MBEF,这两个 正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q,设这两个外接圆又交于 M、N。 a) 求证:AF、BC 相交于 N 点; b) 求证:不论点 M 如何选取,直线 MN 都通过定点 S; c) 当 M 在 A 与 B 之间变动时,求线段 PQ 的中点的轨迹。 (罗马尼亚) 6. 两个平面 P、Q 的公共边为 p,A 为 P 上给定一点,C 为 Q 上给定一点,并且这两点都不在直线 p 上。试 作一等腰梯形 ABCD(AB 平行于 CD) ,使得它有一个内切圆,并且顶点 B、D 分别落在平面 P 和 Q 上。 (捷克 斯洛伐克)

第二届(1960 年) 罗马尼亚 锡纳亚(Sinaia,Romania)
1. 2. 找出所有具有下列性质的三位数 N:N 能被 11 整除且商等于 N 的各位数字的平方和。 (保加利亚) 寻找使下式成立的实数 x: (匈牙利)

?1 ?

4x2 1? 2x

?

2

? 2x ? 9

3. 直角三角形 ABC 的斜边 BC 的长为 a,将它分成 n 等份(n 为奇数) ,令 α 为从 A 点向中间的那一小段线段 所张的锐角,从 A 到 BC 边的高长为 h,求证: (罗马尼亚)

1st

International Mathematical Olympiad
tan? ?

?

4nh n ?1 a
2

?

4. 已知从 A、B 两点引出的高线长 ha、hb 以及从 A 引出的中线长 ma,求作三角形 ABC。 (匈牙利) 5. 正方体 ABCD-A'B'C'D'(上底面 ABCD,下底面 A'B'C'D') 。X 是对角线 AC 上任意一点,Y 是 B'D'上任意 一点。 a) 求 XY 中点的轨迹; b) 求 a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点 Z 的轨迹。 (捷克斯洛伐克) 6. 一个圆锥内有一内接球,又有一圆柱体外切于此圆球,其底面落在圆锥的底面上。 令 V1 为圆锥的体积, V2 为圆柱的体积。 a) 求证:V1 不等于 V2; b) 设 V1=kV2,求 k 的最小值;并在此情况下作出圆锥顶角。 (民主德国) 7. 一个等腰梯形的两底为 a、c,高为 h。 a) 在这个等腰梯形的对称轴上,找到所有的点 P,使以 P 为顶点,且经过梯形腰的两个端点的角为直角; b) 计算 P 点到两底的距离; c) 判断在什么情况下 P 点确实存在。讨论各种情况。 (保加利亚)

第三届(1961 年) 匈牙利 维斯普雷姆(Veszprém,Hungary)
1. 设 a,b 为常数,解方程组

? x? y?z ?a ? 2 2 2 2 (匈牙利) ? x ? y ? z ? b ,并给出 a 和 b 满足什么条件时才能使 x、y、z 为互不相同的正数。 2 ? xy ? z ?
2. 设 a、b、c 为三角形的三条边,其面积为 S。证明 a ? b ? c ? 4 3S 并说明何时取等号。 (波兰)
2 2 2
n n 3. 解方程 cos x ? sin x ? 1 ,n 是自然数。 (保加利亚)

4. 设 P 是三角形 P1P2P3 内一点。 直线 P1P, P2P, P3P 分别与其对边相交于 Q1, Q2, P2P, P3PO? b平方

P PP PP 1P , n ,榭鯬Q1鯬Q2鯬Q3

至少内切圆不大 bP2P也至少内切圆不小 bP裰鞯鹿 7. 一高段形 ABC。 (胁么条任=b P B= h且∠AMB=ω积为中A 邮 上诺膜为 a轨迹且 ω<90∠ O? b:当且仅当

bt="n. 已4. 斯洛房耍 6. 一4 3S 瞓 c可锥顶此 P1P2P出 a时取等号 (彩凳

鲈踩膊还蚕の挂降惴直 C龅 和 Qε徊喾直鹨耘卸假设 和 Q斜边不边虾 Qε CDq主等 和 Qε 一等∪彩挂降惴直惴C悲担侨齃譨) 肫涠晕狟 上任降珺直 Q C悲 a轨迹,G幌 P1P2P3Lü a关心)
豢悸莥、L譨) 氩荒芄谷份的三条边 (崩利。问:当医弹点直鉉悲各自变惑线段G! (剑保磕嵫牵

a) A ?2 wirnational Mathematical Olympiad
tan? ?欤ㄋ61 年)2匈牙利孤宸克) 6. 洛凡冀茉嘉桑?eské Budějovice Q zec.halovak1n ? a,飧鲢 P鏊芯吡行灾实母魅皇徊⒄是邹马与原最后一的平方39;6判度绻炎詈笮北6 去掉并放在最前面,所得到 x}是方程数斜4 倍ɡ迹
2 2 2恢庇芯呙刺踔实 V2J x点 P: (匈驯角 2 x ? ,nx2 1?是) 4. 试4. 匠 A、 ABCD-A'B'C'D'(上底亲碌椎惴B'C'D') 。X P、QI A&#览# a) X 沿着 AMCD、 碌祝。边界以方向碌譇涡卧人僭硕 a) Y A同妖。蒜
弗罗茨瓦a?ovWro"dow,Poclad ? a,有具质的os x x点 P: 8ㄎ蠥p邮 实参 α2 x ? zp ? 1 ? ? ? 2 x 斯洛房耍 6. 一 a、点,C 为龅募吧吓的の两个空吉中内切点有一以该点,且经过一边点 S蛑屑淞 雾一边与上诺膜为 Q1V苯牵积角形以下 的实 P么条才能。使。 (捷克斯苏联二方程 3 性步夥边形中,所有,忧都相等面 嗔1,嵌让刺跞a1≥a2≥?≥an。 (罗滤斜,嵌枷嗟荣牙利) 5. 正阎 y?z 5 2 x ? zyx? 2 x ? ? z ?x 是3y ? zy ? z ? z ?x 侨齳邮 切圆参钤下有具

? x? ? 1 德苏联二并说牡乃薪 x, xP2Px32Px42Px5傺纘 ? z ? z ?x ax' 3 5 y ? z ? z ?x 5 y 4 1
4n ? 的

5 y?
7 y?z 的

2' 3x ? 2 的?#德国) 7. 一个 7 3.3rwirnational Mathematical Olympiad
tan? ?鲈参逶灿б降鉉点C雹椎鉋 参加a>

1.欤ㄆ61 年)5恪牙利国) 7. 柏林ovreig段Ger
2 Democr Oly -0"u,{"c ? a,有具点 P,ㄐ侉0≤x≤2π)边为么条2 ? sin x ? 2 ? 1 1 ? x ? 2 ? 1 1 ? x 2#(南斯拉a?o宰a、如求
? x? y?za襵? 2 a11 ? ? a13 x 2 0? zy77f襵? 2 a21 ? ? a23 x 2 0? a ? z a ? z a ? z 0? z31 是3匈牙33 3
为中Ax1点x2点x3 未知。虾 C刺 种遣拍芰24thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?飧鯽、a22点a33 微 A钇算 P其余虾 J歉含令扑显谠谌皇
? 中,虾 5暮通钦保加O? b该
? x?只内维C 解 x=x2=x3=0ɡ迹
2 2 2唤程 和 四面体碌谆蠥杏邡足底默嵌绕涠晕c满足省R烀1P, 杏邡足底模 c) 为,夹角;亍K拿嫣瀣下底谋 C Qε环治讲糠只和 Qε CD; b杏邡足底。杏邡足底模 和 Qε徊 c) 。比;齥。 点党饬讲糠郑 a) 之拧? 斯洛房耍 6. 一各一有具有下么条才能。耍圆: (1点x2点x3点x42P它们中N何三圆 5某嘶硬⑶ㄋ脑 5暮投2; bP裰鞯滤樟叨 和 ABC。 OAB积为中∠AOB切 A。 邮 的澄意选除 O 外斜坏恪Y 是 B鯩屑涞 OA满足OB亲鞔筧C娲 足,的公沟G ABC。 O械愕拇剐模H=4,b= 与 质的o段б魄笙叨 P H! (捷克飧龅某我钇算 P ABC。 OAB吣诓哭马尼亚) 6. 两个器等 和 一点出了解吩布淞╪≥3览C慷栽谥毙灾 上舌笼币为詃 微 庑┫叨沃凶畛さ 叨 a,丁?我们,C逶d 就ㄇ拯梯秀原集哼是帘径ɡO? b在点出。使。集哼中,丁为!O叨沃炼嘤 n 条ɡ迹
2 2 2
欤ò61 年)6恪牙利亚) 寻 Bra苙aiafmaniBul
1.1n ? a, 3 写维裂>
斜鼻形的 P1P2P傺览 5. 正方程AF、BC从正四面体小冬并且别是到各且经 c) 之和小 从空吉中坏恪户迭底的各且经; c) 之和<永牵

罢沂棍一AF、BC对 我 n 都是2P褹 我唬 (2 1?k?鞯聇=0,, ?自龋籯 微 暑 α 直性 2ter1 是? 2 ? ... 2 ? cocu? 0
蕂cu2 n x 四纤估璦?o宰? 1 1 ? ? 1 4 x ? 1 1 n x
5词 cos x组梁2 a? 2 a1 ? ? a1 2 a3 x 2 a? 2 a4 xax'
?
? a1襵? 2 a2 2 a3 x 2 a ? a4 xax'
?
2 a1襵? 2 a 2 a1 ? ? a 2 a4 xax'
?
ax' a1襵? 2 aax' a1 ? ? aax' a3 x 2 1
为中Aa1、a2点a3点a4邮 四圆不数。: #克 斯洛房耍 6. 一个圆譇、 ABC。 (校琄、L纂其对39;DC雹C值悻一侧内蚕 AF、 ABC。 LBK譨)CLK涠兄辽倌谟 c三 三条边肧。不大 ABC。 (谢侧饲 P之一ɡ迹
2 2 2
5thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?欤ň61 年)7恪牙利南斯拉a? 采蒂涅(CgSeinje QYughalav1n ? a, 3。衜肃边形碌啄中, B=aα AD=是自∠ BAD=在以且 ABC。 (D 游 A ABC。 AF、:当且仅当

? c 3的. a 3 ? 1 A c2P褹医点C点C雹座的体心,半径证1徊嗨脑苍材芨哺钦荨Pm肃边形? 斯洛房耍 6. 一 a、AF、:只内一啼面大 b1徊嗨拿嫣 a) 不大 er1 ɡ迹
2 2 28. 匠涛k,gar数) n 都是颐刺跞m+k+ 惺 切圆大 bn+ 惺橇尸令詂=wo(s+1) AF、: 擞. 一(cm ? 2 ck )(cm ? ck )...(cm nzy ck )匈 整乘积 c1c2?cn疑痰权兰饕 ABC。 0B0C0满足1B1C1 游 A ABC。 考虑算 P与 ABC。 1B1C1 相似且又交 ABC。 0B0C0碌乃 ABC 形碌(即的高长包 A0 Q A叱ぐ B0 Q怀ぐ C0沟盟怨乖炀呙刺醮瞬拍堋CS。最大和蓉BC。 (匈牙利恪C抛 试5词考虑y衶cn}积为中

c? 2 a1x' a1 ? ... 2 a8)A=2 ? ? a1 ? a1 ? ... 2 a8 ... 解穋n a1n a1 ? ... 2 a8)
...
为中Aa1、a2点?点a8 游不读篇镰;: #慷绻鹹衶cn}中内无穷多项2; b0 Q直 档 P9穋n=0碌 n 都是遵主德苏 联二扶圆 3 写卧硕嶂校 n 天内哩n>1) Z舶浞⒘私m 块奖牌ɡ在(19天,颁发了一块奖牌褹 沂c确m冉细鲋蠥的er1 是;在(二天颁发了两块奖牌褹 沂c龋; 来死嗤屁涝谧詈笠惶旒吹 bn 天 Q郑闳,╪ 块奖牌labe颁发完񾁍 y V1问该运动会共进行了几天 Q Z舶浞⒘硕嗌倏榻迸疲磕幔 4. 试届(十61 年)8恪牙利苏联 莫斯科(Moscow,Soviet UnMat ? a,AF、 P且仅内切圆三1P2P出与原保篇连续 暑谇懈鼋墙潜硪桓鼋嵌说惚掇马尼亚) 6. 两窤=2一直有具有下 n 都是2P其字的平的乘积2; bn -10n-22悼 斯洛房耍 6. 一附程考虑 种浅
? x? 6thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?ax1 ? bx? 2 3S ? ?2 a? ? b? ? 3S ?3 a?)A=
2

?A=


...? b?
2

? 3S ?


acos x?
2
3S ?1
为中A1点x2点?点?
2是未知际瞵c 为三角形: B阍c 0ɡ为从=(b-1)2-4acɡO? b对拯梯

? x? 飧靓<0 Q无 ;扑 P婴=0 Q P且只内一个剑黄讼在Δ>0 Q P一个以并且解ɡ永牵 寻找使饕籄F、N何四面体上直性一个且经有一形腰该且经;,其面可构确切圆三1P2P侧,保ɡ迹
2 2 25词设窍 珻逵蚝椭涤
f ( ? z a个 er1 ? 1

f ( ?个 瞗 ( ?)ㄊ凳

1

a个O? b函 "f窍咧芷诤 @热纾致矍性舱蔽b 幸欢冤 点 P ? 么条萬(x+b)=f(x)览# P,b=2,较 c h°出切圆非常值函 5睦印#德国) 7. 一个圆对 我 n 都是2P直 岛 y?z
2
2钚2 ?
2

?
?z
2
2?
?z
2
2小2 。5掠. 一?
?z小2? 2 ? ? ? ? ? ax' ? ... 2 ? 2小2? 2 ? ...?([x]表示不大 b程式最大 暑 ? zy ?
?z小20? z ? zy ? 已值谑61 年) 罗马尼亚 布拉索夫) 账固豲v-btnth-nia)
1. 2. 找砄? b对坏恪正整际 满 我徽是定么条:字 z=n4+a卟幌咧尸痢#德国) 7. 一竌、为詂, aP2P?自"nz为: =夥匠蘹z为: 1淞恳郧

y ( ?)齝 3的( a1x' ?)齝

c的( a
2
?)齝的( a ? z )齝的( a 2 x)齝 ? ... 2 ?遏萬(x1)=f(x2)=0 QO? b对盂切些整际莔 性 2 2 2 2
2

2 x -x=mΓ裰髯 4. 试捉程自然 性步ka.g9552,榭, 4, 5钤下有具 a>0 应么条的充要才能咙有一粗论切圆四面体积为中Ak细霰,蔷制溆 6-k细霰 a,丁均将1蘼砟


1槛一褹医作正帘径作半且沪猫繡#39;γ庋〔皇 b新阋徊嘤 c间,D 游蛭 酵徊啻筧V贝棺线 我们形 A圆圆;γ1、γ2点;γ个譨 1P, 杏 Q切ɡ在您可以γ1 游各斜边小冬并且 著;γ2满足γ个譨 1P, 底暮驮;γ 相切T且蔚悖1P, 底牡牧交长 a ? b γ1、γ2点γ个还内切条公莔a^马尼荷

1.7thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?叨 和 虾 一解吩布淞╪>4沟盟谢点∪谥毕吖蚕 a ? b至少内 ? 中的四圆。5鹿晒哦鲈睞F、BC对 点 P: (1点x2点y1点y2点z1点zP2P为中Ax1>0 Qx2>0 Q襵? y1x' z1x' 0亲圆? ?y ? zz ? z0亲悦刺 V2J)A=2 y?z
2
3x ?细鐾顾啾咝挝 揖愠觥J蛊? z ?

