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2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(36)空间几何体的结构特征及三视图和直观图)


课时作业(三十六) [第 36 讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.有一个几何体的三视图如图 K36-1 所示,这个几何体应是一个 (

)

图 K36-1 A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D

.都不对 2.如图 K36-2 所示几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

)

图 K36-2 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 3.一个几何体的主视图和左视图如图 K36-3 所示,其中主视图的底边长为 1,左视图 的底边长为 3、高为 2,则这个空间几何体俯视图的面积是( ) 7 A.2 B.3 C. D.4 2

图 K36-3 4.已知三棱锥的俯视图与左视图如图 K36-4,俯视图是边长为 2 的正三角形,左视图 是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为( )

图 K36-4

图 K36-5 能力提升 5.将正三棱柱截去三个角(如图 K36-6(1)所示 A、B、C 分别是△GHI 三边的中点)得 到的几何体如图 K36-6(2),则该几何体按图(2)所示方向的左视图(或称左视图)为( )

图 K36-6

图 K36-7 6.[2011· 浙江卷] 若某几何体的三视图如图 K36-8 所示,则这个几何体的直观图可 以是( )

图 K36-8

图 K36-9 7.[2011· 江西卷] 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图 K36-10 所示,则该 几何体的左视图为( )

图 K36-10

图 K36-11

8.某几何体的三视图如图 K36-12 所示,那么这个几何体是(

)

图 K36-12 A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 9. 某几何体的一条棱长为 m, 在该几何体的主视图中, 这条棱的投影是长为 7的线段, 在该几何体的左视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 6和 5的线段,则 m 的值为 ( )

A.3 B.2 3 C.4 D.2 5 10.如果一个几何体的三视图如图 K36-13 所示,其中主视图中△ABC 是边长为 2 的 正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的左视图的面积为________.

图 K36-13 11.[2011· 潍坊二模] 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方 形,则原平面四边形的面积等于________. 12. [2011· 惠州模拟] 已知一几何体的三视图如图 K36-14, 主视图和左视图都是矩形, 俯视图为正方形, 在该几何体上任意选择 4 个顶点, 它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶 点,这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________. ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是直角三角形的四面体.

图 K36-14 13.一个几何体的主视图和左视图如图 K36-15 所示,其中主视图的底边长为 1,左视 图的底边长为 3、高为 2,则这个空间几何体俯视图的面积是________.

图 K36-15 14.(10 分)已知,如图 K36-16 是一个空间几何体的三视图. (1)该空间几何体是如何构成的? (2)画出该几何体的直观图; (3)求该几何体的表面积和体积.

图 K36-16 15. (13 分)有一块多边形菜地, 它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如 图 K36-17 所示),∠A′B′C′=45° ,D′C′⊥A′D′,A′B′=A′D′=1 m,若平 2 均每 1 m 菜地所产生的经济效益是 300 元,则这块菜地所产生的总经济效益是多少元?(精 确到 1 元)

图 K36-17 难点突破 16.(12 分)一个几何体的三视图如图 K36-18 所示,其中主视图和左视图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1? 如何组 拼?试证明你的结论; (3)在(2)的情形下,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平 面 ABC 所成锐二面角的余弦值.

图 K36-18

课时作业 (三十六) 【基础热身】 1.A [解析] 根据三视图,这个空间几何体是棱台. 2.D [解析] 正方体的三个视图都相同,而三棱台的三个视图各不相同,正确答案为 D. 3.B [解析] 这是一个将一个侧面水平放置的三棱柱,其俯视图如图,俯视图是一个 边长分别为 1,3 的矩形,故其面积为 3.

4.C [解析] 空间几何体的主视图和左视图的“高平齐”,故主视图的高一定是 2, 主视图和俯视图“长对正”,故主视图的底面边长为 2,根据左视图中的直角说明这个空间 几何体最前面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综合这些可知,这个空间几 何体的主视图可能是 C. 【能力提升】 5.A [解析] 截前的左视图是一个矩形,截后改变的只是 B,C,F 方向上的. 6.B [解析] 由主视图可排除 A,C;由左视图可判断该几何体的直观图是 B. 7.D [解析] 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线,它们在 右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合,另一条为正方体的体对角线,它在右侧面 上的投影与右侧面的对角线重合,对照各图及对角线方向,只有选项 D 符合. 8.B [解析] 由所给三视图与直观图的关系,可以判定对应的几何体为如图所示的四 棱锥,且 PA⊥面 ABCD,AB⊥BC,BC∥AD.

