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初三


一元二次方程的补充解法——“十字相乘法”
学习目标 1. 理解十字相乘法的概念和意义; 2. 会用十字相乘法把形如 x2+px+q 的二次三项式分解因式;

§什么是十字相乘法?

x2 ? px ? q

?

x 2 ? (a ? b) x ? ab ? (x + a )(x + b)

? p
2

? q

x +px+q=(x+a) (x+b) 其中 q、p、a、b 之间的符号关系 当 q>0 时,q 分解的因数 a、b( 同号 )且(a,b 符号)与 p 符号相同

十字相乘法,就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式,是一元二次方程解法之 一。
当 q<0 时, q 分解的因数 a、b( 异号) (其中绝对值较大的因数符号)与 p 符号相同

“十字相乘法”:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加 等于一次项系数。

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十字相乘法相对来说难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便。 1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相 乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处: (1)用十字相乘法来分解因式。 (2)用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点:用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用 算量不大,不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷: ①有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不适用于每一道题。 ②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

例题: 1、把 m?+4m-12 分解因式 分析:本题中常数项-12 可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1 当-12 分成-2 ×6 时,才符合本题 解:因为 1 1 ╳ -2 6 所以 m?+4m-12=(m-2)(m+6)

2、解方程 x?-8x+15=0 分析:把 x?-8x+15 看成关于 x 的一个二次三项式,则 15 可分成 1×15,3×5。 解: 因为 1 -3 所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0 所以 x1=3 x2=5 练习: 1·把 5x?+6x-8 分解因式 2·解方程 6x?-5x-25=0 1 ╳ -5

例 3·把 14x?-67xy+18y?分解因式

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分析: 把 14x?-67xy+18y?看成是一个关于 x 的二次三项式,则 14 可分为 1×14,2×7, 18y?可分为 y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 所以 14x?-67xy+18y?= (2x-9y)(7x-2y) 7 ╳ -2y

例 4·把 10x?-27xy-28y?-x+25y-3 分解因式 分析:在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x?-27xy-28y?-x+25y-3 =10x?-(27y+1)x -(28y?-25y+3) 4y -3 7y ╳ -1 =10x?-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1) 2 5 ╳ -(7y – 1) 4y - 3

=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] =(2x -7y +1)(5x +4y -3) 说明:在本题中先把 28y?-25y+3 用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1),再用十字相乘法把 10x ?-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为:[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 解法二、10x?-27xy-28y?-x+25y-3 2 5 ╳ -7y 4y 1

=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3 2 x -7y 5 x +4y ╳ -3 =[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3] =(2x -7y+1)(5x +4y -3) 说明:在本题中先把 10x?-27xy-28y?用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y) (5x +4y)-(x -25y)- 3 用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3].

§十字相乘法分解因式
教学目的 探索并掌握可化为 x2 ? (a ? b) x ? ab 型的二次三项式的因式分解方法,会分解可化为
x2 ? (a ? b) x ? ab 型的二次三项式.
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教学重点 可化为 x2 ? (a ? b) x ? ab 型的二次三项式的因式分解. 教学过程 ∵ ( x ? 1)( x ? 2) ? x2 ? 3x ? 2 ,∴ x2 ? 3x ? 2 ? ( x ? 1)( x ? 2) . 一般地,∵ ( x ? a)( x ? b) ? x2 ? (a ? b) x ? ab ,∴ x2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)( x ? b) . 这就是说,对于二次三项式 x 2 ? Px ? q ,若能找到两个数 a 、 b ,使 ? 则就有 x2 ? Px ? q ? x2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)( x ? b) . 如对于二次三项式 x 2 ? 3x ? 2 ,其中 p ? 3 , q ? 2 ,能找到两个数 1 、 2 ,使 ? 有 x2 ? 3x ? 2 ? ( x ? 1)( x ? 2) . 2. 用以上新方法分解二次三项式 x 2 ? Px ? q 时,如何寻找 a 、 b 两数?
?1 ? 2 ? p, 故 ?1? 2 ? q, ? a ? b ? p, ? a ? b ? q,

例1 把下列各式分解因式: ⑴ x 2 ? 5 x ? 6 ;⑵ x 2 ? 5 x ? 6 ;⑶ x 2 ? 5 x ? 6 ;⑷ x 2 ? 5 x ? 6 . 用以上新方法来分解二次三项式 x 2 ? Px ? q ,式中的 p 、 q 通常是整数,要找的 a 、 b 两 数也通常是在整数中去找.由于把 p 拆成两个整数之和可以有无数种情形,而把 q 分解成两 个整数之积只有有限几种可能,故应先把 q 分解成两个整数之积,然后检验哪两个整数之和 得 p. 如:⑴ ∵ 6 ? 1? 6 ? (?1) ? (?6) ? 2 ? 3 ? (?2) ? (?3) ,且其中 2 ? 3 ? 5 , ∴ x2 ? 5x ? 6 ? ( x ? 2)( x ? 3) . ⑵ ∵ 6 ? 1? 6 ? (?1) ? (?6) ? 2 ? 3 ? (?2) ? (?3) ,且其中 (?2) ? (?3) ? ?5 , ∴ x2 ? 5x ? 6 ? ( x ? 2)( x ? 3) . ⑶ ∵ ?6 ? ?1? 6 ? 1? (?6) ? ?2 ? 3 ? 2 ? (?3) ,且其中 ?1 ? 6 ? 5 , ∴ x2 ? 5x ? 6 ? ( x ? 1)( x ? 6) . ⑷ ∵ ?6 ? ?1? 6 ? 1? (?6) ? ?2 ? 3 ? 2 ? (?3) ,且其中 1 ? (?6) ? ?5 , ∴ x2 ? 5x ? 6 ? ( x ? 1)( x ? 6) . 如何检验分解是否正确? 请观察比较例1中的各题,你能发现把 q 分解成两个整数 a 、 b 之积时的符号规律吗? ⑴若 q > 0 ,则 a 、 b 同号. 当 p > 0 时 a 、 b 同为正,当 p < 0 时 a 、 b 同为负. ⑵若 q < 0 ,则 a 、 b 异号.
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当 p > 0 时 a 、 b 中的正数绝对值较大,当 p < 0 时 a 、 b 中的负数绝对值较大. 三、巩固与提高: 1. 把下列各式分解因式(填空) :
)( x )( x ) .⑵ x2 ? 2 x ? 63 ? ( x ) .⑷ x2 ? 12x ? 32 ? ( x )( x )( x ). ).

⑴ x2 ? 4x ? 12 ? ( x ⑶ x2 ? 8x ? 15 ? ( x

强调:由常数 q 分解成的两数,当和等于一次项系数 p 时,这两数才是要找的 a 、 b . 通过练习巩固 a 、 b 的符号法则. 2 把下列各式分解因式: ⑵ a 4 ? 2a3 ? 3a 2 . ⑷ ( x2 ? 2x)2 ? 2( x2 ? 2x) ? 3 . ⑴ ( x ? y)2 ? 4( x ? y) ? 5 ; ⑶ 2x2 ? 10xy ? 12 y 2 ;

§观察“现象”
(1)现有一元二次方程: x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 它的二次项系数为 1,一次项系数为-2,常数项为-3。 因为它的系数满足 1 ? 1 ? 1 , ? 3 ? 1? (?3) , ? 2 ? 1? (?3) ? 1? 1 所以用十字相乘法可将原式化为
( x ? 1)(x ? 3) ? 0

(2)现有一元二次方程: 2 x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 它的二次项系数为 2,一次项系数为-7,常数项为 6。 因为它的系数满足 2 ? 1 ? 2 , 6 ? (?2) ? (?3) ? 7 ? 1? (?3) ? 2 ? (?2) 所以用十字相乘法可将原式化为 (3)现有一元二次方程: 2x 2 ? 7 xy ? 6 y 2 ? 0 这个方程与上面方程的区别是多了一个未知数 y , 同样地,用十字相乘法可将原式化为 ( x ? 2 y)(2 x ? 3 y) ? 0 §得出结论: 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 a ? mn, c ? pq , 若 b 满足 b ? m q ? np ,则原方程可用十字相乘法化为 (mx ? p)(nx ? q) ? 0 。 推论Ⅰ.设一元二次方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的 c ? c1 ? c2 , 若 b 满足 b ? c1 ? c2 ,则原方程可用十字相乘法化为 ( x ? c1 )(x ? c2 ) ? 0 。
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( x ? 2)(2 x ? 3) ? 0

※推论Ⅱ. 设 ax2 ? bxy ? cy 2 ? 0(a ? 0) 的 a ? mn, c ? pq , 若 b 满足 b ? m q ? np ,则原方程可用十字相乘法化为 (mx ? py)(nx ? qy) ? 0 。

§知识归纳和例子讲解:
(1) 对于某些首项系数是 1 的二次三项式 x 2 ? Px ? q 【 x2 ? (a ? b) x ? ab 】的因式分解: 一般地,∵ ( x ? a)( x ? b) ? x2 ? (a ? b) x ? ab ,∴ x2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)( x ? b) . 这就是说,对于二次三项式 x 2 ? Px ? q ,若能找到两个数 a 、 b ,使 ? 则就有 x2 ? Px ? q ? x2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)( x ? b) . (掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数的积,且其 .............. 和等于一次项系数, 通常要借助画十字交叉线的办法来确定,故称十字相乘法。 ) ......... 如对于二次三项式 x 2 ? 3x ? 2 ,其中 p ? 3 , q ? 2 ,能找到两个数 1 、 2 ,使 ? 有 x2 ? 3x ? 2 ? ( x ? 1)( x ? 2) . 例 1:因式分解 (1) x2 + 10x + 9 ; 解:1 1 9 1 (x + 1) (x + 9)
(2) x2 – 3x –10; (2) x2 -3x -10; 解:1 –5 (x – 5) 解:1 -5 (x - 5) 1 2 (x + 2) 1 2 (x + 2) –5 *2 = 9;1*(–5)+1*2= –3 -5 ×2 = 9;1×(-5)+1×2= -3 ∴x2 – 3x –10 = (x – 5) (x + 2) ∴x2 -3x -10 = (x - 5) (x + 2)

? a ? b ? p, ? a ? b ? q,

?1 ? 2 ? p, 故 ?1? 2 ? q,

1×9=9;1×9+1×1=10 ∴x2 + 10x + 9=(x + 1) (x + 9)

说明:用十字相乖法分解二次三项式 x 2 ? Px ? q ,式中的 p 、 q 通常是整数,要找的 a 、
b 两数也通常是在整数中去找.由于把 p 拆成两个整数之和可以有无数种情形,而把 q 分解

成两个整数之积只有有限几种可能,故应先把 q 分解成两个整数之积,然后检验哪两个整数 之和得 p . 练习题(因式分解) :
2 (1) x ? 5x ? 6 ? ___

__

__ ____.

2 (2) x ? 5x ? 6 ? ___

__

__ _____

6

2 (3) x ? 5x ? 6 ? ___

__

__ ____

2 (4) x ? 5x ? 6 ? ___

__

__ ____

提问:请观察以上练习中的各题,你能发现把 q 分解成两个整数 a 、 b 之积时的符号规 律吗? ⑴若 q > 0 ,则 a 、 b 同号.当 p > 0 时 a 、 b 同为正,当 p < 0 时 a 、 b 同为负. ⑵若 q < 0 ,则 a 、 b 异号.当 p > 0 时 a 、 b 中的正数绝对值较大,当 p < 0 时 a 、 b 中 的负数绝对值较大. (2) 对于二次三项 ax 2 ? bx ? c 【 a1a2 x 2 ? ?a1c2 ? a2 c1 ?x ? c1c2 】 (a、b、c 都是整数, 且 a ? 0 )的因式分解: 一般地,∵ ?a1 x ? c1 ??a2 x ? c2 ? = a1a2 x 2 ? ?a1c2 ? a2 c1 ?x ? c1c2 , ∴ a1a2 x 2 ? ?a1c2 ? a2 c1 ?x ? c1c2 = ?a1 x ? c1 ??a2 x ? c2 ? . 这就是说,对于二次三项式 ax 2 ? bx ? c ,若能找到四个整数 a1 ,c1 ,a2 ,c2 ,使
?a1a2 ? a,c1c2 ? c ? ?a1c2 ? a2 c1 ? b

则就有 ax 2 ? bx ? c = a1a2 x 2 ? ?a1c2 ? a2 c1 ?x ? c1c2 = ?a1 x ? c1 ??a2 x ? c2 ? ,通常要借助画多 个十字交叉线的办法来确定。 例2 分解因式: (1 ) 2 x 2 ? 7 x ? 3 ; (2 ) 6 x 2 ? 7 x ? 5

(1)解:

∴ 2 x2 ? 7 x ? 3 =

( x ? 3)(2 x ? 1)

(2)解:所有可能的十字形式:

∴ 6x2 ? 7 x ? 5 ? (2 x ? 1)(3x ? 5) 说明:
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⑴二次项系数为正时,只考虑分解成两个正因数之积; ⑵在二次项系数为正时,常数项的分解,符号规律同上节 a 、 b 的符号规律; ⑶分解二项项系数、 常数项有多种可能, 即使对于同一种分解, 十字图也有不同的写法, 为了避免重或漏,故二次项系数的因数一经排定就不变,而用常数项的因数作调整; ⑷用十字相乘法分解因式时,一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解. 练习题(因式分解) : (1) 2x2 +7x+3=___ __ __ ____ (2) 3x2 -5x+2=___ __ __ ____

(3) 2x2 +5x-7=___ 二、练一练、做一做:

__

__ ____

(4) 5x2 -3x-2=___

__

__ ____

1、把下列各式分解因式: (1) a 2 b 2 ? 7ab ? 8 (2) m 2 ? 3m n ? 4n 2

(3) x4 ? 6 x2 ? 27

(4)(a+b)2 +5(a+b)-36

2、将下列各式因式分解 (1) x 3 ? 4 x 2 ? 21x (2) x 2 y ? 10xy ? 25y

4 2 (3) x ? 10x ? 11

(4) x 4 ? 13x 2 y 2 ? 36y 4

3、将下列各式因式分解 (1) 2 x 2 ? 3x ? 20 ; (2)2x2 +5x+2;

(3))3x2 +7x-6 ;

(4)2x2-5xy+2y2

4、用因式分解法列下列方程: (1)x2 + 2x-3 = 0
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(2)2x2-7x + 6 = 0

(3)x(x-2) = 3

(4) (2x-3)2 + 3(2x-3) + 2 = 0.

