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数列求和及应用


第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

一.课题:数列求和 二.教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方 法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 三.教学重点:特殊数列求和的方法. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列与等比数列的求和公式的应用; 2.倒序相加、错位相减,分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求下列数列的前 n 项和 Sn :
5 1 1 1 1 , ,? , ,? ; (1) 55, 5, 555, 5555, ?, (10n ? 1) , (2) , ?; 9 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

(3) an ?

1 n ? n ?1



(4) a, 2a2 ,3a3 ,?, nan ,?;

1 (5) ? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),? ; 6) 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? . ( sin
n n ?个 ? ? 5 ?个 ? ? 解: (1) Sn ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55? 5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99?9) 9

5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9

(2)∵

1 1 1 1 ? ( ? ), n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] ? (1 ? ? ? ). ∴ Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

(3)∵ an ? ∴ Sn ?

1 n ? n ?1

?

n ?1 ? n ? n ?1 ? n ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )

1 1 1 ? ??? 2? 1 3? 2 n ?1 ? n

? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ( n ?1 ? n ) ? n ? 1 ?1 .
(4) Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan , 当 a ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
n(n ? 1) , 2

当 a ? 1 时, Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? na n ,

aSn ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? ? ? na n ?1 ,
两式相减得 (1 ? a)Sn ? a ? a ? a ? ? ? a ? na
2 3
n n ?1

a(1 ? a n ) ? ? na n ?1 , 1? a

∴ Sn ?

na n? 2 ? (n ? 1)a n?1 ? a . (1 ? a)2

(5)∵ n(n ? 2) ? n2 ? 2n , ∴ 原式 ? (12 ? 22 ? 32 ? ? ?n2 ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (6)设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? , 又∵ S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? sin 2 87? ? ?? ? sin 2 1? , ∴ 2S ? 89 , S ?
89 . 2

n(n ? 1)(2n ? 7) . 6

?6n ? 5 (n为奇数) 例 2.已知数列 {an } 的通项 an ? ? n ,求其前 n 项和 Sn . (n为偶数) ?2
解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列;

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3
? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? ? ? 2 3 所以, Sn ? ? n ? n(3n ? 2) ? 4(2 ? 1) ? 2 3 ? (n为奇数)


(n为偶数)

例 3. ( 《高考 A 计划》 智能训练 14 题) 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? p( p ? R) , 数列 {bn } 满足 bn ? log2 an ,若 {an } 是等比数列, (1) 求 p 的值及通项 an ; (2)求和 Tn ? (b1 )2 ? (b2 )2 ? (b3 )2 ? ?(?1)n?1 (bn )2 (n ? N * ) . (解答见教师用书 127 页)

(四) 巩固练习: 设数列 1,(1 ? 2),?,(1 ? 2 ? ? ? 2n?1 ),? 的前 n 项和为 Sn , Sn 则 等于(
( A) 2 n


( B ) 2n ? n (C ) 2n?1 ? n ( D) 2n?1 ? n ? 2

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 22,智能训练 2,4,5,12,15,16.

一.课题:数列的实际应用 二.教学目标:1.理解“复利”的概念,能解决分期付款的有关计算方法; 2.能够把实际问题转化成数列问题. 三.教学重点:建立数列模型解决数列实际应用问题. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.解应用问题的核心是建立数学模型; 2.一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型; 3.注意问题是求什么( n, an , Sn ) . (二)主要方法: 1.解答数列应用题要注意步骤的规范性:设数列,判断数列,解题完毕要 作答; 2.在归纳或求通项公式时,一定要将项数 n 计算准确; 3.在数列类型不易分辨时,要注意归纳递推关系; 4.在近似计算时,要注意应用对数方法和二项式定理,且要看清题中对近 似程度的要求. (三)例题分析: 例 1.某地区森林原有木材存量为 a ,且每年增长率为 25%,因生产建设的 需要每年年底要砍伐的木材量为 b ,设 an 为 n 年后该地区森林木材的存量, (1)求 an 的表达式; (2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量不少于 7 19a a ,如果 b ? ,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几 9 72 年?(参考数据: lg 2 ? 0.3 ) 解: (1) 设第一年的森林的木材存量为 a1 , n 年后的森林的木材存量为 an , 第 则

