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高考新题型巧解点悟 专题七 三角函数


专题七

三角函数

二、新题型巧解点悟
1.设而不求 【例 1】△ABC 三个顶点将其外接圆分成三段弧长之比为 1:2:3,求△ABC 的外接圆半径与内切圆半径之比. 【分析】依据三角形三边所对弧之比,不难求得三角形的三内 角.再根据三内角的大小,判断三角形的形状,进而找到内切圆半 径与外接圆半径间的关系. 【解】如图 1,设

O 为△ABC 的外接圆的圆心,则 ∠AOB:∠BOC:∠AOC=1:2:3, 又∠AOB+∠BOC+∠AOC= 2? , 故∠AOB = ∠AOC= ? . 即∠A =

一、新题型内核表解
主干知识点 知能转化点 (1)角的概念的推广,弧度制 (1)理解弧度制的含义,并正确 (2)任意角的三角函数,单位圆 进行弧度与角度的换算 中的三角函数线,同角三角函 (2)掌握任意角的三角函数的定 数的关系 义,符号,性质 (3)正弦、余弦的诱导公式 (3)了解周期函数的意义,会求 (4)两角和差正弦、余弦、正切, y= Asin(?x+?)的周期, “五 会用 二倍角的正弦、余弦、正切 点法”作其简图 (5)正弦、余弦、正切函数的图 (4)掌握各三角公式,并根据公 像和性质,周期函数,Asin(?x 式,进行数与式的正确运算与 +?)的图像 变形及其数据处理 (6)已知三角函数值求角 (5)会正确使用反三角符号 解题关键点 常见障碍点 (1)三角恒等变形的策略:①三 (1)容易混淆图像变换的平移方 变:变角、变名、变次;②切 向与单位的大小 化弦;③万能代换;④化为一 (2)利用同角三角函数的平方关 个角的函数等 系求值时,容易忽视根式前的 (2)三角函数最值求法:利用正 正负号的选取 余弦函数的有界性;化为代数 (3)误认正切函数为单调增函数 函数的最值问题 (4)不能灵活运用余弦二倍角公 (3)三角化简与计算途径:寻找 式的三个变形形式 差异(观察角、名称、次数的异 (5)不能灵活选用三角公式,而 同) 发现联系 ; (联想相关公式, 在公式中兜圈子 找出差异间的内在联系) ;实现 (6)研究三角函数性质(如求单 目标(差异转化) 调区间)时容易忽视定义域

? 2? ,∠BOC = , 3 3

B

? ? ? C , ∠C = , ∠B= . 2 3 6

O

A

设△ABC 外接圆半径为 R,则 AC=2R,AB=R,BC= 3 R,内切圆 半径 r= 图1

1 1 1 (AB+BC-AC)= (1+ 3 -2)R= ( 3 -1)R. 2 2 2 1 2 R 故 = ? ? 3 ?1. r 1 3 ?1 ( 3 ? 1) 2

【点悟】①解题关键点:画出示意图,计算出各个角的大小, 根据三角形的形状求解该问题. ②解题技巧:(ⅰ)直角三角形的外接圆直径等于斜边的长,而 内切圆半径等于两直角边的和减去斜边的差的一半; (ⅱ)当条件不
?专题七?第 61 页?

足以求出两半径的具体数值时,不妨采用“设而不求”法. ③解题易错点容易误认为题设条件不足而放弃求解. 2.分类讨论 π 【例 2】设一扇形的半径为 R,中心角为 2α ,0<α < ,试 2 求这扇形的内接矩形的面积最大值.

1 2 R ? tan ? . 2 y 当且仅当 x ? ,即 PN ? OP ,亦即 ? ? ? 时, S ? xy sin 2? 1 有最大值 R 2 ? tan ? . 2 y 在图 2(乙)中,设 MN ? y , PN ? x ,则 OP ? . 2 sin ?
于是, xy ? 在△OPN 中,有

【分析】由于中心角的大小是用参数形式给出的,内接矩形的 形状将随着中心角的大小的变化而发生变化,故须进行讨论. 【解】(Ⅰ)当 0 ? ? ?

? 时,分图 2 所示两种情形. 4 y .在 sin 2?

