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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)课件:第7章 第2节 基本不等式


成才之路 · 数学
人教A版 · 高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第七章
不等式

第七章

不等式

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/>第七章
第二节 基本不等式

第七章

不等式

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第七章

不等式

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自主预习学案

第七章

不等式

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1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

第七章

不等式

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基本不等式是高考的热点,主要考查利用基本不等式求最

值,恒成立问题等,以客观题为主,在大题中一般作为工具出
现.

第七章

不等式

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1 .基 本 不 等 式 : 对 任 意 当 且 仅 当 a=b 时 取 等 号 .

a、b∈_ _ _ _ _ _

R+

a+b ,有 2 ≥ a b成 立 , x=y 时 ,x x=y 时 ,

1 ( ) x、y∈(0, + ∞), 且 xy=P(定 值 ), 那 么 当

小 +y 有 最_ _ _ _ _ _

值 2 P. S2 值4.

2 ( ) x、y∈(0, + ∞), 且 x+y=S(定 值 ), 那 么 当

大 xy 有 最_ _ _ _ _ _

第七章

不等式

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2.用“<、>、≤、≥或=”填空 1 ( ) 含 绝 对 值 的 不 等 式 ||a|-|b _ _ |_ |_ _ _ | ≤ a± b_ _ |_ _ _ _ | ≤ a|+|b|, a+m a > 2 ( ) ______b(b>a>0,m> 0 ) . b+m

第七章

不等式

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1 ( . 文2 ( ) 0 1 3 · 立 的( )

株 洲 联 考

a+b )“a>0 且 b>0”是“ 2 ≥ a b ”成 B. 必 要 不 充 分 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

A. 充 分 不 必 要 条 件 C. 充 要 条 件

[答案] A

a+b [解析] a>0 且 b>0 时, 2 ≥ ab成立; a+b 当 a=2,b=0 时, 2 ≥ ab也成立,故选 A.
第七章 不等式

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(理2 ( ) 0 1 4 · b<0”的( )

河 北 教 学 质 量 检 测

a2+b2 )“ a b ≤-2”是“a>0 且 B. 充 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

A. 必 要 不 充 分 条 件 C. 充 分 不 必 要 条 件

[答案] A

第七章

不等式

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[解析] ∵(a+b)2≥0,∴a2+b2≥-2ab, a2+b2 当 ab<0 时, ab ≤-2, a2+b2 故当“a>0,b<0”时, ab ≤-2, a2+b2 又“a<0,b>0”时,亦有 ab ≤-2,故选 A.

第七章

不等式

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2.2 ( 0 1 4 ·

江 南 十 校 联 考

)已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项 )

1 1 是 1,且 m=b+a,n=a+b,则 m+n 的最小值是( A.3 C.5
[答案] B

B.4 D.6

[ 解析 ]

1 1 由已知得 ab = 1 , m + n = a + b + a + b = 2(a +

b)≥4 ab=4,当且仅当 a=b=1 时,m+n 取得最小值 4.故选 B.

第七章

不等式

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3. (文2 ( ) 0 1 4 · 4 A.3 C.2

浙 江 十 校 联 考 ( )

)若 正 数 x, y满 足 4x2+9y2+3xy 5 B.3 5 D.4

=3 0, 则 xy 的 最 大 值 是

[答案] C
[解析] 由条件得,30=4x2+9y2+3xy≥12xy+3xy=15xy,∴ ?x= 3, ? ∴? 2 3 时 xy 取得最大值 2. y= 3 . ? ?
第七章 不等式

? ?2x=3y, xy≤2.等号成立时,? ? ?xy=2,

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(理2 ( ) 0 1 3 · 的最大值为( 1 A.2 C.2

宁波模拟)若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab ) B.1 D.4

[答案] A

[解析] ∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2 2ab,即 1 1 ab≤2.当且仅当 a=1,b=2时等号成立.

