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试题精选


找规律新题
1、图中两组图都是由多边形排列而成的,则第二组图的第 n 个正方形中多边形的边数 为 (用含 n 的代数式表示) .

2、如右图,点 O(0,0),B(0,1)是正方 形 OBB1C 的两个顶点,以对角线 OB1 为一边作正方形 OB1B2C1,再以正方 形 OB1B2C1 的对角线 OB2 为一边作正 方形 OB2B3C2,……,依次下去.则 点 B6 的坐标 .

3、如下表,从左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填 .. .. 整数之和都相等,则第 2012 个格子中的数为( ) 2 a b c -3 1 ?

A.2 B.-3 C. 0 D.1 4、如图,点 A1,A2,A3,A4,?,An 在射线 OA 上,点 B1,B2,B3,?,Bn―1 在射线 OB 上,且 A1B1∥A2B2∥A3B3∥?∥An―1Bn―1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥?∥AnBn―1,△A1A2B1,△A2A3B2,?,△An― 若△A2B1B2, A3B2B3 的面积分别为 1、 则△A1A2B1 的面积为__________; △ 4, 1AnBn―1 为阴影三角形, 面积小于 2011 的阴影三角形共有__________个. B B4 B3 B1 B2
1 4

O A A 1 2

A3

A4

A5

A

5、在图 6 中, 互相全等的平行四边形按一定的规律排列.其中,第①个图形中有 1 个平行四 边形,第②个图形中一共有 5 个平行四边形,第③个图形中一共有 11 个平行四边 形,??,则第⑥个图形中平行四边形的个数为 个.

图①

图②

图③ 图6

图④

?? ? ?

6、 定义:a 是不为 1 的有理数, 我们把

1 1 称为 a 的差倒数. 2 的差倒数是 ? ?1 , ... 如: 1? a 1? 2

?1 的差倒数是

1 1 1 ? .已知 a1 ? ? ,a2 是 a1 的差倒数,a3 是 a2 的差倒数,a4 1 ? (?1) 2 3


是 a3 的差倒数,??,依此类推,则 a 2012 =

7、观察下列算式: ① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ ?? (1)请你按以上规律写出第 4 个算式; (2)把这个规律用含字母的式子表示出来; (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由.

8、用棋子按下列方式摆图形,依照此规律,第 n 个图形有_________枚棋子.

y

y= 3x

9、如图,一系列“黑色梯形”是由 x 轴、直线 y= 3 x
和过 x 轴上的正奇数 1、3、5、7、9、?所对应 的点且与 y 轴平行的直线围成的.从左到右,将其 面积依次记为 S1、S2、S3、?、Sn、?. 则 S1= ,Sn= .

O 1 3 5 7 9 11

x

10.如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点 上,则下次沿顺时针方向跳两个点;若停在偶数点上,则下次沿逆时 针方向跳一个点.若青蛙从 5 这点开始跳,则经过 2012 次后它停在
5

1 2

P O M
3

哪个数对应的点上 ( A.1 B.2

) C.3 D.5

4

11、已知 a≠0, S1 ? 2a , S2 ? (用含 a 的代数式表示).

2 2 2 , S3 ? ,…,S2012 ? ,则 S2012 ? S2 011 S1 S2

12 如图, 菱形 ABCD 中, AB=2 , ∠C=60°,我们把菱形 ABCD 的对称中心称作菱形的中心. 菱 形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转 60°叫一次操作,则经 过 1 次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径长为 中心 O 所经过的路径总长为 O 所经过的路径总长为 ;经过 18 次这样的操作菱形

;经过 3n(n 为正整数)次这样的操作菱形中心 .(结果都保留π ) B O

C

l 13、小华将一条直角边长为 1 的一个等腰直角三角 形纸片(如图 1),沿它的对称轴折叠 1 次后得到一 个等腰直角三角形(如图 2),再将图 2 的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等 腰直角三角形(如图 3),则图 3 中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________;同上 操作, 若小华连续将图 1 的等腰直角三角形折叠 n 次后所得到的等腰直角三角形 (如图 n+1) 的一条腰长为_______________________.

D

A

14 正方形 A1B1C1O, 2B2C2C1, 3B3C3C2, A A ??, 按如图所示的方式放置. A1, 2, 3, 点 A A ??, 和点 C1,C2,C3,??,分别在直线 y ? kx ? b (k>0)和 x 轴上,已知点 B1、B2 的坐标分 别为 B1(1,1),B2(3,2), 则 B8 的坐标是 . y
A2 A1 O B1 C1 C2 C3 x A3 B3 B2

(第 14 题图)

答案:1、2n+2.

1 2、(-8,0)3、B4、 ;6.5、41 2

3 6 、4

7、解:(1) 4 ? 6 ? 52 ? 24 ? 25 ? ?1 ;

(2)答案不唯一.如 n ? n ? 2 ? ? ? n ? 1? ? ?1 ;
2

(3) n ? n ? 2 ? ? ? n ? 1?

2

? n2 ? 2n ? ? n 2 ? 2n ? 1? ? n2 ? 2n ? n2 ? 2n ? 1 ? ?1 .

8、

n(3n ? 1) 2

9、 3 , 3n ? 4 3 4 8
n

1 10、 11、 D a

12、

3 ? , (4 3 ? 2)? , 3

2 3 ?1 1 ? 2? n? .13、 , ? ? 3 2 ? 2 ? ? ?

14. ( 2

8

? 1 , 28?1 )或(255,128).

几何动点新题
1、已知,正方形 ABCD 中,∠MAN=45° ∠MAN 绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交 CB、 , DC(或它们的延长线)于点 M、N,AH⊥MN 于点 H. (1)如图①,当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时,请你直接写出 AH 与 AB 的数 量关系: ;

(2)如图②,当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM≠DN 时,(1)中发现的 AH 与 AB 的数量关 系还成立吗?如果不成立请写出理由.如果成立请证明; (3)如图③,已知∠MAN=45° ,AH⊥MN 于点 H,且 MH=2,NH=3,求 AH 的长. (可利用(2)得到的结论)

2、矩形纸片 ABCD 中, AD ? 12cm ,现将这张纸片按下列图示方式折叠, AE 是折痕. (1)如图 1,P,Q 分别为 AD , BC 的中点,点 D 的对应点 F 在 PQ 上,求 PF 和 AE 的长;

(2)如图 2, DP ? (3)如图 3, DP ?

