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湖北省八校2014届第一次联考数学(理)


湖北省

鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄 阳 四 中 襄阳五中 孝感高中

八校

5. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0, x ?R) 有极值点,则( A. b2 ≤ 3ac B. b2 ≥ 3ac C. b2 ? 3ac D. b2 ? 3ac 6.

一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(

) 1 ) 1 1 1 1

2014 届高三第一次联考

数学试题(理科)
命题学校:黄冈中学 考试时间:2013 年 12 月 13 日下午 15︰00—17︰00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟

1 A. 3 C. 2

2 B. 3 D. 1

正(主)视图

侧(左)视图

7. △ ABC 中,角 A, B, C 成等差数列是

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟.

sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B 成立的(
A.充分不必要条件 C.充要条件



★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效.

B.必要不充分条件
俯 视 图

D.既不充分也不必要条件

第 6 题图

8. 在弹性限度内,弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按 胡克定律 F ? kl 计算.今有一弹簧原长
80cm ,每压缩 1cm 需 0.049N 的压缩力,若把这根弹簧从 70cm 压缩至 50cm (在弹性限度内) ,外

力克服弹簧的弹力做了( A. 0.196

)功(单位: J ) C.0.686 D.0.98

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 的一个根是(
2

B. 0.294

9.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1 B1 内的动点,且 A1 F ∥平面 D1 AE ,记 A1 F 与平面 BCC1 B1 所成的角为 ? , 下列说法错误的是( ) B. A1 F 与 D1 E 不可能平行 D. tan ? ? 2 2

D1

C1 B1

A1

? E F

) C. 2 ? i ) D. {3,0,1, 2} D. 2 ? i

A. 1 ? 2i

B. ?1? 2i

A.点 F 的轨迹是一条线段 C. A1 F 与 BE 是异面直线

D

C

2. 集合 P ? {3,log 2 a} , Q ? {a, b} ,若 P ? Q ? {0} ,则 P ? Q ? ( A. {3, 0} 3. 下列命题,正确的是( B. {3, 0, 2} ) C. {3,0,1}

A

B
第 9 题图

1 1 10. 若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ?| x ? | ? | x ? | 有四个公共点,则 k 的取值 x x
集合是( )

A.命题: ?x ? R ,使得 x 2 ? 1 ? 0 的否定是: ?x ? R ,均有 x 2 ? 1 ? 0 . B.命题:若 x ? 3 ,则 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的否命题是:若 x ? 3 ,则 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . C.命题:存在四边相等的四边形不是正方形,该命题是假命题. D.命题: cos x ? cos y ,则 x ? y 的逆否命题是真命题.
?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 4. 已知 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ≥ 0 ,则关于 x2 ? y 2 的说法,正确的是( ? 3x ? y ? 3 ≤ 0 ?

1 1 A. {0, ? , } 8 8

1 1 B. [? , ] 8 8

1 1 C. (? , ) 8 8

1 1 D. {? , } 8 8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 题) ) 11. 平面向量 a , b 满足 | a |? 1,| b |? 2 ,且 (a ? b) ? (a ? 2b) ? ?7 ,则向量 a , b 的夹角为______.

A.有最小值 1

B.有最小值

4 5

C.有最大值 13
第1页

D.有最小值
共4页

2 5 5

1 12. 已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h 的关系是: r ? h ,把这个结论推广到空间正四面体,则 3 h 的关系是_________. 正四面体内切球的半径 r 与正四面体高
八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题 第2页 共4页

八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

13. 将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象向左平移
| ? | 的最小值为________.

? 4? 个单位后得到的函数图象关于点 ( ,0) 成中心对称, 那么 4 3
1 , 2

(Ⅰ)求证: D 为棱 BB1 的中点; (Ⅱ) B1 A1 C1

AA1 为何值时,二面角 A ? A1 D ? C 的平面角为 60? . AB

14. 无穷数列 {an } 中, a1 , a2 ,?, am 是首项为 10,公差为 ?2 的等差数列; am?1 , am? 2 ,?, a2m 是首项为 公比为

1 的等比数列(其中 m ≥ 3, m ? N* ) ,并且对于任意的 n ? N* ,都有 an ? 2 m ? a n 成立.若 2

D B

a51 ?

1 ,则 m 的取值集合为____________.记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则使得 S128m?5 ≥ 2013 64

(m ≥ 3, m? N* ) 的 m 的取值集合为____________.

(二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15.(选修 4—1:几何证明选讲) 已知⊙O1 和⊙O2 交于点 C 和 D,⊙O1 上的点 P 处 的切线交⊙O2 于 A、B 点,交直线 CD 于点 E,M 是⊙O2 上的一点,若 PE=2,EA=1, ?AMB ? 45 ,
?