在图 2(甲)中: 设 MN ? y , PN ? x ,则 OP ? △OPN 中,有

y y )2 ? 2 ? x ? ? cos(? ? ?) 2 sin ? 2 sin ? ? y y ? 2? x? ? x? ? cos ? ? xy ? c o t , 2 sin ? sin ? 2 ? 2 于是, xy ? R ? tan . 2 y ? 当且仅当 x ? ,即 PN ? OP ,亦即 ? ? 时, 2 sin ? 2 ? S ? xy 有最大值 R 2 ? tan . 2 R2 ? x2 ? (
再比较两种情形下面积的大小.

R2 ? x2 ? (

y 2 y ) ? 2? x? ? cos(? ? 2?) sin 2? sin 2? y y t ? 2? x? ? 2? x? ? cos 2? ? 2xy ? c o ? , sin 2? sin 2?

? ? ,故 0 ? tan ? 1 . 4 2 1 2 ? 又 R ? tan ? ? R 2 ? tan 2 2
因0 ? ? ?

?专题七?第 62 页?

? ? R 2 ? tan3 1 2 ? 2 tan ? ) ? 2 ? 0, ? R2 ( ? ? 2 2 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2 2 tan
故图 2(甲)所示面积大于图 2 (乙)所示面积. (Ⅱ)当

②当

? 1 ? ? ? 2 arctan 时,图 3 (甲)所示面积大于图 3 (乙) 4 2

所示面积; ③当 2 arctan

? ? ? ? ? 时,分图 3 所示两种情形. 4 2

1 ? ? ? ? 时,图 3 (甲)所示面积小于图 3 (乙) 2 2

所示面积. 【点悟】①解题关键点:充分抓住图形的特征,构造出能使用 余弦定理的条件,然后使用基本不等式. ②解题技巧:对于图 2 (乙)的面积,还可直接利用图 2 (甲)的 结论求解. OC 平分扇形并分别交 PQ, 于 D, 则当∠NOC 设 NM E,

1 1 ? ? 时,SDENP 取得最大值为 R 2 ? tan ,从而 SMNPQ 取得最大 2 2 2 ? 2 值为 R ? tan . 2
= ③解题规律: 本题中为什么要对中心角的大小进行分类?因为 π 当矩形的一条边在半径上时,当中心角大于 时,该矩形的面积将 2 π 不再随着角 α 的变化而变化,而当中心角不大于 时, 该矩形的面 2 积将随着角 α 的变化而变化,故本题的求解必须进行讨论. ④常规解法:(仅以图 2(乙)为例,其它情形请读者仿照本法 独立完成) NE=Rsinθ,OD=PDcotα=Rsinθcotα ,DE=Rcosθ-Rsinθcotα , S=2NE?DE=2Rsinθ(Rcosθ-Rsinθcotα)=R2(sin2θ-2sin2θcotα) = R2[sin2θ-(1-cos2θ)cotα] = R2?

? 1 2 时, S max ? R ; 4 2 ? ? 2 图 3 (乙)中,当∠CON ? 时, S max ? R ? tan .(具体求 2 2
图 3 (甲)中,当∠MOP ? 解过程请读者采用类似于图 2(乙)的办法独立完成) 面积大小的比较:

? 1 ? 1 2 R ? R 2 ? tan ? ( ? tan ) R 2 . 2 2 2 2 1 ①当 ? ? 2 arctan 时, 3 (甲)所示面积等于图 3 (乙)所示面 图 2
积;

sin 2? sin ? ? cos 2? cos ? ? cos ? sin ?

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cos(2? ? ?) ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ≤R2? = R 2 ? tan , sin ? 2 1 ? 当且仅当 θ= ? 时,S 取最大值为 R 2 ? tan . 2 2
= R2? 3.构造法 【例 3】设 0<x<π ,则函数 y ?

A.3 B.2 C. 3 【分析】这是河南省 1999 年高二数学竞赛题.可引入辅助角 利用三角函数的有界性求解(见解法一);亦可通过换元等手段化为 代数函数后利用代数函数中求最值的方法加以求解(见解法二~四) 【解】解法一 因 ysinx+cosx=2,故

2 ? cos x 的最小值是 ( ) sin x D.2- 3

y 2 ? 1 si ( x ? ?) ? 2 . n

由 sin(x ? ?) ? 1 ,得 因 0<x<π ,故 y>0. 又当 y ? 有 2 sin(x ?

y 2 ? 1 ? 2 ,于是 y 2 ? 3 .