8 是? 出 a 和 (彩凳 拍荞主德苏联二穢 ?2 2 2 ( ?1x' ?2 )( y1x' y ?)齝 ( z1x' z ?)襵? y1x' z1x? ?y ? zz 阎第十1960 年7 罗马尼 维斯普凯斯特海伊(Kcalyary)
1. 设 a, 邮 ABC。 (谢侧的澄意选边N何一间,r、r1点r2肫涠39蓉BC。 (匈 MBBM边小冬并且的半径以q 游颥一外旁并且的半径舀即洮一长相切T銫值鉉一侧延长馅上 嗲蟹直鸸得它类似的, q1点q2肫涠39任亦交于外 旁并且的体心 AF、:

r1 r2雛齝 ? 蘼砟


1紂1 q2雚

2圆譇、詂 为三
2是大 b1徊 暑阍c  潜吒黾剖低成稀!Pn冉销足
2是? 进制数niBn冉销足B
2是琤 进制数n豁与们。联系如求梁2
2' ?n xn?1...x0 ,锳n?12' ?n?12?n?2 ...x0 ,锽
2' ?n xn?1...x0 ,锽n?12' ?n?12?n?2 ...x0 ,?
2
0, ?n?12用 aO? b:当且仅当 a>b c有


2'1锽
2'12用蘼砟嵫牵 6. 两赶
2B


匠蹋 (a0 Qa, ?自ag段?么条才能:1=a0≤a1≤a2弟?≤an弟?。并字 b, bP2P?自bg段?被 珻逦

bn? zy (x2 1小2?




a小2? 1 )#a小ak

a个AF、对 点 P 定内 0≤bg都2悼薞1=kV2c 么条0≤c都2 QO? b对盂足够大,╪ 粗论么条上面要求,╝0 Qa, ?、y、bn>cɡ5氯鸬鋙宰饕恢庇芯哂邢隆 2整际亲幸患遻n,bn+ ,bn+2,閚+, n+4, n+5}可被分拆实蔬个子集哼面然数子集哼分豹素的乘 积相等傺览洛房耍 6. 一高段 A四面体碌啄中,∠BDC#39角形。 偕枋挂D 到 和 Q斜边小垂aV贝棺 HS胃餍北咝〈剐倪 AF、: (AB+BC+CA)2弟6(AD2+BD2+CD2)出 a指顶介况下 P 点 (彩凳S利亚) 寻找使鲈沧赌谙和 一有5, {吩布淞 坏恪三第直线共悉 a鯝F、由 庑┑悖揖腿谺C。中至多有 70%游 A ABC。 鞯滤 联二

8thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?值谑1961 年7 匈牙利孤宸克) 6. 绽桑?ieig zec.halovak1n ? a,O? b下面的说法 Bn=个或Bn=5 cㄇ正确的,而等 У蠡 bP碌 n 都是2是错误,蘼矶绻?, aP2P?自"nz为坏恪已知关那么(a1-a2)(a1-a3)...(a1-an)+(a2-a1)(a2-a3)...(a2-an)+...+(an-a1)(an-a2)...(an-an冉)≥0ɡ迹 4. 试2圆宗 c有 9吩病 稟, AP2P?自A9碌耐苟嗝嫣瀣P, 若将、D 稟 移至 Ai c则琍Z C移,的i(i1 32P?自9沟盟最证 BP, PP2P?自P9 中至少内点的洁面体性一个为 p内蚕 鞯滤樟k方程AF、BC宗 c由斜苯bP-3(k1 32P?砖组成。整际。集哼包 宗 c然数豹素聊距互位数无限子集哼蘼砟


1槛一四面体碌啄的算 P面数, A ABC。 我们,C逍稳〉愕ZTX碌乃斜蘸隙啾咝温肪度缜罅航窍咪怀ぱ〔 数 b新阋徊嘤) 求类似地积Y,Z,T肫涠39的长蔚鉉椎阕A尾嗄诓线 AF、蘼韆个剁果∠DAB+∠BC椎佟系譇+∠下担啬敲丛谒 P闭合路径动中面然内;并,丁?算 P 绻螪AB+∠BC=∠底A+∠下担啬敲唇谖奘渥疃搪肪2P它们 a,丁数,bP挛意? 1. 已4. 

α=∠BAC+∠CA+∠DAB蘼砟岷设

15词O? b对盂 我 n 都是gar都粗论切圆等分别虾 一的性洲点集) 翟么条质的才能梁对 S 中的然数D 稟它摹 好有莔 数 S 中的底的蛑屑洌 c) 为单位长ɡ永牵 寻找使銎矫 A=(aij)(i,j=1,2 ?自龋┑ 赌谟厥歉赫省7秸蟆 偕栊砸桓鲇 aij=0 Q那么 bi 行分豹素和 bj 列分豹素的和策段 bn AF、:拯梯

阵,算 P豹素的和策段


2#(瑞典o宰2 y第十四61 年72匈牙利

托伦(Toruń,Poclad ? a, P.梯滑的正数。二的平 AF、必可从中选出零的的正1V弊蛹幸煌饨釉沧蛹械谋刂拖嗟荣牙利苏 联二=2一kV2n≥42P藺F、然 性苍材炙啾咝味加梅址指钊份(圆圆默又肃边形蘼砟岷设

1捉程kV2m、nz为坏恪非负整际 AF、:

( 2m)!( 2n)!窍哒兽马尼0!A=2得寺英. 一竚!n!( mzy n)!阎佑芯咧适

? x?且解(x, xP2Px32Px42Px5沟盟 x, xP2Px32Px42Px5窍哒 #

9thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?2 ( ?1 ? z 3 x5 )( ? ? 3 x5 )? z02 2 ( ? ? 4 x1 )( ? 2 x4 x1 )? z02 2 ( ? 2 x5 ?2 )( xax' x5 ?2 )? z0亲岷设

12 2 ( ?ax' x12?3 )( ?5 y ?12?3 )? z02 ( ?5 y ?1 ?4 )( ?1 ? z 1 ?4 )2用 a
5词妙 f销足g上给定 C逶域销足值杂蛳都上给实 (集),ê (2P滩⑻自 于娜 性 ,ㄐ销足y隙忌满 足╪ 式

f ( ? z y个 瞗 ( ?x' y个 2瞗 ( ?)齡 ( y个 AF、:剁果琭(x)案)悖0 Q对 点 P ? 定内 f ( ?)齨 是自那么对 点 P y隙
内 g ( y个n 是ɡ永牵 寻找使銎 和 四圆不数。。衜虾 QO? b粗论切圆正四面体积与原、D 其对在您四圆虾 一。5掠. 一 y第十五61 年7点⊙览樟 莫斯科(Moscow,Soviet UnMat ? a,D 稯 A1P, g庋』扑OP 1 ,镺P n ,...,镺P
2是单位向量以著;P, PP2P?自P定碾 g獾确直鹣和 足都论 g獠嘤诓 a ? 明,b=数) , c h镺P 斯洛房耍 6. 一12用OP n ? ... 2 OP
2n 是ɡ您可 OM 代表向量 OM a,丁?=2一什么 否粗论线 p分别虾 内侧性洲点集)AB 对 M吣诓嗷岛谓釉睤 稟满足襛r都用分论 M 中有的N何叫蜠 稢雹 有一 杏邡足底摹Pm但不重哼蘼砟


1
⑺的牙3一有具有下: (a满足什有一os x ? z acos x? z acos 1x' 0侵辽倌谇性彩蹈a=4对 点 P这妖。对(J沟盟芯. ?y ?
????. ?y?. ?y?
????. ?y?. ?y?
?. ?y??

x2 y btP碌 徊⒃讪溃德瑞典o灾 性彩勘枰谘菪伪叩娜醣 蚰谔讲 P没内地雷2P他的扫雷器的半径 ABC。福直切半咙涌兵从三 三条边一个腔 c具
㈩韵挛识绻瓿扇挝袂匠尚? x疃痰奈Ω米咭毖B肪2磕崮纤估璦?o宰5词G惺 切圆 珻逵蛭 < a形取礷(x)=ax+b( 衔 #┑浅V岛 5募呙孀阍G 么条蘼韆个剁果 f销足g啥悸 G吣谧阅敲 g 瞗 也论 G吣谧荒 ( g 瞗 )( ?个 瞘 f ( ?)
2? P 绻 f 论 G吣谧阅敲从朐春 "f且猜 G吣谧荒 f(x)=ax+b碌姆春 #琤f2? ( ?个 2 x ?b#aer10thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?显诙冤 G吣诘娜 性步f 直性 性彩 (衒 可y、f(xf)=xf。F、BC粗论切圆屎 (k诙冤 G吣诘牡 P f f(k)=k。砟


1荐平设, aP2P?自"nz,b(圆 A钤q 游0碌 是动时侧于 c点,;: #坑械腷(圆ū蝏, bP2P?自bg灿兄刺蹀马a个对 k=1,2,...,定内 ak<bk黄算 P对 k=1,2,...,兹较定内 q 2 b小2? 1 ?鞯扑鉱雚

显赽1x' b2 ? ... 2 bn? er1? q龅氯鸬鋙宰(a1 z a1 ? ... 2 an )#1? q y第十六61 年74恪牙利国) 7. 埃尔福特ovErfur-niDR Ger
2 设 a, A圆玩家玩游戏ɡ在三张扑克牌上其对写上 圆 A 暑∪波蔽p点q点r 么条0<p<q<r。扑克牌被洗过并趟婊峙涓皇婕摇C渴婕腋髯约窍虏⒐贾械挠 P,牌的经樱?痘后再次洗牌;计数依旧保留。该过 x (洗牌、发牌、记y┙泄辽倭铰帧W詈笠宦P之后 P 摄 Z残 20碌淞珺 性 10碌淞珻 性 9碌线 在最后一轮阋换竦昧私r碌线 问在(19轮谁获得了絨碌淞磕崦. 一2一论 三 三 形碌 中2P ? 明洮一长庋 粗宦 使褼 有 一 底南咪暮 D一侧 几 何 C 均 (侧 充 要 条 件南)A=C迁烙利芬

1? 1 A? 1 B z ? 1 1

匠藺F、BC平方

x ?2小2 1 ? 1
小2 a
1. 2n2 1 ? ??

3k

M 龋魏握是住0隙ú荒苷5疑痰权兰尼亚)

a) A ?涌悸 性步8×8ú嗥迮 P确輕 圆不重弟。柒接并么条蘼韎) 每数柒接直性铸数数目的黑格子与白格子ɡ觟i) 剁果?i 堑 bi 数柒接的白色格子长 波弊阅敲 a1&st;a2&st;?&st;apɡ佑芯哂邢驴赡懿 p淌阶畲笤讪蓝冤 拯梯 p淘诖裁吹 P可能侧y孝c, aP2P?自"pɡ永牵 寻找使5词什么 S 点 P可能侧在船为中Aa 为三健邮 点≌ #

S

xx ? ?
?z揍荷

1莂?b?d a?b?c b?c?d a?c?d

鲈睬三角为非常值。整虾 6嘞瞑匈讯绻n(P) 算 P么条(P(k))2,较寄不数整际切≈ 波弊訟F、BCn(P)allg(P)≤22P棠 llg(P)表示多项ㄐ肥荡拇维哩溃德瑞典o灾
11thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?y第十七61 年75恪牙利亚) 寻 布尔加斯ovrgasniBul
1.1n ? a,侨齲i, y(亲蕞邮 屎 G颐刺跞1递x2递?≥?
2銀1递y2递?≥yn。 (罗 剁果瑉, zP2P ?自 z
2是瑈, yP2P ?自 ih.r1,2,?自 y(n被点慌帕忻婺敲葱 斯洛房耍 6. 一4 ( ?ix' yi ) ? zy ( ?ix' yi ) ??
ix'1bi '1b 解

2圆设, aP2Pa32P? 切圆 A 适耷畹菰鲂蛄楔繟F、BC对 每数蝡递较定内无穷多数蝍m 棵分写确輆m=xap+yaq碌男北2P为中Ax,y邮 A 首阍q>pɡ永. 一附程 3坏恪三BC。 (汹外 三BC。 (RniBCP Q AQ 按如求构造:∠CBP=∠礎Q=45′连∠BCP=∠ACQ988′连 ∠下R=∠BAR=15′ɡAF、∠QRP=90∠足訯R=RP蘼砟岷设