1 1 AD , CQ ? BC ,点 D 的对应点 F 在 PQ 上,求 AE 的长; 3 3 1 1 AD , CQ ? BC ,点 D 的对应点 F 在 PQ 上. n n

①直接写出 AE 的长(用含 n 的代数式表示); ②当 n 越来越大时, AE 的长越来 越接近于
D P A
(第 23 题图 1)


C

E

D P

E F

C
Q

D P

E F

C
Q

F

Q

B

A
(第 23 题图 2)

B

A
(第 23 题图 3)

B

3、已知四边形 ABCD,点 E 是射线 BC 上的一个动点(点 E 不与 B、C 两点重合),线段 BE 的垂直平分线交射线 AC 于点 P,联结 DP,PE. (1)若四边形 ABCD 是正方形,猜想 PD 与 PE 的关系, 并证明你的结论. (2)若四边形 ABCD 是矩形,(1)中的 PD 与 PE 的关系还成立吗? A D (填:成立或不成立). 3 (3)若四边形 ABCD 是矩形,AB=6,cos∠ACD= , 5 B C 1 设 AP=x,△ PCE 的面积为 y,当 AP> AC 时,求 y 与 x 之间的函数关系式. 2 4、两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90° , ∠A=∠D =30° ,点 E 落在 AB 上,DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F. (1)求证:AF+EF=DE; (2)若将图①中的 △DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ? ,且 0° ? ? ? 60 ° ,其它条件不 变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出⑴中的结论是否仍然成立; (3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ? ,且 60 ° ? ? ?180 ° ,其它条件 不变,如图③.你认为⑴中的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出 AF、EF 与 DE 之间的关系,并说明理由. 解:(1)证明:

(2)结论:AF+EF=DE (3)

.(填成立还是不成立)

1、解:(1)如图①AH=AB (2)数量关系成立.如图②,延长 CB 至 E,使 BE=DN ∵ABCD 是正方形
N A D

∴AB=AD,∠D=∠ABE=90° ∴Rt△AEB≌Rt△AND ∴AE=AN,∠EAB=∠NAD ∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AEM≌△ANM ∵AB、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高, ∴AB=AH
B M H C

图①

A

D

N
(3)如图③分别沿 AM、AN 翻折△AMH 和△ANH, 得到△ABM 和△AND ∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长 BM 和 DN 交于点 C,得正方形 ABCE. 由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD. 设 AH=x,则 MC= x ? 2 , NC= x ? 3 在 Rt⊿MCN 中,由勾股定理,得
A D

H E B M C

MN 2 ? MC 2 ? NC 2
∴ 5 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3)
2 2 2

B

H M C

N

解得 x1 ? 6, x 2 ? ?1 .(不符合题意,舍去)

∴AH=6. 2、(1)? PQ 是矩形 ABCD 中 AD, BC 的中点,
? AP ? 1 1 AD ? AF , ?APF ? 90? , 2 2

D P A

E

C

? ?AFP ? 30? , ? PF ? 3 ? AP ? 6 3
? ?FAD ? 60? ,? ?DAE ?

F

Q

1 ?FAD ? 30? , 2

B

? AE ?

AD ? 8 3cm cos 30? 1 2 AD ? 4 ,? AP ? AD ? 8 3 3

(4 分)

(2)? DP ?

? FP ? 12 2 ? 8 2 ? 4 5

D P

E G F

C
Q

作 FG ? CD 于点 G ,? ?AFE ? 90? ,
? ?AFP ? ?EFG , ? ?AFP ∽ ?EFG

A

B

?

PF GF , ? AF EF

? GF ? DP ? 4

12 5 12 30 ,? AE ? AD 2 ? DE 2 ? 5 5 12( n ? 1) 1 12 (3)? DP ? AD ? ,? AP ? n n n ? DE ? EF ? 12 2n ? 1 ? FP ? AF ? PF ? n PF GF 同理 ?AFP ∽ ?EFG ? ? AF EF
2 2

(8 分)
D P EG F
C
Q

A

B

? DE ? EF ?

12 2n ? 1

? AE ?

AD 2 ? DE 2 ? 12

2n 2n ? 1

当 n 越来越大时, AE 越来越接近于 12. 3、(1)PE=PD,……………………………..(1 分)

(12 分)

PE⊥PD

……………………………..(2 分)

A P

D

①当点 E 在射线 BC 边上,且交点 P 在对角线 AC 上时,连结 PB ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠BAP=∠DAP。 又∵AP=AP,∴△BAP≌△DAP(SAS)。 ∴PB=PD ∵点 P 在 BE 的垂直平分线上

B

E C

∴PB=PE ∴PE=PD ∵△BAP≌△DAP,∴∠DPA=∠APB. 又∵∠APB=180° -45° -∠ABP=135° -∠ABP, ∴∠DPA=135° ∠ABP。 - 又∵PE=PB,∴∠BPE=180° ∠PBE -2 ∴∠DPE=360° -∠DPA-∠APB—∠BPE=360° -2(135° -∠ABP) -180° +2∠PBE =360° -270° +2∠ABP-180° +2∠PBE=90° ∴PE⊥PD ② P、C 两点重合
A D

………………………..(3 分)

B

C (P)

E

PE ? PD, PE ? PD.

………………………..(4 分)

③ 当点 E 在 BC 边的延长线上且点 P 在对角 线 AC 的延长线上时,连结 PB 同理可证∴△BAP≌△DAP(SAS)。 ∴ PB=PD ∴∠PBA=∠PDA ∴∠PBE=∠PDC ∵点 P 在 BE 的垂直平分线上 ∴PB=PE ∴∠PBE=∠PEB ∴∠PDC=∠PEB ∴∠DFC=∠EFP ∴∠EPF =∠DCF=90° ∴PE⊥PD 结论成立 (3)(1)中的猜想不成立. (4) ①当点 P 在线段 AC 上时 …………………………………………..(5 分) …………………………..(6 分)
B C A D

F
P

E

∵四边形 ABCD 是矩形,AB=6 ∴DC=AB=6 ∴∠ABC=∠ADC=90° 3 ∵cos∠ACD= 5
4 、 解 : ⑴ 连 结 BF ①). ........................................1 分 ∵ △ABC≌△DBE, ∴ BC=BE,AC=DE. ∵ ∠ACB=∠DEB=90° , ∴ ∠BACB=∠BEF=90° . ( 如 图

A P B Q C

D E

∵ BF=BF, ∴ Rt△BFC≌Rt△BFE.............................................2 分 ∴ CF=EF. 又∵ AF+CF=AC, ∴ AF+EF =DE ...........................................................3 分 ⑵画出正确图形如图② ...........................................4 分

⑴成立..........................................................................5 分 ⑶不成立. 此时 AF、EF 与 DE 的关系为 AF - EF =DE. 理由:连接 BF(如图③). ∵ △ABC≌△DBE, ∴ BC=BE,AC=DE, ∵ ∠ACB=∠E=90° , ∴ ∠ACB=∠E=90° . 又∵ BF=BF, ∴ Rt△BFC≌Rt△BFE...............................................................................................6 分 ∴ CF=EF. ..................................................................................................................7 分 又∵ AF-CF =AC, ∴ AF -EF = DE . ∴ ⑴中的结论不成立. 正确的结论是 AF-EF = DE . ........................................8 分

化简求值专题
1、 先化简:
x 3 1 3 2 ? 2 ? (1 ? ) ;若结果等于 ,求出相应 x 的值. 3 2x ? 3 4x ? 9 2 2x ? 3

2、 先化简,再求值:

x2 y2 ? ,其中 x ? 1? 3 , y ? 1 ? 3 x? y y?x

? 1 1 ? 2x 3、 先化简,再求值: ? ? x ? y ? x ? y ? ? x 2 ? 2 xy ? y 2 ,其中 x ? 1 , y ? ?2 . ? ? ?
4、 先化简,再求值:
x2 ? x x2 ? 1 ? 2 ,其中 x 满足 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 . x ? 1 x ? 2x ? 1

? 1? 5、 计算: ?12012 ? ? ? ? ? 12 ? tan 60? ? 2 ? 2?
6、(1)计算: 8 ? ( )?1 ? 4cos 45? ? 2 ?

