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高中数学必修5不等式例题及详细答案


第三章 不等式
一、选择题 1.若 a=20.5,b=log?3,c=log?sin A.a>b>c B.b>a>c

2? ,则( 5

). C.c>a>b ). D. D.b>c>a

2.设 a,b 是非零实数,且 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 B.ab2<a2b C.

1 1 < 2 2 ab ab

b a < a b
).

3.若对任意实数 x∈R,不等式|x|≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.a<-1 B.|a|≤1 ). B.[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,+∞) C.|a|<1 D.a≥1

4.不等式 x3-x≥0 的解集为( A.(1,+∞) C.[0,1)∪(1,+∞)

5.已知 f(x)在 R 上是减函数,则满足 f( A.(-∞,1) C.(-∞,1)∪(2,+∞)

1 )>f(1)的实数取值范围是( x ?1
B.(2,+∞) D.(1,2)

).

6.已知不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图象 为图中( ).

A

B

(第 6 题)

C

D

? x-y ≥0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x+y ≤1 则目标函数 z=5x+y 的最大值是( ? x+2 y ≥1 ?

).

A.2

B.3

C.4

D.5

? x+y-3 ≥0 ? 8.设变量 x,y 满足 ? x-y+1 ≥1 设 y=kx,则 k 的取值范围是( ?3x-y-5 ≤1 ?

).

A.[

1 4 , ] 2 3

B.[

4 ,2] 3

C.[

1 ,2] 2

D.[

1 ,+∞) 2

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9.已知 a,b∈R,则使|a|+|b|≥1 成立的一个充分不必要条件是( A.|a+b|<1 C.a<1,且 b<1 10.若 lgx+lgy=2,则 A.
1 1 + 的最小值为( y x

).

B.a≤1,且 b≤1 D.a2+b2≥1 ). C.

1 20

B.

1 5

1 2

D.2

二、填空题 11.以下四个不等式:①a<0<b,②b<a<0,③b<0<a,④0<b<a,其中使 成立的充分条件是 .

1 1 < a b

?1 (x>0), 12.设函数 f(x)= ? 则不等式 xf(x)+x≤4 的解集是____________. ? ? 1 (x<0).

(?1) n?1 对任意正整数 n 恒成立,则 a 的取值范围是 . n 1 1 14. 关于 x 的不等式 x2-(a+ +1)x+a+ <0(a>0)的解集为__________________. a a
13. 若不等式(-1)na<2+ 15. 若不等式 x2-2x+3≤a2-2a-1 在 R 上的解集是空集, 则 a 的取值范围是 三、解答题 16.已知函数 f(x)=x2-2x+ .

4 9 ( x-1)2

,x∈(-∞,1)∪(1,+∞),求 f(x)的最小值.

17.甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一 半时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,若 m≠n, 问甲乙两人谁先到达指定地点? 18 .已知关于 x 的不等式(ax-5)(x2-a)<0 的解集为 M.


(1)当 a=4 时,求集合 M; (2)当 3∈M,且 5∈M 时,求实数 a 的取值范围.

一、选择题 1.A 解析:三个以上的实数比较大小,可以先估算,进行分类(与 0 比较或与 1 比较),再应 用不等式性质或作差法. 因为?>1,0<sin

2? 2? <1,所以 c=log??sin <0. 5 5
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又因为 3>1,所以 b=log?3>0,而 a=20.5>0,故 c 最小,只需再比较 a 与 b 的大小. 由指数函数的性质知,20.5>1 而且 0<log??3<log???=1,所以 a>b,即 a>b>c. 2.C 解析:比较两个实数的大小,可采用作差法,也可用特殊值排除法,以下用作差法. ∵a2-b2=(a+b)(a-b), 当 a<b,且 a,b 均为负数时,(a+b)( a-b)>0,a2 >b2,排除 A. ∵ab2-a2b=ab(b-a), 由于 b-a>0, 当 a, b 同号时(比如 a=1, b=2), ab(b-a)>0,ab2>a2b,排除 B.

a-b 1 1 1 1 - 2 = 2 2 <0,即 2 < 2 . 2 ab ab ab ab a b b a 同样可以用作差法判断 < 是错误的. a b
∵ 3.B 解析:由于不等号两边的函数比较熟悉,可以尝试数形结合法. 令 f(x)=|x|,g(x)=ax,画出图象如右图, 由图可以看出|a|≤1. 4.D 解析:用数轴标根法求解. x3-x≥0 可化为 x(x-1)(x+1)≥0, 如图,原不等式的解集为{x|-1≤x≤0,或 x≥1}. 5.C

(第 3 题)

(第 4 题)

解析:关键是利用单调性去掉“f” ,转化为不含“f”的不等式求解. ∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(

1 1 x?2 )>f(1) ? <1 ? >0 ? x<1 或 x>2. x ?1 x ?1 x ?1

6.B 解析:首先根据方程 ax2-x-c=0 的根确定 a,c,再求出 f(-x). 由已知,方程 ax2-x-c=0 的两个实根为-2 和 1,则(-2)+1=

?c 1 ,(-2)×1= , a a 1 2 9 ) + ,由开 2 4

解得 a=-1,c=-2,则 f(x)=-x2-x+2,f(-x)=-x2+x+2=-(x-
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口方向和对称轴位置判断为 B. 7.D 解:先画可行域如图.作直线 l0:5x+y=0,平行移动直线 l0 至直线 l,从图形中可以发 现,当直线 l 经过平面区域内的点 A 时,直线在 y 轴的截距最大,此时 z 最大.
1 ? x+2 y= ? x=1 由? ,解得 ? ,即 A(1,0), 1 ? y=0 ? x+y=

∴z=5×1+0=5.