§分解因式 十字相乘法
【基础知识精讲】 (1)理解二次三项式的意义; (2)理解十字相乘法的根据; (3)能用十字相乘法分解二次三项式; (4)重点是掌握十字相乘法,难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法. 【重点难点解析】 1.二次三项式 多项式 ax2 ? bx ? c ,称为字母 x 的二次三项式,其中 ax2 称为二次项,bx 为一次项,c 为常数项.例如, x 2 ? 2 x ? 3 和 x 2 ? 5 x ? 6 都是关于 x 的二次三项式. 在多项式 x 2 ? 6 xy ? 8 y 2 中,如果把 y 看作常数,就是关于 x 的二次三项式;如果把 x 看 作常数,就是关于 y 的二次三项式. 在多项式 2a 2b 2 ? 7ab ? 3 中,把 ab 看作一个整体,即 2(ab)2 ? 7(ab) ? 3 ,就是关于 ab 的 二次三项式.同样,多项式 ( x ? y)2 ? 7( x ? y) ? 12,把 x+y 看作一个整体,就是关于 x+y 的二次三项式. 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2.十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律 是: (1)对于二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 ? px ? q , 如果能把常数项 q 分解成两个因数 a,

b 的积,并且 a+b 为一次项系数 p,那么它就可以运用公式 x 2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)(x ? b)
分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项” .公式中的 x 可以表示单项式,也 可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项 系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因 数的符号与一次项系数的符号相同. (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式 ax2 ? bx ? c (a,b,c 都是整数且 a≠0)来说,如 果存在四个整数 a1 , a2 , c1 , c2 ,使 a1 ? a2 ? a , c1 ? c2 ? c ,且 a1c2 ? a2c1 ? b ,那么
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ax2 ? bx ? c ? a1a2 x 2 ? (a1c2 ? a2c1 ) x ? c1c2 ? (a1x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 它的特征是“拆两头,凑中间” ,这

里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是 1 的情况复杂,因此,一般要借助“画十 字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单 化,当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项 为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时, 应将它分解为两异号因数, 使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相 同.用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相 乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如:

5x2 ? 6xy ? 8 y 2 ? ( x ? 2)(5x ? 4)
3.因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤: 先考虑能否提公因式, 再考虑能否运用公式或十字相乘法, 最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上 步骤可用口诀概括如下: “首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要 合适,四种方法反复试,结果应是乘积式” . 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式: (1) x 2 ? 2 x ? 15 ;(2) x 2 ? 5xy ? 6 y 2 . 点悟:(1)常数项-15 可分为 3 ×(-5),且 3+(-5)=-2 恰为一次项系数; (2)将 y 看作常数,转化为关于 x 的二次三项式,常数项 6 y 2 可分为(-2y)(-3y),而(- 2y)+(-3y)=(-5y)恰为一次项系数. 解:(1) x2 ? 2x ?15 ? ( x ? 3)(x ? 5) ; (2) x 2 ? 5xy ? 6 y 2 ? ( x ? 2 y)(x ? 3 y) . 例2 把下列各式分解因式:

(1) 2 x 2 ? 5x ? 3 ;(2) 3x 2 ? 8x ? 3 . 点悟:我们要把多项式 ax2 ? bx ? c 分解成形如 (ax1 ? c1 )(ax2 ? c2 ) 的形式,这里 a1a2 ? a ,

c1c2 ? c 而 a1c2 ? a2c1 ? b .
解:(1) 2x 2 ? 5x ? 3 ? (2x ? 1)(x ? 3) ; (2) 3x 2 ? 8x ? 3 ? ( 3x ? 1 )( x ? 3 ) . 点拨:二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和 常数项的分解随机性较大,往往要试验多次,这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练 习,积累经验,才能提高速度和准确性.

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例3

把下列各式分解因式:

(1) x 4 ? 10x 2 ? 9 ; (2) 7( x ? y)3 ? 5( x ? y)2 ? 2( x ? y) ; (3) (a 2 ? 8a)2 ? 22(a 2 ? 8a) ? 120. 点悟:(1)把 x 2 看作一整体,从而转化为关于 x 2 的二次三项式; (2)提取公因式(x+y)后,原式可转化为关于(x+y)的二次三项式; (3)以 (a 2 ? 8a) 为整体,转化为关于 (a 2 ? 8a) 的二次三项式. 解:(1) (2)

x 4 ?10x 2 ? 9 ? ( x 2 ?1)(x 2 ? 9)

=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3).

7( x ? y)3 ? 5( x ? y)2 ? 2( x ? y)

? ( x ? y)[7( x ? y)2 ? 5( x ? y) ? 2]
=(x+y)[(x+y)-1][7(x+y)+2] =(x+y)(x+y-1)(7x+7y+2). (3)

(a 2 ? 8a)2 ? 22(a 2 ? 8a) ? 120

? (a 2 ? 8a ? 12)(a 2 ? 8a ? 10) ? (a ? 2)(a ? 6)(a 2 ? 8a ? 10)
点拨:要深刻理解换元的思想,这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一 个看成整体,才能构成二次三项式,以顺利地进行分解.同时要注意已分解的两个因式是否 能继续分解,如能分解,要分解到不能再分解为止. 例4 分解因式: ( x 2 ? 2x ? 3)(x 2 ? 2x ? 24) ? 90 .

点悟:把 x 2 ? 2 x 看作一个变量,利用换元法解之. 解:设 x 2 ? 2x ? y ,则 原式=(y-3)(y-24)+90

? y 2 ? 27y ? 162
=(y-18)(y-9)

? ( x 2 ? 2x ?18)(x 2 ? 2x ? 9) .
点拨: 本题中将 x 2 ? 2 x 视为一个整体大大简化了解题过程, 体现了换元法化简求解的良 好效果.此外, y 2 ? 27y ? 162 ? ( y ?18)( y ? 9) 一步,我们用了“十字相乘法”进行分解. 例5 分解因式 6 x 4 ? 5x3 ? 38x 2 ? 5x ? 6 .

点悟:可考虑换元法及变形降次来解之. 1 1 解:原式 ? x 2 [6( x 2 ? 2 ) ? 5( x ? ) ? 38] x x 1 1 ? x 2 [6( x ? ) 2 ? 5( x ? ) ? 50] , x x

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令x?

1 ? y ,则 x

原式 ? x 2 (6 y 2 ? 5 y ? 50)

? x 2 (2 y ? 5)(3 y ? 10) 2 3 ? x 2 (2 x ? ? 5)( 3x ? ? 10) x x 2 2 ? (2x ? 5x ? 2)(3x ? 10x ? 3)
? ( x ? 2)(2 x ? 1)(x ? 3)(3x ? 1) .

点拨:本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时,还应用了换元法,方法巧妙,令 人眼花瞭乱.但是,品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原” ,这是一个重要环节. 例6 分解因式 x 2 ? 2xy ? y 2 ? 5x ? 5 y ? 6 .

点悟:方法 1:依次按三项,两项,一项分为三组,转化为关于(x-y)的二次三项式. 方法 2:把字母 y 看作是常数,转化为关于 x 的二次三项式. 解法 1:

x 2 ? 2xy ? y 2 ? 5x ? 5 y ? 6

? ( x 2 ? 2xy ? y 2 ) ? (?5x ? 5 y) ? 6 ? ( x ? y)2 ? 5( x ? y) ? 6
? ( x ? y ? 1)(x ? y ? 6) .

解法 2:

x 2 ? 2xy ? y 2 ? 5x ? 5 y ? 6

? x 2 ? (2 y ? 5) x ? y 2 ? 5 y ? 6 ? x 2 ? (2 y ? 5) x ? ( y ? 6)( y ?1) ? [ x ? ( y ? 6 )][ x ? ( y ? 1 )]
=(x-y-6)(x-y+1). 例7 分解因式:ca(c-a)+bc(b-c)+ab(a-b).

点悟:先将前面的两个括号展开,再将展开的部分重新分组. 解:ca(c-a)+bc(b-c)+ab(a-b)

? ac2 ? a 2c ? b2c ? bc2 ? ab(a ? b) ? c 2 (a ? b) ? c(a 2 ? b2 ) ? ab(a ? b) ? c 2 (a ? b) ? c(a ? b)(a ? b) ? ab(a ? b) ? (a ? b)[c 2 ? c(a ? b) ? ab]
=(a-b)(c-a)(c-b). 点拨:因式分解,有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组,有时仅需要把某 几项展开再分组.此题展开四项后,根据字母 c 的次数分组,出现了含 a-b 的因式,从而 能提公因式.随后又出现了关于 c 的二次三项式能再次分解. 例8 已知 x 4 ? 6 x 2 ? x ? 12 有一个因式是 x 2 ? ax ? 4 ,求 a 值和这个多项式的其他因式.

点悟:因为 x 4 ? 6 x 2 ? x ? 12 是四次多项式,有一个因式是 x 2 ? ax ? 4 ,根据多项式的乘
12

法原则可知道另一个因式是 x 2 ? bx ? 3 (a、b 是待定常数) ,故有
x 4 ? 6 x 2 ? x ? 12 ? ( x 2 ? ax ? 4) ? ( x 2 ? bx ? 3) .根据此恒等关系式,可求出 a,b 的值.

解:设另一个多项式为 x 2 ? bx ? 3 ,则
x 4 ? 6 x 2 ? x ? 12 ? ( x 2 ? ax ? 4)(x 2 ? bx ? 3)

? x 4 ? (a ? b) x3 ? (3 ? 4 ? ab) x2 ? (3a ? 4b) x ? 12 ,

x 4 ? 6 x 2 ? x ? 12 与 x 4 ? (a ? b) x3 ? (3 ? 4 ? ab) x 2 ? (3a ? 4b) x ? 12 是同一个多项式, 所以

其对应项系数分别相等.即有

由①、③解得,a=-1,b=1, 代入②,等式成立. ∴ a=-1,另一个因式为 x 2 ? x ? 3 . 点拨:这种方法称为待定系数法,是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因 式分解较为常用的方法,在其他数学知识的学习中也经常运用.希望读者不可轻视. 【易错例题分析】 例 分解因式: 5a 2b2 ? 23aby ?10y 2 . 错解:∵ -10=5×(-2),5=1×5, 5×5+1×(-2)=23, ∴ 原式=(5ab+5y)(-2ab+5y). 警示:错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤. 正解:∵ 5=1×5,-10=5×(-2), ∴ 原式=(ab+5y)(5ab-2y). 5×5+1×(-2)=23.

【同步达纲练习】
一、选择题 1. 如果 x 2 ? px ? q ? ( x ? a)(x ? b) ,那么 p 等于 ( A.ab A.5 A.10 和-2 B.a+b B.-6 B.-10 和 2 C.-ab ( ) D.6 D.-10 和-2
13

) D.-(a+b)

2.如果 x 2 ? (a ? b) ? x ? 5b ? x 2 ? x ? 30 ,则 b 为

C.-5 C.10 和 2

3.多项式 x 2 ? 3x ? a 可分解为(x-5)(x-b),则 a,b 的值分别为 ( )

4.不能用十字相乘法分解的是 A. x 2 ? x ? 2 C. 4 x 2 ? x ? 2

( ) B. 3x 2 ? 10x 2 ? 3x D. 5x 2 ? 6 xy ? 8 y 2 ) B. (2x ? 2 y)2 ?13( x ? y) ? 20 D. 2( x ? y)2 ? 9( x ? y) ? 20 ③ x 2 ? 5x ? 6 ; ⑥ x 4 ? 11x 2 ? 12 D.5 个

5.分解结果等于(x+y-4)(2x+2y-5)的多项式是 ( A. 2( x ? y)2 ?13( x ? y) ? 20 C. 2( x ? y)2 ? 13( x ? y) ? 20 ① x2 ? 7x ? 6 ; ④ 4 x 2 ? 5x ? 9 ; A.2 个 二、填空题 7. x 2 ? 3x ? 10 ? __________. 8. m2 ? 5m ? 6 ? (m+a)(m+b).

6.将下述多项式分解后,有相同因式 x-1 的多项式有 ( ) ② 3x 2 ? 2 x ? 1 ; ⑤ 15x 2 ? 23x ? 8 ; B.3 个 C.4 个

a=__________,b=__________.

9. 2 x 2 ? 5x ? 3 ? (x-3)(__________). 10. x 2 ? ____ ? 2 y 2 ? (x-y)(__________). n 11. a 2 ? a ? (_____) ? (____ ? ____) 2 . m 12.当 k=______时,多项式 3x 2 ? 7 x ? k 有一个因式为(__________). 17 13.若 x-y=6, xy ? ,则代数式 x3 y ? 2 x 2 y 2 ? xy3 的值为__________. 36 三、解答题 14.把下列各式分解因式: (1) x 4 ? 7 x 2 ? 6 ; (2) x 4 ? 5x 2 ? 36 ;

(3) 4x 4 ? 65x 2 y 2 ? 16y 4 ;

(4) a 6 ? 7a 3b3 ? 8b6 ;

(5) 6a 4 ? 5a 3 ? 4a 2 ; 15.把下列各式分解因式: (1) ( x 2 ? 3)2 ? 4 x 2 ;

(6) 4a 6 ? 37a 4b 2 ? 9a 2b 4 .