?2

1 2

1 2

(2)解方程: 1 ?

1 2x ? x ?1 1 ? x

7、先化简,再求值:

m 1 ? ? ? ?1 ? ? ,其中 m ? ?2 m ?1 ? m ?1 ?
2

作图新题
1、如图,在 3×3 的正方形网格中,每个网格都有三个小正方形被涂黑. (1)在图①中将一个空白部分的小正方形涂黑,使其余空白部分是轴对称图形但不是 中心对称图形.(2 分) (2)在图②中将两个空白部分的小正方形涂黑,使其余空白部分是中心对称图形但不 是轴对称图形.(3 分)

图①

第 17 题图

图②

2、如图,已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(?2, 、 B(?6, 、 C (?1, . 3) 0) 0) (1)请直接写出点 A 关于原点 O 对称的点的坐标; (2) △ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90° 画出图形, 将 , 直接写出点 B 的对应点的坐标; (3)请直接写出:以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标. 3、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直角梯形 OABC , BC ∥ AO , A(?2, , B(?11) , 0) , 将直角梯形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 90? 后,点 A B C 分别落在点 A? B? C? , , , , 处.请你解答下列问题: (1)在图中画出旋转后的梯形 OA?B?C? ; 并写出 A' , B' 的坐标; (2)求点 A 旋转到 A? 所经过的弧形路线的长.

y

B A O



x

第 3 题图 4、如图6,等腰△OAB的顶角∠AOB=30°,点B在 x 轴上,腰OA=4. (1)B点的坐标为: ; (2)画出△OAB关于 y 轴对称的图形△OA1B1(不写画法,保留画图痕迹),求出 A1与B1的坐标; (3)求出经过A1点的反比例函数解析式. (注:若涉及无理数,请用根号表示)

y

A
1

O

1

B

x

图6

5、如图,在一个 10× 的正方形 DEFG 10 网 格 中有一个△ ABC。 ①在网格中画出△ ABC 向下平移 3 个单位得到的△ A1B1C1。 ②在网格中画出△ ABC 绕 C 点逆时针方向旋转 90° 得到的△ A2B2C。 ③若以 EF 所在的直线为 x 轴,ED 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,写出 A1、A2 两 点的坐标。 6、如图①,将一张直角三 使点 A 与点 C 重合, ?CBE 为 等 腰 三 角 ?CBE 的对 称轴 EF 全重合的矩形 (其中一 D G B C A 角形纸片 ?ABC 折叠, 这 时 DE 为 折 痕 , 形;再继续将纸片沿 折叠, 这时得到了两个完 个是原直角三角形的内

E

F

接矩形,另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形),我们称这样两个矩形为“叠加矩 形”.
A

A

A

A
E

D

E

D

B
C B C

C
图②

B

C

F

B

B
图③

C

图①

(1) 如图②, 在正方形网格中, 能否仿照前面的方法把 ?ABC 折叠成“叠加矩形”, 如果能, 请在图②中画出折痕及叠加矩形; (2)如图③,在正方形网格中,以给定的 BC 为一边,画出一个斜 ?ABC ,使其顶点 A 在 格点上,且 ?ABC 折成的“叠加矩形”为正方形; (3)如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形,那么它必须满足的条件是什么?

答案:1、

图①

图②

2、(1)(2,-3) (2)(0,-6) (3)(-7,3) (3,3) (-5,-3)

3、(1)梯形 OA?B?C? 即为所求(图略) ???????????????4分

A?(0, , B?(1,1) ?????????????????????2分 2)
l? 90? ? 2? ? 2 ? ? ????????????????????4分 360?

(2)

4、 解:(1)(4,0);??????????????????????1分 (2)如图1,过点A作AC⊥ x 轴于C点.????????????2分 在Rt△OAC中,∵斜边OA=4,∠AOB=30°, ∴AC=2,OC=OA·cos30°=2 3 ,???????????4分 ∴点A的坐标为(2 3 ,2).??????????????????5分 由轴对称性,得A点关于 y 轴的对称点 A1的坐标为(-2 3 ,2),??????????????????6分 B点关于 y 轴的对称点B1的坐标为(-4,0);??????????7分

k (3)设过A1点的反比例函数解析式 y = x ,???????????8分
把点A1的坐标(-2 3 ,2)代入解析式,

k 得2= ?2 3 ,∴ k =-4 3 ,??????????????????9分

4 3 y =- x .?????????????10分 从而该反比例函数的解析式为
5、解:(1)(2)见图中(3)A1(8,2),A2(4,9)
A2 B B2 C B1 A

C1

A1

22. (1)(说明:画出折痕即可.) (2)

A

B

C

……………………2 分 分

………………4

图② 图③ (2)只需画出满足条件的一个三角形;答案不惟一,所画三角形的一边长与该边上的高相 等即可.) (3)三角形的一边长与该边上的高相等的直角三角形或锐角三角形. …………………5 分

函数新题(2)
1、如图 1,已知抛物线的顶点为 A(2,1),且经过原点 O ,与 x 轴的另一个交点为 B . (1)求抛物线的解析式; (2)若点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O,C,D,B 四点为顶点的四 边形为平行四边形,求 D 点的坐标; (3)连接 OA,AB,如图 2,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P ,使得 △OBP 与 △OAB 相似?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由.

1、解:(1)由题意可设抛物线的解析式为 y ? a ( x ? 2) ? 1 .? 抛物线过原点,
2

1 1 ? 0 ? a(0 ? 2) 2 ? 1 .? a ? ? .? 抛物线的解析式为 y ? ? ( x ? 2) 2 ? 1 , 4 4 y 1 2 即 y ? ? x ? x . …………………………2 分 4 O

A B

x
D

C
图1

(2)如图 1,当四边形 OCDB 是平行四边形时, CD ∥OB .

