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函数的单调性与导数


判断函数单调性有哪些方法?

定义法 图象法

y ? x3 ? 3 x ?
2 y ? x 比如:判断函数 的单调性。

y

y ? x2

如图:

减 函数, 函数在 (??, 0)上为____ 增 函数。 在 (0, ??) 上为____<

br />
o

x

动态 演示 函数及图象
y
o y
y ? f ( x)

单调性

切线斜率 导数的正负 k 的正负

f ( x) ? x2

在(??,0)上递减
在(0, ??)上递增

x

o a
y

b x
y ? f ( x)

o a

b x

在某个区间(a, b)内,

f '( x ) ? 0

? f ( x)在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0
注意:

? f ( x)在(a, b)内单调递减

应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必 是定义域内的某个区间。

1.应用导数求函数的单调区间 基础训练:
(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
增 (1) 函数y=x-3在[-3,5]上为__________ 函数。 增 函数, (2) 函数 y = x2-3x 在[2,+∞)上为_____ 减 函数,在[1,2]上为__ 在(-∞,1]上为______

__________________________________ 函数。 既不是增函数,也不是减函数

理解训练:
求函数 y ? 3 x 2 ? 3 x 的单调区间。
1 1 令y ' ? 0得x ? , 令y ' ? 0得x ? 2 2 1 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( , ?? ) 2 1 单调递减区间为 ( ??, ) 2 变1:求函数 y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间。

解: ? y ' ? 6 x ? 3

解: ? y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2)
2

2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3

2

1°什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便?

总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。 2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤? ①求定义域

②求 f '( x )

③令f '( x ) ? 0解不等式 ? f ( x )的递增区间
f '( x ) ? 0解不等式 ? f ( x )的递减区间 ④求定义域

(04年全国理)

函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数( B ) ? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C . ( , ) D. (2? , 3? ) 2 2 2 2

解: y ' ? x 'cos x ? x(cos x)'? (sin x)'
? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x
y o
2? 3?

y ? sin x
x

?

如图,当x ? (? , 2? )时, sin x ? 0,?? x sin x ? 0,

即:y ' ? 0

?该函数在(? , 2? )上为增函数。

2.应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息:

分析:
? f ( x )在此区间递减

当2 ? x ? 3时,f '( x ) ? 0;

当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0; ? f ( x)在此区间递增 当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0. ? f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降

试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解: f ( x )的大致形状如右图:

变化,切线平行x轴
y ? f ( x)

y A B

这里,称A,B两点为“临界点”
o

2

3 x

(04浙江理工类)

y ? f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y ? f ( x)
1 2 x

y

y ? f '( x )
2 x

o y

(A)

(B)
y

o

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

通过这堂课的研究,你明确了



你的收获与感受是
你存在的疑惑之处有




(课本) P101 4 , P107 A组 1

函数f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c , 其中a , b, c为常数, 当a ? 3b ? 0时,f ( x )在R上( A )
2

( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数


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