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2. 1.1离散型随机变量(教案)


2. 1.1 离散型随机变量
教学目标: 知识目标:1.理解随机变量的意义; 2.学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散性随机变量 的例子; 3.理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量. 能力目标:发展抽象、概括能力,提高实际解决问题的能力. 情感目标:学会合作探讨,体验成功,提高学习数学的兴趣. 教学重点:随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点:随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪
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第一课时 思考 1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字 1 , 2 ,3,4,5,6 来表示.那么掷一枚 硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有 数量性质,但我们可以用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上(图 2.1 一 1 ) .

在掷骰子和掷硬币的随机试验中, 我们确定了一个对应关系, 使得每一个试验结果都用 一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化. 定义 1:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable ).随机变量常 用字母 X , Y, ? ,? ,? 表示. 思考 2:随机变量和函数有类似的地方吗? 随机变量和函数都是一种映射, 随机变量把随机试验的结果映为实数, 函数把实数映为 实数.在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当 于函数的值域.我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域. 例如,在含有 10 件次品的 100 件产品中,任意抽取 4 件,可能含有的次品件数 X 将 随着抽取结果的变化而变化,是一个随机变量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件. 例如{X=0} 表示 “抽出 0 件次品” , {X =4} 表示 “抽 出 4 件次品”等.你能说出{X< 3 }在这里表示什么事件吗?“抽出 3 件以上次品”又如 何用 X 表示呢? 定义 2:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多.例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机
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变量,它的所有可能取值为 0,1,?,10;某网页在 24 小时内被浏览的次数 Y 也是一个离 散型随机变量,它的所有可能取值为 0, 1,2,?. 思考 3:电灯的寿命 X 是离散型随机变量吗? 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数,而所有非负实数不能一一列出,所 以 X 不是离散型随机变量. 在研究随机现象时,需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量.例如,如果我们仅关 心电灯泡的使用寿命是否超过 1000 小时,那么就可以定义如下的随机变量:

?0,寿命<1000小时; Y= ? ?1,寿命 ? 1000小时.
与电灯泡的寿命 X 相比较,随机变量 Y 的构造更简单,它只取两个不同的值 0 和 1,是一 个离散型随机变量,研究起来更加容易. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量 就叫做连续型随机变量
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如某林场树木最高达 30 米,则林场树木的高度 ? 是一个随机变量,它可以取(0,30] 内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变 量都是用 变量表示 随机 试验的结 果;但是 离散 型随机变 量的结果 可以 按一定次序 一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意: (1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数量来表达 如投掷一枚
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硬币, ? =0,表示正面向上, ? =1,表示反面向上

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(2)若 ? 是随机变量,? ? a? ? b, a, b 是常数,则? 也是随机变量

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三、讲解范例: 例 1. 写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结 果 (1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1,2,3,4,5 现从该袋内随机取出 3 只 球,被取出的球的最大号码数ξ ; (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解:(1) ξ 可取 3,4,5 ξ =3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3; ξ =4,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4; ξ =5,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3 或 3,4,5 (2)η 可取 0,1,?,n,? η =i,表示被呼叫 i 次,其中 i=0,1,2,? 例 2. 抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差 为ξ ,试问: “ξ > 4”表示的试验结果是什么? 答:因为一枚骰子的点数可以是 1,2,3,4,5,6 六种结果之一,由已知得-5≤ξ ≤5, 也就是说“ξ >4”就是“ξ =5” 所以, “ξ >4”表示第一枚为 6 点,第二枚为 1 点 例 3 某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km,则按 10 元的标准收租 车费 若行驶路程超出 4km, 则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 1km 的部分按 lkm 计). 从 这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,
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由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车 5 分钟按 lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ 是一个随机变量,他收旅客的租车费 可也是一个随机变量 (1)求租车费η 关于行车路程ξ 的关系式; (Ⅱ)已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因故 停车累计最多几分钟? 解:(1)依题意得η =2(ξ -4)+10,即η =2ξ +2 (Ⅱ)由 38=2ξ +2,得ξ =18,5×(18-15)=15. 所以,出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟. 四、课堂练习:
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1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 ? ;②长江上某水文站观察到一天中的水位 ? ;③某 超市一天中的顾客量 ? A.①; B.②; 其中的 ? 是连续型随机变量的是( C.③; D.①②③ ) )

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2.随机变量 ? 的所有等可能取值为 1, 2, …, n ,若 P ?? ? 4? ? 0.3 ,则( A. n ? 3 ; B. n ? 4 ; C. n ? 10 ; D.不能确定 3.抛掷两次骰子,两个点的和不等于 8 的概率为( ) A.

11 ; 12

B.

31 ; 36

C.

5 ; 36

D.

1 12

4.如果 ? 是一个离散型随机变量,则假命题是( ) A. ? 取每一个可能值的概率都是非负数;B. ? 取所有可能值的概率之和为 1; C. ? 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和; D. ? 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

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答案:1.B 2.C 3.B 4.D 五、小结 :随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ 是关于试验结 果的函数,即每一个试验结果对应着一个实数;随机变量ξ 的线性组合η =aξ +b(其中 a、b 是常数)也是随机变量 六、课后作业:
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七、板书设计(略)

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八、教学反思: 1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题,实现学生实质意 义的参与. 2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.

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