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【全程复习方略】2014年数学理(福建用)配套课件:第十章 第四节随机事件的概率


第四节 随机事件的概率

1.概率和频率 (1)频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是 频 否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的___ 数 ,称事件A出现的比例 f ? A ? ? n A 为事件A出现的_____. 频率 ___ n
n

(2)概率:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用 频率fn(A)来估计概率P(A).

2.事件的关系与运算(A,B分别代表事件A,B)
名称
包含 关系





A发生?B发生 B?A且A?B 若___________

结论 包含 事件A(事 事件B_____ 包含于 事件B) 件A_______
事件A与事件B相等 事件A与事件B的并事 件(或和事件) 事件A与事件B的交事 件(或积事件)

符号表示
B?A (或A?B) A=B

相等 关系

并( 和) A发生或B发生 事件 交( 积) A发生且B发生 事件 互斥 事件 对立 事件 不可能 事件 A∩B为_______ 不可能 事 A∩B为_______ 件,A∪B为必然事件

A∪B _____ (或A+B) ________ A∩B _____ (或AB) _______ A∩B=
A∩B= , P(A∪B)=1

事件A与事件B互斥
事件A与事件B互为对 立事件

3.概率的几个基本性质

0≤P(A)≤1 (1)概率的取值范围:___________.
1 (2)必然事件的概率为__.

0 (3)不可能事件的概率为__.
(4)概率的加法公式:

P(A)+P(B) 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=__________.
(5)对立事件的概率: 若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事 1 1-P(B) 件,P(A∪B)=__,P(A)=_______.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).

(1)事件发生的频率与概率是相同的.
(2)随机事件和随机试验是一回事. (

(
)

)

(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.

(
(

)
)

【解析】(1)错误.频率是在相同的条件下重复n次试验,频数与
试验次数的比值,它是概率的一个近似值,频率是随机的,概率 是一个客观存在的确定的数值. (2)错误.在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机 事件;条件每实现一次,叫做一次试验,如果试验结果无法确定, 叫做随机试验. (3)正确.由概率的定义可知,在大量重复试验中,概率是频率的

稳定值.
(4)错误.两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生 ,不

一定是同时发生.
答案: (1)× (2)× (3)√ (4)×

1.下列事件中不是随机事件的是 (A)某人购买福利彩票中奖

(

)

(B)从10只杯子(8只正品,2只次品)中任取2只,2只均为次品 (C)在标准大气压下,水加热到100℃沸腾

(D)某人投篮10次,1次也没投中
【解析】选C.由随机事件的概念可知,A,B,D均为随机事件,而C

为必然事件.

2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为 m , 若试验次
n

数n很大时,则P(A)满足( (A)P(A)≈ m
n (C)P(A)> m n

)

(B)P(A)<

m n m (D)P(A)= n

【解析】选A.由频率与概率的关系可知A正确.

3.甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,那么
(A)甲是乙的充分不必要条件

(

)

(B)甲是乙的必要不充分条件
(C)甲是乙的充要条件

(D)甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
【解析】选B.∵两个事件互斥,不一定对立,而两个事件对立, 一定是互斥的,∴甲 乙,乙?甲.

4. 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在 正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和 0.03,则抽验一件是正品(甲级品)的概率为_____. 【解析】记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B, 是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,因而抽验一件是正 品(甲级品)的概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.05-0.03= 0.92. 答案:0.92

5.盒子中共有除颜色不同其他均相同的3只红球,1只黄球, 若从中随机取出两只球,则它们颜色不同的概率为_____. 【解析】从盒子中取出两只球共有6种方式,其中颜色不同 的有3种,因此,它们颜色不同的概率为 3 ? 1 . 答案:
1 2 6 2

考向 1

随机事件、随机事件的频率与概率 )

【典例1】(1)下列叙述中错误的是(

(A)在2013年出生的366人中至少有2人的生日相同 (B)频率是随机的,在试验前不能确定,随着试验次数的增加, 频率一般会稳定于某个常数值,即概率 (C)若随机事件A发生的概率为P(A),则0<P(A)<1 (D)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中 奖的概率小于乙中奖的概率

(2)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件?
①从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签(除标有 数字不同外其他均相同)中任取一张,得到4号签; ②当a>1时,函数y=ax在定义域R上是增函数; ③当0<a<1时,函数y=ax在定义域R上是增函数; ④若a,b∈R,则a+b=b+a.

【思路点拨】(1)根据随机事件的频率与概率的关系以及概率 的性质来判断.(2)根据必然事件、不可能事件、随机事件的定 义判断.

【规范解答】(1)选D. 由于2013年共365天,因此同一年出生 的366人中至少有2人的生日相同,这一事件能发生,即选项 A 正确;由频率和概率的意义及相互关系,可知选项 B正确;由 于事件的分类为随机事件、必然事件和不可能事件,而 P(必 然事件)=1,P(不可能事件)=0,从而P(随机事件)∈(0,1), 即选项C正确;抽签是随机的且是等可能的,因此,甲、乙中 奖的概率相等,且均为 1 故选项D错误,故应选D.
6 ,

(2)①取到4号签,可能发生,也可能不发生,故此事件是随机
事件;②当a>1时,函数y=ax在定义域R上一定是增函数,故 此事件是必然事件;③当0<a<1时,函数y=ax在定义域R上是 减函数,不是增函数,故此事件是不可能事件;④对任意两个 实数,满足加法的交换律,故此事件是必然事件 .