(2) x 2 ( x ? 2)2 ? 9 ;

14

(3) (3x 2 ? 2x ? 1)2 ? (2x 2 ? 3x ? 3)2 ;

(4) ( x 2 ? x)2 ?17( x 2 ? x) ? 60 ;

(5) ( x 2 ? 2x)2 ? 7( x 2 ? 2x) ? 8 ;

(6) (2a ? b)2 ?14(2a ? b) ? 48 . 16.把下列各式分解因式: (1) (a ? b) x 2 ? 2ax ? a ? b ; (2) x 2 ? ( p 2 ? q 2 ) x ? pq( p ? q)( p ? q) ;

(3) x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? 2 x ? 10y ? 8 ;

(4) 4x 2 ? 4xy ? 3 y 2 ? 4x ? 10y ? 3 ;

(5) ( x 2 ? 3x ? 2)(x 2 ? 7 x ? 12) ?120;

(6) ( x 2 ? xy ? y 2 )(x 2 ? xy ? 2 y 2 ) ?12y 4 .

17.已知 2 x3 ? 7 x 2 ? 19x ? 60 有因式 2x-5,把它分解因式. 18.已知 x+y=2,xy=a+4, x3 ? y 3 ? 26,求 a 的值. 参考答案 【同步达纲练习】
15

1.D

2.B

3.D

4.C

5.A 9.2x+1 11.
n n2 ,a, 2 2m 4m 13.17

6.C

7.(x+5)(x-2) 10.xy,x+2y 12.-2,3x+1 或 x+2

8.1 或-6,-6 或 1

14.(1) 原式 ? ( x 2 ?1)(x 2 ? 6)

? ( x ? 1)(x ?1)(x 2 ? 6)
(2) 原式 ? ( x 2 ? 9)(x 2 ? 4)

? ( x ? 3)(x ? 3)(x 2 ? 4)
(3) 原式 ? (4x2 ? y 2 )(x2 ?16y 2 ) ? (2 x ? y)(2 x ? y)(x ? 4 y)(x ? 4 y) (4) 原式 ? (a3 ? 8b3 )(a3 ? b3 )

? (a ? 2b)(a 2 ? 2ab ? 4b2 )(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 )
(5) 原式 ? a 2 (6a 2 ? 5a ? 4)

? a 2 (2a ? 1)(3a ? 4)
(6) 原式 ? a 2 (4a 4 ? 37a 2b 2 ? 9b 4 )

? a 2 (4a 2 ? b2 )(a 2 ? 9b2 ) ? a 2 (2a ? b)(2a ? b)(a ? 3b)(a ? 3b)
15.(1) 原式 ? ( x 2 ? 3 ? 2 x)(x 2 ? 3 ? 2 x) ? ( x ? 3)(x ? 1)(x ? 3)(x ? 1) (2) 原式 ? [ x( x ? 2) ? 3][x( x ? 2) ? 3]

? ( x 2 ? 2 x ? 3)(x 2 ? 2 x ? 3) ? ( x ? 3)(x ? 1)(x 2 ? 2 x ? 3)
(3) 原式 ? (3x 2 ? 2x ? 1 ? 2x 2 ? 3x ? 3) ? (3x 2 ? 2x ? 1 ? 2x 2 ? 3x ? 3)

? (5x 2 ? 5x ? 4)(x ? 2)(x ? 1)
(4) 原式 ? ( x 2 ? x ?12)(x2 ? x ? 5)

? ( x ? 4)(x ? 3)(x 2 ? x ? 5)
(5) 原式 ? ( x 2 ? 2 x ? 8)(x 2 ? 2x ? 1)

? ( x ? 2)(x ? 4)(x ? 1)2
(6) 原式 ? (2a ? b ? 6)(2a ? b ? 8) 16.(1) 原式 ? [(a ? b) x ? a ? b](x ? 1) (2) 原式 ? [ x ? p( p ? q)][x ? q( p ? q)]

? ( x ? p 2 ? pq)(x ? pq ? q 2 )
(3) 原式 ? x 2 ? (2 y ? 2) x ? (3 y 2 ?10y ? 8)

? x 2 ? (2 y ? 2) x ? (3 y ? 4)( y ? 2)
16

? [ x ? (3 y ? 4)][x ? y ? 2] ? ( x ? 3 y ? 4)(x ? y ? 2)

(4) 原式 ? 4x 2 ? 4( y ? 1) x ? 3 y 2 ? 10y ? 3

? 4x 2 ? 4( y ? 1) x ? (3 y ?1)( y ? 3) ? (2 x ? 3 y ? 1)(2 x ? y ? 3)
(5) 原式 ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? 120

? ( x2 ? 5x ? 6)(x2 ? 5x ? 4) ?120 ? ( x 2 ? 5x ? 5)2 ?1 ?120 ? ( x 2 ? 5x ? 5 ? 11)(x 2 ? 5x ? 5 ?11) ? ( x 2 ? 5x ? 16)(x 2 ? 5x ? 6) ? ( x 2 ? 5x ? 16)(x ?1)(x ? 6)
(6) 原式 ? ( x 2 ? xy ? y 2 )2 ? y 2 ( x 2 ? xy ? y 2 ) ?12y 4

? ( x2 ? xy ? y 2 ? 4 y 2 )(x2 ? xy ? y 2 ? 3 y 2 ) ? ( x 2 ? xy ? 5 y 2 )(x 2 ? xy ? 2 y 2 ) ? ( x 2 ? xy ? 5 y 2 )(x ? y)(x ? 2 y)
17.提示: (2x3 ? 7 x 2 ?19x ? 60) ? (2x ? 5)

? x 2 ? x ?12 ? ( x ? 4)(x ? 3)
18.∵ 又∵

x3 ? y 3 ? ( x ? y)(x 2 ? xy ? y 2 ) ? ( x ? y)[(x ? y)2 ? 3xy] ,
x ? y ? 2 ,xy=a+4,

x3 ? y 3 ? 26,∴

2[22 ? 3(a ? 4)] ? 26 ,

解之得,a=-7.

§解一元二次方程(因式分解法)
教学内容 教学目标 用因式分解法解一元二次方程. 掌握用因式分解法解一元二次方程.

通过复习用配方法、 公式法解一元二次方程, 体会和探寻用更简单的方法──因式分解法 解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题. 重难点关键 1.重点:用因式分解法解一元二次方程. 2.难点与关键:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题 简便. 教学过程 一、复习引入 解下列方程.
17

(2)3x2+6x=0(用公式法) 1 1 1 (1)配方法将方程两边同除以 2 后,x 前面的系数应为 , 的一半应为 ,因此, 2 2 4 1 2 1 2 应加上( ) ,同时减去( ) . (2)直接用公式求解. 4 4 二、探索新知 (1)上面两个方程中有没有常数项? (2)等式左边的各项有没有共同因式? 上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解: 2x2+x=x(2x+1) , 3x2+6x=3x(x+2) (2)3x(x+2)=0 因此,上面两个方程都可以写成: (1)x(2x+1)=0

(1)2x2+x=0(用配方法)

因为两个因式乘积要等于 0,至少其中一个因式要等于 0, 1 也就是(1)x=0 或 2x+1=0,所以 x1=0,x2=- . 2 (2)3x=0 或 x+2=0,所以 x1=0,x2=-2. 因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解 使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式, 再使这两个一次式分别等于 0, 从而实现降次, 这种解法叫做因式分解法. 例 1.解方程 (1)4x2=11x (2) (x-2)2=2x-4 分析: (1) 移项提取公因式 x; (2) 等号右侧移项到左侧得-2x+4 提取-2 因式, 即-2 (x-2) , 再提取公因式 x-2,便可达到分解因式;一边为两个一次式的乘积,? 另一边为 0 的形式 解: (1)移项,得:4x2-11x=0 于是,得:x=0 或 4x-11=0 因式分解,得:x(4x-11)=0 11 x1=0,x2= 4 (x-2)2-2(x-2)=0 整理,得: (x-2) (x-4)=0

(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0 因式分解,得: (x-2) (x-2-2)=0 于是,得 x-2=0 或 x-4=0

x1=2,x2=4
a b a 2 ? b2 ? ? 的值. b a ab

例 2.已知

9a2-4b2=0,求代数式

a b a 2 ? b2 分析:要求 ? ? 的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出 a b a ab 与 b 的关系后代入,但也可以直接代入,因计算量比较大,比较容易发生错误.

解:原式=

a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 2b ?? ab a

∵9a2-4b2=0

18

∴(3a+2b) (3a-2b)=0 3a+2b=0 或 3a-2b=0, 2 2 a=- b 或 a= b 3 3 2 2b 当 a=- b 时,原式==3 2 3 ? b 3 2 当 a= b 时,原式=-3. 3 三、应用拓展 例 3.我们知道 x2-(a+b)x+ab=(x-a) (x-b) ,那么 x2-(a+b)x+ab=0 就可转化为 (x-a) (x-b)=0,请你用上面的方法解下列方程. (1)x2-3x-4=0 (2)x2-7x+6=0 (3)x2+4x-5=0 分析: 二次三项式 x2( - a+b) x+ab 的最大特点是 x2 项是由 x·x 而成, 常数项 ab 是由-a ( · -b) 而成的,而一次项是由-a·x+(-b·x)交叉相乘而成的.根据上面的分析,我们可以对上面的 三题分解因式. 解(1)∵x2-3x-4=(x-4) (x+1) ∴(x-4) (x+1)=0 ∴x-6=0 或 x-1=0 ∴x+5=0 或 x-1=0 ∴x-4=0 或 x+1=0 ∴x1=6,x2=1 ∴(x+5) (x-1)=0 ∴x1=-5,x2=1 ∴x1=4,x2=-1 (2)∵x2-7x+6=(x-6) (x-1) (3)∵x2+4x-5=(x+5) (x-1) ∴(x-6) (x-1)=0

上面这种方法,我们把它称为十字相乘法. 五、归纳小结 本节课要掌握: (1)用因式分解法,即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用. (2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别: 联系①降次,即它的解题的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次. ②公式法是由配方法推导而得到. ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法适用于某些一元二次方程. 区别:①配方法要先配方,再开方求根. ②公式法直接利用公式求根. ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为 0,再分别使各一次因式等 于 0.

第六课时 作业设计
19

一、选择题 1.下面一元二次方程解法中,正确的是( ) . A. (x-3) (x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7 2 3 B. (2-5x)+(5x-2)2=0,∴(5x-2) (5x-3)=0,∴x1= ,x2= 5 5 C. (x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2 D.x2=x 两边同除以 x,得 x=1

2.下列命题①方程 kx2-x-2=0 是一元二次方程;②x=1 与方程 x2=1 是同解方程;③方 程 x2=x 与方程 x=1 是同解方程;④由(x+1) (x-1)=3 可得 x+1=3 或 x-1=3,其中正确的 命题有( ) . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ) .

3.如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x2-mx+n=0 的根,那么 m-n 的值为( 1 1 A.B.-1 C. D.1 2 2 二、填空题

1.x2-5x 因式分解结果为_______;2x(x-3)-5(x-3)因式分解的结果是______. 2.方程(2x-1)2=2x-1 的根是________. 3.二次三项式 x2+20x+96 分解因式的结果为________;如果令 x2+20x+96=0,那么它 的两个根是_________. 三、综合提高题 1.用因式分解法解下列方程. (1)3y2-6y=0 (2)25y2-16=0

(3)x2-12x-28=0

(4)x2-12x+35=0

2.已知(x+y) (x+y-1)=0,求 x+y 的值.

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3.今年初,湖北武穴市发生禽流感,某养鸡专业户在禽流感后,打算改建养鸡场,建 一个面积为 150m2 的长方形养鸡场.为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长 am,另三边用竹篱围成,如果篱笆的长为 35m,问鸡场长与宽各为多少?(其中 a≥20m) 参考答案: 一、1.B 2 .A 3.D 二、1.x(x-5) , (x-3) (2x-5) 1 2.x1= ,x2=1 2 3. (x+12) (x+8) ,x1=-12,x2=-8 三、1. (1)3y(y-2)=0,y1=0,y0=2 (2) (5y)2-42=0
4 4 (5y+4) (5y-4)=0,y1=- ,y2= 5 5

(3) (x-14) (x+2)=0

x1=14,x2=-2

(4) (x-7) (x-5)=0 x1=7,x2=5 2.x+y=0 或 x+y-1=0,即 x+y=0 或 x+y=1 3.设宽为 x,则长为 35-2x,依题意,得 x(35-2x)=150 2x2-35x+150=0 (2x-15) (x-10)=0, 当宽 x=10 时,长为 15, 因 a≥20m,两根都满足条件. x1=7.5,x2=10, 当宽 x1=7.5 时,长为 35-2x=20,

§十字相乘法解一元二次方程问题
解答某些与一元二次方程有关的问题时, 灵活应用十字相乘法, 有时可独辟蹊径, 化难为易, 请看下面几例。 例 1. 若 a ? b ? c ? 0 ,一元二次方程 (a ? b) x 2 ? (b ? c) x ? (c ? a) ? 0 的两个实数根中,较大 的一个实根等于__________。 解:将已知方程变形,得
( x ? 1)[(a ? b) x ? (c ? a)] ? 0 ,
c?a 。 a ?b

∴ x1 ? 1,x 2 ?

