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江苏高考应用题专题附详细答案


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考点一:函数、导数、不等式模型
例 1、 (江苏金湖第二中学 2009 届) (本小题满分 16 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元) 与时间 t(天)组成有序数对(t,P) ,点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示. 第t天 4 10 30 16 24 22 18 Q(万股) 36

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与 时间 t(天)所满足的函数关系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的 一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额, 写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

?1 t ? 2,0 ? t ? 20, t ? N * . ? ?5 解: (1) P ? ? ?? 1 t ? 8,20 ? t ? 30, t ? N * . ? 10 ?
(2) 设 Q ? at ? b(a, b为常数), 将(4,36)与(10,30) 的坐标代入, 得?

????4 分

?4a ? b ? 36, 解得a ? ?1, b ? 40. 10 a ? b ? 30 . ?
*

日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q ? 40 ? t ,0 ? t ? 30, t ? N . ????9 分

?1 ( t ? 2) ? (40 ? t ),0 ? t ? 20. ? ?5 (3)由(1) (2)可得 y ? ? ?(? 1 t ? 8) ? (40 ? t ),20 ? t ? 30. ? 10 ? ? 1 2 ? t ? 6t ? 80,0 ? t ? 20, t ? N * . ? ? 5 即y?? ? 1 t 2 ? 12t ? 320,20 ? t ? 30, t ? N * . ? ?10
当 0 ? t ? 20 时,当t ? 15时, ymax ? 125; 当 20 ? t ? 30时, y ?

1 2 t ? 12t ? 320 在?20,30 ?上是减函数, y ? y(20) ? y(15) ? 125. 10

所以,第 15 日交易额最大,最大值为 125 万元. ????15 分 例 2、 (江苏省 2012 年高考考前数学试卷) (本小题满分 14 分)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入 水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包含 3 个方面:①下潜时,平均速度为 v (米/单位时间),单位时间内用 氧量为 cv ( c 为正常数);②在水底作业需 5 个单位时间,每个单位时间用氧量为 0.4;③返回水面时,平均速 度为
2

v (米/单位时间), 单位时间用氧量为 0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为 y . 2

(1)将 y 表示为 v 的函数;
1

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(2)设 0< v ≤5,试确定下潜速度 v ,使总的用氧量最少.

例 3、(本小题满分 13 分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~1000 万元 的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万 元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%.(Ⅰ)若建立函数模型制定 奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求; (Ⅱ)现有两个奖励函数模型:(1)y=

;(2)y=4lgx-3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求? 解析:(Ⅰ)设奖励函数模型为 y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:

当 x∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③

恒成立. (3分)

(Ⅱ) (1)对于函数模型

:当 x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则

.所以 f(x)≤9恒成立.因为函数

在[10,

1000]上是减函数,所以

. 从而
2

,即

不恒成立.

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故该函数模型不符合公司要求. (2)对于函数模型 f(x)=4lgx-3:当 x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则

.

所以 f(x)≤9恒成立.设 g(x)=4lgx-3-

,则

.当 x≥10时,

,所以 g(x)在[10,1000]

上是减函数,从而 g(x)≤g(10)=-1<0.所以4lgx-3-

<0,即4lgx-3<

,所以

恒成

立.故该函数模型符合公司要求. (13分) 例4、因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄露到一鱼塘中。为治理污染,根据环保部门的建 议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂。已知每投放 单位的药剂,它在水中释放的浓度 y(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为 个 ,

其中

。若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应

时刻所释放的浓度之和。根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效的治污的 作用。 (Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污的时间可达几天? (Ⅱ)若因材料紧张,第一次只能投放2个单位的药剂,6天后再投放 个单位的药剂,要使接下来的4天 中能够持续有效治污,试求 的最小值(精确到0.1,参考数据: 取1.4) 。

解:1)因为

,所以



①当

时,由

,解得

,所以此时



②当 综合得,

时,由

,解得

,所以此时



,即,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天。

(2) 当

时,

3

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,由题意知, 因为 ,令 ,而 ,所以 ,解得

对于

恒成立。 ,故当且仅当 时, 有最小值为 。又

,所以 的最小值为

,所以 的最小值约为1.6。 例 5、 (连云港市 2011 届高三一轮复习模拟考试数学试题) (本小题 15 分)某市环保研究所对市中心每 天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数 f ? x ? 与时间 x( 小时 ) 的关系为

f ? x? ?

x 1 ? 3? ? ? a ? 2a, x ? ?0, 24? ,其中 a 与气象有关的参数,且 a ? ?0, ? ,若用每天 f ? x ? 的 x ?1 3 ? 4?
2

最大值为当天的综合污染指数,并记作 M ? a ? . (2)求函数 M ? a ? ;

(1)令 t ?

x , x ? ? 0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(3) 市政府规定, 每天的综合污染指数不得超过 2, 试问目前市中心的综合污染指数是多少?是否超标? 解: (1)∵ t ?

x , x ? ? 0, 24? , x ? 0 时, t ? 0 . x ?1 1 0 ? x ? 24 时, t ? x , x ? 1 ? 2 ,∴ 0 ? t ? .∴ t ? ?0, 1 ? 。……………………4 分 ? 2 ? 2? ? 1 x
2

x?

x

1 1 (2)令 g ? x ? ? t ? ? a ? 2a, t ? ?0, ? . ? 3 ? 2? ?
当a?