【拓展提升】

1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而 概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能 性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 . 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验, 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率 .

【变式训练】某市2012年4月1日-4月30日对空气污染指数的
检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):

67,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,
91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.

根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优;在
51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻微污染;在

151~200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,
对该市一年内(365天)的空气质量为优或良的概率给出一个预

测.

【解析】该市一个月中空气质量为优的有2天,发生的频率为
13 1 空气质量为良的有26天,发生的频率为 , 因此空气质量 , 15 15 1 13 14 为优或良的频率为 + = , 视其频率为空气质量为优或良 15 15 15

这一事件发生的概率,故一年内该市空气质量为优或良的概率 为 14 .
15

考向 2

随机事件间的关系

【典例2】(1)下列命题:①将一枚硬币抛两次,设事件M:

“两次出现正面”,事件N:“只有一次出现反面”,则事件M
与N互为对立事件;②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为

互斥事件;③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事
件;④若事件A与B互为对立事件,则事件A+B为必然事件.其中,

真命题是(
(A)①②④

)
(B)②④ (C)③④ (D)①②

(2)某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅,记事件A为“只订甲
报”,事件B为“至少订一种报”,事件C为“至多订一种报”, 事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报也不订”.在①A与C; ②B与E;③B与D;④B与C中,互斥事件有________;对立事件 有_______.

【思路点拨】要判断两个事件是互斥事件还是对立事件,只需
找出各个事件包含的所有结果,根据它们之间能不能同时发生

即可.在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,即
可判断是否为对立事件.

【规范解答】(1)选B.对①,将一枚硬币抛两次,共出现{正,
正},{正,反},{反,正},{反,反}四种结果,则事件M与N 是互斥事件,但不是对立事件,故①错;对②,对立事件首先 是互斥事件,故②正确;对③,互斥事件不一定是对立事件, 如①中两个事件,故③错;对④,事件A,B互为对立事件,则 这一次试验中A,B一定有一个要发生,故④正确.

(2)①由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”,即
事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.②事件 B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发 生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不 发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立 事件.③ 事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”,即

有可能“不订甲报”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B
与D不是互斥事件.④事件B“至少订一种报”中有如下可能: “只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”,事件C“至 多订一种报”中有如下可能:“一种报也不订”“只订甲 报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不 是互斥事件. 答案:② ②

【互动探究】若本例题(1)①条件不变,根据抛掷结果试写出 三对对立事件. 【解析】由已知条件及对立事件的定义可知:对立事件有 ①“两次都是正面”与“至少一次反面”; ②“两次都是反面”与“至少一次正面”; ③“正反各一次”与“全正或全反”.

【拓展提升】 1.互斥事件的理解 (1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系 .

(2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的.
(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的.

2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集

合彼此的交集为空集.
(2)事件A的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事 件A所含的结果组成的集合的补集.

【变式备选】对同一试验来说,若事件A是必然事件,事件B是
不可能事件,则事件A与事件B的关系是( (A)互斥不对立 (C)互斥且对立 (B)对立不互斥 (D)不互斥、不对立 )

【解析】选C.不能同时发生,但必有一个发生,故事件A与事 件B的关系是互斥且对立.

考向 3

互斥事件、对立事件的概率

【典例3】(1)在一次投掷骰子的试验中,记事件A1={出现4

点},A2={出现大于3点},A3={出现小于6点},A4={出现6
点},下列等式中正确的是( )

(A)P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
(B)P(A1+A3)=P(A1)+P(A3)

(C)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)
(D)P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)

(2)从一批羽毛球产品中任取一个,质量小于4.8 g的概率是 0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在[4.8, 4.85)g范围内的概率是( (A)0.62 (B)0.38 ) (C)0.7 (D)0.68

(3)已知在6个电子元件中有2个次品,4个正品,每次任取1个 进行测试,测试后不再放回,直到2个次品都找到为止,求经 过4次测试恰好将2个次品都找到的概率.

【思路点拨】(1)由于选项中的公式只有两个互斥事件的和事 件的概率才满足,所以只需判断A1与A2,A1与A3,A1与A4以及A2与 A3是否互斥即可; (2)利用概率的性质及互斥事件概率的公式即可解决 ; (3)4次测试恰好将2个次品都找到可分为“前3次测试仅有一次 取到次品,第4次测试恰好取到次品”与“前4次测试都取到正 品”两种情况.

【规范解答】(1)选D.由题设,只有事件A1与A4是互斥事件,因 此P(A1+A4)=P(A1)+P(A4),即选D. (2)选B.设一个羽毛球的质量为ξg,则P(ξ<4.8)+ P(4.8≤ξ<4.85)+P(ξ≥4.85)=1. 所以P(4.8≤ξ<4.85)=1-0.3-0.32=0.38.

