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高考数学等差等比数列综合


3.6 等差等比数列综合
——高考中的数列大题多是综合性的,等差、等比或再与其它数列综合,或与函数、 方程不等式综合

一、明确复习目标
1.在解综合题的实践中加深对基础知识、 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通 各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力. 2.培养善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高用函数的 思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养主动探索的精神和科学理性的思维方法

二.建构知识网络
1.等差、等比数列是两种最基本、最常见的数列,灵活地运用等差、等比数列的性 质,能使问题简化; 2.从等差、等比数列中按某种规律,抽取某些项,依次组成一个等比数列,是等差、 等比数列综合题中的较重要的类型,要认真体会. 3.用函数的观点和方法揭示等差数列和等比数列的特征,在分析和解决有关数列的 综合题中具有重要的意义. 4.等差数列的补充性质

?1? 若?an ? , ?bn ? 均为等差数列, 且公差分别 为d1 , d 2 , 则数列? pan ? , ?an ? q? , ?an ? bn ? 也为等
差数列, 且公差分别为pd1 , d1 , d1 ? d 2 .

(2)若 a1>0,d<0,Sn 有最大值,可由不

等式组 ?

? an ? 0 来确定 n。 ?an?1 ? 0 ? an ? 0 来确定。 ?an?1 ? 0

若 a1<0,d>0,Sn 有最小值,可由不等式组 ? 5.等比数列的补充性质

?1? ?a ? 若?an ?, ?bn ?均为等比数列, 且公差分别为q1, q2 , 则数列?pan ?, ? ?, ?an ? bn ?, ? n ?, an ? an ? ? bn ? 1 p 也为等比数列, 且公差分别为pq, , pq, , q . q q

三、双基题目练练手
1.已知数列{an}满足 an+2=-an(n∈N*) ,且 a1=1,a2=2,则该数列前 2006 项的和为 A.0 B.-3 C.3 D.1 ( )

2.若关于 x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为 数列,则 a+b 的值是 A.

1 的等差 4
( )

3 8

B.

11 24

C.

13 24

D.

31 72

3. (2006 湖北)若互不相等的实数 a、 b、 c 成等差数列, c、 a、 b 成等比数列, 且 a+3b+c=10, 则 a= ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 4.若数列{an}前 8 项的值各异,且 an+8=an 对任意的 n∈N*都成立,则下列数列中,能 取遍数列{an}前 8 项值的数列是 ( ) A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1} 5.(2004 春上海)在等差数列{an}中,当 ar=as(r≠s)时,数列{an}必定是常数列, 然而在等比数列{an}中,对某些正整数 r、s(r≠s) ,当 ar=as 时,非常数列{an}的一个例 子是_______________. 6.(2004 北京)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为 同一常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列{ an}为等和数列,且 a1 =2,公和为 5,那么 a18 的值为__________,这个数 列的前 n 项和的计算公式为________.

简答:1-4.CDDB;
1.由题意,隔项成等比数列,公比为-1, a1+a2+a3+a4=0.S2006=3. 2. 依题意设四根分别为 a1、 a2、 a3、 a4,公差为 d, a1= a1+a4=a2+a3,所以 a1+a4=a2+a3=1.

1 , a1+a2+a3+a4=1+1=2. 又 4

3 1 5 7 ,d= ,a2= ,a3= . 4 6 12 12 31 故 a+b=a1a4+a2a3= .答案:D 72
∴a4= 4.当 k 分别取 1,2,3,4,5,6,7,8 时,a3k+1 分别与数列中的第 4 项,第 7 项, 第 2 项,第 5 项,第 8 项,第 3 项,第 6 项,第 1 项相等,故{a3k+1}能取遍前 8 项.答案: B 5.只需选取首项不为 0,公比为-1 的等比数列.答案:a,-a,a?(a≠0) 6. an=5-an-1, a18=3; 当 n 为偶数时,Sn= n;当 n 为奇数时,Sn= n- 。
5 2 5 2 1 2