第七章

不等式

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4.(文)某 车 间 分 批 生 产 某 种 产 品 8 0 0 元 . 若 每 批 生 产 每 天 的 仓 储 费 用 为 A.6 0 件 C.1 0 0 件

, 每 批 的 生 产 准 备 费 用 为 x , 且 每 件 产 品 8天 ( B.8 0 件 D.1 2 0 件 )

x件 , 则 平 均 仓 储 时 间 为

1元 . 为 使 平 均 到 每 件 产 品 的 生 产 准 备 费 用

与 仓 储 费 用 之 和 最 小 , 每 批 应 生 产 产 品

[答案] B

第七章

不等式

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[解析] 由 题 意 知 仓 储 x 800 费用为 y=8+ x ≥2 立.

x2 x 件需要的仓储费为 8 元 , 所 以 平 均 x 800 8× x =20,当且仅当 x=80 等号成

第七章

不等式

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(理)(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产,
据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万 元 ) 与 机 器 运 转 时 间 x( 单 位 : 年 ) 的 关 系 为 y = - x2 + 18x - 25(x∈N*) ,则当每台机器运转 ________ 年时,年平均利润最 大,最大值是________万元.

[答案] 5 8
[解析] y 每台机器运转 x 年的年平均利润为 x =18-(x +

25 y x ),而 x>0,故x≤18-2 25=8,当且仅当 x=5 时等号成立, 此时年平均利润最大,最大值为 8 万元.
第七章 不等式

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典例探究学案

第七章

不等式

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利用基本不等式比较大小

( 文 ) 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和
b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )

A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2
[答案] A

B.v= ab a+b D.v= 2

第七章

不等式

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2ab 2ab [解析] v=1 1= < = ab, a+b 2 ab a+b 2ab-a2-ab ab-a2 a2-a2 2ab 因为 v-a= - a= = > =0, a+b a+b a+b a+b 2ab 所以 >0,故选 A. a+b

2

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不等式

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( 理) 已 知 b>a>0, 且 a+b=1, 那 么 ( a4-b4 a+b A.2a b< < 2 <b a-b a+b a4-b4 B.2a b< 2 < <b a-b a4-b4 a+b C. <2a b < 2 <b a-b a+b a4-b4 D.2a b < 2 <b< a-b

)

[答案] B

第七章

不等式

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2 ? a + b ? a+b 1 [解 析 ] ∵b>a>0, a+b=1, ∴b>2, ∴2a b< 2 = 2 , 2 4 4 4 4 ? a + b ? a - b a + b a - b 1 且 a2 + b2> 2 = 2 . ∴ = (a+ b)(a2 + b2)> 2 . 又 a-b a-b

-b=a2+b2-b=2b2-3b+1=(1-b)(1-2b< )0 . 故 应 选 B.

第七章

不等式

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[方法总结]

1.比较代数式的大小可以作差后因式分解 (或

配方)讨论符号,也可以作商比较或用基本不等式比较. 2.应用基本不等式时 (1)若满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)若不具备基本不等式的条件,则需要对式子进行恒等变

形创造条件,如“1”的代换等.
(3)若可用基本不等式,但等号不成立,则改用函数单调性 求解. 3.有关不等式的命题真假判断可用特值法.

第七章

不等式

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2 ( 0 1 4 ·

四 川 成 都 七 中 二 诊 )

)设 a>0,b>0, 则 以 下 不 等 式 中

不 .

恒 成立 的 是 ( ..

1 1 A.(a+b)(a+b)≥4 B.a3+b3≥2a b
2

C.a2+b2+2≥2a+2b D. |a-b|≥ a- b

[答案] B
第七章 不等式

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[解 析 ] ∵a>0,b>0, 1 1 ∴(a+b)(a+b)≥2 a b· 2 无 法 确 定 正 负 , 故 B不 恒 成 立 ; a≥b, 则( |a-b|)2 D 恒 11 故 A恒 成 立 ; a· b=4,

∵a3+b3-2a b 2=a3-a b 2+b3-ab2=(a-b)(a2+a b -b2), a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1 ) 2+(b-1 ) 2≥0, 故 C恒 成 立 ; 若 a<b, 则 |a-b|≥ a- b恒 成 立 , 若 成 立 . 综 上 可 知 选 B. -( a- b)2=2 a b ≥0,∴ |a-b|≥ a- b恒 成 立 , 故

第七章

不等式

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利用基本不等式求最值
2 3 (1)已知x +y =2(x>0,y>0),求 xy 的最小值. (2)若 x、y∈R ,且 2x+8y-xy=0.求 x+y 的最小值.


