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1.6例题与讲解


第一章 集合
例题 与讲解

1 对平面上的任意两个非有理点,一定存在一条折线 不过有理点

x

z 连接两非有理点,并作中垂线, 任取中垂线上一点z,连接xz,zy 得到一条连接x,y的折线,这样 的折线有连续势条,而平面上的 有理点只有可数个,故一定存在 一条折线不过有理点。

y<

br />
引理2 .设A中的元素是直线上两两不交的 开区间,则A为至多可数集.
证明:由于有理数在直线上稠密,故可在每 个开区间内取一有理点,则这些有理点两两 不同,从而A与有理数集的一个子集对等, 另外有理数集是可数集,所以A至多可数。
r













Cantor集
对[0,1]区间三等分,去掉中间一个开区间, 然后对留下的两个闭区间三等分,各自去掉中间一个开区间, 此过程一直进行下去,最后留下的点即为Cantor集

?

?

?

3

设 A ? B ? ?, 则A,B中至少有一个势为 ?
2 2

证明:不妨设 A ? B ? R (因为R ? ?)

显然A ? ?, B ? ?, 若A ? ?

则?x ? R,{( x, y) | y ? R} ? A

所以?x ? R, ?yx ? R, 使( x, yx ) ? B
从而 B ? {( x, y x ) | x ? R} ? ?
由Bernstein定理可知 B ? ?
x

所以A,B中至少有一个连续势集

3

设 A ? B ? ?, 则A,B中至少有一个势为 ?
2 2

另证:不妨设 A ? B ? R (因为R ? ?) 显然A ? ?, B ? ?,
令p x : R 2 ? R ( x, y ) ? x p y : R 2 ? R ( x, y ) ? y
若 A ? ?, B ? ?,
则 p x ( A) ? ?, p y ( B) ? ?,
x y (x,y)

从而?x0 ? R, 使?y ? R, ( x0 , y) ? A ?y0 ? R, 使?x ? R, ( x, y0 ) ? B

从而 ( x0 , y0 ) ? A ? B ,得到矛盾

所以A,B中至少有一个为连续势集

4

设 ? An ? ?, 则An中至少有一个势为 ?
n ?1
? n?1

?

证明:不妨设? An ? R? ? R ? R ? R ??(因为R? ? ?)

令pn : R ? ? R n ? 1,2,3,? ( x1 , x2 , x3 ,? , xn ,?) ? xn

显然 ?n, An ? ?,
z
(x,y,z)

若?n, An ? ?,

则?n, pn ( An ) ? ?,

从而?n, ?xn 0 ? R, 使xn0 ? pn ( An )
从而
( x10 , x2 0 ,?, xn 0 ,?) ? ? An
n ?1 ?

y
x

,得到矛盾

所以An中至少有一个为连续势集

5

[0,1]上的全体连续函数集 E的势为?
λ

首先 E ? { f? : [0,1] ? {?} | ? ? R} ~ R 所以 E ? ?





其次令{rn}为[0,1]中有理数全体,对每一f∈E 构造实数列{f(rn)},由有理数在[0,1]中稠密及 f连续可知E中不同的元对应的实数列也不同, 从而E与实数列全体R∞的一个子集对等。 所以 E ? ?

? 6 [0,1]上的全体实函数集 E的势为2

首先 E ? {? A ( x) | A ? [0,1]} ~ 2[0,1] 所以 ?
E?2
0 1

其次 E ~ { f在平面坐标系下的图象 | f ? E} ? 2R?R 所以 ?
E?2


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