1 ( x ? 2) 2 ? 1 ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 4 , 4 ? B(4, , OB ? 4 . 0) 1 ? D 点的横坐标为 6 .将 x ? 6 代入 y ? ? ( x ? 2) 2 ? 1 , 4 1 得 y ? ? (6 ? 2) 2 ? 1 ? ?3 ,? D (6, 3) ;……………………………3 分 ? 4 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D ,使得四边形 ODCB 是平行
由? 四边形,此时 D 点的坐标为 (?2, 3) .…………………………………………………4 分 ? 当四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点, 此时 D 点的坐标为 (2, ……………5 1) 分 y (3)如图 2,由抛物线的对称性可知: A AO ? AB , ∠AOB ? ∠ABO . B E O 若 △BOP 与 △ AOB 相似, A? 必须有∠POB ? ∠BOA ? ∠BPO . 设 OP 交抛物线的对称轴于 A? 点, P 图2 1 显然 A?(2, 1) ,? 直线 OP 的解析式为 y ? ? x . ?

x

2

1 1 ? x ? ? x 2 ? x ,得 x1 ? 0 , x2 ? 6 .? P(6, 3) .????????6 分 2 4 过 P 作 PE ? x 轴,
由? 在 Rt△BEP 中, BE ? 2 , PE ? 3 ,? PB ?

22 ? 32 ? 13 ? 4 .

? PB ? OB .?∠BOP ? ∠BPO . ?△PBO 与 △BAO 不相似,????????????????????7 分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点. 所以在该抛物线上不存在点 P ,使得 △OBP 与 △OAB 相似.…………………8 分

函数新题(1)
1、如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ?
15 (a ? 0) 经过 A(-3,0),C(5,0)两点,点 B 为抛物线 2

顶点,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D. (1)求抛物线的解析式; (2)动点 P 从点 B 出发,沿线段 BD 向终点 D 作匀速运动,速度为每秒 1 个单位长度, 运动时间为 t,过点 P 作 PM⊥BD,交 BC 于点 M,以 PM 为正方形的一边,向上作正方形 PMNQ,边 QN 交 BC 于点 R,延长 NM 交 AC 于点 E. ①当 t 为何值时,点 N 落在抛物线上;

②在点 P 运动过程中,是否存在某一时刻,使得四边形 ECRQ 为平行四边形?若存在, 求出此时刻的 t 值;若不存在,请说明理由.

2、在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ax ? bx ? 3 经过点 N(2,-5),过点 N 作 x 轴
2

的平行线交此抛物线左侧于点 M,MN=6 . (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P(x,y)为此抛物线上一动点,连接 MP 交此抛物线的对称轴于点 D,当△DMN 为 直角三角形时,求点 P 的坐标; (3)设此抛物线与 y 轴交于点 C,在此抛物线上是否存在点 Q,使∠QMN=∠CNM ?若存在, 求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.
y 8 7 6 5 4 3 2 1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
2

1 2 3 4 5 6 7 8 x

3、如图 9(1),在平面直角坐标系中,抛物线 y ? ax ? bx ? 3a 经过 A(-1,0)、B(0, 3)两点,与 x 轴交于另一点 C,顶点为 D. (1)求该抛物线的解析式及点 C、D 的坐标; (2)经过点 B、D 两点的直线与 x 轴交于点 E,若点 F 是抛物线上一点,以 A、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形,求点 F 的坐标; (3)如图 9(2)P(2,3)是抛物线上的点,Q 是直线 AP 上方的抛物线上一动点,求△APQ 的最大面积和此时 Q 点的坐标.

图 3(1)

图 3(2)

4、如图,在直角坐标系 xoy 中,已知点 P(2, 3 ) ,过 P 作 PA ? y轴 交 y 轴于点 A ,以点

P 为圆心 PA 为半径作⊙P,交 x 轴于点 B, C ,抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 经过 A,B,C 三点.
(1)求点 A,B,C 的坐标; (2)求出该抛物线的解析式; (3)抛物线上是否存在点 Q ,使得四边形 ABCP 的面积是 ?BPQ 面积 的 2 倍?若存在,请求出所有满足条件的点;若不存在,请说明理由. 第 4 题图 5、已知二次函数图象的顶点坐标为 M(2,0),直线 y=x+2 与该二次函数的图象交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上(如图示) (1)求该二次函数的解析式; (2)P 为线段 AB 上一动点(A、B 两端点除外),过 P 作 x 轴的垂线与二次函数的图象交于 点 Q,设线段 PQ 的长为 l ,点 P 的横坐标为 x,求出 l 与 x 之间的函数关系式,并求出自变 量 x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 上是否存在点 P,使四边形 PQMA 为梯形.若存在,求 出点 P 的坐标,并求出梯形的面积;若不存在,请说明理由。

6、如图,一次函数 y ?

1 x ? 1 的图象与 x 轴交于点 A ,与 y 轴 2

第 25 题图

交于点 B ;二次函数 y ?

1 2 1 x ? bx ? c 的图象与一次函数 y ? x ? 1 的图象交于 B,C 两 2 2

点,与 x 轴交于 D,E 两点,且 D 点坐标为(1,0). (1)求二次函数的解析式; (2)求线段 BC 的长及四边形 BDEC 的面积 S ; (3)在坐标轴上是否存在点 P ,使得 △PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形? 若存在,求出所有的点 P ,若不存在,请说明理由.

第 24 题 7、如图,四边形 ABCO 是平行四边形,AB=4,OB=2 抛物线过 A、B、C 三点,与

x 轴交于另一点 D.一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点出发沿 BA 向点 A 运动,运动到点 A 停止,同时一动点 Q 从点 D 出发,以每秒 3 个单位长度的速度 沿 DC 向点 C 运动,与点 P 同时停止.

(1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线的对称轴与 AB 交于点 E,与 x 轴交于点 F,当点 P 运动时间 t 为何值时,四边形 POQE 是等腰梯形? (3)当 t 为何值时,以 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的 三角形相似?
8、如图,对称轴为 x ? 3 的抛物线 y ? ax ? 2 x 与 x 轴相交于点 B 、 O .
2

(1)求抛物线的解析式,并求出顶点 A 的坐标; (2)连结 AB,把 AB 所在的直线平移,使它经过原点 O,得到直线 l .点 P 是 l 上一动点.设以点 A、B、O、P 为 顶点的四边形面积为 S,点 P 的横坐标为 t ,当 0<S≤ 18 时,求 t 的取值范围; (3)在(2)的条件下,当 t 取最大值时,抛物线上

是否存在点 Q ,使△OP Q 为直角三角形且 OP 为直角边.若存在,直接写出点 Q 的坐标;若不 存在,说明理由. 9、九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践——应用— —探究的过程: (1)实践:他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道(如图 ① )进行测量, 测得一隧道的路面宽为 10m,隧道顶部最高处距地面 6.25m,并画出了隧道截面图,建立了 如图 ② 所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式. (2)应用:按规定机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为 0.5m.为了确保安全,问该隧道能否让最宽 3m,最高 3.5m 的两辆厢式货车居中并列行驶 (两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)? (3)探究:该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述抛物线模型, 提出了以下两个问题,请予解答: Ⅰ.如图③,在抛物线内作矩形 ABCD ,使顶点 C 、 D 落在抛物线上,顶点 A 、 B 落在 x 轴上.设矩形 ABCD 的周长为 l ,求 l 的最大值. Ⅱ. 如图④, 过原点作一条 y ? x 的直线 OM , 交抛物线于点 M , 交抛物线对称轴于点 N ,

P 为直线 OM 上一动点,过 P 点作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q .问在直线 OM 上是否存在
点 P ,使以 P 、 N 、 Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出 P 点的坐标; 若不存在,请说明理由.

