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第12章


第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系

考纲要求

考纲研读
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断

1.了解直线与圆锥曲线的位置 可利用根的判别式.
关系. 2.涉及线段中点、弦长等知识点

2.理解数形结合的思想.

时,要注意数形结合的思想、设而

/>3.了解圆锥曲线的简单应用. 不求方法及一元二次方程根与系 数的关系的运用.

直线与圆锥曲线 C 的位置关系 将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程,消去 y 或者消去 x,得到 一个关于 x(或 y)的方程 ax2+bx+c=0. (1)交点个数 ①当 a=0 或 a≠0,Δ=0 时,曲线和直线只有一个交点;

②当 a≠0,Δ>0 时,曲线和直线有两个交点;
③当Δ<0 时,曲线和直线没有交点.

(2)弦长公式: |AB|= 1+k2· 2-x1| |x

= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1·2 x



1 1+k2|y1-y2|,可作为公式用,必须清楚该公式推导的基础是

两点间距离公式和韦达定理.

9 1. 两个正数 a, 的等差中项是2, b 等比中项是 2 x2 y2 则双曲线a2-b2=1 的离心率为( D ) 5 A.3 41 B. 4 5 C.4 41 D. 5

5, a>b, 且

2.若椭圆经过点 P(2,3),且焦点为 F1(-2,0),F2(2,0),则这 个椭圆的离心率等于( C )
2 A. 2 1 B.3 1 C.2 3 D. 2

3.若椭圆的一个焦点与圆 x2+y2-2x=0 的圆心重合,且经
x2 y2 5 + 4 =1 过( 5,0),则椭圆的标准方程为__________.

4.椭圆的中心在原点,有一个焦点 F(0,-1),它的离心率 y2 x2 是方程 2x2-5x+2=0 的一个根,椭圆的方程是____________. 4 + 3 =1

5.抛物线 y2=8x 的焦点坐标是______. (2,0)

考点1

弦长公式的应用

例1:(2011年陕西)如图12-5-1,设P是圆x2+y2=25上的 4 动点,点D是P在x轴上投影,M为PD上一点,且|MD|=5|PD|. (1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被C所截线段的长度.

图 12-5-1

解析:(1)设点 M 的坐标是(x,y),P 的坐标是(xp,yp). 因为点 D 是 P 在 x 轴上投影, 4 M 为 PD 上一点,且|MD|=5|PD|. 5 所以 xp=x,且 yp=4y. 因为 P 在圆 x2+y2=25 上, 5 2 x2 y2 所以 x2+(4y) =25,整理得25+16=1. x2 y2 即点 M 的轨迹 C 的方程是25+16=1.

4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程是 y=5(x-3). 设此直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 4 x2 y2 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程25+16=1, 2 x2 ?x-3? 得:25+ 25 =1,化简得 x2-3x-8=0. 所以 x1+x2=3,x1x2=-8.
由弦长公式得,|AB|= 1+122|x2-x1|= 1+122· ?x1+x2?2-4x1x2 =
?4?2 41 ? ? × 32-4×?-8?= 1+ 5 5 ? ?

41 即所截线段的长度是 5 .

(1)动点M 通过点P与已知圆相联系,所以把点P 的坐标用点 M 的坐标表示,然后代入已知圆的方程即可.(2)直线 方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关 系,结合两点的距离公式计算.(3)可以直接利用弦长公式,死求

点的坐标再用两点间的距离公式很容易计算错误.
【互动探究】 1.椭圆 x2+4y2=4 长轴上一个顶点为 A,以 A 为直角顶点作 16 一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是____. 25

考点2
x2 2 例 2:已知椭圆 2 +y =1.

点差法的应用

(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (2)过点 A(2,1)引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点
?1 1? P?2,2?且被点 ? ?

P 平分的弦所在的直线的方程.

解题思路:用点差法求出割线的斜率,再结合已知条件求解. 解析:(1)设AB为斜率为2的任意一条弦,设A(x1,y1),B(x2, y2),AB的中点P(x,y).

2 ?x1 2 ? 2 +y1=1, ① 因为 A,B 两点都在椭圆上,故有? 2 ?x2+y2=1, ② 2 ?2

?x1-x2??x1+x2? ①-②得: =-(y1+y2)(y1-y2), 2 y1-y2 x1+x2 2x x0 有 =- =kAB=2=- =-2y , x1-x2 2?y1+y2? 2×2y 0 即 4y=-x. 故中点的轨迹方程 x+4y=0(椭圆内的线段).

(2)设过点 A(2,1)引椭圆的割线与椭圆相交于 M,N 两点, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x,y), x2 2 ? 1+y =1, ③ 1 ?2 同样有? 2 ?x2+y2=1, ④ 2 ?2 ?x1-x2??x1+x2? ③-④得: =-(y1+y2)(y1-y2), 2 y1-y2 x1+x2 2x x y-1 有 =- ?kMN=- =-2y= , x1-x2 2?y1+y2? 2×2y x-2 即 x2+2y2-2x-2y=0.