A 第 19 题 图

C
第 20 题

P

E

A C

B

O1 D

O2 M

20. (本小题满分 12 分)如图,山顶有一座石塔 BC ,已知石塔的高度为 a . (Ⅰ)若以 B, C 为观测点,在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 为 ? ,用 a,? , ? 表示山的高度 h ;

那么⊙O2 的半径为

.

16.(选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,曲线 C1 : ? ? 4 上有 3 个不同的点到曲线 C2 : ? sin(? ? ) ? m 的距离等于 2,则 m? ______ . 4 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (2sin(? x ?

?

(Ⅱ)若将观测点选在地面的直线 AD 上,其中 D 是塔顶 B 在地面上的射影. 已知石塔高度 a ? 20 , 当观测点 E 在 AD 上满足 DE ? 60 10 时看 BC 的视角(即 ?BEC )最大,求山的高度 h .

2? ),2) , b ? (2cos ? x,0) (? ? 0) ,函数 f ( x) ? a ? b 的 3

21. 本小题满分 13 分) ( 已知 a n 是关于 x 的方程 x n ? x n ?1 ? x n ? 2 ? ? ? x ? 1 ? 0 ( x ? 0, n ? N且n ≥ 2) 的根, 证明: (Ⅰ)

图象与直线 y ? ?2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间.

1 1 1 ? an ?1 ? an ? 1 ; (Ⅱ) an ? ( )n ? . 2 2 2

18.(本小题满分 12 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足: a2 ? a4 ? 18, S7 ? 91 .递增的等比 数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,满足: b1 ? bk ? 66, b2bk ?1 ? 128, Tk ? 126 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {cn } 对 ?n ? N* ,均有
c c1 c2 ? ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2013 . b1 b2 bn

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;
? ? ? 2?3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 3n ? ? ln ?1 ? 2 ? ? ? ln ?1 ? n ? 2. (Ⅲ)求证: ln ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? (3 ? 1) ? ? (3 ? 1) ? ? (3 ? 1) ?

19. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面△ ABC 为等腰直角三角形,
?ABC ? 90? , D 为棱 BB1 上一点,且平面 DA1C ⊥平面 AA1C1C .
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八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

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湖北省八校 2014 届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题) 1—5 A C B B D 6—10 B A A B A 10.

17. (Ⅰ) f ( x) ? 4sin(? x ?

2? ) cos ? x 3

1分

? 1 1? ?0, , ? ? 注 意 到 ? 8 8? 1 1 f ( x) ? x ? ? x ? 是偶函数, x x ?2 x (0 ? x ? 1) ? 考察 x ? 0 的情形, y ? ? 2 , ? x ( x ? 1) ?
答 案 :

? 1 3? ? 4 ?sin ? x ? (? ) ? cos ? x ? ? cos ? x 2 2 ? ?
y

0

x

作图

k ? 0 时,直线 y ? kx ? 1 与曲线有四个交点,满足题意 2 2 k ? 0 时,若直线 y ? kx ? 1 与 y ? 相切,由 kx ? 1 ? x x 1 2 得 kx ? x ? 2 ? 0 ,△=0, k ? ? 8
直线绕(0,1)逆时针旋转,开始出现 5 个交点 顺时针旋转,3 个交点

? ? 3(1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? 2 cos(2? x ? ) ? 3 6 2? ? ? ,? ? 1 由题意, T ? ? ,? 2? ? (Ⅱ) f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 3 , 6 ? ?? ?? x ??0, 2? ? 时, 2 x ? ? ? , 4? ? ? 6 ?6 6? ? ? 故 2 x ? ? ?? , 2? ? 或 2 x ? ? ?3? , 4? ? 时, f ( x ) 单调递增 6 6 ? 5? 11? ? ?17? 23? ? 即 f ( x ) 的单调增区间为 ? 和 , , ? ? 12 12 ? ? 12 12 ? ? ?
a2 ? a4 ? 2a3 ? 18 ? ? 18. (Ⅰ)由题意 ? 得 a3 ? 9, a4 ? 13 ,则 an ? 4n ? 3 7(a1 ? a7 ) S7 ? ? 7a4 ? 91 ? ? 2 ?b2bk ?1 ? b1bk ,?b1 , bk 方程 x2 ? 66 x ? 128 ? 0 的两根,得 b1 ? 2, bk ? 64

? 2 3 cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x

5分 6分

9分 12 分

1 k ? ? 符合题意. 8
根据对称性, k ?

2分 4分

1 也满足题意. 8 1 12. r ? h 4
13.

二.填空题(每小题 5 分,共 5 小题)

? 11. 2
14. 16.

? 6
15.