? ) ? 2 ,故 ymin= 3 ,选 C. 6

? ? 3 时, 3 sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ) .若 x= , 6 3

1 ? ,x= 满足题设,于是 ymin= 3 ,选 C. 2 3 2 x 1? t a n 2 2? 2 x 1? t a n x 2 ? 1 ? 3tan y? 解法三 x x 2 2 2t a n 2t a n 2 2 x 2 1? t a n 2 1 3 x 1 3 x ?2 ? tan ? 3 ,当且仅当 = tan ,即 x 2 2 x 2 2 2tan 2 tan 2 2 x 3 ? t an ? ,亦即 x= 时,取“=” ,故 ymin= 3 ,选 C. 2 3 3 解法四 如图 4,单位圆中,∠MOt = x ? (0, ?) ,P(2,0), 0 ? sin x M(cosx,sinx), k PM ? ? [k PA ,0) . 2 ? cos x 因 OA ? 1, OP ? 2, OA ? AP ,故 f(t)
cosx=

解法二 由已知得:ysinx = 2 - cosx,于是 y2(1-cos2x) = (2-cosx)2. 将上式整理得:(y2+1)cos2x-4cosx+4-y2=0. 于是,⊿=16-4(y2+1)(4-y2)=4y2(y2-3)≥0. 因 0<x<π ,故 y>0,于是 y≥ 3 ,而当 y= 3 时,⊿=0,

? 5? ,∠APt = , 3 6 3 k PA ? tan ?APt ? ? , 3 3 从而,(kPM)min= k PA ? ? . 3
∠AOP=

M O 图4

A P t

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因y?

1 2 ? cos x , ?? k PM sin x

在同一坐标系中,作出函数 y=sinu (-

? 5? ? u ? ) 的图像和直 3 3

1 1 3 ,选 C. ) =kPM min kPA 【点悟】①解题关键点:善于联想,灵活应变,多方位思考, 由数想形,由形思数,利用构造,实现求解. ②解题技巧: (ⅰ)在函数解析式中仅含 sinx 与 cosx 的一次式 时,可联想使用辅助公式解决问题; (ⅱ)充分观察题目结构特征 可联想到直线的斜率,因而可以将问题转化为求直线的斜率; (ⅲ) 用万能代换公式, 可顺利实现三角表达式与代数表达式之间的快速 转换;(ⅳ)当三角问题转化为代数问题后,代数中各种方法都可使 用. ③解题易错点:容易忽视对能否取到最小值情形的检验. 4.数形结合 故 ymin= (【例 4】 已知 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos x ?
2

线 y=m 的图像.如图 5,易知,两图像有两个公共点时,m 的取值 3 3 范围为(,1)∪(-1,) . 2 2 又由于 u ? 2 x ? 围即为所求. (2) 由图 5 易知, 直线 y= ? 图像成上下两部 分,其上面的部分 关于直线 u=

? 是单调函数,x 与 u 是一一对应,故上述范 3
3 ? 5? 分函数 y=sinu (- ? u ? ) 2 3 3

3 , x ? [0, ?] , 2

? 对 2

称,下面的部分关 于直线 u=

当方程 f(x) = m 有两个不相等的实数根时, (1)求 m 的取值范围; (2)求方程的两实根之和. 【分析】先将函数式化简,化为一个角的三角函数的形式,然 后作出其简图,利用图像加以完成.

3? 对 2

称,故所求两根之 和须分两种情况 讨论求解,即分:

1 3 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 2 2 ? ? sin(2 x ? ) . 3 ? ? 5? 又 x ? [0, ?] ,故 - ? 2 x ? ? . 3 3 3
【解】(1) f ( x) ?

3 3 ,1) 与 m ? (-1, ) . 2 2 3 ? 5? ,1) 时, 当 m ? (函数 y=sinu (- ? u ? ) 的图像为直线 2 3 3 3 ? y= ? 的上面部分,它关于直线 u= 对称,于是 sinu=m 的两根 2 2 m ? (?专题七?第 65 页?