四、经典例题做一做
【例 1】 (2005 北京海淀模拟) 在等比数列{an} (n∈N*) 中, a1>1, 公比 q>0.设 bn=log2an, 且 b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列;

(2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an; (3)试比较 an 与 Sn 的大小. 剖析: (1)定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论. (1)证明:∵bn=log2an,∴bn+1-bn=log2 且公差 d=log2q. (2)解:∵b1+b3+b5=6,∴b3=2. ∵a1>1,∴b1=log2a1>0. ∵b1b3b5=0,∴b5=0.

a n ?1 =log2q 为常数.∴数列{bn}为等差数列 an

?b1 ? 2d ? 2, ?b1 ? 4, ∴? 解得 ? ?d ? ?1. ?b1 ? 4d ? 0.
∴Sn=4n+

9n ? n 2 n(n ? 1) ×(-1)= . 2 2

1 ? ?log 2 q ? ?1, ?q ? , ∵? ∴? 2 ?log 2 a1 ? 4, ?a ? 16. ? 1
∴an=25 n(n∈N*).


(3)解:显然 an=25 n>0,当 n≥9 时,Sn=


n(9 ? n) ≤0. 2

∴n≥9 时,an>Sn. ∵a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=

1 1 1 ,a7= ,a8= ,S1=4,S2=7,S3=9,S4=10, 2 4 8

S5=10,S6=9,S7=7,S8=4, ∴当 n=3,4,5,6,7,8 时,an<Sn; 当 n=1,2 或 n≥9 时,an>Sn. 评述:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想. 【例 2】 (2002 春北京)已知点的序列 An(xn,0) ,n∈N*,其中 xl=0,x2=a(a> 0) ,A3 是线段 AlA2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 An-2An-1 的中点,?. (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间的关系式(n≥3) ; (2)设 an=xn+1-xn,计算 al,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证 明.

x n?1 ? x n?2 . 2 x ? x1 1 1 (2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2= 2 -x2=- (x2-x1)=- a, 2 2 2
解: (1)当 n≥3 时,xn=

x3 ? x2 1 1 1 1 -x3=- (x3-x2)=- (- a)= a, 2 2 2 4 2 1 - 由此推测:an=(- )n 1a(n∈N*). 2 x ? x n ?1 x ? xn 1 证明如下:因为 a1=a>0,且 an=xn+1-xn= n -xn= n ?1 =- (xn-xn-1) 2 2 2 1 1 - =- an-1(n≥2) ,所以 an=(- )n 1a. 2 2
a3=x4-x3= 【例 3】 已知 f(x)=( x + 2 )2(x≥0) ,又数列{an}(an>0)中,a1=2,这个 数列的前 n 项和的公式 Sn(n∈N*)对所有大于 1 的自然数 n 都有 Sn=f(Sn-1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=

a n?1 ? a n (n∈N*) ,求证 lim (b1+b2+?+bn-n)=1. n?? 2a n?1 a n

2

2

解: (1)∵f(x)=( x + 2 )2, ∴Sn=( S n ?1 + 2 )2. ∴ S n - S n ?1 = 2 .又 a1 = 2 , 故有 S n = 2 +(n-1) 2 =n 2 , 即 Sn=2n2(n∈N*). 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2; 当 n=1 时,a1=2,适合 an=4n-2. 因此,an=4n-2(n∈N*).

a ? an 1 1 (2)∵bn= n ?1 =1+ - , 2a n?1 a n 2n ? 1 2n ? 1
∴b1+b2+b3+?+bn-n=1-

2

2

1 . 2n ? 1
n??

从而 lim (b1+b2+?+bn-n)= lim (1-
n??

