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高考数学椭圆与双曲线重要规律定理


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椭圆与双曲线性质--(重要结论) 椭圆与双曲线性质--(重要结论) -结论
清华附中高三数学备课组
1. 2.

双曲线
点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角 内角. 内角 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 4. 5. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 相交. 相交 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 相


1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角 外角. 外角



PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点.

3. 4. 5. 6.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 相离. 相离 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 内切. 内切 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 6.

7.

xx y y x y + 2 = 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程 a b x0 x y0 y 是 2 + 2 = 1. a b 2 x y2 椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ∠F1 PF2 = γ ,则椭圆的焦点 a b
角形的面积为 S ?F1PF2 = b tan
2

2

2

7.

xx y y x2 y2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 02 ? 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则 a b x0 x y0 y 切点弦 P1P2 的直线方程是 2 ? 2 = 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ∠F1 PF2 = γ , a b
若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 则双曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 = b co t
2

γ

2

.

8.

γ

2

.

x2 y2 双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ?c, 0) , F2 (c, 0) > > )的焦半径公式: a b 在右支上时, 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |= ex0 + a , | MF2 |= ex0 ? a .
在左支上时, 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |= ?ex0 + a , | MF2 |= ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

x2 y2 8. 椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)的焦半径公式: > > )的焦半径公式: a b | MF1 |= a + ex0 , | MF2 |= a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦 点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于 点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲 线

x2 y2 b2 + 2 = 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB = ? 2 , a2 b a 2 b x =? 2 0 。 a y0

K OM ? K AB

x2 y2 ? = 1 ( a> 0,b >0 )的 不平 行于对 称轴的弦 ,M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中 点,则 a2 b2 b 2 x0 b 2 x0 = 2 ,即 K AB = 2 。 a y0 a y0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 + 2 = 2 + 2 . a b a b a b x2 y2 x 2 y 2 x0 x y0 y 13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 + 2 = 2 + 2 . a b a b a b

x2 y2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 2 ? 2 = 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a b 2 2 x0 x y0 y x0 y ? 2 = 2 ? 02 . 2 a b a b x2 y2 13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 2 ? 2 = 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a b 2 2 xx y y x y ? 2 = 02 ? 02 . 2 a b a b
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椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) -高三数学备课组

9.

过椭圆


2 2



x2 y2 + = 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x a2 b2 | PF | e 轴于 P,则 = . | MN | 2

1.

椭圆

2.

x y + 2 = 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (? a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 2 a b x2 y2 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 = 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 + 2 = 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点, a b b2 x 则直线 BC 有定向且 k BC = 2 0 (常数). a y0
若 P 为椭圆

x2 y2 10. 已知椭圆 2 + 2 = 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 a b a2 ? b2 a2 ? b2 P ( x0 , 0) , 则 ? < x0 < . a a
11. 设 P 点是椭圆

x2 y2 + = 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ∠F1 PF2 = θ ,则 a2 b2

2b 2 γ 2 (1) | PF1 || PF2 |= .(2) S ?PF1F2 = b tan . 1 + cos θ 2 x2 y2 12. 设 A 、 B 是 椭 圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 椭 圆 上 的 一 点 , ∠PAB = α , a b 2ab 2 | cos α | ∠PBA = β , ∠BPA = γ , c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1) | PA |= 2 2 .(2) a ? c co s 2 γ tan α tan β = 1 ? e .(3) S ?PAB
2

3.

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1, F a2 b2
a?c α β = tan co t . a+c 2 2

2

是 焦 点 , ∠PF1 F2 = α ,

∠PF2 F1 = β ,则
4.

x2 y2 设椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 a b
中,记 ∠F1 PF2 = α , ∠PF1 F2 = β , ∠F1 F2 P = γ ,则有

2a 2b 2 = 2 cot γ . b ? a2

sin α c = = e. sin β + sin γ a

x2 y2 13. 已知椭圆 2 + 2 = 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 a b
于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ⊥ x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

5.

x2 y2 若椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在 a b
椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

P 为椭圆

x y + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 2 a b

2

2

2a ? | AF2 |≤| PA | + | PF1 |≤ 2a + | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭 圆

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 + = 1 与 直 线 Ax + By + C = 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a2 b2 A 2 a 2 + B 2 b 2 ≥ ( Ax0 + By0 + C ) 2 .
2 2

8.

已知椭圆

x y + 2 = 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ⊥ OQ .(1) 2 a b 1 1 1 1 4a 2b 2 a 2b 2 2 2 + = + ;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 ;(3) S ?OPQ 的最小值是 2 . | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 a + b2 a + b2

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9.

过双曲线

双曲线
1.

x2 y2 ? = 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂 a2 b2 | PF | e 直平分线交 x 轴于 P,则 = . | MN | 2

2.

x y ? 2 = 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (? a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 2 a b x2 y2 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 + 2 = 1 . a b 2 2 x y 过双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 a b b2 x B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC = ? 2 0 (常数). a y0
双曲线 若 P 为双曲线

2

2

3.

x2 y2 ? =1 (a>0,b>0)(或左) 右 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ∠PF1 F2 = α , a2 b2
c?a α β c?a β α = tan co t (或 = tan co t ). c+a 2 2 c+a 2 2

x2 y2 10. 已知双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a b a2 + b2 a2 + b2 交于点 P ( x0 , 0) , 则 x0 ≥ 或 x0 ≤ ? . a a x2 y2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0) 上异于实轴端点的任一点,F1、 2 为其焦点记 ∠F1 PF2 = θ , F a b 2b 2 γ 2 则(1) | PF1 || PF2 |= .(2) S ?PF1F2 = b cot . 1 ? cos θ 2 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ∠PAB = α , a b 2ab 2 | cos α | ∠PBA = β , ∠BPA = γ ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |= 2 2 . | a ? c co s 2 γ |
(2) tan α tan β = 1 ? e .(3) S ?PAB
2

∠PF2 F1 = β ,则
4.

2a 2b 2 = 2 cot γ . b + a2

x2 y2 设双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点, a b
在△PF1F2 中,记 ∠F1 PF2 = α , ∠PF1 F2 = β , ∠F1 F2 P = γ ,则有

x2 y2 13. 已知双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与 a b
双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ⊥ x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线

sin α c = = e. ± (sin γ ? sin β ) a

5.

若双曲线

x y ? 2 = 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 + 1 2 a b

2

2

必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.

x2 y2 P 为双曲 线 2 ? 2 = 1 ( a> 0,b> 0) 上任一 点 ,F1,F2 为 二 焦点 ,A 为双曲 线内一 定点 ,则 a b | AF2 | ?2a ≤| PA | + | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.

7.

x2 y2 ? = 1 ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 Ax + By + C = 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a2 b2 A2 a 2 ? B 2b 2 ≤ C 2 . x2 y2 8. 已知双曲线 2 ? 2 = 1 (b>a >0) 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ⊥ OQ . ,O a b 1 1 1 1 4a 2b 2 a 2b 2 (1) + = 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 ;(3) S ?OPQ 的最小值是 2 . | OP |2 | OQ |2 a b b ? a2 b ? a2
双曲线

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