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【数学】2013贵州大学附中高考复习单元练习:圆与方程


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2013 贵州大学附中高考数学复习单元练习--圆与方程
I 卷 一、选择题 1. 已知直线 l1: k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2: k-3)x-2y+3=0 平行, k 的值是( ) ( 2( 则 A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 【答案】C 2.已知两条直线 l 1 : x ? y ? 1 ? 0 , l 2 : 3 x ? ay ? 2 ? 0 且 l 1 ? l 2 ,则 a =( A. 【答案】C 3.已知直线 l1 : ? k ? 3 ? x ? ? 4 ? k ? y ? 1 ? 0, 与 l 2 : 2 ? k ? 3 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,平行,则 k 得值 是( ) A.1 或 3 【答案】C
? 1 3



B.

1 3

C. -3

D.3

B.1 或 5

C.3 或 5

D.1 或 2

4.已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方程为( ) B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

【答案】B 2 2 5.若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 B.1 C.3 D.-3 【答案】B 6.由直线
y ? x? 2

)

? x ? 4? 上的点向圆
B. 31

2

? ? y ? 2? ? 1
2

引切线,则切线长的最小值为( D. 33 )

)

A. 30 【答案】B

C. 4 2

7.直线 x+y+ 2=0 截圆 x2+y2=4 所得劣弧所对圆心角为( π π A. B. 6 3 π 2π C. D. 2 3 【答案】D

2 2 8.若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a ) ? y ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为(



A. 【答案】D

-1 或 3

B. 1 或 3

C.

-2 或 6

D. 0 或 4

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)

9.直线 l1,l2 关于 x 轴对称,l1 的斜率是- 7,则 l2 的斜率是( 7 A. 7 B.- 7 C.

7 D.- 7 7 【答案】A 10.直线(a+1)x-y+1-2a=0 与直线(a2-1)x+(a-1)y-15=0 平行,则实数 a 的值为 ( ) A.1 B.-1,1 C.-1 D.0 【答案】C 11.若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( ) A.-1 B.1 C.3 D.-3 【答案】B 12.直线(a+1)x-y+1-2a=0 与直线(a2-1)x+(a-1)y-15=0 平行,则实数 a 的值为 ( ) A.1 B.-1,1 C.-1 D.0 【答案】C II 卷 二、填空题 13.过点 P (1, 2 ) 向圆 x ? y ? r ( r ?
2 2 2

5 ) 引两条切线 PA , PB , A , B 为切点,则三角形

PAB 的外接圆面积为

【答案】

5? 4
2 2

14.点 P(x,y)满足:x +y -4x-2y+4≤0,则点 P 到直线 x+y-1=0 的最短距离是 ________. 【答案】 2-1 15.若 a,b,c 是直角△ABC 的三边的长(c 为斜边),则圆 M:x2+y2=4 截直线 l:ax+by +c=0 所得的弦长为________. 【答案】2 3 16.过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所得的弦长为 2,则该直线的方程为 ________. 【答案】2x-y=0 三、解答题 2 2 2 4 17. 设方程 x +y -2(m+3)x-2(1-4m )y+16m +9=0.若该方程表示一个圆,求 m 的取 值范围. 2 2 2 2 2 【答案】圆的方程化为[x-(m+3)] +[y-(1-4m )] =1+6m-7m ,则有 1+6m-7m >0,解得 m∈ ?-1,1?. ? 7 ? ? ? 18.已知圆
C1

的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线

l1 : x ? y ? 2 2 ? 0

相切.

(Ⅰ) 求圆的标准方程; (Ⅱ)设点
A ( x0, y0 )

为圆上任意一点, A N ? x 轴于 N ,若动点 Q 满足
C ,(其中 m ? n ? 1, m , n ? 0, m 为常数),试求动点 Q 的轨迹方程 2 ;

???? ??? ? ???? O Q ? m O A ? nO N
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m ? 3

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(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当

2 时,得到曲线 C ,问是否存在与 l1 垂直的一条直线 l 与

曲线 C 交于 B 、 D 两点,且 ? B O D 为钝角,请说明理由.
d ? | ?2 2 | 1 ?1
2 2

? 2

【答案】 (Ⅰ)设圆的半径为 r ,圆心到直线 距离为 d ,则 所以圆
C1

l1

的方程为 x ? y ? 4
2 2

A ( x0, y0 ) A N ? x N ( x0 , 0 ) (Ⅱ)设动点 Q ( x , y ) , , 轴于 N ,

? x ? (m ? n ) x0 ? x0 ? y ? m y0 ( x , y ) ? m ( x0 , y0 ) ? n ( x0 , 0 ) 由题意, ,所以 ?
? x0 ? x ? ? 1 1 y A( x, y) ? y0 ? m ,将 m 即: ?

x
2 2

2

代入 x ? y ? 4 ,得 4
m ? 3

?

