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1.1.2 集合间的基本关系


课前复习
用符号 ?或 ?填空:

补充例

(1)5 _____

?x | x ? n

2

? 1, n ? N
2

(2)(-1, 1) _____ (3)(-1, 1) _____

?( x, y) | y

? x ?
2

?y | y ? x ?

?

补充例

数2能否是集合 A ?

?1, x, x

2

?x

?中

的元素?若能,求出x的值;若不能,说明理由。

观察下例,你能发现两个集合间的关系吗?
(1) A=﹛1, 2, 3﹜

B=﹛1, 2, 3, 4, 5﹜;

(2)设A为达濠侨中高一(8)班全体女生组成的集合, B为这个班全体学生组成的集合; 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意 一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合 有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作: A?B 或 B?A

Venn图

B

A

观察下例,你能发现两个集合间的关系吗?
(3)设C=﹛x | x是两条边相等的三角形﹜,

D=﹛x | x是等腰三角形﹜。
如果集合A是集合B的子集 (A ? B) ,且集合B是 集合A的子集 (B ? A) ,此时,集合A与集合B中的 元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作: A=B

为了证明A=B,就是要说明 A ? B 且 B ? A 。

如果集合 A ? B ,但存在 x ? B, 且x ? A , 我们称集合A是集合B的真子集,记作:

A≠ ? B或B ≠ ?A
(1) A=﹛1, 2, 3﹜ (2) A=﹛1, 2, 3, 4﹜

B=﹛1, 2, 3, 4, 5﹜; B=﹛1, 2, 3, 4﹜;

集合A是集合B的子集包括两种情况: 1、集合A是集合B的真子集;

2、集合A=集合B。

表示集合间的关系符号有:

? ? ? ? ? ≠ ≠

求方程 x2+1=0 的所有实数根所组成的集合。

﹛﹜
我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作:

?
规定: (1)空集是任何集合的子集; (2)空集是任何非空集合的真子集。 按集合中元素的个数多少,集合可分为: 有限集、无限集、空集。

思考:包含关系 ?a? ? A与属于关系 a ? A 有什么区别?

元素与集合
关系是“个体”与“集体”的关系,用数学语言 描述就是“属于”或“不属于”

集合与集合

关系是“集体”与“集体”的关系,用数学语言 描述就是“包含”或“不包含”

表示元素与集合的关系符号有:

? ?

表示集合间的关系符号有:

? ? ? ? ? ≠ ≠

由集合间基本关系可得下列结论: (1) A ? A (2)若 A ? B ,B ? C ,则 A ? C

C B ? C ,则 A ? B (3)若 A ? , ≠ ≠ ≠
(4) ?

?A

?A (5)若 A ? ? ,则 ? ≠



写出集合﹛a,b﹜的所有子集,并指

出哪些是它的真子集。
一般地,含n个元素的集合的子集个数为2n, 非空子集的个数为2n -1,真子集的个数为2n -1, 非空真子集的个数为2n-2。

练习:
1.写出 N, Z, Q, R 的包含关系,并用Venn图 表示。 2.写出A={1,2,3}的子集和真子集。

练习
a ? 3a }, 1、设集合A={1,4,a},B={1, 且 B ? A ,求a的值.
2

2、已知集合 A ? {x | 1 ? x ? 4}, B ? {x | x ? a} , 若 A B ,求实数a的取值集合。

变式1 若 A ? {x | ?3 ? x ? 4},

B ? {x | 2m ? 1 ? x ? m ? 1 }, B ? A,

求实数m的取值范围。
3,设

A ? {x | x ? 8x ? 15 ? 0}, B ? {x | ax ?1 ? 0}, 若B ? A, 求由实数a
2

的所有可能的值组成的集合

课堂小结
1.子集,真子集的概念与性质;

2. 集合的相等;
3.集合与集合,元素与集合的

关系.

? 4、已知集合2 A={-4,2},集合

B ? {x | x ? 2x ? 3a ? 0}.

(1)若 (2)若

A? B
A?B

,求a的取值范围。 ,求a的取值范围。


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