之和为:u1+u2=2×

? ? u2 ? 3? 3 = 5? ; 6 2 2 3 ? 5? 当 m ? (-1, ) 时,函数 y=sinu (- ? u ? ) 的图像为直 2 3 3 3 3? 线 y= ? 的下面部分,它关于直线 u= 对称,于是 sinu=m 的 2 2 3? ? 两根之和为:u1+u2=2× =3π ,从而 sin(2 x ? ) ? m 的两根之 2 3 ? ? u1 ? u2 ? 3? 3 = 11? . 和为: 6 2 2 5? 11? 综上所述,方程两根之和为: 或 . 6 6 【点悟】①解题关键点:熟练掌握函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像 u1 ?
与性质,具有较强的三角恒等变形能力,以及“数形结合”“分类 、 讨论”等思想方法. ②解题技巧:本题第(2)小题的又一解法为:

? ? =π ,从而 sin(2 x ? ) ? m 的两根之和为: 2 3

? ? ? ? 时 , 由 sin(2 x ? ) ? m 得 , ? 2x ? ? 3 3 3 2 ? 1 ? 2 x ? ? a r c m ,故 x ? arcsin m ? ; s i n 3 2 6 ? ? 3? ? ? ? 当 时 , - ? ? - (2 x ? ) ? ,由 ? 2x ? ? 2 3 2 2 3 2
当 -

? ? s i n x ? ) ? m 得 , sin[? ? (2 x ? )] ? m , 故 2( 3 3 ? 2? 1 ? - (2 x ? ) ? a r mc,故 x ?i n- arcsin m . s 3 3 2 3 ? ? ? 当 m ? (,1) 时,方程的一根满足 - ? 2x ? ? ,另 2 3 3 2 ? ? 3? 1 ? 一根满足 ? 2x ? ? ,故一根为 x1 ? arcsin m ? ,另一 2 3 2 2 6 2? 1 根为 x 2 ? - arcsin m ,故两根之和为 3 2 1 ? 2? 1 5? arcsin m ? ? - arcsin m = ; 2 6 3 2 6 3? ? 5π ? ? ? 当 ? 2x ? ? 3 <2 ? 时, - ? 2? - (2 x ? ) ? ,由 2 3 2 3 2 ? sin(2 x ? ) ? m 得, 3 ? ? sin[2? ? (2 x ? )] ? -sin(2 x ? ) ? -m , 3 3 ? 故 2? ? (2 x ? ) ? arcsin(?m) ? ? arcsin m , 3 7? 1 于是, x ? ? arcsin m . 6 2 3 ? ? 3? ) 时,方程的一根满足 ? 2x ? ? 当 m ? (-1, ,另 2 2 3 2

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3? ? 5? , 故 方 程 的 一 根 为 ? 2x ? ? 2 3 3 2? 1 7? 1 另一根为 x 2 ? 故其两根 x1 ? - arcsin m , ? arcsin m , 3 2 6 2 2? 1 7? 1 11? 之和为 . - arcsin m ? ? arcsin m = 3 2 6 2 6
一 根 满 足 ③解题易错点:忽视函数的定义域,考虑问题不周全,第(1) 小题中 m 的取值范围扩大,即增加 ? 范围的讨论而只得到一解. 【例 5】求函数 y ? cos x ? ? sin x 的定义域. 【分析】 求原函数的定义域, 实质就是讨论 cosx≥0 与 sinx≤0 何时同时成立.对此,我们可有三种思考,一是分别写出满足不等 式 cosx≥0、 sinx≤0 的 x 的集合, 再求交集; 二是分别画出 cosx≥0 与 sinx≤0 的角 x 的终边所在的区域,找出公共部分,写出角的集 合;三是函数定义域只涉及正弦、余弦的正负问题,分象限与坐标 轴考虑,直接写出满足题意的角的集合. 【解】解法一 原函数有意义等价于 cosx≥0、sinx≤0 同时成 立. 由 cosx≥0,得

3? ? x ? 2k? ? 2?, k ? Z}. 2 3? 故原函数的定义域为 {x 2k? ? ? x ? 2k? ? 2?, k ? Z}. 2
A∩B= {x 2k? ? 解法二 分别画出 cosx≥0,sinx≤0 中 x 的终边所在的区域 为如图 6 的阴影部分, 阴影重叠部分即为函数定义域中 x 的终边可 在的区域,用集合可表示为

3 ;第(2)小问中忽视对 m 2

{x 2k? ?

? ? x ? 2k?, k ? Z}. 2

y

解法三 由 cosx≥0 知, 的终边只 x 能落在第四、第一象限、y 轴及 x 轴非负 半轴上. 由 sinx≤0 知,x 的终边只能落在第 三、第四象限、x 轴及 y 轴非正半轴上.

