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浙江省杭州市杭州学军中学2014届高三数学第二次月考试题 文 新人教A版


杭州市杭州学军中学 2014 届高三第二次月考 数学(文)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 x 1.已知集合 M={0,1,2,3}, N={x| <2 <4},则集合 M∩(CRN)等于( 2 A.{0,1,2} B.{2,3} C.O / D.{0,1,2,3} ”是“

f ( x) 是偶函数”的( ) )

2.已知 f ( x) ? sin(x ? ? )(? ? R) ,则“ ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件

?
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( D A. y ?

1 x

B. y ? e ? x

C. y ? lg | x |

D. y ? ? x 2 ? 1 )

4.已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? =( A. ?

2 2

B -1

C

2 2

D 1

5.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy ( x,y ? R ) , f) 1 ( 2? , 则 f (?3) 等于 ( A. 2 ) B 3 C 6 D 9

6.若函数 f ( x) ? ka x ? a? x (a ? 0且a ? 1) 在( ?? , ?? )上既是奇函数又是增函数,则函 数 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是( )

x 7. 已 知 x1 是 方 程 10 ? ? x ? 2 的 解 , x2 是 方 程 lg x ? ? x ? 2 的 解 , 函 数 f ( x) ?

( x ? x1 )(x ? x2 ) ,则 (
A. f (0) ? f (2) ? f (3) C. f (3) ? f (0) ? f (2)

) B. f (2) ? f (0) ? f (3) D. f (0) ? f (3) ? f (2)

1

8. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) ,f (lg(log 2 10)) ? 5 , 则 fg ( l g ( l2 ) A. ?5 B ?1 C 3 D 4

?(

)

9. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当

1 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 .若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 2

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是(
A. (1, 2) B. (2, ??) C. (1, 3 4) D. ( 3 4, 2) )

)

10. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ln x(a ? R) ,则下列说法不正确的是 ( A.当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 有零点 C.存在 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 有唯一的零点 B.若函数 y ? f ( x) 有零点,则 a ? 0

D.若函数 y ? f ( x) 有唯一的零点,则 a ? 1

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分

x 在点(1,1)处的切线方程为 . 2x ?1 ? x-1?≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且 ? p 是 ? q 的必要而不充分条 12. 已知 p:?1- ?
11. 曲线 y ?

?

3 ?

件,则实数 m 的取值范围是

?21? x ,  x ? 0, 13. 函数 f ( x) ? ? 则 f (3.5)的值为 ? f ( x ? 1), x ? 0.
x



14. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) ,g ( x) ? 2 ? 2 , 若 ?x ? R ,f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 , 则 m 的取值范围是_________。
2 15. 已知 tan( ? ? ? ) ? 2 ,则 sin ? cos? ? cos ? ?

16. 已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设

a ? f (log4 7),b ? f (log1 3), c ? f (0.2 ?0.6 ) ,则 a,b,c 的大小关系是
2

17. 函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

?

?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b

y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 是否存在
最大值?若存在,在横线处填写其最大值;若不存在,直接填写“不存在”______________.

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. 函数 f(x)对任意的 m、 n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时, 恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a +a-5)<2.
2

19. 已知命题 p : 方程 a 2 x2 ? ax ? 2 ? 0 在 ??1,1? 上有解;命题 q : 只有一个实数 x 满足不等 式 x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“ p或q ”是假命题,求 a 的取值范围.

20.已知二次函数 f ( x) ? x2 ? 2bx ? c(b, c ? R) 满足 f (1) ? 0 ,且关于 x 的方程

f ( x) ? x ? b ? 0 的两个实数根分别在区间 (?3, ?2) 、 (0,1) 内.
(1)求实数 b 的取值范围; (2)若函数 F ( x) ? logb f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上具有单调性,求实数 c 的取值范围.

3 21. 已知函数 f ( x) ? x ?

3 3 (a ? 4) x 2 ? (a ? 2) x, a ? R 。 4 2

(1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)是否存在实数 a ? (0,2] ,使得对任意的 x ? [0, a] ,不等式 0 ? f ( x) ? a 恒成立?若 存在,求出所有 a 的值;若不存在,请说明理由。

3 2 2 22.设函数 f , gx ,其中 x ? R , a , b 为常数,已 () x? x ? 2 a x ? b x ? a ( )? x ? 3 x ? 2 知曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l。 (1) 求 a , b 的值,并写出切线 l 的方程;

(2)若方程 f( 有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任意 x ) ? gx ( )? m x 的 x??x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) 1, x 2 ?, f 学军中学 2014 届高三第二次月考 数学试卷(文科)参考答案 CACDB 12. [9,??) ; 17. 1 13. 2 2 ; 14. (-4,0)

BADBC

11. x ? y ? 2 ? 0 15. ;

3 5

16. c ? b ? a ;