14444槛一,b=4444加檬6剖硎 c h与原乐的平的和,礎ɡ为醋髡中寄乐的平的和ɡ男具阋徊嗬值钠降暮通烙利新阋欢檬6票硎巨马牡盟滤樟叨问裁 a? b在切圆半径证单位长分别周上是否能有的b1975阍睤 根与们边边弹时侧 c) 数,有理ɡ5滤樟鲈灿械牡 P多项ㄐ肥 Q P叫变量以并列性质的三位蘼(i) 对盂切圆 A 蔮 胶偷 P: (-nix,y佣 P(tx,ty)=tnP(x,y)灯(ii) 对 点 P: (a常使 h定内 P(b);
c,韆个+ P(c+ a,算 P+ P(aP+ b,讼在=0 扑(iii) P(1,0)=1蘼砟嵊. 一 y第十八61 年76恪牙利奥地利 利恩茨)Lienz P c.c.1n ? a,切圆虾 凸肃边形。肧。是3P2P两条交于和切条 AC 上 a,丁的和ㄇ 16。什么表一条 AC 上点 P可能侧蠖。克 斯洛房耍 6. 一竌、为訮1(x)=x -P2PPj(x)=P1(Pj-1(x))出j1 32P?。吮取B 对 我徽是鬃云s x Pn(x)=x徊嗬a 滑的正数。: #克 朔诣

1冀程 性铂瞧饨印O渥涌梅钟玫ノ涣CD-填满傺剁果用 a) 正騊碌牧CD-尽量多地填充箱子咙有每数毕偶与射子碌谋 CD2P那么恰好棵分填充箱子斜40%。什么拯梯射子点 P可能侧寸规穆蘼砟岷设

1槛一什么和,1976╪被舾稍 A 适嘶2阶畲笤诖 a? b。5鹿. 一5词考虑 种浅
? x?2P为中Aq=2pnix, xP2P?自xq髡粗暑2 12thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?a襵? 2 a11 ? ? zy a1q xq' 077f襵? 2 a21 ? ? zy a2雚 xq' 0莦 a p1襵? 2 a p1 ? ? zy a pq xq' 0
每数虾 aij 属于 <瘂-1,0,1} a ? b拯梯

? x?内一个剑(x1 xP2P?自xq)么条蘼韆个点 P,ㄐj (j=1,2,...,q)数, 暑扑 P至少内切圆值詊 市一 xj 0黄讼在x詊 ? q(詊 ? 9552,?, q)#德荷

1荐圆y衶un}被 珻逦

51 u0? z , u1 ? , u
2'12用u
2(u
2'12用2个 瞮1 ar蕆1,2,? 1

AF、对 正整际亲ㄓ

?u
2' ? 1

2n2' ?1? 3



2P为中[x]代表不大 b程式最大 省#德英. 一 y第十九61 年77恪牙利南斯拉a? 贝尔格莱德ovlgrows QYughalav1n ? a,形边的三条洮襅、BCLCD譨)DAN龅妊AMCD、 碌啄嫩各 ? b KLL为底Na) K 四 叨 a轨迹阆K、 襅、BLCLC譨)D譨)DNa)AN稣獍瞬 叨 a轨迹 切圆 A十19边形侧y19圆、D 蘼砟岷设

12一论 性彩 J尴辻兄忻婊点』吒隽2暮通歉含令婊点∈桓隽2暮通钦 #渴裁凑輞欣镒睿门侧y马尼越南一附程 憾 数)大 bP碌那性 暑琸V2
2是整际1+kn(k11,2 ?砖惮集哼蘼 性彩粲2
2侧y gar剁果不粗论蝡点 q∈
2市一 pq=m2侧话就称形 m宦
2帜 V可分解ɡO? b粗论切圆y r∈
2棵分有多种方式表示成论
2帜 V可分 c侧y略兀ǔ嘶谢艚鼋鍪 球y滤承虿皇游直鹬址纸饫利。D岷设

1槛一譇、耍圆:常量 a 为三值鉉2P褹 f (y )2 1 ? x ? 2' ? b ? 1 ' ? Ax 的方' ? B ? 1 1用蘼AF、BC剁果琭(θ)≥0 对点 P,: (θㄊ凳婺敲葱 a2+b2弟2满足A2+B2弟1蘼砟嵊. 一2 2 5词譇、詂 为 微 A整际蘼,b=2 +b 除褹襛+b 后 P商,祋 Q 嗍 正騬。有的点 P,市一 q2+" t977恪 2整际对(作) 5鹿 7. 一个圆譇、 f(n) 一个腔C逵蚝椭涤tan? ?欤19十61 年78恪牙利亚 布拉索夫) 账固豲v-btnth-nia)
1. 2. 找譇、詍满足然数。 (弊阍1≤m&st;n。介慨6浦忻鎡978m2侧后 N:N 字鉻978
2侧后 N:N 字铸数ɡ男具市一 m+n 徊⑿北m满足然在ɡ5鹿虐鸵桓2一角形球内一 珼 蘼,其鲇肫⒊觥;フ怪叩纳湎哂肭蛎嫫涠 Q1, 使襏、V、W;Q 代表由 PU、PV、PW 决腔 汀Pm六面体中A实茨相对原、D 蘼AF具愕愕埂 (捷克斯估. 一附程所有正整际惮集哼 潜吒龅恼1V弊蛹瘂f(1)出f(2)出?自f(n)出?}积{g(1)出g(2)出?自g(n)出?}寄并集咙您可 f(1)&st;f(2)&st;?&st;f(n)&st;?出g(1)&st;g(2)&st;?&st;g(n)&st;?出褹 叶冤 点 P 椎萁隙 g(n)=f(f(n))+1蘼什么 f(240) a冠ɡ5掠. 一各一在三BC。 (汹中面 B=我嗦 性灿 ABC。 1边小又交于冬并并蜂对边洮胰于 N圆球的公沟F、BC, 的中点的轨迹 ABC。 (谢侧冬并且分别是。5鹿. 一. 絘小1 5词令{ak}(k=1,2,3,?,n,?) 不数正整际组成。y楔繭? b对 点 P的 n 都是子定内 z ? zy ɡ永. 一感2? k感2? k糕

鲈沧赌诠蕏?织有来自六圆不数国家 aI员。I员列表上挡有 t978阍裁只啵1,2 ?自t978蘼AF、BC至少 性 性铂稍钡谋嗪攀抢醋运直鸸 a У吒霈稍钡谋嗪2暮筒欢蛘苯抢醋运直鸸 a 性铂稍钡谋嗪判北点倍蘼砟岷设

1.欤19十一61 年7 罗马尼英. 伦敦ovLondat 琔nMted Kpx;dom设 a,b 蝡满足q罴蚍质n 都事忝刺

p 是? ? ? ? 蘼AF、BCp2棵整除97 律痰权兰(联邦 7. 一

?
?z?
??? ? q难3 4 1318 31直2圆宗 c棱积。顶面是五边形1A2A3A4A5钤 。 39;D1B2B3B4B5傺劳饨釉参灞咝蔚娜黄涿婧腿黄銪 上任iB永 j=12P ?自 j i点 5沟盟煤焐蛘甭躺派C科涿娑急蛔派腿辉病 简分棱积。顶经;,BC。定内点边被涂选不数侧颜色。 吮取上 A&#面的算 P 10缕涿娑际欠直鹧丈 利亚) 寻找使匠 3虾 一有接圆心 Q15G三A 俏 性步械恪c向中间数时具
⑽ a□ 趾闱 退
14thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?饕坏悖珻 和 Qπ面 使襊鞯 和 Qπ庋』 使襋卟坏 和 Qπ庋』 有的点 P 3虾 一。使襌niP其比值

QP ? PA涡畲蟆#德估訯R

. 一5词找碌 锐 性 满 足ㄌ 件男北实 (aα y、一 粗宦 非 负笔 (?12自? ?自?3?自?4?自?5 满 足ü 系

?z衳1小2?

51?k. 艘圆忻 ? , ? k方 x小2 x2 , ? k5 ?小2 3 蘼1小2?感2?a
5a
5a
鲈睬三新鉋惺 切圆正八边形一的姐的相对、D 蘼别只青蛙从、D 稟 开始起跳。它从除舅駿 A外斜坏何一圆、碌淞赡芴木嗟南嗔谇揖唬岛我辉厕,b与越达、D 稥惺c h青蛙停闳来并留在您可担侨"nz为恰好╪ 次跳的稥校洌徊皇飞 a总际蘼 ? b ?2n冉=0 Q

A=
2
er1
2'12( ? z y
2'12), n ? 9552,3,?2P为中Ax z ? z ?自?
2. ? z2#1

注遥籦n 次跳跃。路径是么条质的才能原、D (P0 Q?自P邹┑男蛄修马i) P0=A它Pn=E黄薸i) 对 然 性步i(0≤i≤n冉沟盟黀i之间E 不数黄薸ii) 对 然 性步i(0≤i≤n冉沟盟黀i助足Pi+ 惺 嗔诓唷#德联邦 7. 一8&s 罗掠摄1靼旃晒哦∕ongC8Dn ?资金不条蕃IMO 未举Dq纸欤19十1960 年8 匈牙利估. 华盛顿特区ovWashpx;to2 D担豒nMted Staith of Amerlym设 a,角形 P1P2P3斜边内 直线 椎鉋、F2是荡嫫涠 ;DC雹C值悻一作的垂aV贝棺线 有的点 P,使以 P

北 A攥一侧值 徊ⅷ溃德英. 一? ? PD PE PF
2圆设1≤r≤n连考虑集哼{1,2,?,n}侧性絩赂鲇刂弊蛹C渴蛹毙 性仓 徊⒌谋亘牢F(n,r)代表 庑 徊⑿眣滤闶酢 (校 ? b F (n,絩赂 2
2'12。5铝 7. 一竢齝?a
匠淌裁 m3+n的的最大在船为中Am、nz是么条 m,n∈{1,2 Q?自8&s1}及(n2-mn-m2)2,较寄整际蘼砟岷设

1槛一a个,b=数取哪些值蔯 ╪>2沟盟 性灿 (圆连续 首槌伞<呙嫫渥畲蠛捅厥 剩闳,╪冉细鰕 徊⒐ 2嘤騳浚 P,b=数取哪些值蔯 ╪>2沟盟么致矍性布呙刺醪拍埽磕岜壤c 桓5词三圆全怠的于 砸桓鑫 pD 稯船 a处盂切圆,BC。嫩各然数辈15thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?(2)萬(x+9550个= f(x, 1)称(3)萬(x+955y+=)=f(x,萬(x+955y)) 什么 f(4,8&s1) a冠ɡ5路诣

1届(19十1961 年82匈牙利 维斯普布达佩斯ovdapth-niy)
1. 设 a,函 "f(n)腔C逶谒 P正整际亲笆毙胰⒃谖歉赫狮牢硗猬 对 点 P斜眒、nz内 f(m+n)-f(m)-f(n)=0龌駼12Pf(2)=0 Qf(3)>0 Q褹 f(9999)=3333 什么 f(8&s2) a冠ɡ5掠. 一2圆非形的 P1P2P1A2A3碌谋呓1、a2点a3(猧 Ai稀6悦婊利。对 点 P斜.r1,2,32PMi 浅も猧 a轨迹,Ti ABC 形小冬并且与长猹i a切废 ,c Si 表示 Ti蟧s 2三 Ai稀=恰 諦 上,。使蘼AF、BC 都通1S1、M2S2点M3S3喂睤 蘼砟岷设

1冀程考虑 性裁刺踔实囊螅尴拚 衶xn}缓x0=12P对 点 P i≥0自xi+ ≤xi裰2 2 x0 ?n x1 ?a个O? b对盂然数这妖。y辛 直性 性睬住 惺幸 ? ? ? ? ?1 ? 3.9992。?12?2 xn2 x0 ?1 ? ?寺苏联二2 1 ? ? ?
2'12用4 对 点 P巫ㄊ凳 x这郑ú列ɡ?12?2 xm2 b)灿械那性部梅质寡知从AF、BC剁果琻z是 圆 A 暑⒛芄皇筼s x ?3-3xy2+y3=nz内切圆 式猓▁佻y沟盟敲锤贸
? 有至少仁组整际墙猕浪比,b==2&s1惺c
? 无整际解ɡ永. 一5词正六边形碌譋F稀6訡 上任意愕E肫涠员颍何选 肫涓钍毙矣

螹 CN ? ? r2。剁果三譨) 牍蚕ぷ圆钟贑E

AF絩碌a冠ɡ5潞设

1荐圆侨齋 浅ぃ笾, {贰 2柒接,L 潜 S 内部不淘1V毕盗灾 上 A0A9551A2552A3, ... ,锳n-1
2满足訟0 舆洮
2禄重 哼蘼 A、对 然 性灿 S 边界一的 c)P QL2帜粗论切圆D 与档辈 c) 不大 bX 舆涞牡 c) 不大 b12P满足訪庋∥点 X 愕墓辈嗖糠植簧倌 b198蘼砟嵩侥弦籩r1 ɡAF、BCL2帜粗论 a□ X、Y自2 y第19十四61 年8点⊙览. 巴黎(P1.1sniFrance ? a,有具点 P的函 "f h与腔C逵蚝椭涤蛭 A <2P满么条 种且筠马i) 对 点 P正ū蝯 为 f(xf(y))= yf(x)榔薸i) ,b=x→∞蔯 hf(x)→0ɡ迹┯. 一2圆侨率欠直鹣和 一不读怠的接圆心是 P、求諳较鉕P碌脑;C1 愕P碌牧釉步械阍 性厕卤鹛豕ma P、 切 C1 球的12P切 C2 球的 设表一条出 x C1 球2, 切 C2 球礠2悼侨齅 惺 的1Q1 a轨迹,M2惺 的2Q2 a轨迹蘼 ? b ∠O1AO2=∠M1AMP裰鞯滤樟匠蘫V2c 为三角形 A 暑朊潜弑呋ノ花浪比 2abc-ab-bc-ca惺 不能,c xbc+yca+zab 表示的最大。整际2P为中Ax点 ゲ唬歉赫省#德联邦 7. 一窹 是三斜边是 圆形边的三条以ε 潜 ,其B 上任摇C雹C郑òㄒ降鉉点C)纱点 P使。集哼 什么是否对 ε匣郑愕牡恼1V弊蛹釉沧蛹兄辽倌谇性舶ㄣ 圆角形 ABC 担唬病 蘼O? b你原什么。@壤c 桓55词选择b1983 圆不数。 A 暑朊嵌级位 或2; b10旅嫒荒冢魏稳 WP确等差ú列ɡ P可能吗?O? b你原答
16thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?案。@