∵a ? b ? c ? 0

∴ c ? a ? 0,a ? b ? 0,x2 ? 0 。

故所求的较大的一个实根等于 1。 例 2. 已知二次方程 (ab ? 2b) x 2 ? 2(b ? a) x ? 2a ? ab ? 0 有两个相等的实数根,那么 1 1 ? ? ___________。 a b 解:已知方程变形, 得 ( x ? 1)[(ab ? 2b) x ? (2a ? ab)] ? 0
21

2a ? ab , ab ? 2b 2a ? ab ? 1,即ab ? a ? b , ∵ x1 ? x 2 ,∴ ab ? 2b 1 1 a ?b ? 1。 故 ? ? a b ab

∴ x1 ? 1,x 2 ?

例 3. 若关于 x 的方程 (1 ? m2 ) x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 的两个根都是比 1 小的正数, 则实数 m 的取值 范围是__________。
[(1 ? m) x ? 1][(1 ? m) x ? 1] ? 0 , 解:已知方程变形,得 1 1 ,x 2 ? ∴ x1 ? , m?1 1? m 1 1 ? 1且 0 ? ? 1。 又∵ 0 ? x1 ? 1,0 ? x2 ? 1 , ∴0 ? m?1 1? m

∴ m ? 2且m ? 0 。 故实数 m 的取值范围是 m ? 2 。 例 4. 已知方程 a 2 x 2 ? (3a 2 ? 8a) x ? 2a 2 ? 13a ? 15 ? 0 至少有一个整数根,则非负整数 a=____________。
[ax ? (a ? 5)][ax ? (2a ? 3)] ? 0 , 解:已知方程变形,得 a ?5 2a ? 3 ,x 2 ? ∴ x1 ? a a a ?5 2a ? 3 ,x 2 ? 当 x1 ? 。 a a a ?5 5 ? 1 ? 为整数时, 当 x1 ? 非负整数 a ? 1,5 ; a a 2a ? 3 3 ? 2 ? 为整数时, 非负整数 . a ? 1,3 。 当 x2 ? a a

故非负整数 a=1,3,5。

●选学专题

因式分解与韦达定理

一元二次方程是中学阶段的一个重要学习内容,求根公式揭示了一元二次方程中,两根 与系数之间的密切关系, “根与系数的关系”进一步揭示了两者之间的关系. 一元二次方程的求 根公式是由系数表达的,研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根之和, 两根之积与系数的关系,它以一元二次方程的求根公式为基础.学了这部分内容,在处理有 关一元二次方程的问题时,就会多一些思路和方法,同时,也为今后进一步学习方程理论打 下基础. 第一节 分解因式

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【知识要点】 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也作分 解因式.分解因式与整式乘法互为逆变形. 因式分解没有普遍的方法,常用的方法主要有提公因式法、运用公式法、分组分解法和 十字相乘法、拆项和添项法等. 提公因式法:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.如果一个多项式 的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种 分解因式的方法叫做提公因式法. 运用公式法:如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用 公式法. 分组分解法:把一个多项式分成几个部分分别因式分解,各个部分得到相同的因式作为 整个多项式的公因式再提取出来的分解方法. 十字相乘法:对 kx2+mx+n 型的式子进行因式分解时,如果如果有 k=ac,n=bd, 且有 ad+bc=m 时,那么 kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d).十字相乘法口诀:首尾分解,交 叉相乘,求和凑中. 拆项、 补项法: 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项), 使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式 相等的原则下进行变形. 多项式因式分解的一般步骤: ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 也可以用一句话来概括: “先看有无公因式,再看能否套公式.十字相乘试一试,分组分 解要合适. ” 【复习要求】 ①能够对一些常见代数式进行因式分解; ②利用因式分解判断代数式的符号; ③利用因式分解来对多项式进行分解因式,并求一些简单的方程的根.
23

④掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法,掌握利用二次方程求根公 式分解二次二项式的方法,能把简单多项式分解因式. 【例题分析】 例1 分解因式: (1)x2-3x+2;(2)x2+4x-12;(3)x2-(a+b)xy+aby2. 分析:一般的,对于二次三项式 ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数 a 可以分解成两个 因数之积,即 a=a1a2,常数项 c 可以分解成两个因数之积,即 c=c1c2,把 a1,a2,c1,c2 排列如下: a1 c1 ? a 2 c2 a1c2 ? a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到 a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 的 一次项系数 b,即 a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1 与 a2x+

c2 之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫 做十字相乘法.十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中.常画出十字交叉相乘的 系数表示. 解:(1)如图 1,

图1 将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成-1 与-2 的乘积,而图中 的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,

x2-3x+2=(x-1)(x-2).
(2)由图 2,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6).

图2 (3)由图 3,得 x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by).

图3 评析:1.今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1 中的两个 x 用 1 来 表示(如图 4 所示)
24

图4 2.用十字相乘法把某些形如 ax2+bx+c 的二次三项式分解因式时,应注意以下问题: (1)正确的十字相乘必须满足以下条件: 在式子 中,竖向的两个数必须满足关系 a1a2=a,c1c2=c;在上式中,斜向的两

个数必须满足关系 a1c2+a2c1=b,分解思路为“看两端,凑中间. ” (2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时,图的上一行两个数中,

a1 是第一个因式中的一次项系数,c1 是常数项;在下一行的两个数中,a2 是第二个因式中的
一次项的系数,c2 是常数项. (3)二次项系数 a 一般都把它看做正数(如果是负数,则应提出负号,利用恒等变形把它 转化为正数),只需把它分解成两个正的因数. 例2 把下列关于 x 的二次多项式分解因式:

(1)x2+2x-1;(2)x2+4xy-4y2. 分析:若关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是 x1、x2,则二次三项式 ax2 +bx+c(a≠0)就可分解为 a(x-x1)(x-x2). 解:(1)令 x2+2x-1=0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1 ? 2 ,
? x2 ? 2x ?1 ? [ x ? (?1 ? 2 )][ x ? (?1 ? 2 )] ? ( x ? 1 ? 2 )( x ? 1 ? 2 ) .

(2)令 x2+4xy-4y2=0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2 ) y, x1 ? (?2 ? 2 2 ) y,
? x2 ? 4xy ? 4 y 2 ? [ x ? 2(1 ? 2 ) y][ x ? 2(1 ? 2 ) y] .

评析:本题解法利用的是因式定理:对于多项式 f(x)=0,如果 f(a)=0,那么 f(x)必含 有因式 x-a. 例如: f(x)=x2+5x+6, f(-2)=0, 则可确定 x+2 是 x2+5x+6 的一个因式. 事 实上,x2+5x+6=(x+2)(x+3). 例3 将下列各式分解因式:

(1)(x2-1)2+6(1-x2)+9;(2)(x2+4)2-16x2;(3)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1. 分析:可以运用公式法分解因式. 解:(1)(x2-1)2+6(1-x2)+9 =(x2-1)2-6(x2-1)+9=[(x2-1)-3]2=(x2-4)2=[(x+2)(x-2)]2 =(x+2)2(x-2)2; (2)(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2; (3)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1=(x2+2x+1)2=(x+1)4. 评析:把(x2-1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解,体现了“换元”思想,最后再
25

利用平方差公式达到分解彻底的目的.如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因 式,这种方法叫运用公式法,几个常用的公式: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2;

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 例4 分解因式:x3-9x+8.(在有理数范围内分解)

分析:可以运用拆项、添项法分解. 解:原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 另解:原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 评析:由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无 一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸 方法中技巧性最强的一种.
b a a ? 2 的值. b

例5

已知 (ab)2 ? 4ab ? 4 ? a ? b ? 3 ? 0 ,求 ?

分析:有效利用配方法,由已知条件求出 a+b,ab 的值,然后通过通分把未知分式转 化为 a+b,ab 的代数式,从而由整体代入法来求出结果. 解:∵ (ab)2 ? 4ab ? 4 ? a ? b ? 3 ? 0 ,? (ab ? 2) 2 ? a ? b ? 3 ? 0 ,
b a b 2 ? a 2 ? 2ab (a ? b) 2 9 ? ? . ∴ab=2,a+b=-3,? ? ? 2 ? ab a b ab 2

评析:利用因式分解的公式法,把已知等式化为两个非负数的和,再求出隐含结论 a+

b,ab 的值是解决此题的突破口.利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知 a+b, ab 的式子.
练习 1(选学专题) 1.多项式 2x2-xy-15y2 的-个因式为( (A)2x-5y (B)x-3y (C)x+3y ) (D)x-5y )

2.当二次三项式 4x2+kx+25=0 是完全平方式时,k 的值是(
26

(A)20

(B)10 (C)-20

(D)绝对值是 20 的数 )

3.若 a=-4b,则对 a 的任何值多项式 a2+3ab-4b2+2 的值( (A)总是 2 (B)总是 0 (C)总是 1 (D)是不确定的值

4.在实数范围内分解因式: (1)x2+6x+8; (2)8a3-b3; (3)x2-2x-1;

(4)x2-5x+3;

(5) x 2 ? 2 2 x ? 3 ;

(6)4x4-13x2+9;

(7)3x2+4xy-y2;

(8)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12.

5.△ABC 三边 a,b,c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判定△ABC 的形状.

6.已知 9a2-4b2=0,求代数式 ?

a b

b a 2 ? b2 ? 的值. ab a

第二节 一元二次方程根的判别式及根系关系 【知识要点】 1.对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为
(x ? b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2



因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时, 方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
27

x1, 2 ?

? b ? b 2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x1 ? x2 ? ?

(3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ? 等于零,因此,原方程没有实数根.

b 2 ) 一定大于或 2a

由此可知, 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定, 我们 把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),有 (1)当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 2.若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1 ? ? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac x2 ? , , 2a 2a
? b ? b 2 ? 4ac ; 2a b x1 ? x2 ? ? ; 2a x1, 2 ?

则有
? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac ? 2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a
x1 x2 ? ? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac b 2 ? (b 2 ? 4ac) 4ac c . ? ? 2 ? . 2a 2a a 4a 2 4a

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么
x1 ? x2 ? ? b c , x1 ? x2 ? . a a

这一关系也被称为韦达定理.

特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由 韦达定理可知

x1+x2=-p,x1·x2=q,


p=-(x1+x2),q=x1·x2,

所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方 程 x2+px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0. 因此由已知两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是

x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.

28

【复习要求】 1.掌握一元二次方程根和系数的关系,能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根 积.能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根,能灵活解决一 些简单的有关一元二次方程的问题. 2.利用根与系数的关系,会由已知一元二次方程的一个根,求另一个根,以及方程中 的未知系数;利用根与系数的关系,会求已知一元二次方程两个根的倒数和与平方和. 3.一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系,是 分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具, 也是计算有关一元二次方程根的计算问题 的重要工具.知识的运用方法灵活多样,是设计考察创新能力试题的良好载体,在高考中与 此有联系的试题出现频率很高,是同学们应重点练习的重要内容. 【例题分析】 例1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数),如果方程有实数根,写出方 程的实数根. (1)x2-ax+(a-1)=0;(2)x2-2x+a=0. 分析:利用判别式和求根公式解决问题. 解:(1)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以,①当 a=2 时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0,所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (2)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a), 所以 ①当 Δ>0,即 4(1-a)>0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根

x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a ;
②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 评析:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我们把

b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
例2 已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解出 另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的 一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两 根之和求出 k 的值.
3 6 解:设方程的另一个根为 x1,则 2 x1 ? ? ,? x1 ? ? . 5 5

29

由 ( ? ) ? 2 ? ? ,得 k=-7.所以,方程的另一个根为 ?

3 5

k 5

3 .k 的值为-7. 5

若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. 1 1 3 (1)求|x1-x2|的值;(2)求 2 ? 2 的值;(3)求 x13 + x2 的值. x1 x2 例3 分析:分别变形为可以利用 x1+x2 和 x1x2 来表示的形式. 解:∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根, 5 3 ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 2
2 (1)∵|x1-x2|2= x12 + x2 -2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2

5 3 25 ? (? ) 2 ? 4 ? (? ) ? ?6 2 2 4 49 ? , 4

?| x1 ? x2 |?

7 . 2
5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 2 2 ? 4 3 9 (? ) 2 2 4

1 1 x2 ? x2 ( x ? x )2 ? 2x x (2) 2 ? 2 ? 1 2 2 2 ? 1 2 2 1 2 ? x1 ?x2 ( x1x2 ) x1 x2
? 37 . 9

3 2 (3) x13 + x2 =(x1+x2)( x12 -x1x2+ x2 )=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]

5 5 3 215 ? (? ) ? [( ? ) 2 ? 3 ? (? )] ? ? . 2 2 2 8

评析:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一 个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则
x1 ? ? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac x2 ? , , 2a 2a

?| x1 ? x2 |?|

? ? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac b 2 ? 4ac ? . ? |?| |? |a| 2a 2a 2a |a|

于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根, 则 | x1 ? x2 |? =b2-4ac). 今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例4 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根

? (其中 Δ |a|

30

的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方 程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因 此,其根的判别式应大于等于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得

x1+x2=-2(m-2),x1·x2=m2+4.
2 ∵ x12 + x2 -x1·x2=21,

∴(x1+x2)2-3x1·x2=21, 即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0,解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2-6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合题意,舍去. 综上,m=-1. 评析:在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围, 然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即 可.在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于 或等于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根. 例5 已知 x1、 x2 是关于 x 的一元二次方程 4x2+4(m-1)x+m2=0 的两个非零实数根,

问 x1 和 x2 能否同号?若能同号,请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号,请说明理由. 分析:利用判别式和根与系数关系共同解决本题. 解:由 Δ=-32m+16≥0 得 m ?
1 1 .x1+x2=-m+1, x1 x2 ? m 2 ? 0 . 2 4

∴x1 与 x2 可能同号,分两种情况讨论:
?x ? x ? 0 (1)若 x1>0,x2>0,则 ? 1 2 ,解得 m<1 且 m≠0. ? x1 x2 ? 0
?m ? 1 且 m≠0. 2

?x ? x ? 0 1 (2)若 x1<0,x2<0,则 ? 1 2 ,解得 m>1,与 m ? 相矛盾. 2 ? x1 x2 ? 0

综上所述:当 m ?