?45,15,9? ; ?6?
m ? ?2

第一个空 2 分,第二个空 3 分

3 2 2

14. 答案: ?45,15,9? ; ?6?

1 1 ? ( )6 ,等比数列部分最少 6 项,即 m ? 6 64 2 由 m ? 6 ? 2m ? k ? 51 ,得 (2k ? 1)m ? 45 ? k ? 0,1, 2 时, m ? 45,15,9 ; S1 2 m? ? 64S m 2? a ?1a ? ?? a ?564S2m ? 30 8 5 2 1 S2 m ? ?m2 ? 11m ? 1 ? m ? g (m) , 2 1 ? g (m ? 1) ? g (m) = 10 ? 2m ? m ?1 ,? 3 ? m ? 5 时 , g (m ? 1) ? g (m) 2 即 m ? 6 时, S 2m 最大,? S128m?5 ? 64 g (6) ? 30 ? 2013 故 S128m?5 ? 2013 ,则 m ? 6 a51 ?
八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题 第5页 共4页

b1 (1 ? q k ?1 ) b1 ? bk q ? ? 126 , b1 ? 2, bk ? 64 代入求得 q ? 2 , 1? q 1? q ?bn ? 2n c c c c c1 c2 (Ⅱ)由 1 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 ? ? ? ? n?1 ? an (n ? 2) b1 b2 bn b1 b2 bn?1 c n?2 相减有 n ? an ?1 ? an ? 4 ?n ? 2, cn ? 4bn ? 2 , bn ( ? 1 0n ? 1) c 又 1 ? a2 ,得 c1 ? 10 cn ? ? n? 2 b1 ?2 (n ? 2 ) 4 ?c1 ? c2 ? ? ? c2013 ? 10 ? 2 ? 25 ? ? ? 22015 ? 22016 ? 6 ? Sk ?
19.解: (Ⅰ)过点 D 作 DE ⊥ A1 C 于 E 点, 取 AC 的中点 F,连 BF ﹑EF ∵面 DA1 C⊥面 AA1C1C 且相交于 A1 C,面 DA1 C 内的直线 DE ⊥ A1 C 故直线 DE ? 面 ACC1 A1
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6分

9分

12 分

三、解答题(共 5 小题,共 75 分)

3分

又∵面 BA C⊥面 AA1C1C 且相交于 AC,易知 BF⊥AC,∴BF⊥面 AA1C1C 由此知:DE∥BF ,从而有 D,E,F,B 又易知 BB1∥面 AA1C1C, 故有 DB∥EF , EF∥AA1, 又点 F 是 AC 的中点, 所以 DB = EF = B1

共面, 从而有
1 AA1 2

a2 ? b2 , b
据题意有:

a2 ? b2 = tan600 = b

3 ,解得:

2b AA1 = 2. ? 2 所以 a AB

12 分

1 BB , = 1 2 D 即

20. 解: (1)在△ ABC 中, ?BAC ? ? ? ? , ?BCA ? 90? ? ? ,
? BC AB as i n ( 9? ? ) a 0 ?o s c ? ? AB ? 6 ? )? 分 sin ?BAC sin ?BCA s i n? ? ( s? n (? i? ) a cos ? sin ? a ? cos ? sin ? 则 h ? AB ? sin ? ? a ? 4分 ?a = sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) h ? 20 h (2)设 DE ? x ,? tan ?BED ? , tan ?CED ? x x tan ?BED ? tan ?CED ? tan ?BEC ? 6分 1 ? tan ?BED ? tan ?CED 20 10 20 x ? ? ? (h ? 20)h (h ? 20)h h(h ? 20) 1? x? 2 x x (h ? 20) h 当且仅当 x ? 即 x ? h(h ? 20) 时, tan ?BEC 最大,从而 ?BEC 最大 x 由题意, h(h ? 20) ? 60 10 ,解得 h ? 180 12 分



BB1





点 A1 D

C1 H G 系, E B A1 Z F B1 C

由正弦定理得:

(Ⅱ)解法 1:建立如图所示的直角坐标 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ,则 D (0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所 以 ,

DA1 ? (a,0, b), DC ? (0, a,?b)
设面 DA1C 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则

A

ax ? 0 ? y ? bz ? 0, 0 ? x ? ay ? bz ? 0
A1 D C1

可取 n ? (b,?b,?a) 8分 又可取平面 AA1DB 的法向量
u r r cos m, n

m ? BC ? (0, a,0)
B O A1 C A y

21. (Ⅰ)设 f ( x) ? xn ? xn?1 ? xn?2 ? ? ? x ?1 ,则

x

?

n?m n?m

?

b ? 0 ? ba ? a ? 0 2b 2 ? a 2 ? a 2
b 2b ? a
2 2

??

b 2b 2 ? a 2
12 分

据题意有:

?