1 1 7 5 ?1? 5 ? ,即 0 ? a ? 时, ? g ? x ?? ? g ? ? ? ? a ? 2a ? a ? ; ? ? max 3 4 12 6 ?2? 6 1 1 7 3 1 1 ? ,即 ? a ? 时, ? ? g ? x ?? ? max ? g ? 0 ? ? ? a ? 2a ? 3a ? 。 3 4 12 4 3 3

当a?

5 7 ? a ? ,0 ? a ? , ? ? 6 12 所以 M ? a ? ? ? ……………………10 分 1 7 3 ?3a ? , ? a ? . ? 3 12 4 ?
(3)当 a ? ? 0,

? 7? ?7? 7 ? 时, M ? a ? 是增函数, M ? a ? ? M ? ? ? ? 2 ; ? 12 ? ? 12 ? 12

当a??

? 7 3? ? 3 ? 23 , ? 时, M ? a ? 是增函数, M ? a ? ? M ? ? ? ? 2. ?12 4 ? ? 4 ? 12

4

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23 ,没有超标. ……………………15 分 12 例 6、 (本小题满分 14 分)一条小船在如图所示的 Y 型河流中行驶,从 A 逆流行驶到 B ,再从 B 顺流行 驶到 C , AB 间航程和 BC 间航程相等,水流的速度为 3km/h,已知该船每小时的耗油量与船在静水中
综上所述,市中心污染指数是 的速度(单位:km/h)的平方成正比. (1)当船在 AB 段、 BC 段静水中的速度分别是多少时,整个航行的总耗油量最小? (2)如果在整个航行过程中,船在静水中的速度保持不变,当船在静水中的速度是多少时,整个航行 的总耗油量最小? · · ·

B

A

C

考点二:三角函数模型
例 1、如图 5,一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680 km 的空中 B 处,为避开直飞途中的雷雨云层, 飞机在 A 处沿与原飞行方向成 ? 角的方向飞行, 在中途 C 处转向与原方向线成 45 角的方向直飞到达
o

B 处.已知 sin ? ?

5 .⑴在飞行路径 ?ABC 中,求 tan C ; 13

⑵求新的飞行路程比原路程多多少 km . (参考数据: 2 ? 1.414, 3 ? 1.732 )

C

?

A
图5

45o

B

5

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解析:解: (1)由条件得
∴曲线段 FBC 的解析式为 当 x=0时,



CD∥EF,

。???????????????6分 (2)由(1)可知 。

,“矩形草坪”的面积为

。???12分

例 3、 (江苏省扬州市 2010-2011 学年度第一学期期末调研测试) (本小题满分 15 分) 某 广 场 一 雕塑 造 型 结构如 图 所 示 ,最 上 层 是一呈 水 平 状 态的 圆 环 ,其半 径 为 2 m , 通 过 金 属杆 , A1 , A2 , A3 是圆环上的三等分点,圆环所在 BC, CA1 , CA2 , CA3 支撑在地面 B 处( BC 垂直于水平面)

6

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的水平面距地面 10 m ,设金属杆 CA1 , CA2 , CA3 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 ? 。 (圆环及金 属杆均不计粗细) (1)当 ? 的正弦值为多少时,金属杆 BC, CA1 , CA2 , CA3 的总长最短? (2)为美观与安全,在圆环上设置 A1 , A2 ,?, An ?n ? 4?个等分点,并仍按上面方法连接,若还要求金 属杆 BC, CA1 , CA2 ,?, CAn 的总长最短,对比(1)中 C 点位置,此时 C 点将会上移还是下移,请说明 理由。 解: (Ⅰ)设 O 为圆环的圆心,依题意,∠ CA1O= ∠ CA2O= ∠ CA3O= ? , CA1=CA2=CA3= CO= 2 tan ? , 设金属杆总长为 ym,则

2 , cos ?