图①

10、在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A(-4,0),B(0,一 4),C(2,0)三

点.(1)求抛物线的解析式;(3 分) (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,△AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 S 的最大值;(4 分) (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y=-x 上的动点,判断有几个位置能

使以点 P、 B、 为顶点的四边形为平行四边形, Q、 0 直接写出相应的点 Q 的坐标.(3 分)

y

A

O

C

x

M

B

11、已知二次函数的图象经过 A(2,0)、C(0,-12)两点,且对称轴为直线 x=4,设顶点为 点 P,与 x 轴的另一交点为点 B. (1)求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标; (2)如图 1,在直线 y=-2x 上是否存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形?若存在,求出 点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点(O、P 两点除外),以每秒 2 个单位长度的速度由 点 P 向点 O 运动,过点 M 作直线 MN∥x 轴,交 PB 于点 N.将△PMN 沿直线 MN 对折, 得到△P1MN.在动点 M 的运动过程中,设△P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S, 运动时间为 t 秒.问 S 存在最大值吗?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

12、如图,已知抛物线 y ? x ? bx ? c 经过 A(1,0),B(0,2)两点,顶点为 D.
2

(1) 求抛物线的解析式; (2) 将△OAB 绕点 A 顺时针旋转 90°后,点 B 落 到点 C 的位置,将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C, 求平移后所得图像的函数关系式;

y

B

O

A D

x

(3) 设(2)中平移后,所得抛物线与 y 轴的交点 为 B1 ,顶点为 D1 ,若点 N 在平移后的抛物线上, 且满足△ NBB1 的面积是△ NDD1 面积的 2 倍, 求点 N 的坐标. 13、如图,抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于 A(x1,0)、B(x2,0)两点,与 y 轴交于 C 点,对称轴与抛物线相交于点 P,与直线 BC 相交于点 M,连接 PB.已知 x1、x2 恰是方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的两根,且 sin∠OBC= 2 .
2
y C M A O B x P
2

(1)求该抛物线的解析式; (2)抛物线上是否存在一点 Q,使△QMB 与△PMB 的 面积相等,若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说 明理由; (3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 R,使△RPM 与△RMB 的面积相等,若存在,直 接写出点 R 的坐标;若不存在,说明理由.

1、解:(1)∵抛物线 y ? ax2 ? bx ?

15 (a ? 0) 经过 A(-3,0),C(5,0)两点, 2

15 ? 1 ? ?25a ? 5b ? 2 ? 0 1 2 15 ?a ? ? ? ∴? ,解得: ? 2 ,∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? x ? . 2 2 ?b ? 1 ?9a ? 3b ? 15 ? 0 ? ? 2 ?
------------3 分 (2)①∵点 B 为抛物线 y ? ?

1 2 15 x ? x ? 的顶点,∴B(1,8),∴BD=8,OD=1,CD=4, 2 2

又∵PM⊥BD,BD⊥AC,∴PM∥AC,∴Rt△BPM∽Rt△BDC, ∴

MP BP ? ,即 CD BD
1 2

1 1 MP t ,∴MP= t ,∵四边形 PMED 为矩形,∴ED=MP= t , ? 2 2 4 8 1 2

1 t, 2 1 t 2 t 15 若点 N 落在抛物线上,则点 N 的纵坐标为 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , 2 2 2 2
∴OE=1+ t ,即点 E 的横坐标为 1+ t ,∴点 N 的横坐标为 1+ ∴NE= ?

t2 1 t t 15 (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? = ? ? 8 , 8 2 2 2 2 t2 t2 ? 8 -(8- t )= ? ? t , 8 8

∵BP= t ,PD=ME,∴ME=8- t ,∴NM=NE-ME= ?

又∵四边形 PMNQ 是正方形,∴MP=NM,∴ t = ?

1 2

t2 ? t ,即 t1 =0, t 2 =4, 8

∴当 t =4 时,点 N 落在抛物线上. -------------8 分 ②如图, 连结 QE, ∵QR∥EC, 若四边形 ECRQ 为平行四边形, 只需 RQ=CE, ∵Rt△BQR∽Rt△BDC, ∴

RQ BQ 1 ? ,∵BQ=BP-QP=BP-MP=t- t CD BD 2

QR ∴ ? 4

t? 8

t 2 ,∴QR= t ,

4

而 CE=5-(1+ t )=4- t ,∴ ∴当 t =

1 2

1 2

t 1 16 =4- t ,∴ t = , 4 3 2

16 时,四边形 ECRQ 为平行四边形.-----------12 分 3 2 2、解:(1)∵ y ? ax ? bx ? 3 过点 M、N(2,-5), MN ? 6 ,
由题意,得 M( ? 4 , ? 5 ).

∴?

?4a ? 2b ? 3 ? ?5, ?16 a ? 4b ? 3 ? ?5.

解得

?a ? ?1, ? ?b ? ?2.
2

∴此抛物线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3 . ?????????????2 分 (2)设抛物线的对称轴 x ? ?1 交 MN 于点 G, 若△DMN 为直角三角形,则 GD1 ? GD2 ?

1 MN ? 3 . 2

∴D1( ? 1 , ? 2 ), D2 ( ? 1 , ? 8 ). ???????????????4 分 直线 MD1 为 y ? x ? 1 ,直线 MD2 为 y ? ? x ? 9 . 将 P(x, ? x ? 2 x ? 3 )分别代入直线 MD1,
2

y C

MD2 的解析式,
得 ? x ? 2 x ? 3 ? x ? 1 ①, ? x ? 2 x ? 3 ? ? x ? 9 ②.
2 2

O P1 D1 M N x

解①得 x1 ? 1 , x2 ? ?4 (舍), ∴ P (1,0). ?????????????5 分 1 解②得 x3 ? 3 , x4 ? ?4 (舍), ∴ P2 (3,-12). ???????????6 分 (3)设存在点 Q(x, ? x ? 2 x ? 3 ),
2

G D2

P2

使得∠QMN=∠CNM. ① 若点 Q 在 MN 上方,过点 Q 作 QH⊥MN, 交 MN 于点 H,则
2

y Q C O x

QH ? tan ?CNM ? 4 . MH

即 ? x ? 2 x ? 3 ? 5 ? (x ? 4) . 4 解得 x1 ? ?2 , x2 ? ?4 (舍). ∴ Q1 ( ? 2 ,3). ???????????7 分 ② 若点 Q 在 MN 下方, 同理可得 Q2 (6, ? 45 ). ???????8 分 3、解:(1)∵抛物线 y ? ax ? bx ? 3a 经过A(-1,0)、B(0,3)两点,
2