AA1 2b 1 ? 2 解得: = a 2 AB

f ' ( x) ? nxn?1 ? (n ?1) xn?2 ? ? ? 2x ? 1 ? 显然 f ' ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 R 上是增函数 1 1 (1 ? ( ) n ) 1 2 ? 1 ? ?( 1 )n ? 0 ? f (1) ? n ? 1 ? 0(n ? 2) f( )? 2 1 2 2 1? 2 1 1 ? f ( x) 在 ( ,1) 上有唯一实根,即 ? an ? 1 2 2 k k 假设 an?1 ? an ,?an?1 ? an (k ? N * )
则 f (an?1 ) ? an?1
n?1

4分

? an?1n ??? an?1 ?1 ? an?1n?1 ? ann ? ann?1 ? ?? an ?1
8分

(Ⅱ)解法 2:延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G,易知 CB⊥面 AA1B1B, 过 B 作 BH⊥A1 G 于点 H,连 CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH, 由此知∠CHB 为二面角 A -A1D - C 的平面角; 9分 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ; 在直角三角形 A1A G 中,易知 AB = BG. b?a BD ? BG BC 在 Rt? DBG 中,BH = = , 在 Rt? CHB 中,tan∠CHB = = 2 2 DG BH a ?b
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? ann ? ann?1 ??? an ?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an ) ? 0 ,矛盾,故 an?1 ? an
(Ⅱ) f (an ) ? f ( ) ? an ? an
n

1 1 ? 1 ? ? ? ? an ? 1 ? ?( )n ? ( )n?1 ? ? ? ( ) ? 1? 2 2 ? 2 ? 1 1 1 1 1 (an n ? ( ) n ) ? (an n ?1 ? ( ) n ?1 ) ? ? ? (an ? ) ? an ? (? an ? ) 2 2 2 2 2 1 2
n ?1

八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

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1 1 1 1 13 分 ? f (an ) ? 0 , f ( ) ? ?( ) n ? an ? ( ) n ? 2 2 2 2 方法二:?1 ? an ? an n ? an n?1 ? ?? an 2 1 n 1 n?1 1 2 1 1 n 由(Ⅰ) 1 ? an ? an n ? an n?1 ? ? ? an 2 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) = ? ( ) 2 2 2 2 2
22 (Ⅰ) f ' ( x) ? e x ? a

1 1 ? an ? ( ) n ? 2 2
1分 2分 4分 5分

? a ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增。
'

a ? 0 时, x ? (??,ln a) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,
'

x ? (ln a, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ) a ? 0 时, f ( x)min ? f (ln a) , ? f (ln a) ? 0 即 a ? a ln a ? 1 ? 0 ,记 g (a) ? a ? a ln a ? 1 (a ? 0 )

? g ' (a) ? 1 ? (ln a ? 1) ? ? ln a ? g (a) 在 (0,1) 上增,在 (1, ??) 上递减? g (a) ? g (1) ? 0 故 g (a) ? 0 ,得 a ? 1 8分 x (Ⅲ)由(Ⅱ) e ? x ? 1 ,即 ln(1 ? x) ? x ( x ? ?1) ,则 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x
n 2 ? 3k 3k 要证原不等式成立,只需证: ? k ? 2 ,即证: ? k ?1 2 2 k ?1 (3 ? 1) k ?1 (3 ? 1) 3k 2 2 下证 k ① ? k ? k ?1 2 (3 ? 1) 3 ?1 3 ?1 3k 4 ? 3k ? 2k ? ? 4(32k ? 2 ? 3k ? 1) ? 3 ? 32k ? 4 ? 3k ? 1 k 2k k 3 ? 2 ? 3 ?1 3? 3 ? 4 ? 3 ?1 ? 32k ? 4 ? 3k ? 3 ? 0 ? (3k ?1)(3k ? 3) ? 0 ① 中令 k ? 1, 2,?, n ,各式相加,得 n
n

9分

2 2 2 2 2 2 2 2 3k ? (3k ?1)2 ? ( 31 ? 1 ? 32 ? 1) ?( 32 ? 1 ? 33 ? 1) ? ? ? ( 3n ? 1 ? 3n?1 ? 1) ? 31 ? 1 ? 3n?1 ? 1 ? 1 成 k ?1
立, 故原不等式成立。 方法二: n ? 1 时,
n

14 分

2?3 3 ? n 2 (3 ? 1) 2 n 1 1 2?3 2 ? 3n 2 ? 3n ?1 n ? 2 时, n ? n ?1 ? n ? n ? n 2 n n ?1 (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1
n ? 2 时, ?

3 1 1 3k ?2 ? ? ? n k 2 2 2 3 ?1 k ?1 (3 ? 1)
n

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