(3)设过点

?1 1? P?2,2?的弦为 ? ?

MN,点 P 为 MN 的中点,

设 M(x1,y1)、N(x2,y2), x2 2 ? 1+y =1, ⑤ ?2 1 同样有? 2 2 ?x2+y2=1, ⑥ ?2 ?x1-x2??x1+x2? ⑤-⑥得: =-(y1+y2)(y1-y2), 2 1 2×2 y1-y2 x1+x2 1 有 =- =k =- 1=-2. x1-x2 2?y1+y2? MN 2×2×2 ?1 1? 即过点 P?2,2?且被点 P 平分的弦所在的直线的方程为 ? ? 1 1? 1 ? 1 3 y-2=-2?x-2?,即 y=-2x+4. ? ?

(1)本题的三小题都设了端点的坐标,但最终没有
求点的坐标,这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常 重要的思想方法. ①求平行弦的中点的轨迹方程;②求过定点的割线的弦的中点的 轨迹方程;③过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程;④有 关对称的问题. 和抛物线.

(2)本例这种方法叫“点差法”,“点差法”主要解决四类题型:

(3)本题中的“设而不求”的思想法和“点差法”还适用于双曲线

【互动探究】 2.已知双曲线 E 的中心为原点,P(3,0)是 E 的焦点,过 P 的 直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15), 则 E 的方程式为(
x2 y2 A. 3 - 6 =1 x2 y2 C. 6 - 3 =1

)
x2 y2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 5 - 4 =1

解析:由双曲线 E 的中心为原点,P(3,0)是 E 的焦点,可设双 x2 y2 x2 y2 x2 1 1 2 曲线的方程为a2-b2=1,设 A(x1,y1)、B(x2,y2),即a2-b2=1,a2 y1-y2 b2 x1+x2 b2 -12 0+15 y2 b2 5 2 -b2=1.则 =a2· =a2· = =1,则a2=4.∵a2+ x1-x2 y1+y2 -15 3+12 x2 y2 b2=9,∴b2=5,a2=4.故 E 的方程式为 4 - 5 =1.
答案:B

考点3 直线与圆锥曲线的位置关系
例 3:已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+y2=64 相内切. (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l:y=kx+m(其中 k,m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不 x2 y2 同两点 B,D,与双曲线 4 -12=1 交于不同两点 E,F,问是否存 在直线
???? ??? ? l,使得向量 D F + B E =0,若存在,指出这样的直线有多

少条?若不存在,请说明理由.

解析:(1)圆 M:(x-2)2+y2=64,圆心 M 的坐标为(2,0), 半径 R=8. ∵|AM|=4<R,∴点 A(-2,0)在圆 M 内. 设动圆 C 的半径为 r,圆心为 C, 依题意得 r=|CA|,且|CM|=R-r, 即|CM|+|CA|=8>|AM|. ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A,M 两点为焦点,长轴 长为 8 的椭圆. x2 y2 设其方程为a2+b2=1(a>b>0), 则 a=4,c=2.∴b2=a2-c2=12. x2 y2 ∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为16+12=1.

?y=kx+m, ? 2 (2)由? x y2 ?16+12=1, ?
消去 y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0. 8km 设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=- . 3+4k2 Δ1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)>0. ①

?y=kx+m, ? 2 2 由?x y ? 4 -12=1, ?
消去 y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0.

2km 设 E(x3,y3),F(x4,y4),则 x3+x4= , 3-k2 Δ2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)>0. ②
???? ??? ? ∵ D F + B E =0,∴(x4-x2)+(x3-x1)=0.

即 x1+x2=x3+x4. 8km 2km 4 1 ∴- = .∴2km=0 或- = . 3+4k2 3-k2 3+4k2 3-k2 解得 k=0 或 m=0. 当 k=0 时,由①、②得-2 3<m<2 3. ∵m∈Z,∴m 的值为-3,-2,-1,0,1,2,3. 当 m=0,由①、②得- 3<k< 3, ∵k∈Z,∴k=-1,0,1. ∴满足条件的直线共有 9 条.

x2 y2 直线与所求轨迹 16 + 12 =1交于不同两点B,D, x2 y2 利用根的判别式有Δ1>0;直线与双曲线 4 - 12 =1交于不同两点 E,F,利用根的判别式有Δ2>0;本题最关键的如何使用条件向 → → 量 DF + BE =0,利用坐标(x4-x2)+(x3-x1)=0,得x1+x2=x3+ x4,然后利用根与系数的关系求解.

【互动探究】
x2 y2 3.(2011 届广东惠州调研)已知椭圆 C: 2+b2=1(a>b>0)的离 a 3 1 心率为 2 ,过坐标原点 O 且斜率为2的直线 l 与 C 相交于 A,B, |AB|=2 10.