1 且 m≠0 时,方程的两根同号. 2

练习 2 一、选择题 1.已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2
31

)

2.如果方程 x2+mx=1 的两个实根互为相反数,那么 m 的值为( (A)0 (B)-1 (C)1 (D)±1

)

b 3.已知 ab≠0,方程 ax2+bx+c=0 的系数满足 ( ) 2 ? ac ,则方程的两根之比为( 2

)

(A)0∶1 切线有( ) (A)0 条 二、填空题

(B)1∶1

(C)1∶2

(D)2∶3

4.已知两圆的半径恰为方程 2x2-5x+2=0 的两根,圆心距为 3 ,则这两个圆的外公 (B)1 条 (C)2 条 (D)3 条

5.若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则

1 1 ? =______. x1 x2

6.方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是___________________________________. 7.以-3 和 1 为根的一元二次方程是__________________. 8.设 x1、x2 是方程 x2-4x+2=0 的两根,则①|x1-x2|=______; ②(x1+1)(x2+1)=______. 三、解答题 9.已知 a 2 ? 8a ? 16? | b ? 1 |? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等 的实数根?

10.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)(x2-3)的值.

11.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1)x+1=0 有两个不 相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

32

习题(选学专题)
一、选择题 1.下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; 7 ③方程 3x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为- ; 3 ④方程 3x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是( (A)1 个 (B)2 个 ) (C)3 个 (D)4 个

2.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直 角三角形的斜边长等于( (A) 3 ) (B)3 (C)6 (D)9

1 3.已知,在△ABC 中,∠C=90°,斜边长 7 ,两直角边的长分别是关于 x 的方程: 2
1 x 2 ? 3( m ? ) x ? 9m ? 0 的两个根,则△ABC 的内切圆面积是( 2 3 7 9 (A)4 (B) π (C) π (D) π 2 4 4

)

4.若关于 x 的方程 x2+(k2-1)x+k+1=0 的两根互为相反数,则 k 的值为( (A)1 或-1 (B)1 (C)-1 (D)0
c ? 0 的根的情况是( 4

)

5.已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,那么方程 cx 2 ? (a ? b) x ? (A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (D)有两个异号实数根

)

(C)有两个相等的实数根 二、填空题

6.以方程 2x2-x-4=0 的两根的倒数为根的一元二次方程是___________________. 7.已知方程 x2-3x+m=0 的一个根是 1,则它的另一个根是______,m 的值是 ________. 8.已知 x1、x2 是方程 x2-3x+1=0 的两根,则 4x12 ? 12 x2 ? 11的值为_____________.

33

10.若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于 _______. 三、解答题 11.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

12.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: x ? x2 3 (1)|x1-x2|和 1 ;(2) x13 + x2 . 2

13.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足|x1-x2|=2,求实数 m 的值.

14.已知关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 2) x ?

m2 ? 0. 4

(1)求证:无论 m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根; (2)若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足|x2|=|x1|+2,求 m 的值及相应的 x1,x2. 参考答案 选学专题 因式分解与韦达定理 练习 1 1.B 2.D 3.A (2)(2a-b)(4a2+2ab+b2); (4) ( x ?
5 ? 13 5 ? 13 )(x ? ); 2 2

4.(1)(x+2)(x+4); (3) ( x ? 1 ? 2 )(x ? 1 ? 2 ) ;

(5) ( x ? 2 ? 5)(x ? 2 ? 5) ; (6)(2x+3)(2x-3)(x+1)(x-1);
2? 7 2? 7 y)(x ? y ) ; (8) ( x ? 3)(x ? 1)(x ?1 ? 5)(x ?1 ? 5) . 3 3 5.等边三角形.

(7) 3( x ?

a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 2b ?? 6.解:原式 ? , ab a

∵9a2-4b2=0,∴(3a+2b)(3a-2b)=0,3a+2b=0 或 3a-2b=0,

34

2 2 即a ? ? b 或a ? b, 3 3 2 2 2b 当 a ? ? b 时,原式 ? ? ? 3 ;当 a ? b 时,原式=-3. 2 3 3 ? b 3 练习 2

一、选择题 1.C 2.A 二、填空题 5.-3 6.有两个不相等的实数根 7.x2+2x-3=0 8. 2 2 ,7 三、解答题 9.k<4,且 k≠0 10.-1 提示:(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9
1 4 1 4

3.B 4.C

11.当 m ? ? ,且 m≠0 时,方程有两个不相等的实数根;当 m ? ? 时,方程有两个相 等的实数根; 当 m ? ? 时,方程没有实数根.
1 4

习题(选学专题) 一、选择题 1.B 2.B 3.D 4.C 5.B 1.提示:②和④是错的,对于②,由于方程的根的判别式 Δ<0,所以方程没有实数根; 2 对于④,其两根之和应为 ? 3 4.提示:由于 k=1 时,方程为 x2+2=0,没有实数根,所以 k=-1. 5.提示:∵a,b,c 是△ABC 的三边长,∴a+b>c,∴Δ=(a+b)2-c2>0. 二、填空题 6.4x2+x-2=0; 7.2,2; 8.43; 9.
17 ? 4

10.2006 提示:∵m+n=-2005,mn=-1, ∴m2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=-1×(-2005-1)=2006. 三、解答题 11.解:设已知方程的两根分别是 x1 和 x2,则所求的方程的两根分别是-x1 和-x2, ∵x1+x2=7,x1x2=-1,∴(-x1)+(-x2)=-7,(-x1)×(-x2)=x1x2=-1, ∴所求的方程为 y2+7y-1=0. 12.解:(1) | x1 ? x2 |?
b 2 ? 4ac 3abc ? b3 x ?x b 3 3 , 1 2 ? ? ;(2) x1 . ? x2 ? |a| 2 a3 2a

13.解:∵ | x1 ? x2 |? 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ,∴m=3.把 m=3 代入方程,Δ>0,满足题
35

意,∴m=3. 14.解:(1) Δ=2(m-1)2+2>0;
m2 (2)∵ x1 x2 ? ? 4 ? 0 ,∴x1≤0,x2≥0,或 x1≥0,x2≤0.

①若 x1≤0,x2≥0,则 x2=-x1+2,∴x1+x2=2,∴m-2=2,∴m=4. 此时,方程为 x2-2x-4=0,? x1 ? 1 ? 5, x2 ? 1 ? 5. ②若 x1≥0,x2≤0,则-x2=x1+2,∴x1+x2=-2,∴m-2=-2, ∴m=0.此时,方程为 x2+2x=0,∴x1=0,x2=-2.

§用十字相乘法解中考题
大家知道,十字相乘法可用来分解因式、解一元二次方程等,它常用于解决数字系数的 问题。实际上如果是字母系数的二次三项式或一元二次方程,也同样可用这种方法,这能起 到简化解题过程的作用。下面以 2006 年的中考题为例,说明十字相乘法在解字母系数的一 元二次方程中的应用。 [例 1]已知下列 n 个关于 x 的一元二次方程:
x2 ?1? 0

<1> <2> <3>

x2 ? x ? 2 ? 0
x 2 ? 2x ? 3 ? 0

……
x 2 ? (n ? 1)x ? n ? 0 <n>

(1)请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、……<n>; (2)请你指出这 n 个方程的 根具有什么共同特点,写出一条即可。 (2006 年北京海淀区中考第 21 题) 解: (1)解方程 x 2 ? (n ? 1)x ? n ? 0 , 由十字相乘法得
1 1 n -1

因此 x 1 ? ?n,x 2 ? 1 。 所以方程<1>的根是-1,1;方程<2>的根是-2,1;方程<3>的根是-3,1;方程<n> 的根是-n,1; (2)这 n 个方程都有 1 这个根;都有一个根为负整数;两个根都是整数根等等。 [例 2]抛物线 y ? ?x 2 ? (m ? 1)x ? m 与 y 轴交于(0,3)点, (1)求出 m 的值并画出这 条抛物线; (2)求出它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标; (3)x 取什么值时,抛物线在 x 轴上方?(4)x 取什么值时,y 的值随 x 值的增大而减小?(2006 年安徽课改第 21 题)

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解: (1)令 x=0 得 y=m,又抛物线与 y 轴交于点(0,3) ,得 m=3。 (画图略) (2)令 y=0 得 x 2 ? (m ? 1)x ? m ? 0 , 由十字相乘法得 标为(1,4) 。 (3)当 ? 1 ? x ? 3 时,抛物线在 x 轴上方。 (4)当 x>1 时 y 的值随 x 值的增大而减小。 [例 3]抛物线 y ? ax 2 ? 8ax ? 12a(a ? 0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) , 抛物线上另有一点 C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使ΔOCA∽ΔOBC。 (1)求线段 OC 的长; (2)求该抛物线的函数关系式; (3)在 x 轴上是否存在一点 P,使ΔBCP 为等腰 三角形?若存在,求出所有符合条件的 P 点的坐标;若不存在,请说明理由。 (2006 年深圳 中考第 21 题) 解: (1)令 y=0 得 ax 2 ? 8ax ? 12a ? 0 , 由十字相乘法得
9 1 -6a -2 1 1 -m 1

故抛物线与 x 轴的交点为(-1,0) , (3,0) , y ? ?x 2 ? 2x ? 3 ? ?(x ? 1) 2 ? 4 ,故顶点坐

因此得 x 1 ? 2 , x 2 ? 6 。即 OA=2,OB=6。 由ΔOCA∽ΔOBC, OC:OB=OA:OC, OC 2 ? OA ? OB ? 12,OC ? 2 3 。 (2)再由ΔOCA∽ΔOBC,AC:CB=OA:OC=2: 2 3 =1: 3 ,又ΔACB 为直角三角 形,∠ABC=30°,∠BAC=60°, x c ? 2 ? AC cos 60? ? 3 , y c ? AC, sin 60? ? 3 , 故点 C(3, 3 ) ,代入 y ? a ( x ? 2)( x ? 6) , 即 3 ? a(3 ? 2)(3 ? 6) ,解得 a ? ?
3 3 8 3 x?4 3。 ,函数的解析式为 y ? ? x 2 ? 3 3 3

(3) 存在点 P 使ΔBCP 为等腰三角形, 它们是 (0 , 0) , (4 , 0) (6 ? 2 3 , 0) , (6 ? 2 3,0) 。 [例 4]已知:关于 x 的方程 mx 2 ? 14x ? 7 ? 0 的两个实数根 x 1和x 2 ,关于 y 的方程
y 2 ? 2(n ? 1) y ? n 2 ? 2n ? 0 有两个实数根 y1和y 2 ,且 ? 2 ? y1 ? y 2 ? 4 。当
2 - x1 ? x 2

6 ? 2(2 y1 ? y 2 (2006 年北京市中考大纲卷第 23 题) 2 ) ? 14 ? 0 时,求 m 的取值范围。 x1x 2

解:由方程 mx 2 ? 14x ? 7 ? 0 有两实根,故 m ? 0 ,且 ? ? (?14) 2 ? 28m ? 0 解得 m ? ?7 且
m ? 0。

由韦达定理, x 1 ? x 2 ?

7 14 , x1 ? x 2 ? ? 。 m m

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第二个方程由十字相乘法得 即有 y1 ? n ? 2,y 2 ? n ,

1 1

-n -(n-2)

∵ ? 2 ? n ? 2 ? n ? 4, ∴0 ? n ? 4。 再由已知得 2 ?
m m ? 6 ? ? 2[2(n ? 2) ? n 2 ] ? 14 ? 0 ,即有 m ? 2(n ? 1) 2 ? 8 ,由 n 的取值范围 14 7

得 ? 8 ? m ? 10 ,再结合前面的结论得 ? 7 ? m ? 10 ,且 m ? 0 。 [例 5]已知:二次函数 y ? x 2 ? (m ? 1)x ? m 的图像交 x 轴于 A( x1 ,0) ,B( x 2 ,0)
2 两点,交 y 轴正半轴于点 C,且 x1 (1)求此二次函数的解析式; (2)是否存在过 ? x2 2 ? 10 。

点 D(0, )的直线与抛物线交于点 M,N,与 x 轴交于点 E,使得 M,N 关于点 E 对称? 若存在,求直线 MN 的解析式;若不存在,请说明理由。 (2006 年武汉课改人教版第 24 题) 解: (1)令 y=0,由十字相乘法得
1 1 m -1

5 2

所以 x1 , x 2 的值分别为 m,1 或 1,m 由已知得 m 2 ? 1 ? 10 ,解得 m ? 3 ,又抛物线交 y 轴正半轴, ∴m=3, y ? x 2 ? 4x ? 4 。 (2)假设存在直线 MN,设其解析式为 y ? kx ? ,代入二次函数解析式得
x 2 ? (k ? 4)x ? 11 , ? 0 …(*) 2 5 2 5 5 ,故 E( ,0) 。 2k 2k 5 2

∴ xM ? xN ? 4 ? k 。 令直线 y ? kx ? 中的 y=0 得 x ? 当

5 1 5 4?k ,即 k 2 ? 4k ? 5 ? 0 ,解 ? (x M ? x N ) 时,点 M,N 关于点 E 对称,解方程 ? 2k 2 2k 2
5 5 )的直线 y ? x ? 与抛物线交于点 M,N,与 x 轴交于点 E, 2 2

得 k=1 或 k=-5。当 k=1 时(*)式的Δ>0 适合。当 k=-5 时(*)式的Δ<0,不合舍去。 所以存在过点 D(0, ? 使得 M,N 关于点 E 对称。 [例 6]已知抛物线 y ? x 2 ? mx ? 2m 2 (m ? 0) 。 (1)求证:该抛物线与 x 轴有两个不同的 交点; (2)过点 P(0,n)作 y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B(点 A 在点 P 的左边) , 是否存在实数 m,n,使得 AP=2PB?若存在,则求出 m、n 满足的条件;若不存在,请说 明理由。 (2006 年广州中考第 25 题) 解: (1)令 y=0,由十字相乘法得
1 1 2m -m

即当 x ? ?2m 或 m 时,y=0,又 m≠0,即该抛物线与 x 轴有两个不同的交点。 (2)存在实数 m、n,使得 AP=2PB。设点 B(t,n) 。
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垂线交该抛物线于点 A 和点 B,首先要满足该垂线与抛物线有两个不同的交点,此时 n 大于其顶点的纵坐标,而 y ? (x ?
m 2 9 2 9 ) ? m ,因此 n ? ? m 2 。 2 4 4

①当点 B 在点 P 的右边时,t>0 由 AP=2PB,得 A 为(-2t,n) ,故 t、-2t 是方程
x 2 ? mx ? 2m 2 ? n ? 0 的两实根,由韦达定理

?t ? 2t ? ?m, ?t ? m,(m ? 0) ? ? ? - 2t) ? ?2m 2 ? n, ?n ? 0. ?t ( 9 而 0 ? ? m 2 。因此当 m>0 且 n=0 时,有 4

PA=2PB ②当点 B 在点 P 的左边时,t<0,点 A 的坐标为(2t,0) ,故 t、2t 是方程 x 2 ? mx
? 2m 2 ? n ? 0 的两实根,

由韦达定理
?t ? 2t ? ?m, ? 2 ?t ? 2t ? ?2m ? n, m ? ?t ? ? ,(m ? 0) 3 ? ?n ? ?2t 2 ? 2m 2. ?