O

x

图6

考虑到 cos x 与 ? sin x 同时有意 义,则 x 的终边只可能在第四象限、y 轴非正半轴、x 轴非负半轴 上,故原函数定义域为 {x 2k? ?

? ? x ? 2k?, k ? Z}. 2

x ? ({ x 2k? ? x ? 2k? ? {x 2k? ?

? , k ? Z}∪ 2

3? ? x ? 2k? ? 2?, k ? Z})=A 2 由 sinx≤0,得 x ? {x 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2?, k ? Z}=B

【点悟】①解题关键点:求三角函数的定义域方法灵活多变, 不同的思考,不同的出发点,就带来了不同的解题,甚至其结果的 表示亦不尽相同.只有分析宽,思路活,才能解题快,收效大. ②解题技巧:用纯代数的方法(解法一)求角,其角的表示办法 有多种,为求交集的方便,角的集合的表示要统一.另外,角的集 合运算问题,经常借助于数形结合. ③解题易错点:用数形结合法求角时,易忽视对边界情况的考 虑.另外,不能正确认识貌异质同的角的集合的多种表示,怀疑由 解法一和解法二求得的结果因看似不同而怀疑其至少一个的正确
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性. 5.设元转化

sin 2 x 【例 6】若 x∈[0,π] ,试求函数 y ? 的值 1 ? cos x ? sin x
域. 【分析】 联想到 sinx 与 cosx 之间的关系: (sinx+cosx)2=1+sin2x、 (sinx-cosx)2=1-sin2x 及 sin2x+cos2x=1 等, 可施行换元法来求解问题. 【解】令 m=sinx+cosx,则 sin2x=m2-1,于是

? , 2 sin(x ? ) , 且 x∈ [ 0 , π ] 故 4 m∈ [?1, 2 ] .另一方面,显然 m≠-1,故 m∈ (?1, 2 ] .
又 m=sinx+cosx= 于是,所求函数的值域为 (?2, 2 ? 1] 【点悟】①解题关键点:三角问题代数化,利用代数函数求值 域的方法求三角函数的值域. ②解题技巧:换元法就是把某个表达式看成一个新的未知数 (元)来实行变量替换的,其实质是转化.这种转化常能化繁为简、 化难为易、化陌生为熟悉.我们常用的换元法有:将分式转化为整 式、将无理式转化为有理式、将高次式降幂、将超越式转化为代数 式.换元法,是一种重要的数学思想方法,它广泛应用于恒等式的 证明、化简求值、解方程、解不等式、求函数的极值(值域)以及研 究函数性质等诸方面. ③解题易错点:换元后易忽视变量范围的等价性.本题中易忽 视 m≠-1 的情况,从而将所求函数的值域误认为是 [?2, 2 ? 1] .

m2 ?1 y? ? m ?1. 1? m

1 1 1 1 ? ? cos 2 x = ( ) 2 2 2 2 x x x B.-sin C.cos D.-cos 2 2 2 5? 2.已知 f ( x) ? 1 ? x ,当 ? ? (?, ) 时, f (sin 2?) 4 ( ) ? f (? sin 2?) = A.2cos ? B.2sin ? C.-2sin ? D.-2cos ?
1.x ? ( , ?) ,则 3.函数 y= -xcosx 的部分图象是 ( )

? 2 x A.sin 2

x = . 2 ? ? ? log 5. 求值: 2 [(1 ? tan1 )(1 ? tan 2 ) ?(1 ? tan 45 )] =
4.若 2sinx=1+cosx,则 cot



6.在钝角△ABC 中,下列各式中: ①sin(A+B)-sinC ; ②cos(B+C)+cosA ; ③tanB+tan(A+C) ; ④sin2(A+C)+cos2B;⑤tan2(A+B)cot2C. 其值为常数的表达式序号是 (要求将所有满足题意 的序号都填上) . 7.给出下列命题: ①存在实数 ?,使 sin ? cos ? =1 成立; ②存在实数 ?,使 sin ? ? cos ? ? 2 成立;
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三、新题型变式训练

③函数 y ? sin(270 ? 2 x) 是偶函数;
?

的值. 11.若 ? ? (0, ) ,试利用三角函数线,比较 ?, sin ?, tan ? 的大 小,并加以说明. 12.是否存在锐角 ?, ? ,使得下列两式: (1) ? ? 2? ?