6 2(3 ? sin ? ) ? ? 10 ? 2 tan ? = ? 10 , (0 ?? ? ) cos ? cos ? 2 2(3sin ? ? 1) 1 1 y'? ,当 sin ? ? 时, y ' ? 0 ;当 sin ? ? 时, y ' ? 0 , 2 cos ? 3 3 1 ∴当 sin ? ? 时,函数有极小值,也是最小值。 ??????????????7 分 3 2n 2( n ? sin ? ) 2( n sin ? ? 1) ? 10 ? 2 tan ? = ? 10 , y ' ? (Ⅱ)依题意, y ? , cos ? cos ? cos 2 ? 1 1 当 sin ? ? 时, y ' ? 0 ;当 sin ? ? 时, y ' ? 0 , n n 1 ∴当 sin ? ? 时,函数有极小值,也是最小值。????????????????13 分 n 1 1 当 n≥4 时, ? ,所以 C 点应上移。 ????????????????15 分 n 3 A2 y?

A1
C

A3

考点三:数列模型
例1、祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民 B 创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务。某台 商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美 元,每年销售蔬菜收入50万美元.设 表示前 n 年的纯收入(
7

=前 n 年的总收入-前 n 前的总

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支出-投资额) (I)从第几年开始获取纯利润? (II)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂; ②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案最合算? 解:由题意知,每年的经费是以12为首项,4为公差的等差数列,设纯利润与年数的关系为

??? 3分(I)纯利润就是要 求 解得 知从第三年开始获利。 ??? 6分

(II)①年平均利润

当且仅当 n=6时取等号. ??? 9分 .

故此方案先获利6×16+48=144(万美元) ,此时 n=6, ② 当 n=10时,

故第②种方案共获利128+16=144(万美元) , ??? 12分 故比较两种方案,获利都是144万美元。 但第①种方案只需6年,而第②种方案需10年,故选择第①方案. ?13分 例2、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到 第6年,每年初 M 的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初 M 的价值为上年初的75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 的表达式;

(II)设 须在第9年初对 M 更新. 解析: (I)当 时,数列



大于80万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明:

是首项为120,公差为

的等差数列.



时,数列

是以

为首项,公比为

为等比数列,又

,所以

因此,第 年初,M 的价值 (II)设 当 表示数列 时,

的表达式为

的前 项和,由等差及等比数列的求和公式得

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当 因为

时, 是递减数列,所以 是递减数列,又

所以须在第9年初对 M 更新.

考点四:解析几何模型

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考点五:综合型
例 1、 (本小题满分 16 分)如图是一幅招贴画的示意图,其中 ABCD 是边长为 2 a 的正方形,周围是四 个全等的弓形。已知 O 为正方形的中心,G 为 AD 的中点,点 P 在直线 OG 上,弧 AD 是以 P 为圆心、 PA 为半径的圆的一部分,OG 的延长线交弧 AD 于点 H。设弧 AD 的长为 l ,?APH ? ? , ? ? ( (1)求 l 关于 ? 的函数关系式; (2)定义比值 优美。证明:当角 ? 满足: ? ? tan(? ?

? 3?
4 , 4

)。

?
4

OP 为招贴画的优美系数,当优美系数最大时,招贴画最 l

) 时,招贴画最优美。

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例 2、建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60? (如图) ,考虑到防洪堤坚固性及石块 用料等因素,设计其断面面积为 6 3 平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周 长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)要最小. (1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高 h 为多少米? (2)如防洪堤的高限制在 [ 3 , 2 3 ] 的范围内,外周长最小为多少 米? 60 A
?

B

C h D

h 2 3 1 h 6 3 ? ( AD ? BC )h 0 2 解: (1) ,AD=BC+2× tan 60 =BC+ 3 ,
6 3? 1 2 3 (2 BC ? h) h 2 3

BC ?


6 3 3 ? h h 3













l





l ? 2 AB ? BC ?

6 3 2h 6 3 3 ?6 2 ? ? h ? 3h ? ? h h 3 sin 60

11

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当 3h ?

6 3 ,即 h ? 6 时等号成立.外周长的最小值为 6 2 米,此时堤高 h 为 6 米. h 6 6 6 6 3 6 ? h1 ? ? (h2 ? h1 )(1 ? ) ? 0 ,l 是 则 h2 ? ? 3 (h ? ), 设 3 ? h1 ? h2 ? 2 3 , h2 h1 h1h2 h h

(2) 3h ?

h 的增函数,? l min ? 3 ? 3 ?

6 3 (当 h ? 3 时取得最小值) ? 5 3 (米). 3

例3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时, 造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明: 当20≤x≤200时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x) =x·v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到1辆/小时)
解: (Ⅰ)由题意:当 ;当

再由已知得

故函数

的表达式为

(2)依题意并由(1)可得

???????????????8分 当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当 x=20时,其最大值为60×20=1200;??9分

当20≤x≤200时,f(x)=

x(200-x)≤

2



.?????10分

当且仅当 x=200-x,即 x=100时,等号成立.

所以,当 x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值

.?????11分

综上,当 x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值

≈3333.

即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.???12分

12


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