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三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性


考点 56 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性
1. (13 大纲 T12) 已知函数 f ? x ? =cos x sin 2x , 下列结论中错误的是 A. y ? f ? x ? 的图象关于 ? π,0? 中心对称 C. f ? x ? 的最大值为 B. y ? f ? x? 的图象关于直线 x ? ( )

π 对称 2

>
3 2

D. f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

【测量目标】三角函数的周期性、最值,对称性. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【 试 题 解 析 】

f (2π ? x) ? cos(2π ? x)sin(4π ? 2 x) ? cos(? x)sin(?2 x) ? ? cos x sin 2 x ? ? f ( x) f ( x) 的图象关于点 ( ?, 0) 中心对称,故正确.(步骤 1) B 项,因为 f (π ? x) ? cos(π ? x)sin(2π ? 2 x) ? cos x sin 2 x ? f ( x), 所以 y ? f ( x) 的图象 ? 关于直线 x ? 对称,故正确,(步骤 2) 2 2 sin x ? 2 ?1 ? sin 2 x ? sin x . C 项,由题意知 f ? x ? =2 cos x?
2 3 令 t ? sin x , t ? ? ?1,1? ,则 g ? t ? ? 2 1 ? t t ? 2t ? 2t .(步骤 3)

A









?

?

3 .当 t ? ?1 时,函数值为 0; 3 3 3 4 3 4 3 当t ? ? 时,函数值为 ? ;当 t ? 时,函数值为 . 3 3 9 9 4 3 4 3 ∴ g ? t ?max ? ,即 f ? x ? 的最大值为 .故选 C.(步骤 4) 9 9 D 项,由 f (? x) ? cos(? x)sin(?2 x) ? ? cos x sin 2 x ? ? f ( x) 知其为奇函数, 综合选项 A、B 知 f ( x ) 为周期函数,故正确.(步骤 5)
令 g? ?t ? ? 2 ? 6t 2 ? 0 ,得 t = ? 2.(13 辽宁 T17)设向量 a ? (I)若 a ? b 求 x 的值;

?

? π? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sin x ? , x ? ?0, ? . ? 2?
(Ⅱ)设函数 f ? x ? ? a? b ,求 f ( x) 的最大值.

?

【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最 值. 【难易程度】容易 【试题解析】 (Ⅰ) ? a ? ( 3 sin x) 2 ? sin 2 x ? 4sin 2 x, b ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1, a ? b ,
2 2

? 4sin 2 x ? 1.

(步骤 1)

又? x ∈ ?0, ? ,? sin x ? , ? x ? . 2 6 ? 2? (Ⅱ)

? π?

1

π

(步骤 2)

? f ( x) ? a? b ? 3 sin x ? cos x ? sin 2 x ? ?当 x ?

3 1 1 π 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2
(步骤 3)

π ? π? π ∈ ?0, ? 时, sin(2 x ? ) 取最大值 1. 3 ? 2? 6
(步骤 4)

3 ? f ( x) 的最大值为 . 2
3.(13 天津 T15)

π? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期; ? π? (Ⅱ) 求 f (x)在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值. ? 2? 【测量目标】三角函数的周期性和最值. 【难易程度】容易

【试题解析】(I) f ? x ? ? ? 2 sin 2 x cos

π π ? 2 cos 2 x sin ? 3sin 2 x ? cos 2 x 4 4

π? ? ? 2sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?
故 f ? x ? 的最小正周期 T ? (II)因为 f ? x ? 在区间 ?0, 并且 f ? 0? ? ?2 , f ?

2π ? π; (步骤 1) 2

? 3π ? ? 3π π ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减, ? ? 8? ? 8 2? ?π? f ? ? ? 2, ?2?

? 3π ? ??2 2 , ? 8 ?

故 f ? x ? 在 ?0, ? 上的最大值为 2 2 ,最小值为 ?2 .(步骤 2) 2 4. (13 上海 T21)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ;

? π? ? ?

