当前位置:首页 >> 数学 >>

1圆的标准方程


一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径

当圆心位置与半径大小确定后,圆就 唯一确定了.
因此一个圆最基本的要素是 圆心和半径.

圆的标准方程
如图,在直角坐标系中,圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心C (a,b) 的距离. y M(x,y) 则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } O C x

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y) O x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

圆的标准方 程 若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

练习
) 1、圆心为 A(2,?3,半径长等于5的圆的方程为( B ) A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
2、圆 (x-2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r 分别为(D ) A C(2,0) r = 2 B C( – 2,0) r = 2 C C(0,2) r = 2 D C(2,0) r= 2

3、已知 M

(5,?7) 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25
B

,则点M在 ( A 圆内

) C 圆外 D 无法确定

B圆上

判断一个点在不在某个圆上,只需将 这个点的坐标代入这个圆的方程,如果能 使圆的方程成立,则在这个圆上,反之如 果不成立则不在这个圆上.

内呢?还是在圆外呢?

点与圆的位置关系 2 2 2 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r

如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到:

点在圆上 ? d =r ; 点在圆外 ? d > r ;
点在圆内

y

M2 x

o
M3 A

?

d <r

问题1.求圆的标准方程

例1:以C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆. y
解:设所求圆的半径为r 则:

r?

| 3 ? 1- 4 ? 3 - 7 | 3 ?4
2
2 2

16 = 5

C
M

O

x

∴所求圆的方程为:

256 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 25
2

圆心:已知

半径:圆心到切线的距离

例2 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和

B(2, -2),且圆心C在直线上l:x -y +1=0, 求圆心为C的圆的标准方程.
解:设圆的方程为( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2
由已知得: a ? b ? 1 ? 0 ? ? (1 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?
解得: a
A(1,1) y

O

x B(2,-2)

? ?3, b ? ?2, r ? 5 l : x ? y ? 1 ? 0
( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

圆心为C的圆的标准方程

y A(1,1) O C

弦AB的垂 直平分线

D

x B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点

解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的 坐标 ( 3 ,? 1 ), 直线AB的斜率: ? 2 ?1 k AB ? ? ?3 2 2
因此线段AB的垂直平分线

l 的方程是
? x ? ?3, 得 ? ? y ? ?2.

'

2 ?1

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2
解方程组

即 x ? 3y ? 3 ? 0

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0

圆心C的坐标是
圆心为C的圆的半径长

(?3,?2)
( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5

所以,圆心为C的圆的标准方程

例3
解:设圆的方程为( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

y

(1)
(2)
O x

(3)

例4 下图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图. 该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建 造时每隔4m需要用一个支柱支撑,求支 柱的 A2 P2 长度(精确到0.01m).
P2 y P x

A

A1

A2 O

A3

A4

B

:建立坐标系如图所示.圆心的坐标 A A A O A A B 2 2 2 22+(y-b)2=r2 圆的方程是: x 是(0,b),圆的半径是r,那么 2 1 2 2 3 2 4 2 圆的方程是: x2+(y-b)2=r2 2 因为P、B都在圆上,所以: 2 因为P、B都在圆上,所以: 2 2 2 22 2 2 22 2 2 把P2的横坐标x=-2代入得: ?0 ? (4 ? b) 2? r 2 2 把P2的横坐标x=-2代入得: 2 ? ? 2 2 2 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 2 2 2 ?
2 2 2

? 0 (4??(b4) ?? b) ? r (-2) +(y+10.5) =14.5 r (-2) +(y+10.5) =14.5 ?0 ? ? ? 10 ? (0 ? b) ? r ? 010? (0(??)b?)r?? 解得:y≈3.86(m) ?0??(44b? b) r r 解得:y≈3.86(m) ??
把P 的横坐标x=-2代入得:
2 2

圆的方程是: x +(y-b) =r AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m 圆的方程是: x2+(y-b)2=r2 y P 因为P、B都在圆上,所以: 解:建立坐标系如图所示.圆心的坐标 需要用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度. P 因为P、B都在圆上,所以: 是(0,b),圆的半径是r,那么 把P2的横坐标x=-2代入得:x 2 2 2
2

? ?10 ? (0 ? b) ? r (-2) +(y+10.5) =14.5 ( b) 2 ?10? ? -0 ?r2=14.52 ?2 r 2 解得:y≈3.86(m) 2 解得:b=?10.5-10.52,r r 解得:b=, b) ? =14.5 解得:b=-0 ? ,r =14.5 解得:y≈3.86(m) ?10 ( 10.5 答:支柱A2P答:支柱A2P22P的长度约为 的长度约为 答: 支柱A 2的长度约为 2 所以这个圆的方程是: 所以这个圆的方程是: 所以这个圆的方程是: 3.86(m) 3.86(m) 3.86(m) 2=14.52 x 解得:b=-10.5,r +(y+105) =14.5
2 x2+(y+10.5)2=14.5答:支柱A P 的长度约为 x2+(y+105)2=14.52
2 2 2

所以这个圆的方程是:

22

1.圆的标准方程

小结
y

圆心C(a,b),半径r

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

A

2.圆心
①两条直线的交点 (弦的垂直平分线) ②直径的中点
C B

3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离

O C

x


相关文章:
4.1.1圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程 - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案
《4.1.1圆的标准方程》同步练习1
《4.1.1圆的标准方程》同步练习1 - 《4.1.1圆的标准方程》同步练习1 一、选择题 1.(2013~2014·绍兴高二检测)圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是( A. 13...
《圆的标准方程》教学设计 (1)
§2.2 圆与圆的方程 圆的标准方程(第一课时) 颍上一中 施培松 一、教材分析 圆是我们学生比较熟悉的曲线,也是解析几何中比较重要的曲线,是在学生学习 了直线...
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案 - 圆的标准方程 教学目标 (1)在理解推导过程的基础上,掌握圆的标准方程的形式特点,理解方 程中各个字母的含义,...
最新【精品中职数学教案】8.3.1圆的标准方程教学设计 精品
8.3.1 圆的标准方程 【教学目标】 1.掌握圆的标准方程,并能根据圆的方程写出圆心坐标和半径. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 3.进一步培养学生数形结合能力...
《4.1.1圆的标准方程》同步练习2
《4.1.1圆的标准方程》同步练习2 - 《4.1.1圆的标准方程》同步练习2 1.已知点P(a,a+1)在圆x2+y2=25内部,那么a的取值范围是( A.-4<a<3 B.-5
§4.1.1圆的标准方程学案
§4.1.1圆的标准方程学案 - 2015-2016 学年高一年级 §4.1.1 圆的标准方程 编写: 班级 姓名 学号 数学导学案 21 【学习目标】1.掌握圆的定义及标准方程; ...
2015-2016学年高中数学 4.1.1 圆的标准方程练习
2015-2016学年高中数学 4.1.1 圆的标准方程练习_数学_高中教育_教育专区。4.1.1 题号 答案 1 2 3 4 5 圆的标准方程 6 7 8 9 10 11 得分 一、选择题...
17-18版 第4章 4.1.1 圆的标准方程
3-2?2+?2-3?2= 2<r, ∴点 P 在圆内. 【答案】 C [小组合作型] 直接法求圆的标准方程 (1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程...
4.1.1圆的标准方程导学案
4.1.1圆的标准方程导学案 - 4.1.1 圆的标准方程 班级: 问题引航 姓名: 编者:古明月 高一数学备课组 1.确定圆的几何要素是什么?圆的标准方程是什么? 2.点...
更多相关标签: