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数学:《直线与圆的方程》教案(新


高考数学回归课本教案 直线与圆的方程
一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过 映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在 2 2 一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x +y =1 是以原点为圆 心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3) 用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围; (5)证明适合方程的解 的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步) 。 0 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 180 的正角,叫做它的倾 0 斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0 ,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线 的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式:y-y0=k(x-x0); (3)斜截式: y=kx+b; (4)截距式:

x ? x1 y ? y1 x y ? ? 1; (5)两点式: ; (6)法线式方程:xcos ? a b x2 ? x1 y 2 ? y1
? ? x ? x0 ? t cos? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

θ +ysinθ =p (其中θ 为法线倾斜角, |p|为原点到直线的距离) ; 参数式:? (7)

(其中θ 为该直线倾斜角) 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动点 P(x, y)的有向线段的 ,t 数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取正,否则取负) 。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重 0 合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角; 1 与 l2 所成的角中不超过 90 的正角叫两者的夹角。 l 若记 到角为θ ,夹角为α ,则 tanθ =

k 2 ? k1 k ? k1 ,tanα = 2 . 1 ? k1 k 2 1 ? k1 k 2

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 l2 的充要条件是 k1k2=-1。
?

2 2 7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 。

8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d ?

| Ax 0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2=0; l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1) 由 (A2x+B2y+C2)=0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( C ? C1 ). 10.二元一次不等式表示的平面区域,若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则 Ax+By+C>0 表 示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤: (1)确定各变量,并以 x 和 y 表示; (2)写出线

性约束条件和线性目标函数; (3)画出满足约束条件的可行域; (4)求出最优解。 2 2 2 12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,其参数 方程为 ?

? x ? a ? r cos? (θ 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?
2 2 2 2

13 . 圆 的 一 般 方 程 : x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0) 。 其 圆 心 为 ? ?

? D E? ,? ? , 半 径 为 ? 2 2?

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为 2

? x ? x? ? y0 ? y ? x0 x ? y 0 y ? D? 0 ? 2 ? ? E? 2 ? ? F ? 0. ? ? ? ? ? ? ?



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分) ,这条直线叫两圆的 根轴。给定如下三个不同的圆:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别 为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。 不难证明这三条直线交于一点或者互相平行,这就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 0 例 1 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=90 ,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ADB=∠ CDE。 [证明] 见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系。设点 B,C 坐标分 别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0) 。直线 BD 方程为 程为 x+y=2a, 所以 k 2 ?

x y ? ? 1 , ①直线 BC 方 a 2a ②设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2, k1=-2。 则 因为 BD ? AE, 所以 k1k2=-1.

1 ? 1 1 ? y ? x, ?4 2 ? y ? x ,由 ? ,所以直线 AE 方程为 解得点 E 坐标为 ? a, a ? 。 2 2 2 ?3 3 ? ? x ? y ? 2a ?

所以直线 DE 斜率为 k 3 ?
0

2 a 3 4 a?a 3

? 2. 因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。 例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两条边截 0 圆所得的弧所对的圆心角为 60 。 [证明] 以 A 为原点, 平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴, 建立直角坐标系见图 10-2, 设⊙D 的半径等于 BC 边上的高, 并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB, 的交点分别为 E, AC F, 设半径为 r, 则直线 AB, 的方程分别为 y ? 3x , y ? ? 3x .设⊙D 的方程为(x-m) +y =r . AC
2 2 2

①设点 E,F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1 ? 3x1 , y2 ? ? 3x2 ,分别代入①并消去 y 得
2 ( x1 ? m) 2 ? 3x12 ? r 2 ? 0.(x2 ? m) 2 ? 3x2 ? r 2 ? 0.

所以 x1, x2 是方程 4x -2mx+m -r =0 的两根。

2

2

2

m ? ? x1 ? x 2 ? 2 , ? 由韦达定理 ? ? ,所以 2 2 ?x x ? m ? r ? 1 2 4 ?
|EF| =(x1-x2) +(y1-y2) =(x1-x2) +3(x1-x2) 2 2 2 2 2 =4(x1+x2) -4x1x2=m -(m -r )=r . 0 所以|EF|=r。所以∠EDF=60 。 2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不可能 在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐标分别 为 ? x1 ,
2 2 2 2 2

? ? ?

1 x1

?? 1 ?, ? x 2 , ?? x2 ??

?? 1 ?, ? x3 , ?? x3 ??

? ?, 且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ ,它是直线 QR 到 PQ 的角,由假设 ? ?

1 1 1 1 ? ? x x2 x x2 1 1 知直线 QR,PQ 的斜率分别为 k1 ? 3 , k2 ? 1 ?? ?? . x3 ? x 2 x 2 x3 x1 ? x2 x1 x 2
k 2 ? k1 ? 1 ? k1 k 2 ? 1 1 ? x1 x 2 x 2 x3 x ( x1 ? x3 ) ? 2 2 ? 0. 1 x1 x 2 x3 ? 1 1? 2 x1 x 2 x3

由到角公式 tan? ?

所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例 4 求函数 f ( x) ? [解] 因为 f ( x) ?

x 4 ? 3x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。
( x 2 ? 2) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? ( x ? 0) 2 表示动点 P(x, x2)到两定
2

点 A(3, 2), B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物线 y=x 的交点 C 与点 P 重 合时,f(x)取最大值|AB|= 10. 4.最值问题。 例 5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC,求 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立,所以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的交 点。设 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 若 m ? 0,则 k1?k2= m? ?

1 ? 1? ? ? ?1 , SΔ ABC= | AC | ? | BC | , 2 ? m?
, |BC|=

由点到直线距离公式|AC|=

| ?1 ? m 2 ? m | 1 ? m2

?

| m2 ? m ? 1 | m2 ? 1

| ?m ? 1 ? m | 1? m
2

?

1 1 ? m2



所以 SΔ ABC=

3 1 m2 ? m ? 1 1 ? m ? 2 2 ? ? ?1 ? 2 ? 。因为 2m≤m +1,所以 SΔ ABC≤ 。又因为-m -1 2 4 2 2 ? m ? 1? m ?1

1 m 1 ? 2 ,所以 SΔ ABC≥ . 2 m ?1 4 3 1 当 m=1 时, Δ ABC)max= ;当 m=-1 时, Δ ABC)min= . (S (S 4 4
≤2m,所以 ? 5.线性规划。 例 6 设 x, y 满足不等式组 ?

?1 ? x ? y ? 4, ? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

?1 ? x ? y ? 4, ?1 ? x ? y ? 4, ? ? [解] (1)由已知得 ? y ? 2 ? 2 x ? 3, 或 ? y ? 2 ? 3 ? 2 x, ?2 x ? 3 ? 0, ? 2 x ? 3 ? 0. ? ?
解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5;CD: y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以它过顶 点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7) ,于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a≤2, 则 l 通过点 A(2,-1)时,f(x, y)最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时, f(x, y)取最小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 2 2 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x +(y-1) =1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到直 线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。 [解] 设直线 OP 的参数方程为 ?
2

? x ? t cos? (t 参数) 。 ? y ? t sin ?

代入已知圆的方程得 t -t?2sinα =0. 所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 2 2 当 t=±2 时,轨迹方程为 x +y =4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例 8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动点,以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。 2 2 以 A 为圆心的圆方程为 x +y =16,连结 OT1,OT2。因为 OT2 ? MT2,T1H ? MT2,所以 OT2//HT1,同 理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM ? T1T2,OT1 ? MT1,所以 OT1 ? ON?OM。设点 H 坐标为(x,y) 。
2

点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为 ?

b y ?x y? , ? ,将坐标代入 OT12 =ON?OM,再由 ? 得 5 x ?2 2?

16 ? ? ? 16 ? 2 ?x ? ? ? y ? ? ? . 5? ? ?5?
在 AB 上取点 K,使 AK=
2 2

2

2

4 AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。 5

例 9 已知圆 x +y =1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是α 和β , 见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。 [证明] 2? tan 过 D 作 OD ? AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为

? ??
2

,因为 OD ? AB,所以

? ??
2

? ?1 ,

所以 tan

? ??
2

1 ? ? 。所以 sin(? ? ? ) ? 2

4 2 ?? . 5 ?? ? ? ? 1 ? t an2 ? ? ? 2 ?

2 t an

? ??

例 10 已知⊙O 是单位圆, 正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦, 试确定|OD|的最大值、 最小值。 [解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标分别为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上方, 则α ∈(0,π ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) ,从 而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ),
2 2 所以|OD|= (cos ? ? 2 sin ? ) ? sin ? ?

4 sin 2 ? ? 4 sin ? cos ? ? 1

= 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 3 ?

?? ? 3 ? 2 2 sin ? 2? ? ? . 4? ?

因为 ? 2 2 ? 2 2 sin ? 2? ? 当? ?

? ?

??

? ? 2 2 ,所以 2 ? 1 ?| OD |? 2 ? 1. 4?

3 7 ? 时,|OD|max= 2 +1;当 ? ? ? 时,|OD|min= 2 ? 1. 8 8
2 2 2

例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1) +(y-m-1) =4m 的圆心在一条定直线上,并求 这一系列圆的公切线的方程。 [证明] 由 ?

?a ? 2m ? 1, 消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公切线 ?b ? m ? 1
| k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b | 1? k 2
,对一切 m≠0 成立。即

方 程 为 y=kx+b , 则 由 相 切 有 2|m|=
2 2

(-4k-3)m +2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1) =0 对一切 m≠0 成立

3 ? ?k ? ? 4 , ?? 4k ? 3 ? 0, ? 3 7 所以 ? 即? 当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y= ? x ? 和 4 4 ?k ? b ? 1 ? 0, ?b ? 7 . ? 4 ?
x=1. 三、基础训练题 1.已知两点 A(-3,4)和 B(3,2),过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点,则该直线的倾斜角 的取值范围是__________. 2.已知θ ∈[0,π ],则 y ?

3 ? cos ? 的取值范围是__________. 2 ? sin ?