[分析] (1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解. (2)可消去一个变量, 将 x+y 用一个变量表示, 再配凑出能 运用基本不等式的条件.
2 3 [解析] (1)x +y ≥2 =2,y=3 时成立) 故 xy 的最小值为 6.
第七章 不等式

6 xy,∴2

6 xy≤2,∴xy≥6.(等号在 x

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2 ( ) 由 2x+8y-xy=0 得 y(x-8 ) =2x. 2x ∵x>0,y>0,∴x-8 > 0 ,y= . x-8 ?2x-1 6 ?+16 2x u=x+y=x+ =x+ x-8 x-8 1 6 =(x-8 )+ +1 0 ≥2 x-8 1 6 ?x-8?· +1 0 =1 8 . ?x-8?

1 6 等 号 在 x-8= 即 x=1 2 ,y=6 时 成 立 . x-8 ∴x+y 的 最 小 值 为 1 8 .

第七章

不等式

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[ 方法总结 ]

1. 创设运用基本不等式的条件,合理拆分项

或配凑因式,或者乘上或加上一个数,“1”的代换等,其目的 在于使等号能够成立. 既要记住基本不等式的原始形式,而且还要掌握它的变形 形式及公式的逆用等.

2 .求条件最值的问题,基本思想是借助条件化二元函数
为一元函数,代入法是最基本的方法,代换过程中应密切关注 字母隐含的取值范围,有时也可用三角代换的方法. 3 .利用已知条件构造不等式,然后通过解不等式求得表 达式的取值范围,从而得到最值也是部分问题中采用的方法.
第七章 不等式

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1 3 (文)(2014· 河南信阳第五次月考)已知 a>0,b>0,a+b=1, 则 a+2b 的最小值为( A.7+2 6 C.7+2 3
[答案] A

) B.2 3 D.14

第七章

不等式

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[ 解析 ] 2 6,

1 3 3a 2b ∵ a + 2b = (a + 2b)( a + b ) = 1 + b + a + 6≥7 +

3a 2b ∴a+2b 的最小值为 7+2 6.当且仅当 b = a 时取等号.

第七章

不等式

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(理2 ( ) 0 1 4 · A.2 2 C.1 2

安 徽 五 模

)已 知 向 量 ( )

a=(x-1 2 , )

,b=(4,y),若 a

⊥b, 则 9x+3y 的 最 小 值 为

B.4 D.6

[答案] D

[解析] 由 a⊥b 得 a· b=0,即(x-1,2)· (4,y)=0,∴2x+y =2. 则 9x+3y=32x+3y≥2 32x· 3y=2 9=6,当且仅当 32x=3y 1 即 x=2,y=1 时取等号.
第七章 不等式

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利用基本不等式证明不等式
1 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+a)(1+b)≥9.

[分析]

待证式左边展开就是 ab的表达式,故可由条件先

求 ab 的取值范围,再求关于 ab 的函数的值域;注意到 a + b =
1 ,也可以消去一个未知数展开整理,或对分子进行“ 1 的代 换”,再展开证明.

第七章

不等式

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[证 明 ] 因为 a>0,b>0,a+b=1, a+b 1 b 所 以 1+a=1+ a =2+a. 1 a 同 理 1+b=2+b. 1 1 所 以 (1+a)(1+b) b a =(2+a2 ( · ) +b) b a =5+2 ( a+b)≥5+4=9 . 1 1 1 所 以 (1+a)(1+b)≥9 (当 且 仅 当 a=b=2时 等 号 成 立

).

第七章

不等式

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[方法总结]

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不

等式的一种类型,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件 出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最

后转化为需证问题.

第七章

不等式

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1 1 设 a、b 均为正实数,求证:a2+b2+ab≥2 2.

[证明] 由于 a、b 均为正实数, 1 1 所以a2+b2≥2 1 1 2 a2· b2=ab,

1 1 当且仅当a2=b2时等号成立,

第七章

不等式

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2 又 因 为 a b ≥2 b +a 当 且 仅 当

2 a b =2 2, a b·

2 b 时 等 号 成 立 , a b =a

1 1 所 以 a2+b2+a b ≥2 2, ?1 1 ?a2=b2, ? ? 2 =a b, b ?a 4

当 且 仅 当

即 a=b= 2时 取 等 号 .