1荐平设 为三较 ABC条边,长 aAF、BCa2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥02P满什么喝号 (彩凳S利估. 一 y第19十五61 年84恪牙利孤宸克) 6. 颍ǜ瘢≒rague Q zec.halovak1n ? a, ? b 0? zy,并z? z ??
2. ?xy,

7旅嫖蠥x 为互不,非负 G颐刺跞+y+z=1蘼砟崃 7. 一27 y鏊芯呓釉舱是 为2P它们么条蘼韎) ab(a+b)不能整7疑痰人ii) (a+b)7 - a7 - b7恪 整77疑痰取#O? b你原答案。@设

1冀程 3虾 一有接D 稯三值6冤 虾 一不数 bO校洌弧 X它衏 (X)表示阆騉A履媸闭胍魄笾 OX碌慕嵌舜笮ɡ,c 弧度表示垃0≤a(X)都2π) ɡ侨鼵(X)是阍bO械奶逍模 OX

( X )械陌刖兜脑病F和 一的然数D 定拿性洲种颜色 OX

着色。O? b粗论) Y邮幸 a(Y)>0 且该点侧颜色 A圆 C(Y)分别周上也具种。@牵

a) A槛一侨北啄线 圆凸肃边形且諴, 底氖倾詁阶髡本斗直鸩嗲ma!? b当且仅当諴, 北啁足AD CDJc h直 上b阶魇倾詁弊恼本斗直鸩嗲ma!#利亚)

a) A5词设邮 坪 一 性灿 n 圆、D (亲>3?砖的凸多边形的点 P对C 上,丁的和自瞤邮 与原周长ɡAF、BC2
?3? 2xd 1 ' ? n2 1 ? 德股古二?
??
2. ?2P为中[x]代表不超 S虺淌阶畲 省#p ? ?' ? ? zya
鲈参c 为三健樱 ,磷阍0&st;a<b<c<d,ad=bcɡAF、BC剁果对 某些整际莐 舆鋗 性 a+d=2小足詁+c=2gar那么 2,健#利


1 y第19十六61 年85恪牙利芬
约1 腏outsa常Finclad ? a, 性灿诜直鹗 A圆默又肃边形碌啄的的澄意选。四边形的 У 胪庠残 Q切ɡ ? b A+BC=AB蘼砟嵊 . 一2一kV2n、k邮 互位数蕁 都剩琸<n。集哼 M={1,2, ... ,閚-1}中的然数 6美渡虬咨仙1 ?蘼韎) 对 点 P斜眎∈AB i ≠k,i之间n-i 颜色铸数黄薸i) 对 点 P,╥∈AB i ≠k,i之间|i-k蟶 颜色铸数。? b M吣诓嗟 P 字颜色铸数。@舜 寻找使匠套 性蚕 J 适嘞瞑蟹(x)=a0+a1x+?+akxk,) ,林毕惮林笔壳笾w(P)。对 h.r02P, ?自为訯i
17thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?(x)=(1+x)i裰AF、BC剁果琲, i2 Q?自 1 是 是颐刺跞0≤i1&st;i2&st;?&st;ig段那么 w(Qi?a
?訯i ? zy?訯in )? w(Qi? ). 撕设

1槛一 和 由 1985 圆不数。正整际组成。集哼 M2P为豹素諴没内 性灿写蠡 bP6╪敝视騳 ? b M 至少包 宗 c 由四圆不数豹素组成。子集咙为豹素下载是 圆 适拇畏匈牙利股古二5词仔圆于心,礝校直鹦窝 ABC。 (谢侧、D 稟 愕2P满洮一浔C龅俅纹涠越滑 使襅→足 蘼,BC。 (汹鉑BN钡阏 a又交于 Q1, 零的的数。使矣邡足MɡAF、∠O鬃39角形。盟滤樟鲈捕冤 点 P斜: (1,构造y孝x1 xP2P?并为对 然数亲≥ 卸刺 ?n?12用?n ( ?n2 个 AF、:只粗论切圆?12礱冠 幸欢冤 然 性步定内 0&st;xn&st;xn+1&st;健#利瑞典o詄r1
y第19十七61 年86恪牙利

华沙ovWarsow,Poclad ? a,设邮 V2; b2,5,13 斜坏恪整际ɡ吮取在集哼{2,5,13,d}可冶有的距的不数。#╝ 为2P市一 ab-1卟幌咄耆 C 方数蘼砟崃 7. 一2. C 一有切圆,BC。1A2A3潞颓 c)P0ɡ嘉颐牵珻宥冤 点 P斜眘≥4 As=As-3 嘉颐枪乖煲 c)P12P PP2P直2P ?自 市一 Pk+ 惺 Pk 绕D 稟k+ 兴呈闭胄笾,20∠得到 x(k10,1,2 Q?砖 ɡO? b剁果琍1986=P0 Q那么 ABC形1A2A3惺 n 边的三条蘼砟嵘系 一附程 赫灞咝蔚娜辉病 赋值切圆 暑刮逶 适停#慷绻擦 其对被赋值,祒 为互不足詙<0 Q那么执衜a旅娴牟俑觯含磷 x 为互不其对彬 x+-ゲ+y 代替ɡO灰逶彩行 性彩J歉旱模椭馗 执衜操个 什么是否用分论性洲步后结束操个 5鹿 7. 一各一侨点引 坪 一 性补煨模O校终是边形哩n≥5沟的 嗔凇 蘼别圆,BC。点礪连开始 ABC。 OAB 重 哼段现用如求。方蔆移动,BC。 愕Z梁保持 Y、Z 始终在多边形的边界一、X宦鄱啾咝蔚哪诓哭轮 的,b=Y、Z 都走遍多边形的边界时 X 使所形成。 (捷克斯以搏列茅 5词招的点 P么条才能。函 "f h与腔C逶诜歉 惮良笆比⒃谝参歉阂阎厍颐刺蹀马i) 对 点 P斜眡,y≥02P定内 f(xf(y))=f(x+y)灯薸i) f(2)=0 扑iii) 对 0≤x都2z内 f(x)≠0ɡ迹┯. 一个圆点,坪 一 性灿兄薜弧跫皇鼶 。坐标值18thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?古巴 哈瓦腶iaHavag ubm设 a,设n(k)是集哼{1,?自n}侧列性感〉牟欢疍 。排列直数目自n≥ AF、: 俗⒁;b集哼 S ? k zp (k )? n! 蘼1小20b 解

。排列窍 S 中的的当自 杏成洹 中的仔圆营素 i 若么条萬(i)=i 那么 i 就叫做排列牵徊欢疍 ɡ迹得寺联邦 7. 一2.诒 S A ABC。北咧校螦尾嗄诮恰 諦 交浔C龌 bL2P满交 ABC。 (谢侧又交于 各巍 S騆 使形 杏邡足钟诘拇筧#棺 P、求諯→足MɡAF、蘼肃边形KN选 ABC。 (谢侧肧。铸数ɡ盟滤樟2 2 牙3一侨齲1 xP2P?自xnz为么条?1x' ?2 ? ? ? ?n2 12礱: #緼F、BC对 点 P。整际齥≥2 Q定内不读篇0碌U数c,

A ?自ag段 幸欢冤 点 P斜眎趞ai|≤k-1咔

a1襵? 2 a2 ? ? zy an xnzya
(k 2 1)b 睫马尼联邦 7. 一竗
2'1阎覣F、BC没内 性埠 "f h为痘C逵 1涤
第19十九61 年88恪牙利八大 寻 堪培拉(Canberr c.c.a8Dn ? a,考虑接圆衟分别虾 侧分是 玻刖吨っR→足r(R>r) ɡ侨切涡≡惨 性补蹋 c连B 是大圆一的仔圆动D ɡ贾P, 盤龌鼓氪笤 点;亦卤P龅拇筧 l 形腰 c)P Q与小圆1, 另一使医担@绻l切涡≡膊嗲maC婺敲 值闶荡嬷 哼蘼迹得i) 男具阋C2+CA2+AB2 a点 P可能侧在担i) 男具阋C a轨迹。 (罗马尼熏森堡一2一设奈 A整际分 , AP2P?自A2n+ 卸际羌 一侧子集。 偕柁马(a个每数维
2都恰好有 2n≡灿爻扑(b)裁渴琲∩Aj 年≤i<j弟2n+ )包 正好仔圆营素称(显贐 諴,然数豹素至少属于叫维i±下问对 隐时妖。1涤邪旆ńB 諴,营素数标选 0龌駼1邮幸幻渴琲隙忌恰好包 n≡脖牝0碌1亘浪 斯洛房耍 6. 一3一函 "f乔籆逶 A整际集及时幸对 点 P正整际亲贐C2 f (1)b? 955f (3)? 355f (2n)? f (n)55f (4n2 1个 2瞗 (2n2 1)? f (n)55f (4n2 3)? 35f (2n2 1个 2瞗 (n)
什么么条才能。正整际亲 波弊运位 或2; b1988时幸有 f(n)=n。@. 一 19thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?饕凰比∶刺 V2J剑利爱尔

1紋 ? z k 2 4 a点 P: (2惮集哼 堑恼1V鼻辈嗖⒓仪辈啵∥1988蘼1小2?7 a
k. 5a
5一在三BC。 (汹中面 39角形,D 游蚰高长一的福直垂紫 ABC。 (D A底牡哪谑嵌说掀涠越坏某我三钟诂 使襅、LS 鉚肫涠员硎荆珺C。 (汹鉇KL 剩肧。ɡ吮取 S≥2Tɡ 讼@
1荐平设满足什微 A整际分足詂b+ 猩痰人a2+b2道吮取

A=' b2 是 圆 适 匈牙利联邦 7. 一竌b 2 1届(19十61 年8 罗马尼联邦 7. 布伦瑞克ovaunschweig常FR Ger
2 设 a,O? b集哼{1,2 Q?自8&s9}可冶表示成当些的正1V弊蛹琲(i11,2 Q?自817沟的并集咙且么条蘼韎) 每数 Ai习ㄒ17≡灿爻扑ii) 每数维i希 P豹素的和都是铸数。傺览坡杀崩利2一论S A ABC。北咧校 A尾嗄诮恰 諦 还交 ABC。 a又交于 b 使褺1 愕1 也类似这妖腔C宓G三A0 AA1 请三 于三 边小又角。 諦 直叫点 使褺0满足C0乱怖嗨普庋籆宓F、BC胕) ABC。 0B0C0隆CS。是六边形C1BA1CB1 肧。端点倍蘼韎i) 冬BC。 0B0C0碌拿S。至少 ABC。 (谢肧。端肃倍蘼砟岚舜 寻找使匠躺琚n您足k 微 A 暑琒z为么条质的要求,ㄢ吩布淞C胕) S 内斜坏恪三第直线共悉黄薸i) 对 S 内斜坏阈 c)P宦 S 中都至少内 小的D 与稻 c) 相等傺繟F、BC眯21?是荷

1家 2n∞马2r1 ? h 是? 2 。@豪利AD贐C阎忧三斜弊南咄顾啾咝位某我三肿点母呙刺跞杏=鸄D+;DC崩在肃边形内粗论切 c)P Q c) 諴, 底牡 c) 髡h面足訟P=鹔+;AD连BP=鹔+;DC崩吮取BC2 5一AF、BC对 每数正整际亲蕃粗论 (圆连续。 2整际2P为中没内质,整际幂。@鸬鋙约銎阶性布遻1,2 Q?自2n}侧仔圆排列(x1 xP2P?自xm)出为中A1 是 A 暑绻冤 集哼{1,2 Q?自2n-1}中的 至少仔圆眎 ?ix' ?ix'1 ? n迹退邓行允粜缘墓浪比《冤 每数巫,拘性属性的尾嗯帕斜炔痪行允唷#利


1 y第19十一61 年9 罗马
20thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?上 北京ovijpx;分 hpxn ? a, 性灿诜窒阍A于愕啄 A圆默踊 使褽=4侨齅 是B 上菶一侧内蚕 S駿校渥餍窝 c)椎鉋、M a别侧莔a2P它肫涠越恢P, 北啁足AC龌 bF您足G。剁果

EG 螹 ɡ迹┯《
1紋 t迹钟 t祭幢硎 EF螦B

2圆设≥3垃考虑 2n冉细鲈惨坏氖J构谷返咭E=4 偕 庑┑阒P恰好性感〉牡惚煌砍珊谏6绻辽倌谇卸 使有一外接圆 使汞时侧弧选 利两段弧諴,某 性
1记『冒 E 諴,吴吩布淞P 就成 庋H旧椒 “好。俦 ɡ贾庇芯叨冤 集哼褽恪 绽O?坏恪Y 种染色方法都是“好。俦下 徊ⅲk1胆浪 斯洛房耍 6. 一

2n2 是3一有具么条任剩 P端大 b1徊嗾是住#利亚)

a) A糿2知从侨
+

微 A有理惮集哼蘼构造函 "f +→

+

时幸对 点 P

+

内斜蝯 为刺跞f ( ?f ( y ))21?f ( ?)浪 送炼鋙宰y2 5一°出切圆初始整际亲0>, 两位舒家 P 生足襛r轮流选择整际亲, nA n32P?并遵循质的规则BC米A、詎2k,A恃≡衩刺跞n2k ? n2小2? 2 n2小n被点徽是2k+ 裰2

譇、詎2k+ ,B 选择么条


22?甘倾 圆质,誂 拭荨#
2񅁼 y舒家 A蔚 S选择字 199 掠糜蜗罚皇婕 于点 S选择字 1掠檬だ,b=n0侵担嗌偈c 马(a个A斜厥し植呗裕浚(b)睟 性必胜分策略?(显诙娑济荒诒厥し植呗裕浚 7. 一个平O? b:粗论切圆凸 199 卤咝瘟詀旅纨方惺粜 马(a个算 P端C 舌等闷(b)膊患扑承蜃8&9 缕涿娌啵 P、求1A 2A 3P2P?自8&90P裰鞯潞设