(3)设A表示事件“前3次测试仅有一次取到次品,第4次测试恰 好取到次品”,B表示事件“前4次测试都取到正品”,则
2 3 C1 A4 1 1 2C4 A3 4 P?A? ? ? , P B ? ? . ? ? 4 4 A6 5 A 6 15

1 1 4 ? ? . 5 15 15 4 故经过4次测试恰好将2个次品都找到的概率是 . 15

因为A,B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=

【拓展提升】求复杂的互斥事件的概率的两种方法 (1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的 概率的和,运用互斥事件概率的加法公式计算 . (2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1P( A )求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至 少”型题目,用间接求法就会较简便. 【提醒】应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定 各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件发生的概率,再求和.

【变式训练】一个口袋里共有除颜色外其他均相同的7个白球
和4个红球,现在一次取出三个球,则这三个球中至少有一个 红球的概率是多少?

【解析】方法一:记“三个球中至少有一个红球”为事件A,
“三个球中恰有一个红球”为事件A1,“三个球中有两个红球” 为事件A2,“三个球全是红球”为事件A3,则A=A1+A2+A3, 且A1,A2,A3这三个事件两两互斥,故得P(A)=P(A1)+P(A2)
2 2 1 3 C1 C C C C 26 +P(A3)= 4 3 7 + 4 3 7 + 34 = . C11 C11 C11 33

方法二:记“三个球中至少有一个红球”为事件A,则
“三个球全是白球”为事件A的对立事件 A,故
C3 7 26 P A = 37 = ,得P ? A ?=- 1 P A= . C11 33 33

? ?

? ?

【满分指导】解答随机事件概率的综合题
【典例】(13分)(2012·陕西高考)某银行柜台设有一个服务窗

口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,
对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时.

(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列

及数学期望.

【思路点拨】

【规范解答】设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估
计概率,得Y的分布列如下:


Y
P

1
0.1

2
0.4

3
0.3

4
0.1

5
0.1

(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”, 则事件A对应三种情形: 第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理 业务所需的时间为3分钟;第一个顾客办理业务所需的时间为 3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1分钟;第一个 和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.②????3分 所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2) =0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. ???? 6分

(2)方法一:X所有可能的取值为0,1,2. X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5;③ X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1分钟且第二个顾 客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所 需的时间为2分钟, 所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)③ =0.1×0.9+0.4=0.49;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1分钟, 所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.③ ???????????????????????11分 所以X的分布列为 X 0 1 2

P

0.5

0.49

0.01
?????13分

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.

方法二:X所有可能的取值为0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1分钟, 所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49. ?????????11分

所以X的分布列为 X 0 1 2

P

0.5

0.49

0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. ??????13分

【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)

1.(2013·宁德模拟)将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上 恰有5次是( (A)必然事件 (C)不可能事件 ) (B)随机事件 (D)无法确定

【解析】选B.正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发 生,即该事件为随机事件.

2.(2013·长沙模拟)某人打靶,连续射击两次,事件“至少有 一次中靶”的对立事件是( (A)至多有一次中靶 (B)两次都中靶 (C)两次都不中靶 (D)只有一次中靶 【解析】选C.由对立事件的定义可知:至少有一次中靶的对立 事件是两次都不中靶. )

3.(2012·浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五
点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为 2 的概
2

率是_________. 【解析】该两点间的距离为 2 的概率 P ? 4 ? 2 . 答案: 2
5

2

5? 4 2

5

4.(2011·湖南高考)某河流上的一座水力发电站,每年六月份 的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单 位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已 知近20年X的值为: 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160, 200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表:

近20年六月份降雨量的频率分布表
降雨量 频率 70
1 20

110

140
4 20

160

200

220
2 20

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规
律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电

量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.

【解析】(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3年,为160 毫米的有7年,为200毫米的有3年,故近20年六月份降雨量的 频率分布表为: 降雨量 频率 70
1 20

110
3 20

140
4 20

160
7 20

200
3 20

220
2 20

(2)由已知可得Y= X +425,故
2

P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)

=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)
? 1 3 2 3 ? ? ? . 20 20 20 10 3 . 10

故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超 过530(万千瓦时)的概率为

1.下列说法正确的是(

)

(A)任一事件的概率总在(0,1)内 (B)不可能事件的概率不一定为0 (C)必然事件的概率一定为1 (D)以上均不对 【解析】选C.任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的 概率为0,必然事件的概率为1.

2.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局 就获冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队胜每局的概 率相同,则甲队获得冠军的概率为_____. 【解析】因为符合条件的有“甲第一局就赢”和“乙赢一局后 甲再赢一局”,由于两队获胜概率相同,即为 1 , 则第一种情
2 1 况的概率为 ,第二种情况的概率为 1 ? 1 = 1 , 故甲队获得冠 2 2 2 4 军的概率为 3 . 4 答案: 3 4

3.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次
中9环,有4次中8环,有1次未中靶.假设此人射击1次,试问中 靶的概率约为多大?中10环的概率约为多大? 【解析】中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为
9 ? 0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9.同理得中10 10

环的概率约为0.2.


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