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两角差的余弦公式2


第三章

三角恒等变换
两角差的余弦公式

3.1.1

如果知道α,β三角函数,能否求 出 cos ?? ? ? ? ?

猜想:
已知 cos? ,cos ? ,能否得出 cos ?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? 取 ? ? 45? , ? ? 30?
?

2 则 cos15 ? cos ? 45 ? 30 ? ? cos 45 ? 2
? ? ?

2 3 cos 45 ? cos 30 ? ? ?0 2 2
? ?

? cos15? ? cos 45? ? cos 30?
即 cos ?? ? ? ? ? cos? ? cos ?

温故知新:
? ? ? ? a ? b ? a b cos?
其中θ
∈[0,π

]

? ? ? ? a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

? ? a ?b cos ? ? ? ? a b

如何用任意角α,β的正弦、余弦值表 示 cos ? ? ??

?

?

Y

(1)、结合图形,明确应选择 哪几个向量,它们怎么表示? (2)、怎样利用向量数量积 的概念和计算公式得到探索 结果?

A α
O

B β
X

法一(向量法)
y

??? ? OA ? ? cos ? ,sin ? ?, ??? ? OB ? ? cos ? ,sin ? ?, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA OB cos(? ? ? )

在单位圆中

A

α

B

β
1

o
-1

x

??? ? ??? ? ?OA ? OB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

? cos(? ? ? ).

?cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

. 法二(三角函数线) 如图,设角 ? , ? 为锐角,且 ? ? ?
y P1 A

作PM ? x轴,PA ? OP , 1 cos(? ? ? ) ? OM

? OB ? BM ? OA cos ? ? AP sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

?
O

?
B

C

P

M

x

两角差的余弦公式
对于任意 ?,? , 有

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .
称为差角的余弦公式,简记为

C

(? ? ? )

.

说明:
1.公式中两边的符号正好相反. 2.公式右边同名三角函数相乘再加减, 且余弦在前正 弦在后.

公式的运用
? cos15 例1 利用差角余弦公式求 的值.

解法1 cos 15? ? cos (45? -30?) = cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30?
2 3 2 1 ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? . 4 ?

解法2 cos 15? ? cos (60? -45?) = cos 60? cos 45? ? sin 60? sin 45?
1 2 3 2 ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 ? . 4 ?

完成本题后,你会求 sin 75? 的值吗?

2? 6 sin 75 ? cos15 ? . 4
? ?

4 ? 5 例2 已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , 5 2 13

? 是第三象限角,求 cos(? ? ? )的值.
分析:要计算cos(? ? ? ), 应作哪些准备?
4 ? 解:由sin ? ? , ? ? ( , ? ), 5 2 3 2 得cos? =- 1 ? sin ? ? ? ; 5
又由 cos ? ? ?

5 , ? 是第三象限角,得 13 12 sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? . 13

? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 3 5 4 12 ? (? ) ? (? ) ? ? (? ) 5 13 5 13 33 ?? . 65

1.两角差的余弦公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求该角的余弦 (或正弦)值时, 要注意该角所在的象限,从而确定

该角的三角函数值符号.
3.在差角的余弦公式中,? , ? 既可以是单角,也可 以是复角,运用时要注意角的变换, ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 如? ? ?? ? ? ? ? ? , ? 3 ? 3 等.

变式练习: 1.cos345° 的值等于( ) 2- 6 6- 2 A. B. 4 4 2+ 6 2+ 6 C. D.- 4 4 2.cos75° cos15° -sin75° sin195° 的值为( ) 1 3 1 A.0 B. C. D.- 2 2 2 3.cos( - 40° )cos20°- sin( - 40° )sin( - 20° )= ________

作业:P127

1,3,4


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