1.欤19十1960 年9 匈牙利瑞典 锡格蒂纳(Sigtug諷wedet ? a, 和 ABC。 下担厍三I 其冬并且分别是。三 A点C点C尾嗄诮恰 諦 其对交 猿 b小鉉弹点C弹道O? b1?是AI2睟I2睠I 8 zy ɡ盟滤樟 4鯝A' ? BB' ? CC񅁼7
2圆设⑹┐蠡 b6╪闭2Pc, aP2P?自"k邮 算 P段 bn咔耶间n 互位数蕁 都寿讯绻 aP- a1x= 3 - a2x= ?x= 小ak冉>0 Q ? b n阶卸ǖ 赌谥尸炼蛘彬P碌恼拭荨#利亚)

a) A3一侨齋={1,2,32P?自280} a招的么条才能。 徊⒄是2P市 S ,然数 n皆蛹 五圆数 潜呔嗷ノ皇马尼上 一釜从假设惺 性感∑涿娌嗔ㄍ绩繟F、BC内可能对拯些边标记;1,2 Q?自k,市一每数且经郁于条或多其面2P 从这圆且经具
⑽科涿娴谋旰诺淖畲蠊际 正蚪。!俱 圆图硬一 榍揖颓凶榱幽扯缘氖揖槐咝槌伞C慷浴 穟、v 欢嗔谝惶涿妗M饥G卸绻冤 每对 不数原、D 蝯 为谝幌盗栽 蝯x= v0,v1,v2,...,vm= y邮幸幻慷 vi,vi+ 卸 G ,一啼面连接段那么 G 就ㄇ连通
21ster Intern Olonal Maicam Olyal Olympiad
。。!浚德估. 一5词在三BC。 (汹中面角形各斜边内斜 直线 吮取在∠PAB积∠P北啁住螾 A咧兄辽倌谟 cBC∥ 或2; b88′傺览. 一个平仔圆: J尴辻 x0nix, xP2P?自剁果粗论解方 边 幸欢冤 然 性步i≥0趞xi|≤担啬敲凑庠瞴惺恰澳 界。俦 ɡ 和 点 圆大 b12礱: (a常构造一圆有界。无限y x0nix, xP2P?对 每对的数惮非负整际 i点j卸 ?ix' ?詊 ix' j ? 9裰鞯潞设

1.aer(19十1961 年92匈牙利俄罗斯 莫斯科(Moscow,RussDn ? a,招的么条才能。算 P整际齝 为三阶8&st;a<b<c咔(a-1)(b-1)(c-1)是詂bc-1 ,因y览利新西

12一R 表示点 P: 5咿抡械牡 P么条才能。函 "f 篟→R咔叶冤 点 P斜眡 为皇R f(x2+f(y))=y+(f(x))P裰鞯掠《
1冀程 憾ǹ占胁嗔旁布淞谢岛嗡牡谥毕吖裁妯涝谌坏弊允构倍剂谝惶銪 上咙您其B 上可染为红色厄蓝 色2P也可不毒色蘼直 的 徊ⅲn1担幸唤谢点 n狡銪 上諴,然一啼 点〉厝疚炖抖皇c h在您 n狡銪 上。集哼中数必包 性 性哺鞅咄唬珺C。蘼砟嵘系 一釜从 3虾 内自侨鼵任 性灿冢琇 潜 C ,莔aC骁何选论 L庋 a招的性a铝惺粜裕 P禼)P弧 (拢郝 L庋〈只论 a□ Q、R邮幸 M髡Q、R a轨迹,边是冬BC。 PQR a冬并且傺览. 一5词kV2Sz为立体空吉内侧性洲点集=4侨齋x佻SyarSz肫涠哉S 中的点论 y,虾 互瞲和 互??
坪 一的正投影ɡAF、

S ? S ? z S?
2.S z?2P为中|A|代表釉洲集哼褹尾啾卦瞴牙利注遥籦 圆秀论坪 一的正投影ㄇ拯梯秀向拯梯。
一 筧#棺纤谖恢觅牙赖盟乱饷抛 试做圆对 然数正整际亲arS(n) 么条 种且笫阶畲 暑憾冤 然 性舱是k≤S(n) nAǹ梢北恍慈份小的完全
坪方数数和傺(a个O? b对盂然数2n≥4 S(n)≤n2-14傺(b) 的适 S(n)=n2-14 ,一圆 蔮n (显贠? b内无限多数整际亲幸 S(n)≤n2-14傺溃┯. 一

2er(19十四61 年9点⊙览炼 伊斯坦布尔(Is="nbul,Turke 设 22nd

Intern Olonal Maicam Olyal Olympiad
a,侨齠(x)=x +5xn冉+32P为中A1 是大 b1徊嗾狮繟F、BCf(x)案 枕示成系为整际,叫非常量的多项ㄐ下载蘼砟岚

12一设 游 A ABC。北吣 直2P市一 ?AD一' ?AC一y (a个 的恃壤
1.
2er足訟C·BD=訢·BC阎A于? CD ɡ弥于? BDa
(b) 怠C S駽 -;各械啄和△北啄 a又交于,莔a4怪唏主德英. 一附程 3一圆无限大。棋盘一 匀缜蟪
式做游戏ɡ开始时棋盘中的仔圆bn吡
2侧框上整齐地摆放着
2荨遄恿ㄈ皇 小方格上婆着一圆″子恋盟蜗罚灰徊蕉际窃谒蕉蛘苯c
向上跨阅切圆″子著;跳的切圆空格子上去2P满际比∽咚缭难 F遄莹烙直有具有下,吴饭 幸恍蜗芬灾涣羟性病遄勇燮迮桃欢崾牙利芬

1吉从对 虾 一;,圆 c)P公沟ni我们,C逶m(PQR) △PQR樱涓咧惺阶疃蹋惶 a,丁?=利如果琍公沟牍蚕ぷ晕颐枪娑 m(PQR)=0ɡ迹1记怠C对 虾 一;四圆使医点C点C耽X它m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。@砦伲15词 否粗论切圆函 "f 篘→N2P市一对 点 P 椎蔔 f(=)=P2Pf(f(n))=f(n)+2Pf(n)臣f(n+ )量尼 7. 一个平 3一圆圆一有 n哩n>1)盏灯,礚0 Q?自Ln冉?我们,C逶Ln+k=Lk。砟徙徽档 3坏喝号候要么开2P要么关ɡ ┌匆 堑〈衜步骤 s0 Qs, ?缀论步骤 si,如果琇i-1 亮着段那么就关掉或打楷礚i,否则隐时事定不撞。开始时算 P镀都闪磷疟浪比C (a个粗论切圆正整际荕(n)蔬为在形腰荕(n)步后算 P镀蒂次全亮闷(b)捕绻n=2衝i我们可冶取荕(n)= n2-1称(显诙绻n=2+ ,我们可冶取荕(n)= n2-n冉够鞯潞设

1.欤19十五61 年94恪牙利香港iaHong Kong设 a,b 蝝、nz为 A整际蘼设, aP2P?自am 为{1,2 Q?自n}中的数惮营素吃只尧对 当些 i点j 年≤i≤j弟m设性 ai+aj弟g段那么就粗论 衝i辍躪≤gar市一 ai+aj=ak。AF、

a1 z a1 ? zy am n2 1 ? 傺览. 一竚 1

2.北呤切蔚 P1P2P面 B=我嗦假设1)萂 是浔C a轨迹,O39角上b組庋∈幸 OB 垂诌攥一侧 直2 2)萉 是B 上缺C鲅〔皇 b于愕被点 毕2 3)菶 A1P, 患笆盕 A1P, 珻鲅。珽、沟樱 V重哼氮 p悉 a们怠C当且仅当 QE=QF2时 OQ 垂诌 bEF傺览敲滥嵫恰舜 寻找使匠套冤 我徽是衝i侨齠(k)是集哼中{k+ ,k+2,... ,2k}中用196普硎厩『眯愿3 圆 12礱| T瞴牙a个试O? b:对 然 性舱是gar都粗论至少仔圆正整际莐邮幸 f(k)=m傺纀)灿型 算 P端么条才能。正整际莋ar市动只粗论切圆邮幸 f(k)=m傺览牵

a) A槛一什么 算 P市一


2 ?甘钦剩 P厄正整际对(gar邹┯蘼砟岚舜 寻找使mn2
23rd

Intern Olonal Maicam Olyal Olympiad
5词kV2Sz为严格大 -1 ,: J咿掠型 算 P么条质面叫才能。函 "f:S→S 马1)榷冤 hS 内斜算 P 邢銀隙加 f2( ? z f ( y)? ?f ( y))2?
2.f ( ?)齨 yf ( ?)2 2)1?f ( ?)谇-8&st;x<0邡足0&st;x 严格递增裰鞯掠. 一竫a
鲈菜比〈致矍性灿 首槌伞<咭A涡詀铝惺粜裕憾冤 然 性灿芍尸磷槌伞N尴藜 S,粗论接圆正整际莔 ∈ 生足n2 在以然数 6ㄏ 冤 某些策段 bP碌妮小线 S 諴,涡〉牟煌叵略刭牙利芬

1er(19十六61 年95恪牙利加拿大 多伦多(Toronto分 ag黡m设 a,设⒔点C点C耽D 游按顺序 3一其B 一的四圆不数。毕 其对阍b奖啁足B啄正帘径分别 点;X 愕道O巧蟗XY 交浔C龌 bZ=4侨切蜲巧蟗XY 选不数 bZ徊 直系繭巧蟗CP 交阍b奖哒本斗直疸;摇鉓 h直, 盤鼋汇詁B啄正 帘径分别悖挥邡足巍G怠C角上b組a)DNa)XY 共D 蘼砟嵫牵 寻找桓2一设 为三角形 A 首阍cbc,健? b:er1 是是3砟岫砺匏
1紋 2 2 傺繿(b 2 显赽(蟴y a)齝 (azy b)2
3

3一有到算 P么条才能。大 b3 斜整际亲2P市坪 一粗论吴吩布浞A, ?自A2P坏恪三第直线共悉滑: (r, ?自 r
2市一对 h辍躨<j<k≤2P各衖AjA小n泵S。是瑀i+rj+rk。砟峁洛
1吉从有的bx0 的最大在船有一粗论切圆由  W槌伞 x0nix, ?自x8&95钤 P 0=x8&95钤且对 h.r12P?自8&95钤 定内 ?ix'x2 12 1 ? 1 ?ix' 。砟


1?ix'1 xi2 5一侨北譋F衔沽咝巫阍AB=BC=弊囊A DE=EF=FA它使∠BC=∠EFA=碌淞幸弧螦GB=∠DHE=12用蘼AF、BCAG+GB+GH+DH+HE≥CE=4览挛麒

13

用蘼假设喧足HS瘟咝 a冬 3

銎缴琚p邮 奇质。有多少个{1,2 Q?自2p}侧釉蛹A它为豹素下和垦彬 p猩痰攘磕


1er(19十七61 年96恪牙
24thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?印度 孟买定Mumbai,IndDn ? a,点,C 圆正整际莚邡 性补婺挛獆AB|=20 Q|BC|=1 ?侧霖形木板碌住A匦伪环治 性 性癫啖20×1 ?圆圣位 方格ɡ在霖形上可执衜a旅娴囊贫疊C交尧外姐的小方格 a轨是端 c) 正騬迹涂梢贝游 性惨贫木硗庖?圆傺段务是招的从糊且经褹尾嘈》礁衲谛窝舾纱我贫笤酱锖揖一侧小方格内的序列傺(a个吮取,b=r2棵整2龌駼3猩痰仁比挝 V可能完成傺(b)睴? b当 r=7点时任务可能完成傺(显诘 r=97闶笨梢蓖瓿扇挝衤穑坷诣

12一设⒔俏刺酢螦PB-∠ACB=∠APC-∠A盋 a,BC。 (汹内 直线 设点E肫涠39蓉BC。 胰P边小冬是。K比 AP公BD点礒牍睤 蘼砟峒幽么笠桓匠蘫V2Sz为非负整际。集哼蘼有到算 P痘C逵 1涤2.f ( f (m))
2.f (n)

?m, n ? S 。砟嵫牵

a) A阎佑是a满足什有一 15a+16b 鹤鉻6a-15b 定微 A  汀 匈阎 的省 枕示成外姐的完全 C方数数较并,仔圆辈嗫赡懿 徊⒃讪溃德俄罗斯
15一侨北譋F衔沽咝巫阍AB CD) hDEniBC CD) hEF分 D CD; bF降降鉘C耽RE肫涠员硎荆珺C。 F我三浔C椎阕EF稀S纸挥诎刖兑訮 表示六边形 a周长ɡ ? b RA ? R于? RE 1絇 。砟嵫敲滥嵫且桓2

銎缴琚p点q点n奈 A整际足詐+q<n 设(x0nix, ?自xn) 么条质的才能的(n+ )元整际 马(a个0=xnr02扑(b)捕冤 每数蝘(辍躨≤邹┯2P要么 xi-xi-1=p2P要么 xi-xi-1=-q。K比〈致巯卤牝i<j咔(i,j)≠(0,n) 市一 xi=xj 牙利法. 一er(19十八61 年97恪牙 阿根廷 马德普拉塔定Mar lll Plat rgentpxn ? a,坪 一坐标值为整际,经忧单位 2柒接原、D 蘼 2柒接被交替涂选黑色和白色 讼衿迮瘫鹧┯蘼矶冤 每对育整际莔满足壤悸 赌谥切危珺C。 h与原且经坐标为整际 h直角长,度正騧满足壤愣悸 2柒接原叱ひ晦马kV2S1z为滑BC。黑色部分 a总肧。arS2z为滑BC。白色部分 a总肧。ɡ为磃(m,n)=|S1-S2|傺(a个对 hm满足然定线 ,粱蚨ㄏ吲际 ,情窟质,计缩萬(m,n)礱冠ɡ(b)睴? b对盂点 P,╩满足然定有 f2(m, n)21?1 max{m, n}∞马2r
(显谒比〔淮致劢夥 边 幸欢冤 算 P m满足然定有 f(m,n)<C崩砟岚锥砺匏
12一三 A问 ABC。 (谢众;并端C 使褺邡足怠将的三条边又交于 P确条虎ɡkV2U 是浔邡足怠汞时不包括医碌妮当孜弧内斜 直线 杏邡足钟诘拇怪薄 諦 其对交諴, AU龌 bV邡足W道O巧蟗BV邡足CW鼋换 bTɡ吮取 AU=TB+TC崩砟嵊. 一附程侨齲1 xP2P?自xnz为么条才能?1x' ?2 ? ? ? ?n2 12礱: C孀阍?ix'2
2'122r
ix' 9552,? ,閚∞滤比〈致埤x1 125thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?xP2P?自x
2侧排列, yP2P?自y2P市一 y1x' ?y ? z' ? ny( 2
2'12。5露砺匏
12阎幼性脖n吡
2侧矩阵 P剁果为豹素取自集哼 S={1,2, ... ,2n冉}积足对 每数蝘11,2 Q?自2P bi 行和 bi 列分算 P 数包括舅騍 ,算 P营素吃那么称这个矩阵为“银矩阵俦 ɡ吮取BC (a个,b==8&97闶辈淮致垡卣2扑(b)捕冤 无限多数闳垃粗论银矩阵。砟徙晾剩15词有到算 P整际对(作)(J≥ 蕞2P蔬为么条等ㄐ穉
b2r
尼孤宸
1紋 ba. 鲈捕匀皇是譨r将谧硎境沈P碌姆歉赫蚀畏兄妥晕f(n)微 A 授的上誓不同表示坊 驮瞴讯绻健圆表示坊 筒疃越残p 蝶们中各圆y嗉映ご涡虿皇方斜硎痉痪捅皇游侵Y牙2Pf(4)=42P因为 4隹梢北硎境芍实乃闹中北򛋮;2+ 设2+1+=21+=+=+= a们怠C对 坏慊整际亲≥3垃定内 2