1 )=1. 2n ? 1

温馨提示:由于已知条件给出的是 Sn 与 Sn-1 的函数关系,求出 Sn 就可求出 an.
【例 4】 (2005 北京东城模拟)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项、 第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意正整数 n 均有

c c c1 c + 2 + 23 +?+ n ?n =(n+1)an+1 成 b1 mb2 m b3 m 1bn

立,其中 m 为不等于零的常数,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解: (1)由题意得(a1+d) (a1+13d)=(a1+4d)2,整理得 2a1d=d2. ∵a1=1,解得 d=2(d=0 不合题意舍去) , ∴an=2n-1(n=1,2,3,?). - 由 b2=a2=3,b3=a5=9,易求得 bn=3n 1(n=1,2,3,?). (2)当 n=1 时,c1=6; 当 n≥2 时,

m

cn n ?1

bn

=(n+1)an+1-nan=4n+1,


∴cn=(4n+1)mn 1bn=(4n+1) (3m)n 1.


?6 ∴cn= ? n ?1 ?(4n ? 1)(3m)
当 3m=1,即 m=

n ? 1, n ? 2,3,4,? ? ?.

1 时, 3

Sn=6+9+13+?+(4n+1) =6+

(n ? 1)(9 ? 4n ? 1) 2 1 时, 3

=6+(n-1) (2n+5)=2n2+3n+1. 当 3m≠1,即 m≠

Sn=c1+c2+?+cn,即 - - Sn=6+9· (3m)+13· (3m)2+?+(4n-3) (3m)n 2+(4n+1) (3m)n 1. ① 2 3 n-1 n 3mSn=6·3m+9· (3m) +13· (3m) +?+(4n-3) (3m) +(4n+1) (3m) . ② ①-②得 - (1-3m)Sn=6+3·3m+4· (3m)2+4· (3m)3+?+4· (3m)n 1-(4n+1) (3m)n - =6+9m+4[ (3m)2+(3m)3+?+(3m)n 1]-(4n+1) (3m)n =6+9m+ ∴Sn= ∴Sn=

4[(3m) 2 ? (3m) n ] -(4n+1) (3m)n. 1 ? 3m

6 ? 9m ? (4n ? 1)(3m) n 4[(3m) 2 ? (3m) n ] + . 1 ? 3m (1 ? 3m) 2

?2n 2 ? 3n ? 1 ? ? 6 ? 9m ? (4n ? 1)(3m) n 4[(3m) 2 ? (3m) n ] ? ? 1 ? 3m (1 ? 3m) 2 ?

1 m? , 3 1 m? . 3 温馨提示(1)已知→公差→an 和 b,进而求出通项 n;
(2)→

m bn

n n ?1

c

? ? →Cn→Sn.
1 的等比数列,Sn 为它的前 n 项和, 2

【研讨.欣赏】已知{an}是首项为 2,公比为 (1)用 Sn 表示 Sn+1; (2)是否存在自然数 c 和 k,使得 解: (1)∵ Sn ? 4(1 ? ∴ Sn ?1 ? 4(1 ?

S k ?1 ? c ? 2 成立。 Sk ? c

1 2n

)

1 2
n ?1

1 ) ? Sn ? 2 2
3 c ? ( S k ? 2) 2 ? 0 (*) c ? Sk

S ?c (2) k ?1 ?2? Sk ? c

∵ Sk ? 4(1 ?

1 2k

)?4

3 1 ∴ Sk ? ( Sk ? 2) ? 2 ? Sk ? 0 2 2 3 ∴ 式(*) ? Sk ? 2 ? c ? Sk 2
∵ Sk+1>Sk ∴ ①

3 3 Sk ? 2 ? S1 ? 2 ? 1 2 2

又 Sk<4 ∴ 由①得:c=2 或 c=3 当 c=2 时 ∵ S1=2 ∴ k=1 时,c<Sk 不成立,从而式①不成立 ∵

3 5 S2 ? 2 ? ? c 2 2

3 3 ∴ 由 Sk<Sk+1 得: S k ? 2 ? Sk ?1 ? 2 2 2

3 ∴ 当 k≥2 时, Sk ? 2 ? c ,从而式①不成立 2
当 c=3 时,S12,S2=3 ∴ 当 k=1,2 时,C<Sk 不成立 ∴ 式①不成立 ∵

3 13 3 3 S3 ? 2 ? ? c , S k ?1 ? 2? Sk ? 2 2 4 2 2

3 ∴ 当 k≥3 时, Sk ? 2 ? c ,从而式①不成立 2
综上所述,不存在自然数 c,k,使
S k ?1 ? c ? 2 成立 Sk ? c

五.提炼总结以为师
1.等差与等经数列的综合,数列与函数、不等式、方程、等内容的综合. 2.转化化归思想.函数方程思想;重点是运用所学知识综合解决问题的能力.