④若 ?、? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 tg? ? tg? . 其中所有假命题的序号是 . ... 8.给出下列 8 种图像变换方法: ①将图像上所有点的横坐标缩短为原来的

? 2

1 (纵坐标不变); 2

②将图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变); ③将图像上移 1 个单位; ④将图像下移 1 个单位;

tan

? tan ? ? 2 ? 3 同时成立?若存在,求出 ? 和 ? ;若不存 2

2? , (2) 3

? 个单位; 3 ? ⑥将图像向右平移 个单位; 3 2? ⑦将图像向左平移 个单位; 3 2? ⑧将图像向右平移 个单位. 3
⑤将图像向左平移 须且只须用上述的 3 种变换即可由函数 y=sinx 的图像得到

在,说明理由. 13.设 α、β 为锐角,且 α+β=120?,问 y=cos2α+cos2β 是否存在最 大值与最小值?如果存在, 请求出; 如果不存在, 请说明理由.

四、参考答案点拨
1.A(B、D 显然不合,又令 x ?

3 2? ,则表达式的值为 ,于是 2 3
1 1 + 2 2 sin2 x 2 1 1 + cos2x 2 2 x = sin ) 2 =

C 不 合 , 选 A . 另 解 : 1 1 + 2 2 cos2x = 1 1 - cosx = 2 2

x ? 函数 y ? s in( ? ) ? 1 的图像,写出所有的符合条件的答案 2 3
为 . 9.度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用一种 密位制,密位制的单位是“密位” 密位就是圆的 .1

2.C( f (sin 2?) ? sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? cos ? ,

f (? sin 2?) ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? )
3.D(y = - xcosx 为奇函数,排除 A、C;当 0<x< 排除 B) 4.0 或 2(cosx= -1 时,cot π 时,y<0, 2

1 所对 6000

的圆心角的大小.请你给出密位与度之间的换算公式. 10.已知

1 1 1 1 ? ? ? ? 7 ,求 sin ? cos ? 2 2 2 tan ? cot ? sin ? cos2 ?

x x =0;当 cosx≠-1 时,cot =2) 2 2
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5.23( (1+tanx)[1+tan(45?-x)]=1+tanx+tan(45?-x)+tanxtan(45?-x) =1+tan[x+(45?-x)][1-tanxtan(45?-x)]+ tanxtan(45?-x)=2.原式= log2{[(1 + tan1?)(1 + tan44?)]?[(1 + tan2?)(1 + tan43?)]? ? ? [(1 + tan22?)(1 + tan23?)]? (1 + tan45?)} = log2223 = 23) 6.①②③④⑤ 7.①②④ 8.②⑦④;②④⑦;④②⑦;⑤②④;⑤④②;④⑤②. 9.1° =

? ? cos( ? 2?) ? cos 3 3 ? 2 ? 3 , cos(? ? 2?) ? 3 ,于是 ? ? ? 3 2 cos( ? 2?) ? cos 3 3 ? ? ? ? ? ) -2? ? ? 或 ,从而 ? ? ( ? ? ,不合,舍去) 4 12 3 6 6
1 1+cos2α 13.有最小值 ,无最大值(函数 y = cos2α + cos2β = 2 2 1+cos2β 1 1 + = 1+ cos(α + β)cos(α -β) =1- cos(α -β) =12 2 2 1 cos (120? -2β).而 30?<β<90?,-60?<120?-2β<60?, <cos 2 1 (120? -2β) ≤1,从而, ≤y<1. ) 2

6000 密位 ? 16.7密位 , 360 360 ? 1 密位= ? 0.06 ? ? 3.6? ? 216?? 6000

2 (cot2α + tan2α + csc2α + sec2α = 2 + 2(cot2α + tan2α) = 7, 3 2 2 5 sin4α+cos4α 5 1-2sin αcos α 5 tan2α + cot2α = , 2 = , = , 2 2 2 2 sin αcos α 2 sin αcos α 2 1 9 2 2 = ,sin2αcos2α = ,sinαcosα = ± ) sin2αcos2α 2 9 3 11.sin ? < ? <tan ? (作出单位圆,利用三部分面积的大小关系 进行比较得出) 10.± 12 . ? ?

? ? 2? 得, , ? ? ( 由 ? ? 2? ? 6 4 3 ? sin( ? ?) sin ? ? 3 tan( ? ?) tan ? ? ? 3 cos( ? ?) cos? 3

? ? = -? , 故 2 3

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