M

H

N



0 ? a ? b ? 3a

解得:

a ? ?1

3 ? ?3a
2

b?2
?????????????2分

抛物线的解析式为: y ? ?x ? 2x ? 3

2 x ? ?1, x 2 ? 3 ∵由 ? x ? 2x ? 3 ? 0 ,解得: 1

∴ C(3,0)
2

??????????????????????3分
2

∵由 y ? ?x ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1) ? 4 ∴D(1,4) ??????????????????????4分 (2)∵四边形AEBF是平行四边形, ∴BF=AE. ????????????????5分 设直线BD的解析式为: y ? kx? b ,则 ∵B(0,3),D(1,4) ∴

3?b 4? k ?b

解得:

k ?1 b?3
?????7分

∴直线BD的解析式为: y ? x ? 3

当y=0时,x=-3 ∴E(-3,0), ∴OE=3, ∵A(-1,0) ∴OA=1, ∴AE=2 ∴BF=2, ∴F的横坐标为2, ∴y=3, ∴F(2,3);??????????????9分 (3)如图,设Q (a,?a ? 2a ? 3) ,作PS⊥x轴,QR⊥x轴于点S、R,且P(2,3),
2

∴AR= a +1,QR= ? a ? 2a ? 3 ,PS=3,RS=2-a,AS=3 ??10分
2

∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA

( PS ? QR) AR ? QR PS ? AS ? RS ? ? 2 2 2 = ?????????11分
(3 ? a 2 ? 2a ? 3) (a ? 1) ? (?a 2 ? 2a ? 3) 3 ? 3 ? ( 2 ? a) ? ? 2 2 2 =

3 3 ? a2 ? a ? 3 2 ∴S△PQA= 2 3 1 27 ? ? (a ? ) 2 ? 2 2 8 a?

???????????????????12分

∴当

1 27 2 时,S△PQA的最大面积为 8 ,?????????????????13分

1 15 ( , ) 此时 Q 2 4

???????????????????????????14 分

4、解:(1)过 P 作 PD ? BC 交 BC 于 D ,

由题意得: PA ? PB ? PC ? 2 , PD ? OA ? 3 ∴ BD ? CD ? 1 , ∴ OB ? 1 ∴ A(0, 3 ) , B(1,0) , C(3,0) ???????????????3分 (2)设该抛物线解析式为: y ? a(x ?1)(x ? 3) ,则有
3 ? a (0 ? 1)( 0 ? 3) 解之得

a?

3 3

故该抛物线的解析式为

y?

3 ( x ? 1)( x ? 3) 3 ??????????3分

(3)存在?????????????????????????1分 ∵ ?BDP ? 90? , BD ? 1, BP ? 2



cos ?DBP ?

BD 1 ? BP 2

∴ ?DBP ? 60? ????????????????????1分 ∴ ?BPA ? 60? ∴ ?ABP 与 ? BPC 都是等边三角形 ∴ S四边形ABCP ? 2S?ABP ? 2S?BCP ??????????????1分 ∵ B(1,0) , P ( 2, 3 ) ∴过 B, P 两点的直线解析式为: y ? 3 x ? 3 ???????1分 则可设经过点 A 且与 BP 平行的直线解析式为: y ? 3 x ? b1 且有 3 ? 3 ? 0 ? b1 解之得 b1 ? 3 即 y ? 3 x ? 3

? y ? 3x ? 3 ? ?x ? 0 ?x ? 7 ? 3 或? ? ( x ? 1)( x ? 3) ?y ? y ? 3 ?y ? 8 3 3 解方程组 ? 得?
也可设经过点 C 且与 BP 平行的直线解析式为: y ? 3 x ? b2

且有 0 ? 3 3 ? b2 解之得 b2 ? ?3 3 即 y ? 3 x ? 3 3

? y ? 3x ? 3 3 ? ?x ? 3 ?x ? 4 ? 3 ( x ? 1)( x ? 3) ? y ? 0或? y ? 3 ?y ? ? 3 解方程组 ? 得?
∴ Q(0, 3 ), (7,8 3 ), (3,0), (4, 3 ) ?????????????4分
B ? 0,,D ?1,? 1? 0

y?
的坐标代入

6、(1)解:

1 2 x ? bx ? c 2

?c ? 1 ? ? 1 1 3 y ? x2 ? x ? 1 ?b ? c ? 2 ? 0 ? 2 2 得解析式 ???????????????????3分
(2)解:设

C ? x0,y0 ?

,则有:

1 ? ? y0 ? 2 x0 ? 1 ? ? ? x0 ? 4 ? y ? 1 x 2 ? 3 x ?1 ? 3 ? 0 2 0 2 0 解得 ? y0 ? 3 ,? C ? 4,? .????????????????6分 ?
过点 C 作 CG ? y 轴于点 G ,则点 G 坐标为: G(0,3) , CG ? 4, BG ? 2 . ?????7分 在直角三角形 BGC 中,由勾股定理得: BC ?

BG 2 ? CG 2 ? 20 ? 2 5 ????8分

由图可知:

S ? S△ ACB ? S△ ABD

x?
又由对称轴为

3 0 2 可知 E ? 2,? ?????????9分

?S ?

1 1 1 1 9 AE y0 ? AD ? OB ? ? 4 ? 3 ? ? 3 ?1 ? · 2 2 2 2 2 ?????????????10分
P ? a,? 0
.?????????11分

(3)解法一:假设在 x 轴上符合条件的点 P 存在,设

如图,过点 C 作 CF ? x 轴于 F .则点 F 坐标为: F (4,0) ,由勾股定理得:

PB 2 ? a 2 ? 12 , PC 2 ? (4 ? a)2 ? 32 , 20 ? BC 2 ? PB 2 ? PC 2 ?????????12分 ? a 2 ? 12 ? (4 ? a)2 ? 32 ? 20 ,整理得 a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ,????????????13分
解得 a ? 1 或 a ? 3 ???????????????????????????13分

0 0 1 ?在 x 轴上所求的点 P 的坐标为 P ?1,? 或 P2 ? 3,? ?????????????13分
在 y 轴上符合题意的点是 G(0,3) ?????????????????????14分 综上所述:满足条件的点 P 共有3个. ??????????????????14分 评分说明:遗漏 G(0,3) 扣1分, (3)解法二:假设在 x 轴上符合条件的点 P 存在,设

P ? a,? 0

.????????11分

如图,过点 C 作 CF ? x 轴于 F .则点 F 坐标为: F (4,0) ,

? Rt△BOP ∽ Rt△PFC, ?

BO OP ? , PF CF ?????????????????12分

1 a ? 2 即 4 ? a 3 ,整理得 a ? 4a ? 3 ? 0 ,??????????????????13分
解得 a ? 1 或 a ? 3 ????????????????????????????13分

0 0 1 ?在 x 轴上所求的点 P 的坐标为 P ?1,? 或 P2 ? 3,? ?????????????13分
在 y 轴上符合题意的点是 G(0,3) ?????????????????????14分 综上所述:满足条件的点 P 共有3个 ???????????????????14分 7、解:(1)

四边形 ABCO 是平行四边形,

∴OC=AB=4,

抛物线

过点 B,∴c=2.