24r
尼立陶宛
1紋 f (2 )? 2
1.
22er(19十九61 年98恪牙利上 台湾 台眂 ═aipei,Taiwag? a,衟饭肃边形北啄中,对C 上任意鉈啄互正垂诌,对的澄意鉊C#拆虾Dq 偕枋挂角为澄意鉊C#直垂直。肫渖 a叫点 h与在肃边形碌啄嫩各 ? b当且仅当,BC。 (P邡足CDP 肧。舌等时 斜弊南咴材炙啾咝巍m尼熏 森堡一2一 3一次竞赛中,性 a 名选手鉨 名裁判,什忧 赌诓叨位 b3 斜 ,粮魅皇门锌啥匀晃谎∈制兰吨ぁ凹案瘿宾或“不及格ū鲛录偕琚小线这妖腔C澹性布 露冤 坏泮叫裁判,蝶们斜 兰抖灾炼辔小的选手是铸数。傺AF、BC2 k鉨 '1 ? 崩砟嵊《
1 x2b
3一对 坏慊正整际亲ni侨齞(n)微谧恼騳òㄒ1 阕旧磙┯蘼什么 么条对 当些 nz内

d (n 2)? 小n彼 P正( n)

整际齥±砟岚锥砺匏
1吉从有具算 P么条才能。正整际对(作)市一 ab2+b+7恪 商等薬2b+a+b崩砟嵊. 一5一侨齀z为滑BC。Q斜边小冬是。侨北咝《⑶页 x 械某の点C 生足划谝K、L→足Mɡ腰 c)一侧 CD; bMK碌妮角上其对交諴, L选鉒K划谝R→足Sɡ ? b三 RIS 牵 A崩砟嵛诳髓

1荐圆考虑点 P,腔C逵蚝椭涤1. 2. 找灿型 算 P么条质的要求,由坪 一至少仁经组成。釉洲集哼襍
26thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?对 坏泮叫 S 中的的数。使 生足襛rB 上任译的垂直。其上线 S ,一啼上,轴崩砟岚衬嵫且桓2一设奈 性哺悖徽 hn≥P裰(a个什么市一 种 V2J蕉冤 点 P: (1,?自xn≥0ㄊ凳 x;并b方 保篹r? ? ?i ?詊 ( ? z x)? 于? ' ?ix' 崩

?ix' j ? n2 ?ix' ( 22bi 2 j阎猘
(b)捕冤 这个b方 保裁春群 (彩凳S利


1冀程 憾ㄗ性脖n吡
2侧棋盘 hn 歉悖慌际 ɡ您圆″盘被分确荩 ?圆小方格傺剁果您圆″盘諴,距的不数。小方 格 砸桓鑫 p边就说它们 嗔诓唷荨迮桃徊嘈》礁癜茨持址绞奖槐昙牵P市一″盘一侧然数方格利殃记,ê臀囱昙牵┲辽倌胱性脖槐昙恰7礁 嗔讪滥芯咩 氲模徊⒍丝赡1胆浪 税锥砺匏
1吉从有具么条才能。正整际对(n,p):p邮 质;
2禄超 S2pn(p-1)n恪 整硁p-1律痰权兰(上 台湾񊹧词接圆心 G1 鉍2p心 G吣谧郧曳涠员咪G N圆球的数。使已→足 。G1 点 S鉍2直鹗恰5 S鉍1 鉍2 a叫点的萁巧辖讳G诂 使 生足冶理尼俄罗斯
1荐圆有 算 P函 "f 篟→R市对 点 P: ( 为 f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)冉?砟崛毡
1er(肃y61 20 {贰牙 韩 大田 ═aejat 琑epublic of Korem设 a,阶魇窃 CAMN→足 MB啄侧莔a!Q÷壑P, 底难。点 摇阕闹狈 D CD; bAB蘼香訬 生足CM鼋换 c)P 幌阍N于鉓D鼋换 c)Q。卿线 A啁足譈鼋换 c)E=4AF、BCPE=QE=4览砺匏
12一A点C点C问 么条三者) 正1 ,正: # ? b ( 2 1 ?er1 是是)( 于? 1 ? )(于? 1 ? )? 1 =4览. 一窧 摇A

3一小线C 圆正: #克N∠逤 圆大 b1徊嗾狮 N 圆秀论分别智上选绘 诗然内+部重哼蘼鞢 圆移动按如求步骤: 〣C 选择距的不重哼祷□ 生足冶兰偕琚A÷ 一侧 a将贐 用 C弹点代替niB弹点论 中间右边墙成一 杏’=kB降 取何值允蔽颐强梢钡 S重复移动把点往右移动的坏恪远处?利白俄罗斯
1吉从, {氛趴ㄆ恍囱 是读, {贰空趴ㄆú皇┎⒎怕 3 圆盒子中(然数盒子至少仔张蕞愚露绻≡窬嗟 盒子船 a从中各取出仔张卡片2P单单知道您叫数数和就总能有氖,19数盒子吃那么能做到铡Y 毕。放法有几 种?利 维斯疲15词我们能案 有的切圆方 N记『谜20 {返牟煌尸辽痰攘足訬 商等2N+=2浚【N隹赡芸梢北籆 圆素适幂商等。!浚德俄罗斯
1荐圆1A2A3 牵 A,BC。。阆蛑i 引出。高上 a垂紫正騅i,冬并且切 Ai稀6悦婊 bLi±諴, K1K2蟧s 2 L1L2 作轴反射。 N似地吃諴, K2K3喂s 2 L2L3 作轴反射吃諴, K3K1喂s 2 L3L1 作轴反射。吮取铡三条畜。諴,组成了C 圆且经论 冬并且一侧,BC。。5露砺匏
1er(肃y1960 20 匈牙
27thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?估. 华盛顿特区ovWashpx;to2 D担豒nMted Staith of Amerlym设 a,侨北呶庑模O校郑 A ABC。=4侨切毋向中引出。高论 褻鲅≈贝棺线 蛹偕琛螧CA≥∠A盋+88′傺繟F、∠CAB+∠COP<90∠=4览 一2一AF、BC对 点 P正: 2c 为三角定内

xazy 8bc
2er 2 b鉨 ' 8ca
2er 2 c齝 ' 8ab
2er利韩 一? 9裰

3一19十C 圆女生和19十C 圆男生参加了C 次学竞赛崩
然数选手解出了至多六道题ɡ
对 然 性材泻⒑腿籆 圆女孩吃至少脑 械捞獾嵌冀獬隼戳 a们怠C脑 械捞饽坑兄辽偃试才⒑椭辽偃矢瞿泻⒔獬隼=4览 7. 一釜从侨┐蠡 b1 , ,磷晕k1 ,閗2,椤,閗数)搞,;整际。对 h1,2 Q?自的 n!圆排列諴,然一数蝍={c, aP2P?自 an}积为許 (az)? (加拿大一? 小aF、BC粗论叫排列 鹤憬自b≠阶猿梢 n!线 S(b)-S(显,仔圆因y
ix'1bi i解

5一在仔圆三BC。 (汹中面为訟P凇F洹螧A担豍宦 褻鲅』BQ凇F洹舷碌XQ宦 A咭晦伦A、∠BA=68′连 足訟B+BP=AQ+QB蘼 ABC。 (谢侧仁个角可能侧角度线 嗌伲坷圆忻 銎缴琚c 为三健樱┱ h足詂>b>c>d>0蘼假设c+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)。 ? b ?b+cd卟幌咧尸痢#德亚) 亚一er(肃y1961 20 2匈牙利英. 格拉斯哥(Glasgow 琔nMted Kpx;dom设 a,S 堑 P使(h,k裕呙嫫渲蠥h、k游歉赫首阍h+k<n。S ,然数营素拿红色厄蓝色上色2P市一荤果(h,k裕红色足詇弹弟h面k弹弟衝i那么(h弹,k弹)也是红色S 的类凶鉻 子集有 n 圆蓝点 h与们斜横坐标浮不铸数黄S 的类凶2 子集有 n 圆蓝点 h与们斜纵坐标浮不铸数ɡ吮取类凶鉻 和类凶2 子集直数目铸数ɡ盟赂缏妆妊且桓2一北呤倾詁O械奶逍 a别侧帘径。A问 有一∠AOC>68′ a别上鹊慊毕 EF鲜窃驳 P论 諳校执怪薄F渖弦晦马D 游劣弧攥一侧朱迹蘼点 S鉕校 CD; bAD凇VP,交渲于 使襃ɡ吮取 J问 ABC。 CEF稀6恰#利韩 一竛 2鹠3一有到算 P整际对 m>2宫n>2乖成一内无穷多数正整际莐用刺跞k +k -1律痰热k +k冉?砟嵫牵

a) A槛一大 b1徊嗾是的正域y d8&st;d2&st;...&st;d衝i为中Ad1r12Pdk=n。侨齞=d1d2+d2d3+?+dk冉dk。吮取 d<n22满有到算 P 市 d猩痰人n22的 n。砟嵫牵

a) A5词有到算 P腔C逵蚝椭涤1荐平n>2返陌刖吨を1 ,且臂坪 一 h足没内諴,能碾叫以病直于 越械氵 与们斜于心线 O12POP2P?自On。吮取BC2 28thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?12(n2 1? 崩砟嵛诳髓

12 4
?ix' j ? ni鉕衘阎 2 (肃y61 20 点⊙览毡 东京ovTokyo分Japag? a,S 羌遻1,2,32P?自, {{{{{} a吮取对 S ,坏何一圆恰好包 1 懈鲇刂弊蛹A它我们可冶有的b1 {返膆S 内斜不同豹素齲i,成一集哼{a+xi|a∈ }中坏恪出圆迁不 Q15m尼巴西一2一有的点 P,正整际对(m,n),成一

m2z为 A整际蘼砟嵫牵 寻找桓2m nA=' n 2 ?a
匠痰悖珻 圆饭六边形ni为中,然一 榍缘亩季行匀缜笮灾剩耗菲涿娴墓旒5辈 c) 2; 与们,度之和的a
禁。O? b:该六边形 a算 P内角相等傺览


12知从斜弊南咴材炙啾咝巍c向D 向諴, 北雹C稚悻一作垂a#棺 P、求諴公沟。O? b:当且仅当 RP=RQ 时∠A盋 a。其上∠CD铰的。其上 1巧蟗降〗换 慊毕 砟岱诣

1届A=' n A=' 1? n2 n2 1 ?ix' x詊 ? 2P当5词kV2n奈 A 暑 (1,xP2P?自x
2么条?1≤x2弟?≤xn。 ? b ? ' ?ix' x詊 ? ? ? ? 3bi ,詊 ?1 ? i ,詊 ?1 ?
2er足绞,b=x1 xP2P?自xnz确等差ú列时取 (脖理尼爱尔

1荐平设诱尸痢? b:粗论潦祋 Q市一对坏恪整际亲2P嗜薾p-pú荒苷q律痰权兰(法. 一2 (肃y61 20 4恪牙利希腊 雅典oˋicansniGreece ? a,侨北呶 A ABC。足訟B≠我嗦帘径证虮边小圆15某我恸足降》涠员谖选 。痘C錬O械牡某の凇V旒^ ∠BA德的。其上∠MO 氲摹F渖辖换 bR裰AF、BC冬BC。 BMR a又交于 ABC。 CNR a又交于在的长乌一有 躬 p毕 砟嵫牵

a) A2一有的点 P实系多项ㄐ穎 h市一对 点 P么条?b+bc+ca=0觯 (c 为三角性a旅妗 叵礏C f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c)。览 一3一1籆遄性病肮匙莹敝び闪驳ノ 2柒接按a旅妗M甲楹掀鹄床嘈巫床欢蛘被У捎上峦夹蠛椭岱瓷湫纬傻 形状裰

29thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?
有 算 P眒×
2侧可冶不把钩子割裂开或重叠就可冶覆盖斜霖形2P市一 ? 柒接不能,晒匙痈盍鸦蛑氐锤哺迁理
钩子,坏何一部分定不能覆盖柒接外面。区域崩砟岚衬嵫且桓忧三数)策段 b3 斜整际ɡ侨齮12PtP2P?自tn奈 A已知关且么条阎 1 是' n A=' 1
(t1 ? t ? zy tn)? ? ? ? ? ? ɡO? b对 点 P么条汝≤i<j<k≤2的 i点j、k自ti点tj、t小线 ABC。三 tn? ? t1 t2
面侧,。览 一5一在饭肃边形北啄中,对C 上菳啄拆虾分烬 A北啁兹 盌降O碌啄嫩切 c)P呙刺酢螾北=∠DB稚∠PDC= ∠BD降G怠C当且仅当 AP=CP 时 斜弊南咴材炙啾咝巍m尼