(第 7 题)

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8.C 解析:k 的几何意义是可行域内的点与原点连线 的斜率. 解: 先画出题中不等式组所表示的区域(如图), 可以看出 kOA 最小,kOB 最大.
?3x-y-5=0 ? x=2 由? 得 A(2,1), ?? 1 ? x+y-3=0 ? y=

kOA=

1 -0 1 = ; 2 2-0

(第 8 题)

=0 1 ? x-y+1 ? x= 由? 得 B(1,2), ?? ? x+y-3=0 ? y=2

kOB= 9.D

2-0 1 1 =2.∴ ≤k≤2,即 k∈[ ,2]. 2 2 1-0

分析:如果①:某选项能推出|a|+|b|≥1,则充分性成立;还需要②:|a|+|b|≥1 不 能推出该选项,①和②满足,该选项就是充分不必要条件. 解:若 a2+b2≥1,则(|a|+|b|)2=a2+2|ab|+b2≥a2+b2≥1,|a|+|b|≥1,充分性 成立.但|a|+|b|≥1 时,未必有 a2+b2≥1,例如 10.B 解:∵lgx+lgy=2,∴xy=100,且 x>0,y>0, ∴
1 1 2 1 1 1 1 1 + ≥2 ,即 + ≥ , ? = y y x y x x 5 xy

1 1 ?1? ?1? + =1,然而 ? ? + ? ? <1. 2 2 ?2? ?2?

2

2

? x=y 当且仅当 ? ? xy=100

x=10,y=10 时取等号.

二、填空题 11.①②④. 解:a<0<b ?

1 1 <0< ,充分性成立; a b b-a 1 1 <0,即 < ,充分性成立; a b ab

b<a<0 ? ab>0,b-a<0 ? b<0<a ?

1 1 1 1 <0, >0 ? > ,充分性不成立; b a b a
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0<b<a ? ab>0,b-a<0 ? 12.{x|0<x≤2,或 x<0}.

1 1 < ,充分性成立. a b

解析:由于 f(x)是分段函数,所以要分别对每一段(分别在 x>0,x<0 条件下)解不等 式.
? x>0 ? x>0 由? ?? ? xf(x)+x≤4 ? x·1+x≤4

? 0<x≤2,

? x<0 ? x<0 由? ?? ? x<0, ? xf(x)+x≤4 ? x·(-1)+x≤4

∴0<x≤2 或 x<0. 13. [-2,

3 ). 2

解析:首先处理(-1)n,需要对 n 的奇偶性进行讨论. 若 n 为奇数,原不等式 ? -a<2+ 数 n 恒成立,因为-(2+

1 1 1 ? a>-(2+ ),即 a>-(2+ )对任意正奇 n n n

1 1 )=-2- <-2,所以只需 a≥-2. n n 1 1 ,即 a<2- 对任意正偶数 n 恒成立, n n

若 n 为偶数,原不等式 ? a<2- 只需 a<(2-

1 1 3 3 )最小值=2- = ,即 a< . n 2 2 2

所以若对任意正整数 n 不等式恒成立,以上应同时满足, 故-2≤a<

3 . 2 1 }. a 1 1 +1)x+a+ =0(a>0)是否有实数根,实数根大小是 a a

14.{x|1<x<a+

解析:首先判断方程 x2-(a+ 否确定. x2-(a+

1 1 1 +1)x+a+ <0 可化为(x-1)[x-(a+ )]<0, a a a 1 1 ≥2>1,∴1<x<a+ . a a

∵a>0,a+

15.{x|-1<a<3}. 解析:把问题等价转化为“恒成立”问题. x2-2x+3≤a2-2a-1 在 R 上的解集是空集,

? x2-2x+3>a2-2a-1 在 R 上恒成立,
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? x2-2x-a2+2a+4>0 在 R 上恒成立.
因为抛物线 y=x2-2x-a2+2a+4 开口向上,故只需△=4-4(-a2+2a+4)<0, 即 x2-2x+3<0 ? -1<a<3. 三、解答题 16.解析:f(x)=(x-1)2+

4 9 ( x-1)
2

-1≥2

4 1 -1= . 9 3

当 x-1=

4 9 ( x-1)
2

时,即 x=1±

6 1 时,f(x)取到最小值 . 3 3

17.分析:行走时间短者先到达指定地点,问题的实质是比较两个实数(式子)的大小, 用作差法. 解:设从出发地到指定地点的路程是 s,甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1, t2,则

t1 t s s 2s (m+n)s ,t2= . m+ 1 n=s , + =t 2 ,所以 t1= 2 2 2m 2n m+ n 2mn
(m+n)2]s (m-n)2 s 2s (m+n)s [4mn- =- = , - 2mn (m+n) 2mn (m+n) m+n 2mn

t1-t2=

因为 s,m,n 均为正数且 m≠n,所以 t1-t2<0,即 t1<t2, 所以甲比乙先到达指定地点. 18 .解:(1)当 a=4 时,(ax-5)(x2-a)<0 ? (x-


5 )(x-2)(x+2)<0,由数轴标根 4

法得 x<-2,或

5 <x<2. 4 5 <x<2}. 4

故 M={x|x<-2,或 (2)3∈M,且 5∈M

(第 18 题)

? ?(3a-5)(9-a)<0 ?? ? ?(5a-5)(25-a)≥0

5 ? (a- )(a-9)>0 ? ?? 3 ? (a- 1)(a-25)≤0 ?

? 5 5 ? a< ,或 a>9 ?? 3 ? 1≤a< ,或 9<a≤25. 3 ? 1≤a≤25 ?

故实数 a 的取值范围是{x|1≤a<

5 ,或 9<a≤25}. 3

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