由题意,有

解得

所求抛物线的解析式为

(2)将抛物线的解析式配方,得 ∴抛物线的对称轴为 x=2,

欲使四边形

为等腰梯形,

则有 OP=QE,即 BP=FQ,

(3)欲使以点 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形相 似,

有 即 PB=OQ 或 OB =PB·QO.
2



①若 P、Q 在 轴的同侧.当 BP=OQ 时, =





时,



解得

②若

在 轴的异侧.当 PB=OQ 时,

,∴t=4.

当 OB =PB·QO 时,
2

,即

,解得

,故舍去,

∴当







秒时,以 P、B、O 为顶点的三角形与

以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似.
8、解:(1)∵点 B 与 O(0,0)关于 x=3 对称, ∴点 B 坐标为(6,0). 将点 B 坐标代入 y ? ax ? 2 x 得:
2

36 a +12=0, ∴a=?

1 . 3 1 2 x ? 2 x .??????????2 分 3

∴抛物线解析式为 y ? ?

当 x =3 时, y ? ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ,
2

1 3

∴顶点 A 坐标为(3,3). ??????????3 分 (说明:可用对称轴为 x ? ? (2)设直线 AB 解析式为 y=kx+b. ∵A(3,3),B(6,0), ∴?

b ,求 a 值,用顶点式求顶点 A 坐标.) 2a

?6k ? b ? 0 ? 3k ? b ? 3

解得 ?

? k ? ?1 , ?b?6

∴ y ? ?x ? 6 .

∵直线 l ∥AB 且过点 O, ∴直线 l 解析式为 y ? ?x . ∵点 p 是 l 上一动点且横坐标为 t , ∴点 p 坐标为( t , ?t ).??????????4 分 当 p 在第四象限时(t>0),

S ? S? AOB ? S? OBP
=12×6×3+ =9+3 t . ∵0<S≤18, ∴0<9+3 t ≤18, ∴-3< t ≤3. 又 t >0, ∴0< t ≤3.5 分 当 p 在第二象限时( t <0), 作 PM⊥ x 轴于 M,设对称轴与 x 轴交点为 N. 则

1 ×6× ?t 2

S ? S梯形ANMP +S? ANB -S? PMO 1 1 1 ?3+(-t)??(3 ? t ) ? ? 3 ? 3 ? (?t )(?t ) 2 2 2 1 9 1 ? (t ? 3) 2 ? ? t 2 2 2 2 =
=-3 t +9. ∵0<S≤18, ∴0<-3 t +9≤18, ∴-3≤ t <3. 又 t <0, ∴-3≤ t <0.6 分
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∴t 的取值范围是-3≤ t <0 或 0< t ≤3. (3)存在,点 Q 坐标为(3,3)或(6,0)或(-3,-9).9 分 (说明:点 Q 坐标答对一个给 1 分) 9、解:(1)设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 5) ?
2

25 4

?抛物线过原点, 25 1 ? 0 ? a(0 ? 5)2 ? ,即 a ? ? 4 4 1 2 5 ?y ? ? x ? x 4 2 (2)当 x ? 2 或 x ? 8 时,

1 5 x ? ? ? 22 ? ? 2 ? 4 4 2 4 ? 0.5 ? 3.5 ?该隧道能让两辆厢式货车并列行驶
(3)Ⅰ.如图,在抛物线内作矩形 ABCD ,设点 C 的坐标为 ( x,y),

1 2 5 x ? x 4 2 1 5 l ? 2( AB ? BC ) ? 2(2 x ? 10 ? x 2 ? x) 4 2 1 2 1 41 = ? x ? 9 x ? 20 ? ? ( x ? 9) 2 ? 2 2 2 b 9 当x?? ?? ?9 1 2a ?2 ? 2 41 l最大 ? 2
则 AB ? 2x ?10 , BC ? y ? ? Ⅱ.存在.这样的点有四个

1 5 ? ? P 点在直线 y ? x 上,设 P( x,x) Q( x, x 2 ? x) 4 2
(A)当 ?PQ1 N ? 90° 时, 1

1 5 Q 点在 OM 的上方时,此时 PQ1 ? NQ1,PQ1 ? ? x 2 ? x ? x,Q1 N ? 5 ? x 1 1 4 2 1 5 Q 点在 OM 的下方时,此时 P2Q2 ? NQ2,P2Q2 ? x ? (? x 2 + x),Q2 N ? x ? 5 4 2 1 5 ? x 2 ? x ? 5 ? 0 即 x 2 ? 10 x ? 20 ? 0 . 4 2
解得 x ? 5 ? 5

? P (5 ? 5,? 5) ,P2 (5 ? 5,? 5) 5 5 1
(B)当 ?P NQ3 ? 90° 时,过点 Q3 作 Q3 K1 垂直于对称轴. 3 当 △NQ3 K1 为等腰直角三角形时, △NQ3 P 为等腰直角三角形 3

1 5 Q 点在 OM 的上方时, PQ3 ? 2Q3 K1 ,PQ3 ? ? x 2 ? x ? x,Q3 K1 ? 5 ? x 3 3 4 2 1 5 Q 点在 OM 的下方时, P4Q4 ? 2Q4 K 2 ,P4Q4 ? x ? (? x 2 ? x),Q4 K 2 ? x ? 5 4 2 1 2 7 ? x ? x ? 10 ? 0 即 x 2 ? 14 x ? 40 ? 0 . 4 2 解得 x ? 4 或 x ? 10

? P3 (4, P4 (10, 4) 10)
(C)因为 ?NPQ ? 45° ,所以不可能以 P 为直角顶点,综上所述,存在这样的点有四个,

5 5 4) 10) 它们的坐标分别是 P (5 ? 5,? 5),P2 (5 ? 5,? 5) , P (4,,P4 (10, 1 3
10、解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax +bx+c(a≠0),则有
2

1 ? ?16a ? 4b ? c ? 0, ? ?a ? 2 , 解得 ? ?c ? ?4, ?4a ? 2b ? c ? 0. ?b ? 1, ? ?c ? ?4. ? 1? ∴抛物线的解析式 y= x2+x﹣4 ------3 分 2 (2)过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D.设 M 点的坐标为(m,n). 1 则 AD=m+4,MD=﹣n,n= m2+m-4 . ------4 分 2 ∴S = S△AMD+S 梯形 DMBO-S△ABO 1 1 1 = ( m+4) (﹣n)+ (﹣n+4) (﹣m) - ×4×4 2 2 2 = ﹣2n-2m-8 1 = ﹣2( m2+m-4) -2m-8 2 = ﹣m2-4m (-4< m < 0) ------6 分 2 =-(m+2) +4 ∴S 最大值 = 4 ------7 分 (3)满足题意的 Q 点的坐标有四个,分别是:(-4 ,4 ),(4 ,-4), ------8 分

( -2+ 2 5 , 2 - 2 5 ) , ( -2 - 2 5 , 2 + 2 5 ) ------10 分

11、

12、解:(1)已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 经过 A(1,0),B(0,2), ∴ ?0 ? 1 ? b ? c 解得 ?b ? ?3 ? ?
?2 ? 0 ? 0 ? c ?c ? 2

∴所求抛物线的解析式为 y ? x 2 ? 3x ? 2 . (2)∵A(1,0),B(0,2),∴OA=1,OB=2 可得旋转后 C 点的坐标为(3,1) 当 x=3 时,由 y ? x 2 ? 3x ? 2 得 y=2, 可知抛物线 y ? x 2 ? 3x ? 2 过点(3,2) ∴将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C. ∴平移后的抛物线解析式为: y ? x 2 ? 3x ? 1 .