1荐平剁果仔圆际按慨6票硎纠点〕鲈擦篘 奇偶⑶一同就称这圆y恰敖惶妗Y ɡ加械剿 P正整际亲ni成一 n稀6吃脖秠墙惶妗Ym尼懔朗12 (肃y61 20 5恪牙利墨西哥 梅里达 ∕éridm涩Mexico? a,衟形边的三条洮业碌某ひ谎≡窬驳蹀翧1 悻2p 褻鲅』鼴1 鉈2雎 A咭环 1 愕P侣 忠患笆背梢凰鞘 趟械亩枷嗟鹊耐沽咝维1A2D1B2C1礟碌摹 蘼AF证1巧蟗1B2公B1礟满足C1A2牍睤 蘼砟嵫牵

a) A2一设, aP2P?为含性无腔多圆正项和负项2恼狮擦楔兰偕瓒冤 每数正整际亲蕃际齝, A ?自ag 除褹襫稀寐到。余 互不铸数担堑、BC介魁列, aP2P?中没数整际都具种了恰好C 次。览设

13一侨齲 为互不为么条?yz≥ 校唬舱 #緼F、BC2 ?5 z x ?y5 z y ?z5 z z. ?2 一? ? ? 0ɡ?5 z y ?z z. ?x ?z y5 z z. ?x ?z y ?z z.5a
邮裁此杏胛耷豢孝cn=2n+3n+6n冉乖n≥ 校凰邢疃蓟ノ皇 A整际蘼砟


15一侨北紫 歉悖煌顾啾咝位=D铰足员边拆虾D D降I杞愕慕挂E满足F》涠栽诘某の邡足譇咭磺颐刺跞BE=DF傺1巧蟗降→足BD鼋换 c)P Q諴, 弊暮 EF辖换 c)Q Q諴, EF销足〗换 使襌裰覣F、BC冬BC。 PQR a又交于 P论 E满足F”涠c h等薖 外还脑 性 珼 蘼砟


1荐平 3一次学竞赛中,性 6╪捞饽孔远冤 坏泮道试题 它们数时被超 S12 侧选手解出。闼外 没内选手解出.5a
算 P 6╪捞饽 a吮取至少内 2z位选手每人都正好解出5 n捞饽俊m尼亚)

a) Aa
0thirnational Mathematical Olympiad
tan? ? (肃y61 20 6恪牙利斯洛文尼亚 卢布尔雅腶iaLjubljag諷lovenDn ? aI鐸z为Δ下怠6牵豍是Δ下的诓坎 直2刺酢螾盇+∠P A= ∠P北+∠P B平O? b:AP馆AI船 a吮取,(彩凳 x充蜂敦要才能是P=I =4览 一2一设P微 A20 6边形蘼剁果P,一啼上C 上,距端将P,边界 P确部分以然部分定包 P, ,疗涿2P那么该 对C 上F,“好长 宾蘼规定P,每其面均,“好长 宾蘼米A、20 点条在P 内部不 Q1!6訡 上将P其割成霍干,BC。。O挛试谀址涓钪剩 欢嘤卸嗌俑瞿诘闾酢昂眠长”的形的 P1P2P?砟崛且桓3一求;并端已知M2P蔬一对点 P,已知 , b和阶阅

b(a ?z b 2)? bc(b ?z c 2)? ca(c ?z a ?)? M (az ?z b 2鹺 c 2)2#尼爱尔

1知从AF点 P,整际对(x, y2P市一 1+2x+22x+1=yP裰鞯鹿. 一5词设⒔(x)微谧瘟╪> 蕞整系多项ㄐ面k∠逤 圆正整际ɡ考虑多项ㄐ稱(x)=P(P(?P(P(x))?))出为中AP 具种萲 次。O? b: 欢啻致 (圆整际-ni成一 Q(t)=t。砟嵫牵

a) A荐平、对 凸多边形)P弧;点〉某2P褹沂参⒚2P论 P 内部作 性裁S。最大。,BC。。O? b:对)P弧C科涿妫囱 数方法所一滑BC。n泵S。之和至少 )P弧CS。端z ?倍蘼砟崛且2 (肃y61 20 7恪牙 越南 河内譨Hanoi,Vietnam设 a,点,: 2c焦 a22P ?自 an。矶匀皇 i (辍躨≤邹┯2P1籆錌C di= max{aj 马1≤j弟i}-min{aj 马i≤j弟n}积伦阄d= max{di 马1≤i≤讅 a(a个O? b 露曰点。 (1≤x2弟?≤xn自内

max z xix' 猧:1 ? i ' n zya
d2r
(*)

(b)睴? b:粗论: (1≤x2弟?≤xn2市一(*)中的担ú实数。砟嵝挛麒

12一侨点C点C耽D点E胛宓阒P面 B弊南咩 圆虾DK啾咝蝞iBCE啄线 圆圆默又肃边形。侨齦切蔚 S憬碌囊惶渲 上,l 请B 上菵C#交 使褾(F鲜荁 上菵C#。冬吊蕞2P足詌 请諴, 北呓换 使褿。遏 EF=EG=E担谹F、BCl切巍螪徊嘟恰 諦 。砟嵫ひ桓匠 3一次学竞赛活求中,性当些滴赛选手是朋友蘼鼠友 叵凳 嗷ァ!6绻腥旱稳∈种械幕岛瘟饺硕际 )鼠友它我们就称这仔群选手微 性病巴 宾(特别地吃人假 b2 侧仔群也是 性餐呸┯蘼米A、在您次竞赛中,最大。团蕤人 欢唷M呸档娜爽潦 性才际 Q ? b:我们总能把滴赛选手分配的距的教 室 P市一 性步淌抑惺阶畲笸诺娜爽2; 另一圆教室中式最大团的人。砟岫砺匏
1吉从在△斜边中,∠BCA徊嘟恰 諦 与△斜边 a又交于交 使襌 Q与的长乌。垂直。其上交 c)P Q与的矨德的 垂诌。其上交 □ Q±侨齂→足L肫涠39的长乌悻怠 a轨迹蘼 ? b:△RPK→足△RQL 剩肧。相等傺览洛
1
31ster Intern Olonal Maicam Olyal Olympiad
5一侨齛划间什微 A整际蘼譇、 4ab - 是商等(4aP- 1)22P ? b:a=b崩砟嵊. 一个平设南咩 圆 A整际蘼砜悸 S={(x佻y宫z):x佻y宫z∈{0,12P ?自n}积x+y+z>0} a.这妖仔圆三维空吉中拘性(n+ )3冉细鍪埂<哌 问:最少赚多少梯。面ni与们斜并集才能包 S,但不含(0,0,0)。览设

12 (肃y61 20 8恪牙利西班牙 马德里 ∕adrid分Spaig? a,譇、H 牵 A滑BC。下怠4故牵匾北呗怠V旒5奶逍模 cH直于 胫P,BC Q1, 零点 , AP2汇员逤A的萁旒5奶逍模 cH直于 胫P,CA Q1, 零点B ,B 设阍边AB。朱迹的体心,腰 cH直于 胫P,AB Q1, 零点鉉1分 P裰 ? b: , AP2PB ,B 芍 1分 P共且傺览砺匏
12一(a个设: 齲佻y宫z定不2; 1分么条xy12PAF、BC2 ? ?y ?z ? zy 剑宽( ? z 1)2 ( y 2 1)2 ( ,并1)2

(b)睴? b:粗论无腔多组三预有理组(x佻y宫z),x佻y宫zú2; 1分且xy#12P市一上誓不2J降(彩凳m尼奥 地蛊1冀程O? b:粗论无腔多圆正整际2P市一n2+1脑 性泊蠡 bPn2 1n稀V视蜃莹烙尼立陶宛
1吉从AF点 P,函 :(0, +∞)→(0, +∞)分么条对点 P,正:  瑇佻y宫z,wx=y#

( f (w))P
(.f ( ?))P韜P
x ?2 一? 2 牙ɡ觙 ( y ?)? f (z ?) y 2z 5一侨n您仔∠哒A 暑琸 ≥亲2P且k ? n是 性才际 。1n险档埔来伪嗪盼12PP2P?自22P然一盏灯可冶“开”恪肮亘宾蘼开始时连 鱼 P,镀都 “关ū。。6哉┑瓶山m操个2P然一次操个只改变为中,一盏灯侧开关状态 (即 “开”变成侔关ū隽 侔关ū变成侔开”览得它我们考虑,度正小n辈俑鲂蛄校蛄兄械牡趇 项就ㄇ第i 次操个时被改变 开关状态。肚盏灯侧编号。G三N∠遦 次操个后市一灯12P… hn 琴翱钡模苙+12P… h1n 琴肮亘薄W刺凰械氖2俑鲂蛄 驮 数。G三M 是k 次操个后市一灯12P… hn 琴翱钡模苙+12P… h1n 琴肮亘薄#堑苙+12P… h1n 贾彰 性被开故,算 P的数。操个序列 驮彩#求比值

N#尼法. 一窶. 鲈苍诜顾啾咝 B弊中, B降貲C崩 ω1和ω2蜂对形各斜焙汀鰽D怠6⑶屹牙假设粗论切圆圆ω与卿线BA Q切 (切 吊 V论 上BA及实盟肭湎連C Q切(切废 V论 上BC及实盟耶贾P,AD和諴,CD都相切ɡ ? b缀虏ω1和ω2,距闾跬夤ma a叫点衟心ω一蘼砟岫砺匏
12 (五y1 20 罗马尼 7. 卟鹄疵穙vemet 珿erman 设 32nd

Intern Olonal Maicam Olyal Olympiad
a,侨n是 性舱A 暑琧, aP2P?自"k(k ≥2)是集哼{12P?自n}中下豫不铸数;整际 h市一对 i=1,?,閗 ?1,定 性n商等猧(ai+1- 1)裰 ? b:
2禄商等猭(ai- 1)裰D岚舜 寻找使2一设O线 ABC。下怠7庑倪 使P和Q蜂对形边CA和AB。冬吊±侨K自L和M蜂对形 上BP QCQ您譖Q a轨迹, Γ是腰 cK自L和M的圆。若諴,PQ与心Γ Q切 ? b:OP=鸒Q±砟岫砺匏
13一侨齭, sP2Ps3?是 性惭细竦菰鍪 A整际y辛 成一它,距的子y

ss1 ,閟s2 ,閟s3 ,?和ss1 ?955ss2 ?955ss 21,?卸际堑炔瞑擦楔繭? b:y

s, sP2Ps3?本身也是圆形差ú列ɡer利估. 一釜从在滑BC。下抵校 杏=鸄担 ∠CAB∠下怠6恰 諦 蜂对边边碌和CA Q1, 点D和E=4狼菿线 ABC。螪C#。冬是。若∠BEK=45′连求∠CAB所有可能侧1胆浪 搜壤c、韩 一5一AF所有从誂 始 A整际集及端么条如求才能。 海对算 P正整际莂满足暑 定粗论切圆褹尹分 f(b)鉬(b+f(a)冉)械模こし址峭嘶珺C。 5鲁谱性踩鼴C。为非退化,BC。线指它,,圆、D 不 p悉 a檬得他法. 一个平设, aP2P?自an 窃ゲ恢徽省 是有 n冉细鲈叵 A整际集2P且不含 2s=a1+薬2+?+an。别只蚱 蜢沿着: V岽釉璂 稯 开始向右跳跃谧 h与原跳跃 c) 是詂, A ?自ag 。冻圆排列裰 ? b:可冶选择Y 种 排列 成一蚱蜢跳跃落求。使所表示的际都 V论齅 中傺滥岫砺匏
12 (五y61 2010隆牙 哈萨克斯坦 阿斯塔纳(As="n諯azakhs="n? a,AF点 P,函 "f ? 柄 ? 成一等ㄐ穎([x]y)=f(x)[f(y)]对算 P x佻y∈ ? 实数傺滥嵴饫 琜z]表示禄超 S: (z碌 最大整际。览得寺法. 一2 ?鲅≈ 直2PF鲜堑某の2一设 ABC。 (谢侧冬是是訧船又交于微讦Y1巧蟗絀#交圆 Γ诂 另一使易。设 窃 弊C
选直 直2P成一 ?BAF ? ?CAE 11 ?BA德。设惺 B 上菼F稀9旒^ ? bBC角上bDG诂 EI徊嘟械阈p心 Γ谝晦马2er利上 香港i13一侨? 堑 P A整际构确惮集哼担堑鱼 P,函 "g : ? 柄 ? 成一对算 P m,n∈ ? ,(g(m)+n)(m+g(n))是 性 完全 C方数裰鞯鹿. 一釜从侨P是滑BC。下的诓坎 直2P,AP QBP QCP诂牖珺C。下颠 a又交于,卷一圆叫点其对正K自L涩M.圆 袁吊C 处侧莔a.贾P,AB N交 cS.假设SC=鸖P Q? b:MK= ML砟


15一 P 6ㄊ凶右B1,B 涩B32PB42PB5钤B6连开始时然数盒子中都恰好性一枚硬币各然聪可冶鹊恪选择如求两种方 市之当自与们进衜操个2 方誓b1:选取 赌谥辽倌 忻队脖遥凶右Bj(1≤j弟5)出从盒子褺j 中取走一枚硬币船 a在盒子褺j+1轮屑尤 牙枚硬 币各 方誓b2:选取 赌谥辽倌 忻队脖遥凶右Bk(1≤k≤4)出从盒子褺k1腥∽咭幻队脖掖 a足交换盒子褺k+ (可能是钥蘸校┯牒凶右Bk+2(可能是空盒)中下所有硬币各 问: 否可冶进衜霍干次上誓操个2P成一盒子褺1,B 涩B32PB42PB51忻荒谟脖遥凶右B61星『糜 2010
20102010

枚硬币?利荷

1荐平设, A a32P?线C 圆正: (擦楔兰偕璐致鄱吃补蹋 A整际 sni蔬一对点 P,絥>sni性 an=max{ak+an-k蟶 1≤k≤n冉}。O? b:粗论正整际莑→足 ,l≤sni蔬一对点 P,絥≥N an=al+an-l砟徙晾剩1
33rd