(1)求 a,b 的值; (2)若动圆(x-m)2+y2=1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点, 试 求 m 的取值范围.

x 解:(1)依题意,l:y=2. 不妨设 A(2t,t),B(-2t,-t)(t>0). 由|AB|=2 10得 20t2=40,t= 2,

?8 2 ?a2+b2=1, 所以? a2-b2 3 c ? = =2. a ?a

解得 a=4,b=2.

2 2 ?x y ? + =1, (2)由?16 4 消去 y 得 3x2-8mx+4m2+12=0. ??x-m?2+y2=1, ?

动圆与椭圆没有公共点,当且仅当 Δ=(-8m)2-4×3×(4m2 +12)=16m2-144<0 或|m|>5,解得|m|<3 或|m|>5. x 动圆(x-m)2+y2=1 与直线 y=2没有公共点, |m| 当且仅当 >1,即|m|> 5. 5
?|m|<3, ? 解? ?|m|> 5, ? ?|m|>5, ? 或? ?|m|> 5, ?

得 m 的取值范围为{m| 5<m<3 或 m>5 或-3<m<- 5或 m< -5}.

思想与方法 18.圆锥曲线中的函数与方程思想 例题:(2011 年广东广州综合测试)已知直线 y=-2 上有一个 动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP ⊥OQ(O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C.

(1)求曲线 C 的方程;
(2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离 最短时,求直线 l2 的方程.

解析:(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2). ∵OP⊥OQ,∴kOP·OQ=-1. k y -2 当x≠0时,得x·x =-1,化简得x2=2y. 当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0. ∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0). (2)方法一:∵直线l2与曲线C相切, ∴直线l2的斜率存在. 设直线l2的方程为y=kx+b,
?y=kx+b, ? 由? 2 ?x =2y, ?

得x2-2kx-2b=0.

k2 ∵直线 l2 与曲线 C 相切,∴Δ=4k2+8b=0,即 b=- 2 . |-2+b| 1 k2+4 点(0,2)到直线 l2 的距离 d= 2 =2· 2 k +1 k +1 3 ? 1 1? 2 ? k +1+ ? = 2? ≥ ×2 k2+1? 2 ? ?
2

3 k +1· 2 = 3. k +1
2

3 当且仅当 k +1= 2 ,即 k=± 2时,等号成立. k +1 此时 b=-1. ∴直线 l2 的方程为 2x-y-1=0 或 2x+y+1=0.

方法二:由 x2=2y,得 y′=x. ∵直线 l2 与曲线 C 相切,设切点 M 的坐标为(x1,y1),其中 1 2 y1=2x1, 则直线 l2 的方程为:y-y1=x1(x-x1), 1 2 化简得 x1x-y-2x1=0. ? 1 2? ?-2- x1? 2 ? 1 x2+4 ? 1 点(0,2)到直线 l2 的距离 d= =2· 2 x2+1 x1+1 1 3 ? 1 1? 2 3 ? x +1+ ? 2 = 2? 1 ≥ ×2 x1+1· 2 = 3. 2 x1+1? 2 x1+1 ? ?

当且仅当

x2+1= 1

3 ,即 x1=± 2时,等号成立. 2 x1+1

∴直线 l2 的方程为 2x-y-1=0 或 2x+y+1=0. 方法三:由 x2=2y,得 y′=x. ∵直线 l2 与曲线 C 相切,设切点 M 的坐标为(x1,y1), 1 2 其中 y1=2x1>0, 则直线 l2 的方程为:y-y1=x1(x-x1), 化简得 x1x-y-y1=0.

|-2-y1| y1+2 点(0,2)到直线 l2 的距离 d= = 2 x1+1 2y1+1
? 1 3 1? ? 2y +1+ ? = 2? ≥ ×2 1 2y1+1? 2 ? ?

2y1+1·

3 = 3. 2y1+1

3 当且仅当 2y1+1= ,即 y1=1 时,等号成立,此时 2y1+1 x1=± 2. ∴直线 l2 的方程为 2x-y-1=0 或 2x+y+1=0.

本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距 离、曲线的切线等知识,注意求切线可以先设斜率再与抛物线联 立利用根的判别式求解,也可以利用导数求斜率;同时本题还考 查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,求最值 时要注意使用基本不等式时的“配”和“凑”.

1.直线与圆锥曲线的综合,是高考最常见的一种题型,涉及

求弦长、中点弦方程、轨迹问题、切线问题、最值问题,参数的
取值范围问题等等.分析问题时需借助于数形结合、设而不求, 弦长公式及韦达定理等来综合考虑. 2.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,

我们经常用到如下解法:设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1),(x2,

y2),代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直
线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.

研究直线与圆锥曲线的位置关系,经常用到一元二次方程根 的判别式、根与系数的关系、弦长公式等,要重视设而不求及数 形结合思想的运用,切忌一味呆板地去求方程的根;在解题时应 注意讨论二次项系数为 0 的情况,否则会漏解.要强调根的判别

式,这是直线与圆锥曲线有交点的前提,也是求参数范围的基本
方法.


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