第七章

不等式

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基本不等式的实际应用 ( 文 ) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值 为50元的书桌共 36张,每批都购入 x张(x 是正整数 ),且每批均 需付运费40元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购 入书桌的总费用(不含运费)成正比.若每批购入4张,则该月需 用去运费和保管费共400元.现在全月只有240元资金可以用于

支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你 的结论,并说明理由.
第七章 不等式

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k, 若 每 批 购 入 x张 , 则 共 需 3 6 3 6 , 每 批 费 用 为 5 0 x元 , 由 题 意 得 f ( x) = x 4 · 0 +k5 · 0 x. x批 1 由 f4 ( ) =4 0 0 得 , k=5. 1 4 4 0 ∴ f ( x ) = x +1 0 x0 ( < x≤3 6 ,x∈N*). 1 4 4 0 2 ( ) 由1 ( ) 知 f(x)= x +1 0 x0 ( < x ≤3 6 ,x∈N*), 1 4 4 0 1 4 4 0 ∴ f(x)≥2 0 x=2 4 0 ,当且仅当 x = 1 0 x ,即 x x ×1 =1 2 时 , 等 号 成 立 . 故 只 需 每 批 购 入 1 2 张 书 桌 , 可 以 使 资 金 够 用 .
第七章 不等式

[解 析] 1 ( ) 设 题 中 比 例 系 数 为

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( 理 ) 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉 6t ,

每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨
每天3元,购买面粉每次需支付运费900元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的 总费用最少? (2) 若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210t

时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利
用此优惠条件?请说明理由.

第七章

不等式

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[解 析] 1 ( ) 设 该 厂 应 每 隔 6xt.由 题 意 知 , 面 粉 的 保 管 等 其 他 费 用 为

x 天 购 买 一 次 面 粉 , 其 购 买 量 为

3 6 [ x+6 ( x-1 ) +?+6×2+6×1 ] =9x(x+1 ). 设 平 均 每 天 所 支 付 的 总 费 用 为 y1 元 , 则 1 y1=x [9x(x+1 ) +9 0 0 ] +6×1 8 0 0 9 0 0 9 0 0 = x +9x+1 0 8 0 9 ≥2 9x+1 0 8 0 9 =1 0 9 8 9 . x · 9 0 0 当 且 仅 当 9x= x , 即 x=1 0 时 取 等 号 . 即 该 厂 应 每 隔 1 0 天 购 买 一 次 面 粉 , 才 能 使 平 均 每 天 所 支 付 的 总 费 用 最 少 .
第七章 不等式

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2 ( ) 若 厂 家 利 用 此 优 惠 条 件 , 则 至 少 每 隔 粉 . 设 该 厂 利 用 此 优 惠 条 件 后 , 每 隔 平 均 每 天 支 付 的 总 费 用 为 1 y2=x [9x(x+1 ) +9 0 0 ] 9 0 0 = x +9x+9 7 2 9 ( y2 元 , 则 +6×1 8 0 0 ×0 9 . 0

3 5 天 购 买 一 次 面 x(x≥3 5 ) 天 购 买 一 次 面 粉 ,

x≥3 5 ) ,

1 0 0 令 f(x)=x+ x (x≥3 5 ) ,x2>x1≥3 5 ,则

第七章

不等式

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? 1 0 0 ? ? 1 0 0 ? f(x1)-f(x2)=?x1+ x ?-?x2+ x ? ? ? 1 ? 2 ?

?x2-x1??1 0 0 -x1x2? = . x 1 x2 ∵x2>x1≥3 5 . ∴x2-x1>0,x1x2> 0 1 , 0 0 -x1x2< 0 . ∴f(x1)-f(x2< )0 ,f(x1)<f(x2). 1 0 0 即 f(x)=x+ x , 当 x≥3 5 时 为 增 函 数 . ∴当 x=3 5 时 , f ( x) 有 最 小 值 , 此 时 ∴该 厂 应 该 接 受 此 优 惠 条 件 .
第七章 不等式

y2 < 1 0 9 8 9 .

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[方 法 总 结 求 得 函 数 的 最 值 ;

]

有 关 最 值 的 实 际 问 题 的 解 题 技 巧

1 ( ) 根 据 实 际 问 题 抽 象 出 函 数 的 解 析 式 , 再 利 用 基 本 不 等 式 2 ( ) 设 变 量 时 一 般 要 把 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 义 为 函 数 , 要 注 意 变 量 的 实 际 意 义 及 其 取 值 范 围 ; 3 ( ) 在 应 用 基 本 不 等 式 求 函 数 最 值 时 , 若 等 号 取 不 到 , 可 利 用 函 数 的 单 调 性 求 解 .