例题简答

同步练习

3.6 等差等比数列综合
( )

【选择题】 1.在等比数列{an}中,a5+a6=a(a≠0) ,a15+a16=b,则 a25+a26 的值是 A.

b a

B.

b2 a2

C.

b2 a

D.

b a2
5 9

2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a 5 = ,则 S 9 =

a3

S5

(

)

A1

B -1

C

2

D

1 2

3.若数列 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项 和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是: A .4005 , B 4006, C. 4007 , D .4008 ( )

【填空题】 4.a1,a2,?,a2n+1 成等差数列, 且下标为奇数的项的和为 60, 下标为偶数的项的和为 45, 则该数列的项数是 5.若数列 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则

(a1 ? a 2 ) 2 的取值 b1 ? b2

范围是___________________. 6. 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 {an} 的 第 二 、 三 及 第 六 项 构 成 等 比 数 列 , 则

a1 ? a 3 ? a 5 =_____. a2 ? a4 ? a6

简答提示: 1-3.CAB;
1.由等比数列的性质得三个和成等比数列; 2.

s9 9(a1 ? a9 ) 9a5 ? ? ? 1; s5 5(a1 ? a5 ) 5a3

3.a2003>0,a2004<0,a2003+a2004>0 则 a1+a4006>0,故 S4006>0.S4007<0. 法二:二次函数 Sn 的对称轴在 2003 和 2004 之间,靠近 2003,故 S4006>0,S2007<0. 4.7.(直接列方程) 5.a1+a2=x+y;xy=b1·b2. ∴

(a1 ? a 2 ) 2 ( x ? y ) 2 x y = = + +2. y x b1 ? b2 x? y

答案: [4,+∞)或(-∞,0] 6.由 a32=a2·a6,得公差 d=-2a1,故

a1 ? a 3 ? a 5 ? 9a1 3 3 == = .答案: a2 ? a4 ? a6 ? 15a1 5 5
【解答题】 7.设 f(k)是满足不等式 log2x+log2(3·2k-1-x)≥2k-1(k∈N*)的自然数 x 的个 数. (1)求 f(k)的表达式; (2)记 Sn=f(1)+f(2)+?+f(n) ,Pn=n2+n-1,当 n≤5 时试比较 Sn 与 Pn 的大小. 解: (1)由不等式 log2x+log2(3·2k-1-x)≥2k-1,得 x(3·2k-1-x)≥22k-1,解 之得 2k-1≤x≤2k,故 f(k)=2k-2k-1+1=2k-1+1. (2)∵Sn=f(1)+f(2)+?+f(n)=1+2+22+23+?+2n-1+n=2n+n-1,

∴Sn-Pn=2n+n-1-(n2+n-1)=2n-n2. 又 n≤5,可计算得 S1>P1,S2=P2,S3<P3,S4=P4,S5>P5. 8.已知函数 f ?x ? ?

1 x ?4
2

?x ? ?2? ,

(1)求 f

?1

?x ?

(2) 设 a1 ? 1,

1 a n?1

??f

?1

?an ??n ? N ? ?, 求an 设 bn ? a 2 n?1 ? a 2 n?2 ? ? ? a 2 2n?1 是否存
k 成立?若存在,求出 k 的值,若不存 25

? 在最小的正整数 k,使对任意 n ? N 有 bn ?

在,说明理由? 解: (1)由题 f
?1

?x ? ? ?
1
2

1 ? 4 ? x ? 0? x2 1 an?1
2

(2)由

1 a n ?1

?

an

? 4 得 an?1 ? 0, 且

?

1 an
2

?4

所以

1 an
2

? 4n ? 3 即 a n ?