3.三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形,当点 P(x, y)在此三角形边上或 内部运动时,2x+y 的取值范围是__________. 4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范围是__________. 5.若λ ∈R。直线(2+λ )x-(1+λ )y-2(3+2λ )=0 与点 P(-2,2)的距离为 d,比较大小: d__________ 4 2 . 6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14,则此圆的方 程为__________. 7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 C: 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在的方程为__________. 2 2 2 8.D =4F 且 E≠0 是圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条件.
2 9.方程|x|-1= 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是__________.

10.已知点 M 到点 A(1,0) ,B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这样的点 M 恰好有一个, 则 a 可能值的个数为__________. 2 11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y -2x≤0 和 2x+y≤2,试求 S 的最大值和最小值。 12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴上的动点。 (1)求∠AMB 的最大值; (2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长; (3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。 四、高考水平训练题 1.已知Δ ABC 的顶点 A(3,4),重心 G(1,1),顶点 B 在第二象限,垂心在原点 O,则点 B 的坐 标为__________. 2.把直线 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 绕点(-1,2)旋转 30 得到的直线方程为__________.
0

3.M 是直线 l:

x y ? ? 1 上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,则在线段 4 3

AB 上满足 AP ? 2 PB 的点 P 的轨迹方程为__________. 4.以相交两圆 C1 :x +y +4x+y+1=0 及 C2 :x +y +2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程为 __________. 5.已知 M={(x,y)|y= 2a 2 ? x 2 ,a>0},N={(x,y)|(x-1) +(y- 3 ) =a ,a>0}.M ? N ? ? ,a 的
2 2 2 2 2 2 2

最大值与最小值的和是__________. 2 2 6.圆 x +y +x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,O 为原点,OP ? OQ,则 m=__________. 2 2 7.已知对于圆 x +(y-1) =1 上任意一点 P(x,y),使 x+y+m≥0 恒成立,m 范围是__________. 2 2 8.当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x -2ax+y +2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切,则直线 l 的 方程为__________. 9.在Δ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 lgsinA,lgsinB, lgsinC 成 2 2 等差数列,那么直线 xsin A+ysinA=a 与直线 xsin B+ysinC=c 的位置关系是__________. 10. A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐标平面 xOy 上的点集, 设 C= ?? ?

?? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? ? ? ? ? ( x1 , y1 ) ? A, ( x 2 , y 2 ) ? B ? 所围成图形的面积是__________. , ? 2 ? ?? 2 ? ? ?
2 2 2 2

11.求圆 C1:x +y +2x+6y+9=0 与圆 C2:x +y -6x+2y+1=0 的公切线方程。 12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。 (1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小? + (2)设 a∈R ,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。 2 2 0 13.已知圆 C:x +y -6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动点,且∠OBA=90 ,OB 交 ⊙C 于 M,AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数,过点(a,0)的所有 直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 2.等腰Δ ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一腰平行于直线 x-4y+2=0, 则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3 . 若 方 程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表 示 表 示 条 互 相 垂 直 的 直 线 , 则 m=__________. 2 2 4.直线 x+7y-5=0 分圆 x +y =1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.
2 5.直线 y=kx-1 与曲线 y= ? 1 ? ( x ? 2) 有交点,则 k 的取值范围是__________.

6.经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为__________. 7.在直角坐标平面上,同时满足条件:y≤3x, y≥ 8.平面上的整点到直线 y ?
2

1 x, x+y≤100 的整点个数是__________. 3

5 4 x ? 的距离中的最小值是__________. 3 5

9.y=lg(10-mx )的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为__________. 10.已知 f(x)=x -6x+5,满足 ?
2

? f ( x) ? f ( y) ? 0, 的点(x,y)构成图形的面积为__________. ? f ( x) ? f ( y ) ? 0

11.已知在Δ ABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B,C 出发,各以一定速 度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B,C,A。 (1)证明:运动过程中Δ DEF 的重心不变; (2)当Δ DEF 面积取得最小值时,其值是Δ ABC 面积的多少倍? 2 2 12.已知矩形 ABCD,点 C(4,4),点 A 在圆 O:x +y =9(x>0,y>0)上移动,且 AB,AD 两边始终 分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值,以及取得最小值时点 A 的坐标。 2 2 13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x +y +2y=0 相交于不同两点 A,B,点 P 在直线 l 上,且满足 |PA|?|PB|=2,当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。

六、联赛二试水平训练题 2 2 1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x -xy+y 的最大值、最小值。 2.给定矩形Ⅰ(长为 b,宽为 a) ,矩形Ⅱ(长为 c、宽为 d) ,其中 a<d<c<b,求证:矩形Ⅰ 2 2 2 2 2 能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac-bd) +(ad-bc) ≥(a -b ) . 3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证:见图 10-8,A1,B1, C1,D1,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。 4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个同心圆的集合,使得: (1)每个整点都在此集合的某一圆周上; (2)此集合的每个圆周上,有且只有一个整点。 5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,…,ln,…的直线族,它满足条件: (1)点(1,1)∈ln,n=1,2,3,…; (2)kn+1≥an-bn,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,n=1,2,3,…; (3)knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。 6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都与此圆相交,l1 交圆于 A, B,l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:

1 1 1 1 ? ? ? . | OR | | OS | | OP | | OQ |


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