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

1 5 a1 ? a(1 ? ) ? b ? a ? b , 4 4 5 5 5 a2 ? a1 ? b ? ( ) 2 a ? ( ? 1)b , 4 4 4 5 5 5 5 a3 ? a2 ? b ? ( )3 a ? [( ) 2 ? ? 1]b , 4 4 4 4 ??? 5 5 5 5 5 an ? ( ) n a ? [( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? ? ? 1] ? ( ) n a ? 4[( ) n ? 1]b(n ? N * ) . 4 4 4 4 4 19 7 5 5 n 5 n 19 7 a 时,有 an ? a 得 ( ) a ? 4[( ) ? 1] ? a ? a 即 ( ) n ? 5 , (2)当 b ? 72 9 4 4 4 72 9

所以, n ?

lg 5 1 ? lg 2 ? ? 7.2 . lg 5 ? 2 lg 2 1 ? 3lg 2

答:经过 8 年后该地区就开始水土流失. 例 2.轻纺城的一家私营企业主,一月初向银行贷款一万元作开店资金,每 月月底获得的利润是该月月初投入资金的 20% , 每月月底需要交纳房租和所 得税为该月所得金额(包括利润)的 10% ,每月的生活费开支 300 元,余款 作为资金全部投入再经营,如此继续,问该年年底,该私营企业主有现款多 少元?如果银行贷款的年利率为 5% ,问私营企业主还清银行贷款后纯收入 还有多少元? 解:第一个月月底余

a1 ? (1 ? 20%) ?10000 ? (1 ? 20%) ?10000 ?10% ? 300 ? 10500 元,
设第 n 个月月底余 an ,第 n ? 1 个月月底余 an ?1 , 则 an?1 ? an (1 ? 20%) ? an (1 ? 20%) ?10% ? 300 ? 1.08an ? 300(n ? 1) , 从而有 an?1 ? 3750 ? 1.08(an ? 3750) , 设 bn ? an ? 3750, b1 ? 6750 ,∴ {bn } 是等比数列 bn ? b1 ?1.08n?1 , ∴ an ? 6750 ?1.08n?1 ? 3750 , a12 ? 6750 ?1.0811 ? 3750 ? 19488.6 , 还贷后纯收入为 a12 ?10000(1 ? 5%) ? 8988.60 元. 例 3.银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次,结算后即

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

将利息并入本金,这种计算利息的方法叫做复利.现在有某企业进行技术改 造,有两种方案: 甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获得利润 1 万元,以后每年比 上年增加 30%的利润; 乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获得利润 1 万元,以后每年比前一 年多获利 5000 元. 两种方案的期限都是 10 年,到期一次行归还本息.若银行贷款利息均以年 息 10%的复利计算, 试比较两个方案哪个获得存利润更多? (计算精确到千 元,参考数据: 1.110 ? 2.594,1.310 ? 13.796 ) 解:甲方案 10 年获利润是每年利润数组成的数列的前 10 项的和:
1 ? (1 ? 30%) ? (1 ? 30%)2 ? ? ? (1 ? 30%)9 ? 1.310 ? 1 ? 42.62 (万元) 1.3 ? 1

到期时银行的本息和为 10 ? (1 ? 10%)10 ? 10 ? 2.594 ? 25.94 (万元) ∴甲方案扣除本息后的净获利为: 42.62 ? 25.94 ? 16.7 (万元) 乙方案:逐年获利成等差数列,前 10 年共获利: 10(1 ? 5.5) 1 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 2 ? 0.5) ? ? ? (1 ? 9 ? 0.5) ? ? 32.50 (万元) 2 贷款的本利和为: 1.1[1 ? (1 ? 10%) ? ? ? (1 ? 10%)9 ] ? 1.1?
1.110 ? 1 ? 17.53 (万 1.1 ? 1