第七章

不等式

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(2014·江西九江一中期末)某国际化妆品生产企业为了占有 更多的市场份额,在2013年英国伦敦奥运会期间进行一系列促 销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x(万件)与年促 销费 t( 万元 ) 之间满足 3 - x 与 t + 1 成反比例,如果不搞促销活 动,化妆品的年销售量只能是 1 万件,已知 2013年生产化妆品

的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需
再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产 成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆 品正好能销完.
第七章 不等式

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(1)将2013年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数; (2)该企业2013年的促销费投入多少万元时,企业的年利润 最大?

( 注:利润=销售投入-生产成本-促销费,生产成本=
固定费用+生产费用)

第七章

不等式

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[解 析] 1 ( ) 由 题 意 可 设 2 得 k=2,∴x=3- . t+1

k 3-x= , 将 t=0,x=1 代 入 , t+1

当 生 产 x万 件 时 , ∵年 生 产 成 本 = 年 生 产 费 用 + 固 定 费 用 , ∴年 生 产 成 本 为 3 2 x+3 万 元 . 1 5 0 % 3 ( 2 1 x+3 ) +2t 万 元 . t y=1 6 x+1 5 . -2=

当 销 售 x(万件)时 , 年 销 售 收 入 为 由 题 意 , 生 产

x万 件 化 妆 品 正 好 销 完 , 由 年 利 润 = 年 销 售

收入-年生 产 成 本 - 促 销 费 , 得 年 利 润 -t2+9 8 t+3 5 (t≥0 ). 2 t +2

第七章

不等式

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-t2+98t+35 t+1 32 2 ( ) y= =50-( 2 + )≤50-2 16=42, 2t+2 t+1 t+1 32 当且仅当 2 = 时取等号,即 t=7 时,ym x a =42, t+1 ∴当促销费定在 7 万元时,年利润最大.

第七章

不等式

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易错警示系列
忽视等号成立条件致误

1 已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z=(x+x )(y 1 +y )的最小值为________.
1 [错解] 错解一:因为对 a>0,恒有 a+a≥2, 1 1 从而 z=(x+x )(y+y )≥4, 所以 z 的最小值是 4.
第七章 不等式

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2+x2y2-2xy 错解二:z= xy 2 =(xy+xy)-2≥2 2 xy-2=2( 2-1), xy·

所以 z 的最小值是 2( 2-1).
[辨析] 错解的错误原因是等号成立的条件不具备.

第七章

不等式

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[正解]

1 1 1 y x 1 z = (x + x )(y + y ) = xy + xy + x + y = xy + xy +

?x+y?2-2xy 2 =xy+xy-2, xy x+y 2 1 2 1 令 t=xy,则 0 < t=xy≤( 2 ) =4,由 f(t)=t+ t 在(0,4]上 单 调 递 减 , 故 当 1 =2时 z 有 最 小 值 1 2 3 3 t=4时,f(x)=t+ t 有最小值 4 ,所以当 x=y 2 5 4.

第七章

不等式

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[ 警示 ]

1. 在利用均值定理求最值时,要紧扣“一正、二

定、三相等”的条件.“一正”是说每个项都必须为正值, “二定”是说各个项的和(或积)必须为定值.“三相等”是说 各项的值相等时,等号成立.

2 .多次使用均值不等式解决同一问题时,要保持每次等
号成立条件的一致性和不等号方向的一致性.

第七章

不等式

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名师点睛

一个牢记
牢记利用基本不等式求最值时,必须检查其三个条件:一 正、二定、三相等.

两个注意
应用基本不等式求最值时, (1) 通过对所给式进行巧妙分 拆、变 形 、组合、 添加系数使之能够出现定值是解题的关 键.(2)必须指出等号成立的条件.

第七章

不等式

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三 个 结 论 在 基 本 不 等 式 的 应 用 中 , 最 常 用 到 的 三 个 结 论 1 ( ) a2+b2≥2a b (a,b∈R). 2 ( ) a2+b2 a+b 2 + ≥ ≥ a b ≥ ( a 、 b ∈ R ). 2 2 1 1 a+b

1 b a 3 ( ) a+b≥2 ( a,b 同 号 ),a+a≥2 ( a> 0 ) .

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