20 2 9 m ,满足 n ? ? m 2 9 4 20 2 ∴当 m>0 且 n ? ? m 时,有 PA=2PB。 9 20 综上,当 m>0 且 n=0 或 n ? ? m 2 时,有 PA=2PB。 9

因此得 n ? ?

●初高中数学衔接内容选讲
一、十字相乘法 重点和难点 重点:正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是 1 的二次三项式分解因式; 难点:灵活运用十字相乘法分解因式. 知识内容: 一、复习
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把下列各式多分解因式: 1.x2+6x-72; 3.x4-7x2+18; 2.(x+y) 2-8(x+y)+48; 4.x2-10xy-56y2.

我们已经学习了把形如 x2+px+q 的某些二次三项式分解因式, 也学习了通过设辅助元的方法 把能转化为形如 x2+px+q 型的某些多项式分解因式.对于二次项系数不是非曲直的二次三项 式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如 ax2+bx+c 的二次三项式分解因 式.注意:考虑因式分解的条件△>0。 二、新课 例 1 把 2x2-7x+3 分解因式. 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下解,再分解常数项,分别写 在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数分解二次 项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1==(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 2 1 3 ①1×3+2×1=5 ③1×(-3)+2×(-1)=-5 -7. 解:2x2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地,对于二次三项式 ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积,即 a=a1a2,常数项 c 可以分解成两个因数之积,即 c=c1c2,把 a1,a2,c1,c2,排列如下: a1 a2 c1 c2 1 2 3 1 1 2 -1 -3 1 2 -3 -1

②1×1+2×3=7 ④1×(-1)+2×(-3)=-7

经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数

a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到 a1a2+a2c1,若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 的一次 项系数 b,即 a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1 与 a2x+c2 之积, 即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做

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十字相乘法. 例 2 把 6x2-7x-5 分解因式. 分析:按照例 1 的方法,分解二次项系数 6 及常数项-5,把它们分别排列,可有 8 种不同 的排列方法,其中的一种 2 3 1 -5

2×(-5)+3×1=-7 是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5). 指出: 通过例 1 和例 2 可以看到, 运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三项式因 式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是 1 的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常 数项分解因数.例如把 x2+2x-15 分解因式,十字相乘法是 1 1 -3 5

1×5+1×(-3)=2 所以 x2+2x-15=(x-3)(x+5). 例 3 把 5x2+6xy-8y2 分解因式. 分析:这个多项式可以看作是关于 x 的二次三项式,把-8y2 看作常数项,在分解二次项及 常数项系数时,只需分解 5 与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即 1 5 2 -4

1×(-4)+5×2=6 解 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y). 指出:原式分解为两个关于 x,y 的一次式. 例 4 把(x-y)(2x-2y-3)-2 分解因式. 分析: 这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式, 只有先进行多项式的乘法运算, 把变形后的多项式再因式分解.

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问:两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式 2,就变为 2(x-y),它是第一个因式的二倍, 然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式, 就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) 2-3(x-y)-2 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 三、课堂练习 1.用十字相乘法分解因式: (1)2x2-5x-12; (3)6x2-13x+5; (5)12x2-13x+3; 2.把下列各式分解因式: (1)6x2-13xy+6y2; (3)18x2-21xy+5y2; 四、小结 1.用十字相乘法把某些形如 ax2+bx+c 的二次三项式分解因式时,应注意以下问题: (1)正确的十字相乘必须满足以下条件: a1 在式子 a2 c2 c1 中,竖向的两个数必须满足关系 a1a2=a,c1c2=c;在上式中,斜 (2)8x2y2+6xy-35; (4)2(a+b) 2+(a+b)(a-b)-6(a-b) 2. (2)3x2-5x-2; (4)7x2-19x-6; (6)4x2+24x+27. 2 +1 1×1+2×(-2)=-3 1 -2

指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

向的两个数必须满足关系 a1c2+a2c1=b. (2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时,图的上一行两个数中,a1 是 第一个因式中的一次项系数,c1 是常数项;在下一行的两个数中,a2 是第二个因式中的一次 项的系数,c2 是常数项. (3)二次项系数 a 一般都把它看作是正数(如果是负数,则应提出负号,利用恒等变形把它转 化为正数,)只需把它分解成两个正的因数. 2.形如 x2+px+q 的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式. 3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式 ax2+bx+c 的多项式,有些也可以用十字相乘法分 解因式,如例 4.
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五、作业 1.用十字相乘法分解因式: (1)2x2+3x+1; (3)6x2-13x+6; (5)6x2-11xy+3y2; (7)10x2-21xy+2y2; 2.把下列各式分解因式: (1)4n2+4n-15; (3)5x2-8x-13; (5)15x2+x-2; (7)20-9y-20y2; 课堂教学说明 1.为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式分解因式的思路和方法,先通过例 1,较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法,在此基础上再进一步概括如何运 用十字相乘法把二次三项式 ax2+bx+c 进行因式分解的一般思路和方法, 这种从特殊到一般, 再从一般到特殊的认识问题的过程,是符合学生的认识问题的过程. 2.对于借助画十字,用观察的方法,选择和确定适合的数组,首先讲解例 1 时,要求学 生把分解二次项系数和常数项的各种情况都画十字交叉线表示,运用观察的方法,从中选取 合适的数组,然后归纳为一般情况,总结出一般的方法,再通过例 2 加以巩固. 因式分解单元知识总结 【基本目标要求】 一、经历探索分解因式方法的过程,了解分解因式的意义,以及它与整式乘法之间的整 体联系. 二、掌握提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式(指数是正整数),发展学生逆 向思维的能力。 三、感受分解因式在解决有关问题中的作用. 【基础知识导引】 一、因式分解的有关概念 1.因式:几个整式相乘,每个整式叫做它们的积的因式.例如 (a ? 3)(a ? 1) ? a 2 ? 2a ? 3 , a-3 和 a+1 都是 a 2 ? 2a ? 3 的因式. 2.公因式:多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式. 3.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分
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(2)2y2+y-6; (4)3a2-7a-6; (6)4m2+8mn+3n2; (8)8m2-22mn+15n2. (2)6a2+a-35; (4)4x2+15x+9 (6)6y2+19y+10; (8)7(x-1) 2+4(x-1)(y+2)-20(y+2) 2.

解因式. 二、多项式分解的几种常用方法 1.提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外 面,将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2.公式法:如果把乘法公式反过来,就可用来把某些多项式分解因式.要求熟练运用 于因式分解的方法是: (1)平方差公式 a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) ; (2)完全平方公式 a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 . 有时也用到公式: (3) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? (a ? b ? c) 2 . 【重点难点点拨】 本章重点仅限因式分解的两种方法,即提公因式法、公式法中的平方差公式法和完全平 方公式法. 本章的难点是公式法中的字母代表代数式时的应用.要掌握上述重、难点,必须注意以 下问题. 一、因式分解的注意事项 1.因式分解与整式乘法互为逆运算.

2.在提公因式时,若各项系数都是整数,所提的公因式是各项系数的最大公约数与各 项都含有的字母的最低次幂的积. 3.如果多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数, 在提出“-”号时,多项式的各项都要变号. 4.有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,例如:- a- b + c=-(a + b-c );又如:当 n 为正整数时, (a ? b) 2n ? (b ? a) 2n ; (a ? b) 2n?1 ? ?(b ? a) 2n?1 ,都是在因式分 解过程中常用到的因式变换. 5. 能运用平方差公式 a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) 分解的多项式, 必须是二项式或视作二项式 的多项式,且这两项的符号相反,a、b 可表示数,亦可表示字母或代数式,每项都能写成 数(或式)的完全平方的形式. 6.能运用完全平方公式。 a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 分解的多项式,必须是三项式或视作 三项式的多项式,且其中两项符号相同并都能写成数(或式)的完全平方形式,而余下的一项 是这两个数(或式)的乘积的 2 倍.如果三项中的两个完全平方项都带有负号,则应先提出负 号,再运用完全平方公式分解因式.

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二、因式分解的思路与解题步骤 1.先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式; 2.再看能否使用公式法; 3.因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 因为需要分解因式的多项式是多种多样的,所以必须根据题目的特点,对具体问题作具体分 析,灵活应用有关方法和技巧,才能正确迅速地解题. 【发散思维导练】 本章的主要内容是多项式的两种因式分解的方法. 多项式的因式分解是整式乘法的逆运 算,在解题中何时用整式乘法,何时用因式分解,需视解题的要求而定.如把 (x+1)(x-3)+4 分解因式,必须先做整式乘法,得:

( x ? 1)(x ? 3) ? 4 ? x 2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1) 2 .
又如计算 ( x 3 ? y 3 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ) 2 ,这里没有按照运算顺序先做整式乘法,而是运用平方 差公式进行因式分解,得:

( x 3 ? y 3 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ? x 3 ? y 3 )(x 3 ? y 3 ? x 3 ? y 3 ) ? 2 x 3 ? (?2 y 3 ) ? ?4 x 3 y 3
多项式因式分解是数学中重要的恒等变形,它是继续学习分式、方程的基础. 熟练地掌握和灵活地运用因式分解的各种方法是进一步学好数学的前提. 本章安排了一定数量的逆向发散、转化发散和其他类型的发散思维题.逆向发散可以化 异为同,化生为熟,化多(元、次)为少(元、次),变繁为简,化难为易.转化发散通过把任 何整式或任何多项式看成是公式中的字母 a 或 b,从而利用乘法公式实现由繁到简、由难到 易的转化.转化发散还可以促进数形结合解题,可发挥“形”的直观作用和“数”的思路规范优 势,由数思形,由形定数,数形渗透,互相作用,达到化未知为已知直到问题解决的目的. 【发散思维应用】 1.分解因式 2.提公因式法 【典型例题】 1.分解因式 a 2bx2 ? a 2 bxy ? a 2by2 . 分析 经观察可提出多项式中各项的公因式 a 2 b . 解

a 2bx2 ? a 2 bxy ? a 2by2 ? a 2b( x 2 ? xy ? y 2 ) .

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2.分解因式 ab( x 2 y ? xy 2 ) ? xy(a 2b ? ab2 ) . 分析 把本题分成两段,ab( x 2 y ? xy 2 ) 中有公因式 x y 可提出,xy(a 2 b ? ab2 ) 中有公因 式 a b 可提出,然后再提取公因式. 解

ab( x 2 y ? xy 2 ) ? xy(a 2b ? ab2 ) ? abxy( x ? y) ? xyab(a ? b) ? abxy(a ? b ? x ? y)

3.分解因式 axn?3 ? bxn?2 ? cx n?1 . 分析 经观察发现多项式每一项中都可提出公因式为 x n ?1 . 解
axn?3 ? bxn?2 ? cx n?1

? x n?1 (ax2 ? bx ? c) .
【题型发散】 发散 1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内. ) (B)1+3x-4y (D)1-3x-4y ( (B) 3x 2 y ? 3xy ? 6 y ? 3 y( x 2 ? x ? 2 y) (D) x 2 y ? 5xy ? y ? y( x 2 ? 5x) ) (1)若多项式-6ab+18abx+24aby 的一个因式是-6ab,那么另一个因式是 ( (A)-1-3x+4y (C)-1-3x-4y

(2)下列用提公因式法因式分解正确的是 (A) 12abc ? 9a 2b 2 ? 3abc(4 ? 3ab) (C) ? a 2 ? ab ? ac ? ?a(a ? b ? c) 解 (1)用验证法.