元) ∴乙方案扣除本息后的净获利为: 32.50 ? 17.53 ? 15.0 (万元) 所以,甲方案的获利较多. 例 4.某工厂在 1999 年的“减员增效”中对部分人员实行分流,规定分流人 员第一年可以到原单位领取工资的 100%,从第二年起,以后每年只能在原 2 单位按上一年的 领取工资,该厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的 3 经济实体, 该经济实体预计第一年属投资阶段, 第二年每人可获得 b 元收入, 从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增 50%, 如果某人分流前 工资的收入每年 a 元,分流后进入新经济实体,第 n 年的收入为 an 元, (1)求 {an } 的通项公式; (2)当 b ?
8a 时,这个人哪一年的收入最少?最少为多少? 27

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

3a 时,是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分 8 流前的年收入? 2 3 解: (1)由题意得,当 n ? 1 时, a1 ? a ,当 n ? 2 时, an ? a( )n ?1 ? b( )n ? 2 , 3 2

(3)当 b ?

(n ? 1) ?a ? ∴ an ? ? 2 n?1 . 3 a( ) ? b( )n?2 (n ? 2) ? 3 2 ?
(2)由已知 b ?
8a , 27

1 2 8a 3 2 8a 3 8a a 当 n ? 2 时, n ? a( )n?1 ? ( )n?2 ? 2[a( ) n?1 ? ( ) n?2 ] 2 ? 要使得上式等 3 27 2 3 27 2 9

2 8a 3 n ? 2 2 2 ( ) ,即 ( ) 2 n? 2 ? ( ) 4 ,解得 n ? 3 ,因此这 号成立,当且仅当 a ( ) n ?1 ? 3 27 2 3 3 8a 个人第三年收入最少为 元. 9 (3)当 n ? 2 时,

2 3 2 3a 3 2 3a 3 an ? a( )n?1 ? b( )n?2 ? a( )n?1 ? ( )n?2 ? 2 a( )n?1 ? ( )n?2 ? a ,上述等 3 2 3 8 2 3 8 2
号成立,须 b ? 当b ?
3a 1 2 且 n ? 1 ? log 2 ? 1 ? log 2 ? 2 因此等号不能取到, 8 3 2 3 3

3a 时,这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入. 8

(四) 巩固练习: 某工厂生产总值月平均增长率为 p , 则年平均增长率为 (
( A) p ( B ) 12 p (C ) (1 ? p)12 ( D) (1 ? p)12 ?1



五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 23,智能训练 2,11,13,14,15,16.

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

高三数学巩固练习三 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将你认为正确的答案填在后面的表格中) 1.函数 y ? log 2 (1 ? x) 的图象是
y y y y

O (A)

1

x

-1 O (B)

x

O

1

x

O 1

x

(C)

(D)

2.一个等差数列共有 3m 项,若前 2m 项的和为 100,后 2m 项的和为 200, 则中间的 m 项的和是 A. 50 B. 75 C. 100 D. 125

?1? 3.一个等比数列的前 n 项和 Sn ? a ? ? ? ,则该数列的各项和为 ?2?
A.
1 2

n

B. 1

C. ?

1 2

D. 2

4.等比数列 ?an ? 中, Tn 表示前 n 项的积,若 T5 ? 1,则 A. a1 ? 1 B. 3a3 ? 1 C. a4 ? 1 D. a5 ? 1 5.等差数列 ?an ? 中, am?n ? ? , am?n ? ? ,则其公差 d 的值为 A.

? ?? 2n

B.

? ??
2n

C.

? ??
2m

D.

? ??
2m

6.若四个正数 a,b,c,d 成等差数列,x 是 a 和 d 的等差中项,y 是 b 和 c 的等比中项,则 x 和 y 的大小关系是 A. x ? y B. x ? y C. x ? y D. x ? y 7. ?an ? 是等差数列, S10 ? 0 , S11 ? 0 ,则使 an ? 0 的最小的 n 值是 A.5 B.6 C.7 D.8

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

8. 已知等比数列 {an } 的各项均为正数, 公比 q ? 1 , P ? 设 则 P 与 Q 的大小关系是 A. P ? Q
x

a3 ? a9 , ? a5 a7 , Q 2

B. P ? Q
x ?1

C. P ? Q

D.无法确定

?1? ?1? 9.若方程 ? ? ? ? ? ? 4? ? 2?
A. ?? ?,1?

? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是
D. ?? 3,0?
1 的等差 4

B. (??,?2) C. ?? 3,?2?

10. 已知方程 ( x 2 ? 2x ? m)(x 2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 数列,则 A. 1
| m ? n |?

B.

3 4

C. 1 B 2 D

1 2

D. 3 C 4 D

3 8

选择题题号 答案

5 A

6 C

7 C

8 B

9 C

10 B

二、填空题:把答案填在题中横线上。 11.在等比数列 ?an ? 中, a7 ? a11 ? 6 , a4 ? a14 ? 5 ,则
? 1, x ? 0 ,则不等式 ??1, x ? 0
(光) 930 630 330 30 40 50 (kg)

a20 的值是 a10



12 . 已 知 f ( x) ? ?

x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是_____;

13.某航空公司规定,乘机所携带行李 的重量(kg)与其运费(元)由如图的 一次函数图像确定,那么乘客免费可携 带行李的最大重量为____________;

14.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” 。设 ?an ? 是公 比为 q 的无穷等比数列,下列 ?an ? 的四组量中,一定能成为该数列“基本量”

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

的是第 ① ④

组。(写出所有符合要求的组号) ② a2 与 S3 ; ③ a1 与 an ; ④ q 与 an

① S1 与 S2 ;

其中 n 为大于 1 的整数, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和。 三、解答题:解答应写出必要的文字说明或演算步骤。 15.已知数列| an |满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) (I)求 a2 , a3 ; (II)证明 a n ?
3n ? 1 。 2

1? ? 2 16.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an ? Sn ? ? 。 2? ?

(Ⅰ)求 Sn 的表达式; (Ⅱ)设 bn ?
Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 lim Tn 。 n ?? 2n ? 1

17.已知: f ( x) ? lg(1 ? x) ? x 在 [0,??) 上是减函数,解关于 x 的不等式

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

1 1 lg(1 ? x ? ) ? x ? ? lg 2 ? 1 . x x
解:由 lg(1 ? x ? 1 ) ? x ? 1 ? lg 2 ? 1 ,得 f ( x ? 1 ) ? f (1) .
x x

x

? f ( x) ? lg(1 ? x) ? x 在 [0,??) 上是减函数,
0? x? 1 ? 1, x

? x ? 1 ? 1 ,这等价于
x

?? 1 ? x ? 0或x ? 1, ? ( x ? 1)(x ? 1) ?0 ? ,解之得 ? 1 ? 5 ? x ? 1? 5 ?? 2 或0 ? x ? , x ? x ?1 ?x ? ? ?0 2 2 ? ? x ?

故不等式的解为 [?1,

1? 5 1? 5 ) ? [1, ). 2 2

18 . 已 知 f ( x) 在 (0, ??) 上 是 增 函 数 , 而 且 f ( x) ? 0 , f (3) ? 1 。 判 断
g(x )? f ( ) x ? 1 f ( x)

在 (0,3) 上是增函数还是减函数,并加以证明。 解:函数 g(x)在 (0,3)上是减函数. <x2≤3, 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ f ( x1 ) ?
1 f ( x1 ) ] ? [ f ( x2 ) ? 1 f ( x2 )

证明如下:任取 0<x1
1 f ( x1 ) f ( x2 )

] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )][1 ?

].

∵f(x)在(0,+∞)是增函数,∴f(x1)-f(x2)<0. (3)=1, ∴0<f( x1 )<f( x2 )≤f(3)=1, ∴0<f( x1 ) ·f( x2 )<1,

又 f(x)>0,f

1 1 ? 1 ,1 ? ? 0. f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )

∴g(x1)- g(x2)>0,即 g(x1) >g(x2) 由此可知,函数 g ( x) ? f ( x) ?
1 在(0,3)上是减函数。 f ( x)

第三章 数列——第 25 课时:数列的实际应用

19.设数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 6 , a2 ? b2 ? 4 , a3 ? b3 ? 3 ,且数列

?an?1 ? an ? (n ? N ? ) 是等差数列,数列 ?bn ? 2? (n ? N ? ) 是等比数列。
(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
1 (Ⅱ)是否存在 k ? N ? ,使 ak ? bk ? (0, ) ?若存在,求出 k 的值;若不存 2 在,说明理由。

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