Intern Olonal Maicam Olyal Olympiad
(五y1960 201 匈牙利荷
阿姆斯特丹(Amsterdam涩Neicarclads? a,对坏恪由 4返牟煌 首槌伞<咭A={c,a2,a3,a4}积记 sA=a1+a2+a3+a42P侨A问 么条?i+aj(1≤i<j弟4)商等藄A徊嗉识裕╥,j薜的圆y亚涤 P由 4返牟煌 首槌伞<咭A自成一 nA 达到最大1胆浪 四鞲缫桓2一设 瞧和 一包 至少距的使。 赌谟灾蕖跫忻荒谌示鄯直鹛渲鄙涎—m所文切圆“风车”线指这妖仔圆过程:从形腰S中膝独 直螾,别啼直上l开始X冶P微旋左轨是顺时针旋左 Q諴读质状斡龅絊中犀卷一毕2P记;点Q±接着您其直上以Q微畜。旋左轨是顺时针旋左 Q諴到蒂次遇到S中犀某 斜2P 庋9涛尴蕹中氯オm? b:可冶适当选取S中犀 斜2P褹 夜齈,别啼直上l自成一由此产生。“风车”将S中犀然一第直无限多次用 作旋左轨是砟嵊. 一附程侨f 海? ? ? 线C 圆腔C逶诂 <≈笔抵岛 A刺醵缘 P: 齲佻y宫定内 f(x+y)≤yf(x)+f(f(x)) Q? b:对算 P: 齲≤0 Q有f(x)=0ɡ祭锥砺匏
10 是拥悖是>0蘼脑 性蔡炱晋足内重量分对正 ?2 ?2?自2-1 ,砝码ɡ枷值 Sn步操个逐圆将算 P砝码都放上天平自成一论操个过程中,幸边。关量总案超 S左边。关量各然一步操个 线从尚未放上天平,砝码众选择Y 个砝码,将为放到天平。左边或右面,諴读算 P砝码都被放上天平。G笳牟俑龉蹋徊煌椒ㄔ瞴牙利懔朗񊹧词设f窍逤 圆腔C逶 始先⒃谖 A  秃 AA、对坏恪接圆整际gar邹頵 (m)-f (n)恪 整砯 (m-n)商等.O? b:对算 P整际 gar邹 f (m)≤f (n)2P买 f (n)整砯 (m)商等.砟徙晾剩1荐平设S A ABC。北 a又交于微讦#琹 是圆 Γ冢鹛淝ma(兰乔maTl 箂 2諴, 北 QC稚悻一。对,智上其对俏l謑b 鹤鉲c。O? b:由諴, l謑b 鹤鉲c 构确惮的三条边又交于与心 Γ谙嗲楔理尼日本
1er(五y1961 201 ?⊙览 阿根廷 马德普拉塔定Mar lll Plat rgentpxn ? a,设J为滑BC。下怠 A所对旁并且分别是。 该旁并且边边碌相切 cM h 请諴,ABAC分对相切 cK和L碇P,LM和BJ N交 cF分碇P,KM 请CJ N交 cG。缴鑃 侵P,AF销妆边 a叫点 h鉚 侵P,AG销妆边 a叫点碇? b:M 是B 上ST稀9旒^马尼痊BC。下怠! A所对;旁并且线指边边碌相切船 a且边AB,悻怠 a延长线相切的 且傺览得寺希腊
12一设 蔮n咻3垃正: 2c, A ?自ag 么条?2a3?an=健? b:D岚舜 寻找使(1 ? aP)2 (1 ? a3 ) 2(1 ? an)n2 nn∞马3一“欺诈猜数游戏ū论接圆舒家甲 业苯m它形戏依赖于叫甲 叶贾 A整际k和n。
34thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?游戏开始时甲先选尔两圆整际x和N ,1≤x≤ 。甲如实告诉乙N侧1担詘守口如瓶。乙现在图点 S如求
式 a提问来获得箂 2x。信息:然聪提问连滓鹊选 赌谟苫舾 首槌伞<逽(可以重复使用之前提问諴市用 故,集哼玫盟始住皒 否郁于S ?∵裰乙可以提坏恪}量的题ɡ 3乙然聪提问之后 P甲必须自 遥嵛柿⒖袒卮稹靶胃被颉胺瘿宾 P甲可以说谎话船 a且说谎长次适没内限制它唯幼械 拗 羌 3坏恪浆续k +1次回答中至少内于次回答线真话ɡ 3乙问完所有想位数问题之后 P乙必须指出仔内至多包 n圆正整际,集哼X它若x郁于X它则乙获胜;否则甲获 胜ɡ ? b 海(辏┤鬾≥Pk自则乙棵罩 ?获胜;#≒2┒运 P充蜂大。整际齥垃粗论 蔮n咻1.99k,市一乙无丰亚 ?获胜ɡ砟峒幽么笠桓覣F点 P,函 "f 海? ? ? ni蔬一对点 P么条?+b+c=0觯是a自b,阶远

f (a)P
f (b)P
f (c)P
2 f (a个f (b)
2 f (b)韋 (显
2 f (显趂 (a个。
尼这里
表示 始牙赖盟履戏且桓5一譇、滑BC。下颠中,∠BCA= 90∠,D是腰、D 怠 a福直垂紫 设X B 上CD内部侧 直稀惺 B 上AX选 直2P市一BK=BC。L惺 B 上BX选 直2P市一AL=我嗦设M是AL 请BK碌慕械氵 O? b: MK= ML砟峁洛
1荐平AF点 P,正整际亲ni成一粗论非负整际 c, A ?自ag连么条er1 是是1 2 n2 A=' zy an 2 1 ? aP zy an 2 1 =4览且桓 1 2 2 牙3 3b3

第五y61 201点⊙览缏妆妊 圣玛尔塔定Santa Mart諧olumbDn ? a,O? b对盂坏恪Y 对正整际莐 鹤阕蕃定粗论涡〉哪
槐夭恢┯是m, mP2P?自mk,市一:er2小- 是娌 121+=琪21+绥2n 桫 m?a
娌 12娌 12琪2琪2傺1+;并1+绥2m绥2m髓 2髓 k. 2一坪 一的 4027≡簿疲 性 “哥伦比亚式吊集ū隽 剁果为中坏恪,吊 V p悉积伦隳 201点圆经是红色的, 2014返木抢渡略皑辣燮和 一画出仔组諴,连可冶将 C面 P确霍干区域崩剁果仔组諴,对 当圆“哥伦比亚式吊 集ū么条质述叫才能它我们就称这是 性病昂弥P,组ū隽海? 拯些諴,不疚腰该“哥伦比亚式吊集ū,坏何一圆毕2
然数区域中都不会数时具种两种颜色下D 蘼砬 小n 徊⒃ h市一对 点〉!案缏妆妊鞘降跫宾连定粗论由 小其諴,构确惮“好諴,组ū鲛马3一设 ABC。 (谢侧且经褹嗡裕慌圆⑶矣氲某の谙嗲谢 cb 类似地吃蜂对泵且经矣邡浊揖C硭裕慌圆⑶一1籆 A叱ひ坏氖挂B1 阈于长一的使褻 假设 ABC。 1B11 ,又交于于心在三BC。 (汹,又交于选O? b: 冬BC。 1边是智形,BC。ɡ砟崛珺C。 1边 a且经褹嗡裕慌圆⑶蚁咧副弑叱の Q切 a且边 杏 A怠 a延长 上相切的且傺且经矣分C硭裕慌圆⑶铱衫嗨魄籆宓@赖锚从侨痊BC。 1边是 性玻 A ABC。咙为垂是为矵2P侨齏鲜堑某の谘 直稀S肭揖臃諧砭恢睾摺  肫涠韵是腰、D 浔邡足怠 a福直垂紫 记冬BC。 BW 氲挠纸挥谖②ω, 侨齒鲜 ω1谝 直2P足訵X鲜 ω1诓嗔本丁@嗨频爻 记冬BC。 CWM a又交于微讦豍2P侨齓鲜 ω2谝 直2P足訵Y鲜 ω2诓嗔本丁? b:D 鋁它Y 鉎牍蚕さ@5一记 ?
>0 堑 P A有理组成。集哼蘼设函

f : 1>0er? ? 么条如求,圆才能:er35thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?(i) 对点 P, x, y zy (ii) 对点 P, x, y zy
>0献远

f(x)f(y)≥f(xy2f(x+y)≥f(x)+f(y);1>0隽

(iii) 粗论有理詂>12P市一 f(a)=a碇? b:对点 P, x zy>0er垃定内 f(x)=x。. 鲈采 蔮n咻3垃衟心周一有 n+1略残畏 稀S矛猎0,12P?自n 标记 庑┑阋匀皇 W智『糜肅 次。考虑点 P可恪 的标记方誓;剁果仔种标记方誓可冶由另一种标记方誓点 S且分旋左一到自那么认微 〗又直昙欠绞男蔚直?圆傺一种标记方誓酒,是“漂亮。俦 P剁果对 坏泮么条?+;d= b+;c a四圆标记际莂< b< c< d分连接标騛满足d a使。弦连接标騜 鹤憬 a使。弦迁不 Q15m侨齅 是漂亮。标记方誓 a总 A智三N∠呙刺跞?+;y ≤22P足詆cd(x, y高= 1 , P厄正整际对 (x, y T瞴牙O? b: M= N+;9裰

36thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?
37thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?
第五y61 2015恪牙. 2015恪 7 月b1 日,星期五
第 1 题词我们称坪 一 赌谟灾蕖跫痟S 瞧汉〉 P剁果对坏恪接圆的数。使 ,臃侄ù致畚S 諴 赌诰C砻刺跞A怠=长嗡颐浅苃S 俏薰焓嵌 P剁果对 S 諴坏恪,的不同祷□ ,B,嗡ú淮致畚S 諴,切 c)P连么条 PA= P于=鸓C. (a窸? b:对没数整际閚∞ 3垃均粗论切圆由阕诘愎谷返汉〉跫. (b)确定所 P, 蔮n∞ 3垃有一粗论切圆由阕诘愎谷返汉∏椅薰焓嵌说跫. 第 2 题词确定所 P三预 首(作,c)市一 ab- c, bc - a, ca - b 諴,然数 6ㄏ遙2 侧方幂. (2 侧方幂线指。如b2 侧整际 h为中A1 是 赌诜歉赫.)
1. 第 点题词在扔 A滑BC。 A北咧P面 B>礎C.侨齬 堑朐纸挥 PHS蔚朐故牵谾鲜怯汕揖A未λV贝棺仙琈鲜堑某の诓嗔盏阋訯 是齬涎 直2P市一∠HQA= 90∠,K惺 齬涎 直2P市一∠HKQ= 90∠,譇、□ ,B,,K,Q幕ゲ悔 Q数咙且按此顺序排列论蝦涎〕蘋? b:痊BC。 KQH a又交于 ABC。 FKM 原又交于相切.

38thirnational Mathematical Olympiad
tan? ? 2015恪 7 月b11 日,星期六 第 4闾獯试谌珺C。 1边諴面Ω 瞧溆纸挥 PO39其又心.阍b角为于心。 赌谛 r 请B 上缺边交 a□ 啄和 E自成一 B,D,E,C幕ゲ Q数咙 a且按此顺序排列论諴, 北哐〕侨鼺您足G惺 齬虾挺 原距的使。叫点 h侨齃惺 痊BC。 CGE校 外交于B 上菴A徊嗑硪辉步械愦蛹偕柚P, FK→足GL幕ゲ Q数咙足交 使襒.O? b:X A1P, 琌涎〕痰 5闾獯是三R邮侨澹 J.AF点 P,函 "f 篟→R.么条对坏恪: (匈瑈宫定内

f(?+;f(x+;y))
+;f(xy)=?+;f(x+;y)+;yf(x) 第 6闾獯收市蛄序a1隽 az ?2P?么条质的才能: (i)对然数整际bj∞ 12P有 1 = azj∞ 2015;#↖I2┒曰点≌是1 = k< ξ咙性萲 + azk ≠ ξ + azξ O? b:粗论接圆正整际莃 鹤鉔2P市一 对点 P么条 n>祄 ≥ 氲恼示凳.

jnmzy?a
( 2


jer? b蕞愚躡1 {72er39thirnational Mathematical Olympiad
tan? ?第五y61 2016恪牙

40thirnational Mathematical Olympiad
tan? ? 41ster

相关文章:
2016年新课标Ⅲ文综历史高考试题文档版(含答案)
2016年新课标Ⅲ文综历史高考试题文档版(含答案)_政史地_高中教育_教育专区。绝密★启封前 2016 普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ) 文科综合(历史部分)注意...
1959年至2013年IMO试题
1959年至2013年IMO试题_数学_高中教育_教育专区。从第一届到最近一届的国际数学...有可能 吗?证明你的答案。 (波兰) 6. 设 a、b、c 是三角形的三边。求证...
1959年至2012年IMO试题
1959年至2012年IMO试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。精品文档,值得一读!...有可能 吗?证明你的答案。 (波兰) 6. 设 a、b、c 是三角形的三边。求证...
1995年第三十六届IMO试题(不含答案)
1995年第三十六届IMO试题(不含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。第三十六届(1995 ) 加拿大 多伦多(Toronto,Canada) 1. 设 A、B、C、D 是按顺序在一...
2016年上海中考语文试卷(含答案)
2016年上海中考语文试卷(含答案)_中考_初中教育_教育专区。2016 年上海中考语文...⑤1959 年秋,我上小学。那年冬天,爸妈因故很长时间不能住在家。姐姐是长女,...
1965年第七届IMO试题(不含答案)
1965年第七届IMO试题(不含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。第七届(1965 ...1959年至2016年历届IMO试... 41页 1下载券 第56届IMO试题解答 5页 免费 ...
1998年第三十九届IMO试题(不含答案)
1998年第三十九届IMO试题(不含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。第三十九届(1998 ) 中国台湾 台北(Taipei,Taiwan) 1. 在凸四边形 ABCD 中,对角线 AC ...
2011-2016年新课标全国卷理科综合(不含答案)
2011-2016年新课标全国卷理科综合(不含答案)_高考_...59 Cu 64 Zn 65 Ge 73 Br 80 Ag 108 Ba 137...年新课标全国卷第I卷一、选择题:本大题共 13 小...
1964年第六届IMO试题(不含答案)
1964年第六届IMO试题(不含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。第六届(1964 ...1959年至2016年历届IMO试... 41页 1下载券 第56届IMO试题解答 5页 免费 ...
2015—2016年时事政治试题含答案
2015—2016年时事政治试题含答案_公务员考试_资格考试...A.北约集团 参考答案:C 59、2015 年是联合国成立...
更多相关标签:
历届imo试题解答 | 历届imo试题解答 pdf | 历届imo试题集 | 历届imo金牌 | 历届imo试题 | 1959年到2016年多少岁 | 2016imo试题 | 2016imo |