1 4n ? 3
k 成立 25

? (3)先证明{bn}是单调递减数列,所以要对任意 n ? N 有 bn ?

只须满足 b1 ?

k 即可,解得存在最小的正整数 k=8 满足条件。 25

9.

已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4 1 .4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ?1)bn (n ? N ? ) ,证明:?bn ? 是等差数

列; 解(I) :? an?1 ? 2an ? ( 1 n ?,)N *

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。

? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ).
b ?1 b ?1 b ?1

(II)证法一:? 4 1 4 2 ...4 n

? (an ? 1)bn .

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0,

① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。
证法二:同证法一,得

(n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0
令 n ? 1, 得 b1 ? 2. 设 b2 ? 2 ? d (d ? R), 下面用数学归纳法证明 (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立。 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ?1)d , 那么

bn ? 2 ? (n ? 1)d .

bk ?1 ?

k 2 k 2 bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立。 根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ? 1)d 对任何 n ? N 都成立。
*

?bn?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列。
10.(2005 春北京)已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18;{bn}是等差数列,b1=2, b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式; (3)设 Pn=b1+b4+b7+?+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+?+b2n+8, 其中 n=1,2,?,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论. 剖析:将已知转化成基本量,求出首项和公比后,再进行其他运算. 解:(1)设{an}的公比为 q,由 a3=a1q2 得 q2=

a3 =9,q=±3. a1

当 q=-3 时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20, 这与 a1+a2+a3>20 矛盾,故舍去. 当 q=3 时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意. 设数列{bn}的公差为 d,由 b1+b2+b3+b4=26 得 4b1+ 又 b1=2,解得 d=3,所以 bn=3n-1. (2)Sn=

4?3 d=26. 2

n(b1 ? bn ) 3 2 1 = n + n. 2 2 2 n(n ? 1) 9 5 ·3d= n2- n; 2 2 2

(3)b1,b4,b7,?,b3n-2 组成以 3d 为公差的等差数列, 所以 Pn=nb1+

b10,b12,b14,?,b2n+8 组成以 2d 为公差的等差数列,b10=29,

n(n ? 1) ·2d=3n2+26n. 2 9 5 3 Pn-Qn=( n2- n)-(3n2+26n)= n(n-19). 2 2 2
所以 Qn=nb10+ 所以,对于正整数 n,当 n≥20 时,Pn>Qn; 当 n=19 时,Pn=Qn; 当 n≤18 时,Pn<Qn. 评述:本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问 题和解决问题的能力.

【探索题】

设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足 5 a n , 5 bn , 5 an ?1 成等比数列, lgbn, lgan+1, lgbn+1 成等差数列,且 a1=1,b1=2,a2=3,求通项 an、bn. 剖析: 由等比中项、 等差中项的性质得 an+1= bn ? bn?1 递推出 an= bn?1 ? bn (n≥2) . 解:∵5 a n ,5 bn ,5 an ?1 成等比数列, ∴(5 bn )2=5 a n ·5 an ?1 ,即 2bn=an+an+1. 又∵lgbn,lgan+1,lgbn+1 成等差数列, ∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1,即 an+12=bn·bn+1. 由②及 ai>0,bj>0(i、j∈N*)可得 an+1= bn ? bn?1 . ③ ∴an= bn?1bn (n≥2). ①





将③④代入①可得 2bn= bn?1 ? bn + bn ? bn?1 (n≥2) , ∴2 bn = bn?1 + bn?1 (n≥2). ∴数列{ bn }为等差数列.
∵b1=2,a2=3,a22=b1·b2,∴b2=

9 . 2



( bn = 2 +(n-1)

9 - 2) 2

=

1 2

(n+1) (n=1 也成立).

∴bn=

(n ? 1) 2 . 2

∴an= bn?1 ? bn = =

n 2 (n ? 1) 2 ? 2 2

n(n ? 1) (n≥2). 2 n(n ? 1) . 2

又当 n=1 时,a1=1 也成立. ∴an=


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高考数学专题五数列第练等差数列与等比数列交汇题练习创新
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高考数学等差等比数列综合
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