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浙江省杭州高级中学2013-2014学年高一下学期期中数学试题


杭高 2013 学年第二学期高一数学试卷
注意事项: 1.本试卷考试时间为 90 分钟,满分为 100 分。 2.本试卷考试过程中不得使用计算器,答案一律做在答卷页上. 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的). 1.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ?

3 2 ,则 AC ? A. 4 3 B. 2 3 C. ? D.

? ?

2. ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 sin B ? 1 ,向量 p ? (a,b) ,

2 ) ,若 p // q ,则角 A 的大小为 q ? ( 1,
6 3 2 3.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |?
A. 5 B. 10 C. 2 5 A.

?

B.

?

C.

?

D.

2? 3

D. 10

4. ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, ( BA ? BC ) ? AC ? 0 ,则 ?ABC 一定是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.非等边锐角三角形 D.钝角三角形 5.已知数列 {an } 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a5 ? a 6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为 A. 7 B. ? 5 C. 5 D. ? 7

6.已知 sin 2? ? A.

1 3

1 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? 3 4 1 2 B. ? C. 3 3

D. ?

2 3

7.已知正项数列{an}满足 a1=1,(n+2)an+12-(n+1)a2 n+anan+1=0,则它的通项公式为 1 2 A.an= B.an= n+1 n+1 n+1 C.an= D.an=n 2 8.如图,两块全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形拼在一起, 若 AD ? ? AB ? k AC ,则 ? ? k ? A. 1 ?
? ? ?

2

B. 2 ? 2

C.2

D. 2 ? 2

9. 已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n 且满足 S 17 ? 0, S 18 ? 0 ,则 最大的项为 A.

S1 S 2 S , , ? , 17 中 a1 a 2 a17
D.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

S9 a9

-1-

10.对任意两个非零的平面向量 ? , ? ,定义 ? ? ?

? ?? .若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , ? ??

?n ? ? ?? a 与 b 的夹角 ? ? ? 0, ? ,且 a b 和 b a 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 b a ? ?2 ? ? 4? 1 3 5 A. B. 1 C. D. 2 2 2
二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,请将答案填在题中的横线上) 11. tan 70 ? ? tan 50 ? ? 3 tan 70 ? tan 50 ? 的值等于_____________. 12.在等差数列{an}中,a1=-7, a7 ? ?4 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值为_______. 13.公比 q 不为 1 的等比数列 ?a n ? 满足 an ? 2 ? an ?1 ? 2an (n ? N* ) ,则 q ? _______. 14.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =_______. 公式 an ? _______. 16.圆 O 的半径为 2, ?ABC 是其内接三角形, BC ? 3 ,则 AC ? AB 的最大值为_______.
2 2

15.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若数列 ?S n ? 是首项和公比都是 3 的等比数列,则 {an } 的通项

17 . 设 等 比 数 列 的 公 比 为 q , 其 前 n 项 的 积 为 Tn , 并 且 满 足 条 件

a1 ? 1 , a99 a100 ? 1 ? 0 .

a99 ? 1 ? 0, a100 ? 1 给出下列结论:① 0 ? q ? 1 ; ② a99 a101 ? 1 ? 0 ;

T100 的值是 Tn 中最大的; ③ ④使 Tn ? 1 成立的最大自然数等于 198. 其中正确的结论是_______. 三.解答题(本大题共 4 小题,共 42 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 18 . ( 本 小 题 满 分 8 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足

c sin A ? a cos C (1)求角 C 的大小;
(2)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A 的大小.

-2-

19. (本小题满分 10 分) 设 ?an ? 是各项都为正数的等比数列,?bn ? 是等差数列, 且 a1 ? b1 ? 1 ,

a3 ? b5 ? 13 , a5 ? b3 ? 21 . (1)求数列 {a n } , ?bn ? 的通项公式; (2)求数 {an bn } 列前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 向量
? ? ? ? 3 m ? ?cos? A ? B ?, sin ? A ? B ?? , n ? ?cos B,? sin B ? ,且 m? n ? ? . 5 (1)求 sin A 的值;

(2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求角 B 的大小及向量 BA 在 BC 方向上的投影.

?? ?

?? ?

-3-

21. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的相邻两项 an , an ?1 是关于 x 的方程

x 2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N ? ) 的两根,且 a1 ? 1 .

1 n? ? 2 ? 是等比数列; 3 ? (2)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求 S n
(1)求证:数列 ? an ? ; (3)问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ? S n ? 0 对任意 n ? N ? 都成立,若存在,求出 ? 的取 值范围; 若不存在,请说明理由.

? ?

-4-

杭高 2013 学年第二学期期中考试高一数学答卷页
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1 …………………………………装……………………………………订………………………线……………………………………… 2 3 4 5 6 7 8 9 10

试场号_________ 座位号________ 班级_________ 姓名____________ 学号_________

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 14. 17. 12. 15. 13. 16.

-5-

三.解答题(本大题共 42 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本题满分 8 分)

19. (本题满分 10 分)

座位号

-6-

20. (本题满分 10 分)

-7-

21.(本题满分 14 分)

-8-

-9-


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