对(A),(-1-3x+4y)·(-6ab)≠-6ab+18abx+24aby,所以排除(A);同理可排除(B)、(C); 只有(D)中,(1-3x-4y)·(-6ab)=-6ab+18abx+24aby. 故本题应选(D). (2)用直接法.∵ 发散 2 填空题 (1)多项式 4a 4 b 3 ? 6a 3b 2 ? 2a 2 b 的公因式是______________. (2)如果多项式 x 2 ? mx ? 35 分解因式为(x-5)(x+7),则 m 的值为______________. 解 (1)∵
4a 4 b 3 ? 6a 3b 2 ? 2a 2 b

? a 2 ? ab ? ac ? ?a(a ? b ? c) .故本题应选(C).

? 2a 2b(2a 2b 2 ? 3ab ? 1)
故 4a 4 b 3 ? 6a 3b 2 ? 2a 2 b 的公因式是 2a 2 b ,它的另一个因式是
2a 2 b 2 ? 3ab ? 1

(2)由题意,得 x 2 ? mx ? 35 ? ( x ? 5)(x ? 7) 即
x 2 ? mx ? 35 ? x 2 ? 2 x ? 35

用待定系数法,得-m=2,即 m=-2.
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【纵横发散】 发散 1
3

找出下列式子中的公因式. (2) 5a(b ? c) 2 , ? 15a 2 (b ? c)(b ? c) ;

(1) 6 x , 8x 2 y 2 , ? 10x 2 yz ; (3) 8a n b 2 n , ? 24a n?1b n?1 . 分析

多项式中各项都含有的因式是公因式,公因式中的系数是各项系数的最小公

倍数,各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂. 解 (1)公因式是 2 x 2 ;(2)公因式是 5a( b + c );(3)公因式是 8a n b n?1 . 发散 2 解 用提公因式法把下列各式分解因式.

(1) 6m 2 n 3 ? 45m 3 n 2 ;(2) 3a(2b ? 3c) ? 15b(3c ? 2b) ;(3) ? 9a m?5 ? 15a m?4 ? 21a m?3 . (1) 6m 2 n 3 ? 45m3 n 2 ? 3m 2 n 2 (2n ? 15m) ; (2) 3a(2b ? 3c) ? 15b(3c ? 2b) ? 3(2b ? 3c)(a ? 5b) ; (3) ? 9a m?5 ? 15a m?4 ? 21a m?3 ? ?3a m?5 (3 ? 5a ? 7a 2 ) . 3.运用公式法 【典型例题】 1.分解因式 3x 3 ? 12x 2 y ? 12xy 2 ? _____________. (2002 年北京市东城区中考试题) 2.分解因式 a 2 ? 2a ? b 2 ? 1 ? ________________. (2002 年北京市西城区中考试题) 分析 解 题 1 中先提取公因式 3x,再运用完全平方公式. 题 2 中先分组,然后运用平方差公式. 1. 3x 3 ? 12x 2 y ? 12xy 2

? 3x( x 2 ? 4 xy ? 4 y 2 ) ? 3x( x ? 2 y ) 2
本题应填 3x( x ? 2 y) 2 . 2. a 2 ? 2a ? b 2 ? 1
? a 2 ? 2a ? 1 ? b 2 ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? (a ? b ? 1)(a ? b ? 1)

本题应填(a+b+1)(a-b+1). 3.把下列各式分解因式. (1) (a ? b) n?2 ? 2(a ? b) n?1 ? (a ? b) n ;

47

(2) 2(m 2 ? n 2 )(m ? n) 2 ? (m 2 ? n 2 ) 2 . 分析 解 (1)本题先提取公因式,然后运用完全平方公式分解. (1)
n

(2)本题先运用平方差公式,然后提取公因式,最后运用完全平方公式因式分解.

? (a ? b) n (a ? b) 2 ? 2(a ? b) ? 1 ? (a ? b) (a ? b ? 1) ;
2

?

(a ? b) n?2 ? 2(a ? b) n?1 ? (a ? b) n

?

(2) 2(m 2 ? n 2 )(m ? n) 2 ? (m 2 ? n 2 ) 2
? 2(m 2 ? n 2 )(m ? n) 2 ? (m ? n) 2 (m ? n) 2 ? (m ? n) 2 2(m 2 ? n 2 ) ? (m ? n) 2

?

?

? ( m ? n) 2 ( m 2 ? 2m n ? n 2 ) ? ( m ? n) 4

4.分解因式. (1) a 2 (16m ? n) ? b 2 (n ? 16m) ; (2) (a ? b) 3 ? 2a(a ? b) 2 ? a 2 (a ? b) . 分析 在分解因式时,如果有公因式,要先提出公因式,然后再考虑用其他方法分解因式.



(1) a 2 (16m ? n) ? b 2 (n ? 16m)

? (16m ? n)(a 2 ? b 2 ) ? (16m ? n)(a ? b)(a ? b);
(2) (a ? b) 3 ? 2a(a ? b) 2 ? a 2 (a ? b)
? ( a ? b )[( a ? b ) 2 ? 2a( a ? b ) ? a 2 ] ? ( a ? b )( a ? b ? a ) 2 ? ( a ? b )( 2a ? b ) 2 .

【题型发散】 发散 1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内。 ) (B) (a ? c)(a ? c) ? b(2a ? b) (D) (a ? b ? c)(a ? b ? c) ) (B ) x 2 ? 2 x ? 4
1 4

(1)分解因式 a 2 ? 2ab ? b 2 ? c 2 的结果是( (A) (a ? b) 2 ? c 2 (C) (a ? b ? c)(a ? b ? c) (A) x 2 ? 4 (C) x 2 ? x ?

(2)下列多项式中能用公式进行因式分解的是(

(D) x 2 ? 4 y )

(3)下列分解因式的变形中,正确的是(

(A) mn(m ? n) ? m(n ? m) ? ?m(n ? m)(n ? 1)

48

(B) 6( p ? q) 2 ? 2( p ? q) ? (2 p ? q)(3 p ? q ? 1) (C) 3( y ? x) 2 ? 2( x ? y) ? ( y ? x)(3 y ? 3x ? 2) (D) 3x( x ? y) 2 ? ( x ? y) ? ( x ? y) 2 (2x ? y) (4) ? 1 ? 0.09x 2 分解因式的结果是( (A) (?1 ? 0.3x) 2 (C)不能进行 (A) k ? 2m, ab ? m 2 (C) k ? m, ab ? m 2 (A) ( x ? 4)(x ? 2) 2 (C) ( x ? 4)(x ? 2) 2 (A)a=5,b=3 (C)a=-5,b=-3 (A) (a 2 ? a ? 1) 2 (C) (a 2 ? a ? 1) 2 解 (1)用直接法.
a 2 ? 2ab ? b 2 ? c 2 ? ( a ? b) 2 ? c 2 ? ( a ? b ? c)(a ? b ? c)

) (B) (0.3x ? 1)(0.3x ? 1) (D) (0.09x ? 1)(0.09x ? 1) ) (B) k ? ?2m, ab ? m 2 (D) k ? ?m, ab ? m2 ) (B) ( x ? 4)(x 2 ? x ? 1) (D) ( x ? 4)(x 2 ? 4x ? 4) ) (B)a=5,b=-3 (D)a=-5,b=3 ) (B) (a 2 ? a ? 1) 2 (D) (a 2 ? a ? 1) 2

(5)如果 x 2 ? kx ? ab 可分解为 ( x ? m) 2 ,则有(

(6)已知 x 3 ? 12x ? 16 有一个因式为 x+4,把它分解因式后应是(

(7)若 x 2 ? 2 x ? 1 是多项式 x 3 ? x 2 ? ax ? b 的因式,则 a、b 的值为(

(8)把多项式 2a(a 2 ? a ? 1) ? a 4 ? a 2 ? 1 分解因式,所得的结果为(

故本题应选(C). (2)用排除法. 选项(A)中完全平方公式展开应是三项式,缺中间项;选项(B)具备中间项,但中间项系 数不符合完全平方公式的形式; 选项(D)中平方差公式缺二次式. 因此(A)、 (B)、 (D)均排除. 故 本题应选(C). (3)用排除法. 本题展示了提公因式时常见的三种错误:数字系数、符号、相同因式的次数这三方面的 错误. 选项(B)中, 6( p ? q) 2 ? 2( p ? q) ? 2( p ? q)(3 p ? 3q ? 1) ; 选项(C)中, 3( y ? x) 2 ? 2( x ? y) ? ( y ? x)(3 y ? 3x ? 2) ; 选项(D)中, 3x( x ? y) 2 ? ( x ? y) ? ( x ? y)(3x 2 ? 3xy ? 1) . 故本题应选(A). (4)用直接法.

49

∵ ? 1 ? 0.09x 2 ? 0.09x 2 ? 1 ? (0.3x) 2 ? 12 ,将此多项式写成两项平方差的形式,然后运用 平方差公式,进行因式分解.可得 (0.3x ? 1)(0.3x ? 1) . 故本题应选(B). (5)用直接法. ∵ ∴

x 2 ? kx ? ab ? ( x ? m) 2 ,且 ( x ? m) 2 ? x 2 ? 2mx ? m 2 ,
x 2 ? kx ? ab ? x 2 ? 2mx ? m 2 .
ab ? m 2 .



? k ? 2m , k ? ?2 m ,

∴ k ? ?2m , ab ? m 2 .

故本题应选(B). (6)解法 1 用排除法. 选项(B)、(C)中各项均为正,不可能出现-12x,故排除; 选项(D)中含有 x 2 ? 4 x ? 4 不是最后结果,也应排除. 故本题应选(A). 解法 2 用验证法. 把选项(A)、(B)、(C)、(D)四个答案根据多项式乘法法则算出结果,只有选项(A)中的结 果为 x 3 ? 12x ? 16 ,并且是因式分解的最后结果. 故本题应选(A). (7)用直接法. 设 x 3 ? x 2 ? ax ? b ? ( x 2 ? 2x ? 1)(x ? m) 即 解得
x 3 ? x 2 ? ax ? b ? x 3 ? mx2 ? 2 x 2 ? 2mx ? x ? m
m ? ?3 , 2m ? 1 ? a ,m=b.

由此可得 (8)用直接法

a=-5,b=-3,m=-3.

2a(a 2 ? a ? 1) ? a 4 ? a 2 ? 1 ? 2a 3 ? 2a 2 ? 2a ? a 4 ? a 2 ? 1 ? a 4 ? 2a 3 ? 3a 2 ? 2a ? 1 ? a 4 ? 2a 3 ? a 2 ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? (a 2 ? a) 2 ? 2(a 2 ? a) ? 1 ? (a 2 ? a ? 1) 2

故本题应选(C). 发散 2 填空题

(1)分解因式 a 2 ? 4b 2 ? 2a ? 4b ? __________. (2) a 2m ? 2a m b n ? b 2n 分解因式后得______________. (3)因式分解 7ma ? 20 nb ? 5mb ? 28na ? _________________. (4)因式分解 x 2 ? 6xy ? 9 y 2 ? 2x ? 6 y ? ________________. (5)分解因式 (a ? x) m?1 (b ? x) n?1 ? (a ? x) m (b ? x) n ? _______________. (6)分解因式 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 4 ? _________________.

50

(7)分解因式 x 2 ? y 2 ? x ? y ? _____________. (8)因式分解 x 3 ? 4 xy 2 ? _________________. 解 (1) a 2 ? 4b 2 ? 2a ? 4b

? (a 2 ? 4b 2 ) ? 2(a ? 2b) ? (a ? 2b)(a ? 2b) ? 2(a ? 2b) ? (a ? 2b)(a ? 2b ? 2).
(2) a 2m ? 2a mb n ? b 2n ? (a m ) 2 ? 2a mb n ? (b n ) 2 ? (a m ? b n ) 2 . (3) 7ma ? 20 nb ? 5mb ? 28na ? m(7a ? 5b) ? 4n(5b ? 7a) ? m(7a ? 5b) ? 4n(7a ? 5b) ? (7a ? 5b)(m ? 4n). (4) x 2 ? 6xy ? 9 y 2 ? 2x ? 6 y ?? ( x ? 3 y)(x ? 3 y ? 2) . (5)本题用提取公因式法,得
(a ? x) m?1 (b ? x) n ?1 ? (a ? x) m (b ? x) n ? (a ? x) m (b ? x) n ?1 ?(a ? x) ? (b ? x)? ? (a ? b)(a ? x) m (b ? x) n ?1 .

(6) x 2 ? 2xy ? y 2 ? 4 ? ( x ? y) 2 ? 4 ? ( x ? y ? 2)(x ? y ? 2) . (7) x 2 ? y 2 ? x ? y ? ( x ? y)(x ? y) ? ( x ? y) ? ( x ? y)(x ? y ? 1) 。 (8) x 3 ? 4xy 2 ? x( x 2 ? 4 y 2 ) ? x( x ? 2 y)(x ? 2 y) 。 【纵横发散】 发散 1 分析 先化简,再求值

x2 ?1 ? 1? ? x 2 ?1 ? ? ,其中 x ? 2 . x ?1 ? x?

本题可先运用平方差公式、提取公因式等方法分解因式,后化简代入 x 值,

求得最后值. 解

x2 ?1 ? 1 ? ( x ? 1)(x ? 1) ? x ?1? ? x 2 ?1 ? ? ? ? x2 ? ? x ?1 ( x ? 1) ? x? ? x ? ? ( x ? 1) ? x( x ? 1) ? ( x ? 1)(1 ? x)
? x2 ?1

将 x ? 2 代入上式,

x2 ?1 ? 1? ? x 2 ?1 ? ? ? ( 2 ) 2 ? 1 ? 1 . x ?1 ? x?

发散 2 分析

分解因式 1 ? a 2 ? b 2 ? 2ab . 本题把后三项结合成一组提取“-”号,然后应用完全平方公式、平方差公式 分解因式. 解

1 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 1 ? (a ? b) 2 ? (1 ? a ? b)(1 ? a ? b) .