3

17. 【解析】由 2 x ? x ? 2 得 4 x ? x 2 ? 4 x ? 4 ,即 x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 4 ? 2 3 或 x ? 4 ? 2 3 。即 xB ? 4 ? 2 3 , xC ? 4 ? 2 3 ,所以 yB ? 4 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 ,所 以 由 图 象 可 知 要 使 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 有 三 个 不 同 的 交 点 , 则 有 ,即实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 2 3 ? 2 。不妨设 x1 ? x2 ? x3 ,则由题 0?m ?2 3? 2

m2 意 可 知 2 x1 ? m , 所 以 x1 ? , 由 x ? 2 ? m 得 x2 ? 2 ? m, x3 ? 2 ? m , 所 以 4 x1 x 2x 3? m2 m 2( 4? m 2 ) m2 ? 4 ? m2 2 2 2 ( 2? m ) (? 2m ? ) ) ? 4 ,所以 ,因为 m (4 ? m ) ? ( 4 4 2 m2 (4 ? m2 ) 4 ? ? 1 ,即 x1x2 x3 存在最大值,最大值为 1. 4 4

x1 x2 x3 ?

18.解: (1)略 (2) ? 3 ? a ? 2 19. 解: 由题意知 a ? 0 . 若 p 正确,a2 x2 ? ax ? 2 ? (ax ? 2)(ax ?1) ? 0 的解为 若方程在 ??1,1? 上有解, 只需满足 ?1 ?

1 2 或? . a a

1 2 ? 1 或 ?1 ? ? 1 . 即 a ? ? ??, ?1? ? ?1, ??) . a a

2 若 q 正确,即只有一个实数 x 满足 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,则有 ? ? 0, 即 a ? 0或2 .

若 p或q 是假命题,则 p或q 都是假命题, 有?

??1 ? a ? 1, 所以 a 的取值范围是 (?1,0) ? (0,1) . ?a ? 0且a ? 2,

20.. 解: (1)由题知 f (1) ? 1 ? 2b ? c ? 0, ? c ? ?1 ? 2b. 记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b ? x2 ? (2b ? 1) x ? b ? c ? x2 ? (2b ? 1) x ? b ? 1 ,
? g (?3) ? 5 ? 7b ? 0 ? g (?2) ? 1 ? 5b ? 0 ? 1 5 1 ? 则? ? ? b ? , 即 b?( , ) . g (0) ? ? 1 ? b ? 0 5 7 5 ? ? ? g (1) ? b ? 1 ? 0 ?

(2)令 u ? f (x),?0 ?

1 ? ? b ? ?? , ? logb u 在区间 (0, ??) 上是减函数. 5 ?

而 ?1 ? c ? 2b ? ?b ,函数 f ( x) ? x2 ? 2bx ? c 的对称轴为 x ? ?b ,
? f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上单调递增.

4

从而函数 F ( x) ? logb f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上为减函数. 且 f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上恒有 f ( x) ? 0 ,只需要 f (?1 ? c) ? 0 ,

? ?c ? ?2b ? 1 ?? ? ? f (?1 ? c) ? 0

1 ? ( ?b? ) 17 5 ? ? ? ? c ? ?2. 7
9 2 x ? 6 x ,求导 f ' ?x? ? 3x 2 ? 9x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) .?2 2

21. ( 1 )当 a ? 2 时, f ?x ? ? x3 ? 分

令 f ' ( x) ? 0 , x1 ? 1 , x2 ? 2 , 当 f ' ( x) ? 0 时, x ? 1 ,或 x ? 2 ; 当 f ' ( x) ? 0 时, 1 ? x ? 2 , 所以 f ( x) 的单调递增区间是 (??,1), (2,??) ,单调递减区间是 (1,2) . ? 6 分

22. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 4ax ? b, g ?( x) ? 2 x ? 3.
2

由于曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线,

5

故有 f (2) ? g (2) ? 0, f ?(2) ? g ?(2) ? 1. 由此得 ? 所以 a ? ?2, b ? 5 ,切线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0

?8 ? 8a ? 2b ? a ? 0, ?a ? ?2, 解得 ? ?12 ? 8a ? b ? 1, ?b ? 5.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x3 ? 4 x2 ? 5x ? 2 ,所以 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 x. 依题意,方程 x( x2 ? 3x ? 2 ? m) ? 0 有三个互不相同的实数 0, x1 , x2 , 故 x1 , x2 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? m ? 0 的两相异的实根。 所以 ? ? 9 ? 4(2 ? m) ? 0, 即m ? ? . 又对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 成立, 特别地,取 x ? x1 时, f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? ?m 成立,得 m ? 0. 由韦达定理,可得 x1 ? x2 ? 3 ? 0, x1 x2 ? 2 ? m ? 0, 故0 ? x1 ? x2 . 对任意的 x ? [ x1 , x2 ], 有x-x2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0 则 f ( x) ? g ( x) ? mx ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0, 又f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? 0 所以函数 f ( x) ? g ( x) ? mx在x ? [ x1 , x2 ] 的最大值为 0。 于是当 m ? 0 时,对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 恒成立, 综上, m 的取值范围是 ( ?

1 4

1 , 0). 4

6


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