y

2 2

?1

4m

x

2

?

y

2

?1

(Ⅲ)

2 时,曲线 C 方程为 4

3

,假设存在直线 l 与直线

l1 : x ? y ? 2 2 ? 0



直,设直线 l 的方程为 y ? ? x ? b
x
2

?

y

2

?1

设直线 l 与椭圆 4

3

交点

B ( x1 , y 1 ), D ( x 2 , y 2 )

?y ? ?x ? b ? 2 2 2 2 3 x ? 4 y ? 12 联立得: ? ,得 7 x ? 8 b x ? 4 b ? 1 2 ? 0
x1 ? x 2 ? 8b 7 , x1 x 2 ? 4b ? 12
2

2 因为 ? ? 4 8(7 ? b ) ? 0 ,解得 b ? 7 ,且

2

7

???? ??? ? 2 O D ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? ( b ? x1 )( b ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? b ( x1 ? x 2 ) ? b
8b ? 2 4
2

?

?

8b 7

2

?b ?
2

7b ? 24
2

7

7 7b ? 24
2

因为 ? B O D 为钝角,所以

?0

7



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b ?
2

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24 7 满足 b ? 7
2

解得
2 42 7

?-

?b?

2 42 7

所以存在直线 l 满足题意 19.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? b ? x ? R ? 的图象与两坐标轴
2

有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论 【答案】 (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令 f ? x ? ? x ? 2 x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0.
2

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 令 y =0 得 x 2 ? Dx ? F ? 0 这与 x 2 ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b . 令 x =0 得 y 2 ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1. 所以圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 . (Ⅲ)由 x 2 ? y 2 ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 得 x 2 ? y 2 ? 2 x ? y ? (1 ? y )b ? 0 .
? y ? 1.

从而 x 2 ? 2 x ? 0 .解之得: x ? 0,或x ? ?2. 所以圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 2 2 20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率 为 k 的直线与圆相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量+与共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 2 2 【答案】 (1)圆(x-6) +y =4 的圆心 Q(6,0), 半径 r=2, 设过 P 点的直线方程为 y=kx+2, |6k+2| 3 2 根据题意得 <2,∴4k +3k<0,∴- <k<0. 2 4 1+k (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则+=(x1+x2,y1+y2), 2 2 2 2 将 y=kx+2 代入 x +y -12x+32=0 中消去 y 得(1+k )x +4(k-3)x+36=0, 4(k-3) ∵x1,x2 是此方程两根,∴则 x1+x2=- 2 , 1+k 4k(k-3) 又 y1+y2=k(x1+x2)+4=- +4, 2 1+k
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P(0,2),Q(6,0),∴=(6,-2), +与共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2), 8(k-3) 4(k-3) 3 ∴ 2 =-6k· 2 +24,∴k=- , 1+k 1+k 4
3 由(1)知 k∈(- ,0),故没有符合题意的常数 k. 4 2 21.在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f(x)=x +2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三 个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【答案】(1)令 x=0,得抛物线过点(0,b). 2 令 f(x)=0,得 x +2x+b=0. 由题意应有 b≠0 且△=4-4b>0. ∴b<1 且 b≠0. 2 2 (2)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. 2 令 y=0,得 x +Dx+F=0. 2 这与 x +2x+b=0 是同一个方程,∴D=2,F=b. 2 令 x=0,得 y +Ey+F=0.此方程有一个根为 b. 2 ∴b +E·b+F=0.而 F=b,∴E=-b-1. 2 2 ∴圆 C 的方程为 x +y +2x-by-y+b=0. (3)圆 C 过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点(x0,y0),(x0,y0 不依赖于 b),将该点的坐标代入圆 C 的方程并变形为 x2+y2+2x0-y0+b(1-y0)=0. 0 0 ? ?1-y0=0 为了使上述方程对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立,必须有? 2 2 ,解得 ?x0+y0+2x0-y0=0 ?
? ?x0=0 ? ? ?y0=1

或?

? ?x0=-2 ? ?y0=1



经验证:点(0,1),(-2,1)均在圆 C 上,因此圆 C 过定点.
?x ? 0 ? 2 2 2 22. 已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 及其内部 ?x ? 2y ? 4 ? 0 ?

所覆盖. (Ⅰ)试求圆 C 的方程. (Ⅱ)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A , B . 满足 C A ? C B ,求直线 l 的方程. 【答案】(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以 O (0, 0), P (4, 0), Q (0, 2) 构成的三角形及其内 部,且△ O P Q 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半
2 2 径是 5 ,所以圆 C 的方程是 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 5 .

(Ⅱ)设直线 l 的方程是: y ? x ? b .因为 C A ? C B ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即
| 2 ?1? b | 1 ?1
2 2

10 2

,

?

10 2

解得: b ? ? 1 ?

5.

所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ?

5 .

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