【解法发散】

51

发散题 解法 1

1 2 1 1 x ? xy ? y 2 16 4 4 1 1 1 1 1 ? ?1 ? x 2 ? xy ? y 2 ? ?? x 2 ? xy ? y 2 ? 16 4 4 4 4 ? ? 16

分解因式 ?

解法 2

1 ? ?1 ?1 ? ? ?? x ? y ? ? ? ? ( x ? 2 y )? 2 ? ?4 ?4 ? 1 ? ? ( x ? 2 y) 2 . 16 1 1 1 1 1 ? x 2 ? xy ? y 2 ? ? ( x 2 ? 4 xy ? 4 y 2 ) ? ? ( x ? 2 y ) 2 . 16 4 4 16 16

2

2

【组合发散】 发散题 分解因式 ( x ? y)(x ? y ? 2xy) ? x 2 y 2 ? 1 . 分析 解法 1 解法 1 运用组合发散,其余各解法分别用完全平方公式、平方差公式提取公因式法分 设 x + y = a,x y = b,则 解因式.

原式 ? a(a ? 2b) ? b 2 ? 1 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 1 ? (a ? b) 2 ? 1 ? (a ? b ? 1)(a ? b ? 1)

? ( x ? y ? xy ? 1)(x ? y ? xy ? 1) ? ( x ? 1)( y ? 1)(x ? y ? xy ? 1).
解法 2

原式 ? ( x ? y) 2 ? 2( x ? y) xy ? x 2 y 2 ? 1
? x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 2 x 2 y ? 2 xy 2 ? x 2 y 2 ? 1 ? ( y 2 ? 2 y ? 1) x 2 ? 2 y ( y ? 1) x ? y 2 ? 1 ? ?x( y ? 1)? ? 2 y ( y ? 1) x ? y 2 ? 1
2

? ?x( y ? 1) ? y ? ? 1 ? ( x ? y ? xy ? 1)(x ? y ? xy ? 1) ? ( x ? 1)( y ? 1)(x ? y ? xy ? 1).
2

解法 3

原式 ? ( x ? y) 2 ? 2( x ? y) xy ? x 2 y 2 ? 1
? x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 2 x 2 y ? 2 xy 2 ? x 2 y 2 ? 1 ? ( x 2 ? 2 x ? 1) y 2 ? 2 x( x ? 1) y ? x 2 ? 1 ? ?( x ? 1) y ? x? ? 1 ? ( xy ? x ? y ? 1)(xy ? x ? y ? 1) ? ( x ? 1)( y ? 1)(xy ? x ? y ? 1).
2

解法 4

原式 ? x 2 y 2 ? 2x 2 y ? x 2 ? 2xy ? 2xy 2 ? y 2 ? 1
? x 2 ? y 2 ? ( xy) 2 ? 2( xy ? x 2 y ? xy 2 ) ? 1 ? ( x ? y ? xy) 2 ? 1 ? ( x ? y ? xy ? 1)(x ? y ? xy ? 1) ? ( x ? 1)( y ? 1)(x ? y ? xy ? 1).

解法 5
52

原式 ? ( x ? y) 2 ? 2( x ? y) xy ? ( xy) 2 ? 1

? ( x ? y ? xy) 2 ? 1 ? ( x ? y ? xy ? 1)(x ? y ? xy ? 1) ? ( x ? 1)( y ? 1)(x ? y ? xy ? 1).
【变形发散】 发散 1 证明 证明: 2xy ? 9 ? x 2 ? y 2 ? (3 ? x ? y)(3 ? x ? y) . 分析 本题将左边运用完全平方公式及平方差公式分解因式进行变形. 左边= 9 ? ( x 2 ? 2xy ? y 2 ) ? 9 ? ( x ? y) 2

? 32 ? ( x ? y) 2 ? (3 ? x ? y)(3 ? x ? y) ? 右边.
故等式成立. 发散 2 已知 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 7 ,求整数 x,y 的值. 分析 解 ∵ ∴ ∴ 本题在等号左边利用因式分解方法变形化成积的形式, 等号右边=1×7, 因为 x,y 是整数,可令等号两边的因式分别相等求解.

x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 7 ,即 ( x 2 ? y 2 ) ? ( xy ? y 2 ) ? 7
( x ? y)(x ? y) ? y( x ? y) ? 7 ( x ? y)(x ? 2 y) ? 1? 7

∵ x,y 是整数, ∴(x-y),(x+2y)也是整数. ? x ? y ? 1, ? x ? 3, 令? 解得 ? ? x ? 2 y ? 7; ? y ? 2; ? x ? ?5, ? x ? y ? ?7, 令? 解得 ? ? y ? 2; ? x ? 2 y ? ?1; ? x ? y ? 7, ? x ? 5, 令? 解得 ? ? x ? 2 y ? 1; ? y ? ?2; ? x ? ?3, ? x ? y ? ?1, 令? 解得 ? ? y ? ?2. ? x ? 2 y ? ?7. ? x ? 3, ? x ? ?5, ? x ? 5, ? x ? ?3, ∴? 或 ? 或 ? 或 ? ? y ? 2; ? y ? 2. ? y ? ?2; ? y ? ?2. 【综合发散】 发散 1 分析 解 分解因式 4 x n?2 ? 9 x n ? 6 x n?1 ? x n?2 (n 是整数且 n>2), 本题先提取公因式,再分组分解.

原式 ? x n?2 (4 x 4 ? 9 x 2 ? 6x ? 1)
? x n ? 2 (2 x 2 ) 2 ? (3x ? 1) 2

?

?

? x n ? 2 (2 x 2 ? 3x ? 1)(2 x 2 ? 3x ? 1) ? x n ? 2 (2 x 2 ? 3x ? 1)(2 x ? 1)(x ? 1).

发散 2 分析

求证:若 a、b 均为正数,且 3a 3 ? 6a 2 b ? 3a 2 c ? 6abc ? 0 ,则 a=c. 先将 3a 3 ? 6a 2 b ? 3a 2 c ? 6abc 分解因式,然后利用题设就其中某个因式
53

为 0 的情况进行分析. 证明 ∵ ∴

3a 3 ? 6a 2b ? 3a 2 c ? 6abc ? 3a 2 (a ? 2b) ? 3ac(a ? 2b) ? 0 ,
3a(a ? 2b)(a ? c) ? 0 .

∵ a、b 均为正数, a ? 2b ? 0 , 故 a-c=0,∴a=c.

单元小结 知识整合网络

【学习方法指导】 一、转化的思想方法 转化思想是初中数学中常见的一种数学思想方法,它的应用十分广泛,我们在解数学题时, 经常运用转化思想,将复杂问题转化成简单的问题,将生疏的问题转化为熟悉的问题,如把

( x ? y) 4 ? 18( x ? y) 2 ? 81分解因式,读者对此感到复杂和比较生疏,但如果设 ( x ? y) 2 ? a ,
就可把这个问题转化为我们比较熟悉,并且比较简单的问题:把 a 2 ? 18a ? 81分解因式. 二、整体的思想方法 整体思想也是常见的一种数学思想方法,尤其是在因式分解过程中,运用整体思想可以使解 题思路清晰,步骤简捷,解法简便,如把 ( x ? y) 2 ? 8( x ? y) ? 16 分解因式时,如果把括号展 开,整理后再因式分解会很麻烦,但若把(x-y)看成一个整体,那么,此多项式就是关于(x-y) 的二次三项式,并恰好能用完全平方公式因式分解. 三、其他数学方法
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本章所应用的数学方法有:①提公因式法;②运用公式法.另外还有④分组分解法;⑤换元 法;⑥配方法. 提公因式法.运用公式法和分组分解法是因式分解的基本方法;换元法主要体现在问题的转 化过程中,它是将复杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题的重要手段;配方法在因式分 解中虽然不常使用,但从理论上讲,配方法是一种非常重要的数学方法,它在代数式恒等变 形、方程、函数等方面都有着广泛的应用,应该尽早地掌握这种数学方法. 四、解题技巧指导 对于因式分解,我们已经学习了提公因式法、运用公式法和分组分解法.当你拿到一道因式 分解题目时,首先要仔细观察,认真审题,对后面的解题计划要有一个初步的设想.把一个 多项式分解因式,一般可按下列步骤进行: (1)“提” ,先看多项式的各项是否有公因式,若有必须先提出来; (2)“套” ,若多项式各项没有公因式(或已提取公因式)则可以尝试运用公式来分解; (3)“分” ,若用上述两种方法仍不能分解,则可以尝试分组搭配. (4)“查” ,分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

【中考信息传递】 本章的考试要求是了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系,掌握提公因式 法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法这四种分解因式的基本方法,会用这些方法进行 多项式的因式分解. 本章的考点比较单一,就是多项式的因式分解,但它的方法灵活多变,而且在分式的约 分、通分运算中,在根式的运算中,在解方程或不等式中,以及在其他各类数学问题中都经 常用到,可以说它是解决各类数学问题的一种“工具” . 纵观近几年全国各地的中考试题,不难发现,本章考题的高频点在于:先提取公因式 后用公式;用 x 2 ? ( p ? q) x ? pq 型式或分组分解法等,单独运用提公因式法或单独运用公式 法的题型较少见.大多数因式分解考题比较容易,考生只需掌握多项式的变形能力,并运用 常规方法解题即可. 【中考名题赏析】 题型发散 发散 1 选择题 把 6 x 2 ? 13x ? 6 分解因式的结果是 ( ) (A) (2 x ? 3)(3x ? 2) (C) (2 x ? 3)(3x ? 2) 解
2

(B) (2 x ? 3)(3x ? 2) (D) (2 x ? 3)(3x ? 2)

用直接法. 6x ? 13x ? 6 ? (3x ? 2)(2x ? 3) .
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故本题应选(D). 发散 2 填空题 (1)因式分解 2x 3 ? 12x 2 y ? 18xy 2 ? _____________. (2002 年北京市崇文区中考试题) (2)填上适当的数和字母,使等式 x 2 ? 3xy ? (2002 年云南省中考试题) (3)已知 x 2 ? ax ? 24 在整数范围内可以分解因式,则整数 a 的值是 _____________(只需填一个). (2002 年安徽省中考试题) 解 (1) 2x 3 ? 12x 2 y ? 18xy 2 ? 2x( x 2 ? 6xy ? 9 y 2 ) ? 2x( x ? 3 y) 2 ∴ 本题应填 2 x( x ? 3 y) 2 。
9 2 y ? ( x ? _______) 2 成立. 4

9 3 ? ? (2) x ? 3xy ? y 2 ? ? x ? y ? 。 4 2 ? ? 3 ∴ 本题应填 y 。 2
2

2

(3)∵-24 可以分别分解为以下各对整数之积:
? 24 ? 1 , 24 ? (?1) , ? 12 ? 2 , 12 ? (?2) ,

? 8 ? 3 , 8 ? (?3) ,
? 6 ? 4 , 6 ? (?4)

∴ 整数 a 的值分别为:±23、±10、±5、±2, 故本题只需填写以上数值之一即可. 发散 3 解 解答题 分解因式 m 3 ? 2m 2 ? 4m ? 8 .

(2002 年北京市朝阳区中考试题)

m3 ? 2m 2 ? 4m ? 8 ? m(m 2 ? 4) ? 2(m 2 ? 4)

? (m 2 ? 4)(m ? 2) ? (m ? 2)(m ? 2)(m ? 2) ? (m ? 2)(m ? 2) 2 .
【综合发散】 发散 1 分析 分解因式 ( x 2 ? 3x ? 2)(x 2 ? 3x ? 4) ? 16. 如果把原多项式展开整理,得到的是关于 x 的四次多项式,很难分解.但是,如果我

们将 x 2 ? 3x 看作一个整体,用一个字母 y 来代替,则原多项式就变为

( y ? 2)( y ? 4) ? 16 ? y 2 ? 2 y ? 24,这样就可以用有关公式分解.
解 设 x 2 ? 3x ? y ,则

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( x 2 ? 3x ? 2)(x 2 ? 3x ? 4) ? 16 ? ( y ? 2)( y ? 4) ? 16(用y代替x 2 ? 3x) ? y 2 ? 2 y ? 24 ? ( y ? 6)( y ? 4) ? ( x 2 ? 3x ? 6)(x 2 ? 3x ? 4)(用x 3 ? 3x代替y ) ? ( x 2 ? 3x ? 6)(x ? 4)(x ? 1)
解法指导 像本题这种用新字母(辅助元)y 来代替原多项式中含 x 的代数式 x 2 ? 3x 的方 法就叫做换元法. 用换元法可以达到降次简化的目的. 辅助元的设法并不惟一. 如在本题中, 也可以设 x 2 ? 3x ? 2 ? y 或设 x 2 ? 3x ? 4 ? y ,请读者不妨试一试. *发散 2 若多项式 x 3 ? 8x 2 ? x ? 42 能被 x-3 整除,则 x 3 ? 8x 2 ? x ? 42 可因式分解为 _____________. (台湾省中考试题) 分析 解 ∴ ∵ 先用带余除法求得 ( x 3 ? 8x 2 ? x ? 42) ? ( x ? 3) ? x 2 ? 5x ? 14 ,所以

x 3 ? 8x 2 ? x ? 42 ? ( x ? 3)(x 2 ? 5x ? 14) .注意后一个因式还可以用规律公式继续分解. ( x 3 ? 8x 2 ? x ? 42) ? ( x ? 3) ? x 2 ? 5x ? 14 x 3 ? 8x 2 ? x ? 42 ? ( x ? 3)(x 2 ? 5x ? 14) ? ( x ? 3)(x ? 7)(x ? 2)

∴ 本题应填 ( x ? 3)(x ? 7)(x ? 2) 。

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