(3 分)

(7 分)

2 (3)∵点 N 在 y ? x 2 ? 3x ? 1 上,可设 N 点坐标为( x 0 , x 0 ? 3x 0 ? 1 )

(x 将 y ? x 2 ? 3x ? 1 配方得 y ? ? ) 2 ?

3 2

5 3 .∴其对称轴为 x ? . 4 2

6分

①当 0< x 0 <

3 时,如图①, 2

y

∵S ?NBB1 =2S ?NDD1 ∴ ? 1? x 0 ? 2 ? ? 1? ( ? x 0 )
2 ∴ x 0 =1.此时 x 0 ? 3x 0 ? 1 ? ?1

1 2

1 2

3 2

B B1 O C D N D 1 图① x

A

∴N 点的坐标为(1,-1).

(10 分)

②当 x 0 >

3 时,如图② 2 1 2 1 2 3 2

同理可得 ? 1 ? x 0 ? 2 ? ? 1 ? ( x 0 ? ) ∴ x 0 =3.
2 此时 x 0

y

? 3x 0 ? 1 ? 1

∴点 N 的坐标为(3,1). 综上,点 N 的坐标为(1,-1)或(3,1). (13 分) B1 O

B N C x

A D D1 图②

13、(1)由已知,可求:OA=1,OB=3,OC=3.

设抛物线的函数关系式为 y=a(x+1)(a-3). ∵抛物线与 y 轴交于点 C (0,3),

∴3=a×1×(-3), 解得:a=-1. 所以二次函数式为 y=-x2+2x+3.??????????(3 分) (2)由 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 则顶点 P(1,4).共分两种情况: ①由 B、C 两点坐标可知,直线 BC 解析式为 y=-x+3. 设过点 P 与直线 BC 平行的直线为:y=-x+b, 将点 P(1,4)代入,得 y=-x+5. 则直线 BC 代入抛物线解析式是否有解,有则存在点 Q, y
P

-x2+2x+3=-x+5, 解得 x=1 或 x=2. 代入直线则得点(1,4)或(2,3). 已知点 P(1,4),
Q A

C M

Q

B O x Q

所以点 Q(2,3).????(6 分) ②由对称轴及直线 BC 解析式可知 M(1,2),PM=2, 设过 P′(1,0)且与 BC 平行的直线为 y=-x+c, 将 P′代入,得 y=-x+1.

? y ? ?x ?1 联立 ? , 2 ? y ? ?x ? 2x ? 3
? ? 3 ? 17 3 ? 17 ?x ? ?x ? ? ? 2 2 解得 ? 或? . ? y ? ?1 ? 17 ? y ? ?1 ? 17 ? ? ? 2 ? 2

∴Q(2,3)或 Q(



)或 Q(



).

????????????????????????(10 分)

(3)由题意求得直线 BC 代入 x=1, 则 y=2. ∴M(1,2).由点 M,P 的坐标可知:
A

y C

P

R M B O x

点 R 存在,即过点 M 平行于 x 轴的直线, 则代入 y=2,x2-2x-1=0, 解得 x1=1- 2 (在对称轴的左侧,舍去), x2= 1 ? 2 , 即点 R( 1 ? 2 ,2).????????????????(13 分)

圆新题
1、如图,在△ABC 中,点 D 在 AC 上,DA=DB,∠C=∠DBC,以 AB 为直径 的 ⊙O 交 AC 于点 E,F 是 ⊙O 上的点,且 AF=BF. (1)求证:BC 是 ⊙O 的切线; 3 A (2)若 sinC= ,AE= 3 2 ,求 sinF 的值和 AF 的长.

5

E F O D

B C 2.如图,已知 △ABC ,以 BC 为直径, O 为圆心的半圆交 AC 于点 F ,点 E 为弧 CF 的 中点, 连接 BE 交 AC 于点 M ,AD 为△ABC 的角平分线, AD ? BE , 且 垂足为点 H . (1)求证: AB 是半圆 O 的切线; (2)若 AB ? 3 , BC ? 4 ,求 BE 的长.
A F A M A D O AA H A

E A C A

B

3、两个大小不同的球在水平面上靠在一起,组成如图 2 所示的几何体,则该几何体的左视

图是(

). B.两个外切的圆 D.两个内切的圆

A.两个外离的圆 C.两个相交的圆

4、如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱组成,小刚准备画出它的三视图, 那么他所画的三视图中的俯视图应该是( A.两个相交的圆 C.两个外切的圆 )

B.两个内切的圆 D.两个外离的圆
主视方向 第 8 题图

1. (1)证明:∵DA=DB, ∴∠DAB=∠DBA. 又∵∠C=∠DBC, ∴∠DBA﹢∠DBC=

1 ? 180 ? ? 90? . 2

∴AB⊥BC. 又∵AB 是 ⊙O 的直径, ∴BC 是 ⊙O 的切线. ?????????????????????2 分 (2)解:如图,连接 BE, ∵AB 是 ⊙O 的直径, ∴∠AEB=90° . A ∴∠EBC+∠C=90° . E ∵∠ABC=90° , D F O ∴∠ABE+∠EBC=90° . ∴∠C=∠ABE. B C 又∵∠AFE=∠ABE, ∴∠AFE=∠C. ∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC. ∴sin∠AFE=

3 . ?????????????????????????3 分 5

连接 BF, ∴ ?AFB ? 90? . 在 Rt△ABE 中, AB ?

AE ? 5 2 . ??????????????4 分 sin ?ABE

∵AF=BF, ∴ AF ? BF ? 5 . ?????????????????????????5 分

2、(1)连结 CE,过程略; (2)∵ AB ? 3 , BC ? 4 . 由(1)知, ?ABC ? 90? ,∴ AC ? 5 . 在 △ABM 中, AD ? BM 于 H , AD 平分 ?BAC , ∴ AM ? AB ? 3 ,∴ CM ? 2 . 由 △CME ∽ △BCE ,得 ∴ EB ? 2EC , ∴ BE ?

EC MC 1 ? ? . EB CB 2

8 5 5


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