π 2π , ] 上单调递增,求 ? 的取值范围; 4 3 π (2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 6
(1)若 y ? f ( x) 在 [? 数 y ? g ( x ) 的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x ) 在 [a, b] 上至少含有

30 个零点,在所有满足上述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值. 【测量目标】三角函数的单调性,周期,图像及其变化. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

π ? π ? ? …? ? 3 ? 4 2 ? 0 ? ? ? (步骤 1) ? 4 ? 2π ? ? π ? 2 ? 3
π π )) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 π 1 π 5 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? kπ ? 或 x ? kπ+ π, k ? Z , 3 2 4 12 π 2π 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , (步骤 2) 3 3
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ? 故若 y ? g ( x ) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点, 则 b ? a 的最小值 14 ?

2π π 43π . (步骤 3) ? 15 ? ? 3 3 3

5.(13 新课标Ⅰ T15)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ= __________. 【测量目标】三角恒等变换,利用三角函数求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】 ?

2 5 5

【试题解析】f(x)=sin x-2cos x= 5 ? 令 cos α=

2 ? 1 ? (步骤 1) sin x ? cos x ? , 5 ? 5 ?

1 2 ,sin α= ? ,则 f(x)= 5 sin(α+x), (步骤 2) 5 5 π 当 x=2kπ+ -α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值 1,f(x)有最大值 5 , (步骤 3) 2 π 即 θ=2kπ+ -α(k∈Z), 2 π 2 2 5 ? ? ?π ? 所以 cos θ= cos ? 2kπ+ ? ? ? = cos ? ? ? ? =sin α= ? .(步骤 4) ?? 2 5 5 ? ? ?2 ?
6.(13 江西 T11)函数 y ? sin 2x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期为 T 为 【测量目标】三角函数的周期. 【难易程度】容易 【参考答案】 π 【试题解析】 y ? sin 2 x ? 2 3 sin x ? sin 2 x ? 3 ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,故最小
2

.

π 3

正周期为 T ?

2π ? π. 2
π 4
.

7.(13 江苏 T1)函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的最小正周期为 【测量目标】三角函数的周期性. 【难易程度】容易 【参考答案】 π 【试题解析】函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的最小正周期 T ? 8.(13 安徽 T16)已知函数 f(x)=4cos ωx ? sin ? ? x ? (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间 ?0, ? 上的单调性. 2

π 4

2π ? π. 2

? ?

π? ? (ω>0)的最小正周期为 π. 4?

? π? ? ?

【测量目标】二倍角,两角和的正弦,函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质,三角函数的 单调性、周期性. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)f(x)=4cos ωx ?sin ? ? x ? = 2 2 sin ωx ?cos ωx+ 2 2 cos2ωx = 2 (sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2

? ?

π? ? 4?

π? ? ? 2sin ? 2? x ? ? ? 2 .(步骤 1) 4? ?
因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0,

2π =π ,故 ω=1.(步骤 2) 2? π? ? (2)由(1)知,f(x)= 2sin ? 2 x ? ? ? 2 . 4? ? π π π 5π 若 0? x? ,则 剟2x ? .(步骤 3) 2 4 4 4 π π π π 当 剟2x ? ,即 0 剟x 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 剟2x ? ,即 剟 x 时,f(x)单调递减. (步骤 4) 2 4 4 8 2 ? π? ?π π? 综上可知,f(x)在区间 ?0, ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减. (步骤 5) ? 8? ?8 2?
从而有 9. (13 陕西 T16) 已知向量 a ? ? cos x, ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期;

? ?

1? ?,b ? 2?

?

3 sin x, cos 2 x , x ? R ,设函数 f ( x)=a? b.

?

(2)求 f ( x ) 在

? π? 0, 上的最大值和最小值. ? ? 2? ?

【测量目标】平面向量的数量积运算,三角函数的周期、最值. 【难易程度】容易 【试题解析】

3 1 1? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x f ( x) ? ? cos, ? ?? 3 sin x, cos 2 x ? 3 cos x sin x ? cos 2 x ? 2 2 2 2? ?
π π π? ? ? cos sin 2 x ? sin cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? .(步骤 1) 6 6 6? ? 2π ? π ,即函数 f ( x) 的最小正周期为 π .(步骤 2) ? 2 π π π 5π ,? ? 剟2 x ? . (步骤 3) (2)? 0 剟x 2 6 6 6 π π π 由正弦函数图象的性质得,当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 1.(步骤 4) 6 2 3 π π 1 当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, f (0) ? ? .(步骤 5) 6 6 2 π 5π π π 1 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( ) ? , (步骤 6) 6 6 2 2 2 1 ? f ( x) 的最小值为 ? . 2 π 1 因此, f ( x ) 在 (0, ) 上的最大值是 1,最小值是 ? .(步骤 7) 2 2
(1) f ( x ) 最小正周期为 T ?