9.A

[解析] 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.

如图,设长方体的长,宽,高分别为 a,b,c,由题意得 a2+c2= 7, b2+c2= 6, a2+b2= 5 ?a2+b2+c2=9,所以对角线的长为 a2+b2+c2=3. ∴选 A. 3 10. [解析] 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥, 结合数据 2 可知其底面正六边形的边长为 1, 棱锥的高为 h= 3.由于三视图中“宽相等”, 那么左视图 中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等,可得其长度为 3,则该几何体的左 1 3 视图的面积为 S= × 3× 3= . 2 2 2 11.2 2a [解析] 一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′ 2 a2 = S,而直观图面积 S′=a2.所以原平面四边形的面积为 =2 2a2. 4 2 4 12.①③④ [解析] 如图所示长方体为几何体的直观图.

当选择的四个点为 A、B、C、D 时,可知①正确; 当选择 B、A、B1、C 时,可知③正确; 当选择 A、B、D、D1 时,可知④正确. 13.3 [解析] 这是一个将一个侧面水平放置的三棱柱,其俯视图如图.俯视图是一个 边长分别为 1,3 的矩形,故其面积为 3.

14.[解答] (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为 2,高为 1 的长方体,上 半部分是一个底面各边长为 2,高为 1 的正四棱锥. (2)按照斜二测画法可以得到其直观图,如图.

(3) 由 题 意 可 知 , 该 几 何 体 是 由 长 方 体 ABCD - A′B′C′D′ 与 正 四 棱 锥 P - A′B′C′D′构成的简单几何体. 由图易得:AB=AD=2,AA′=1,PO′=1,取 A′B′中点 Q,连接 PQ,从而 PQ = PO′2+O′Q2= 12+12= 2,所以该几何体表面积 1 S = (A′B′ + B′C′ + C′D′ + D′A′)PQ + (A′B′ + B′C′ + C′D′ + 2 D′A′)AA′+AB· AD=4 2+12. 1 16 体积 V=2×2×1+ ×2×2×1= . 3 3 15. [解答] 在直观图中, 过 A′点作 A′E⊥B′C′, 垂足为 E, 则在 Rt△A′B′E 中, 2 A′B′=1 m,∠A′B′E=45° ,∴B′E= m. 2 而四边形 A′EC′D′为矩形,A′D′=1 m, 2 ∴B′C′=B′E+EC′=? +1?m. ?2 ? 2 由此可还原图形,如图所示,在原图形中,AD=1 m,AB=2 m,BC=? +1?m,且 ?2 ? AD∥BC,AB⊥BC, ∴这块菜地的面积为 1 1 2 2 S= (AD+BC)· AB= ×1+1+ ×2=?2+ ?(m2), 2 2 2 2? ? 所以这块菜地所产生的总的经济效益是 300S≈300(2+0.707)=812.1≈812(元).

【难点突破】

16. [解答] (1)该几何体的直观图如图(1)所示, 它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其 1 中底面 ABCD 是边长为 6 的正方形,高为 CC1=6,故所求体积是 V= ×62×6=72. 3 (2)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍,故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一 个棱长为 6 的正方体, 其拼法如图(2)所示. 证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的正方形,于是 VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D,故所拼图形成立. (3)设 B1E,BC 的延长线交于点 G,连接 GA,在底面 ABC 内作 BH⊥AG,垂足为 H, 连接 HB1,如图(2),则 B1H⊥AG,故∠B1HB 为平面 AB1E 与平面 ABC 所成锐二面角或其补 角的平面角. 6×12 12 18 2 在 Rt△ABG 中,AG= 180,则 BH= = ,B1H = BH2 + BB1 = , 180 5 5 HB 2 cos∠B1HB= = . HB1 3 2 故平面 AB1E 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 . 3


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