?

?



?

10. (13 浙江 T4)已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? R) , 则“ f ( x) 是奇函数”是 ? ? A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

π 的( ) 2
B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【测量目标】三角函数的性质,三角函数的诱导公式和三角函数的奇偶性. 【难易程度】中等 【参考答案】B

π π ,则 f(x)=Acos(ωx+ ) ? f(x)= ? Asin(ωx)(A>0,ω>0,x∈R)是奇 2 2 π 函数;若 f(x)是奇函数 ? f(0)=0,∴f(0)=Acos(ω×0+φ)=Acosφ=0.∴φ=kπ+ ,k∈Z,不一定 2 π π 有 φ= ,“f(x)是奇函数”是“φ= ”必要不充分条件.故选 B. 2 2
【试题解析】若 φ=

11. (12 湖北 T17) 已知向量 a ? (cos ? x ? sin ? x, sin ? x) ,b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) ,设函数

f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ?

1 2

?π ? ? 3π ? , 0 ? ,求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ?4 ? ? 5?

【测量目标】平面向量的数量积运算,三角函数的变换及化简. 【难易程度】容易 【试题解析】 (I)因为

f ( x) ? sin 2? x ? cos2 ? x? cos ? x ? ? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ?.
π ? 2sin(2? x ? ) ? ? (步骤 1).由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴, 6 π π π k 1 ) . 可 sin(2? π ? ) ? ?1 , 所以 2? π ? ? kπ+ ( k ? Z) , 即 ? ? ? (k ? Z 6 6 2 2 3 1 5 6π 又 ? ? ( ,1),k ? Z, 所以 k=1,故 ? ? ,所以 f ? x ? 的最小正周期为 . 2 5 6
(步骤 2) (II)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , (步骤 3)

π 4

π 4

5 π π π ? ) ? ?2sin ? ? 2, 即 ? ? ? 2 . 6 2 6 4 5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2, (步骤 4) 3 6 3π π 5 π 5π ,有? 剟 x ? , 由 0 剟x 5 6 3 6 6 1 5 π 5 π 所以 ? 剟sin( x ? ) 1 ,得 ?1 ? 2 剟2sin( x ? ) ? 2 2 3 6 3 6
即 ? ? ?2sin( ? 故函数 f ( x ) 在 ?0, 12.(12 安徽 T16) 设函数 f ( x) ?

2 ? 2,

? 3π ? 上的取值范围为 ? ?1 ? 2, 2 ? 2 ? .(步骤 5) ? ? ? 5? ?

2 π cos(2 x ? ) ? sin 2 x . 2 4

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x?

π π )? g ( x, ) 且 当 x ? [0, ] 时 , 2 2

g ( x) ?

1 ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [? π, 0] 上的解析式. 2

【测量目标】两角和与差的三角函数公式,二倍角公式,三角函数的性质,求分段函数解析

式. 【难易程度】中等 【试题解析】 f ( x) ?

2 π 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

?

1 1 ? sin 2 x .(步骤 1) 2 2

2π ? π .(步骤 2) 2 π 1 1 (2)当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x , (步骤 3) 2 2 2 π π π π 1 π 1 当 x ? [? , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x , 2 2 2 2 2 2 2 π π 1 1 当 x ? [ ? π, ? ) 时,( x ? π) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? π) ? sin 2( x ? π) ? sin 2 x ( . 步骤 4) 2 2 2 2
(1)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ?

π ? 1 ? sin 2 x(? 剟x 0), ? ? 2 2 得:函数 g ( x) 在 [? π, 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? (步骤 5) ? 1 sin 2 x( ? π ? x ? ? π ). ? ?2 2
13.(12 北京 T15) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间. 【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性. 【难易程度】容易 【试题解析】

(sin x ? cos x) sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x = = 2(sin x ? cos x) cos x sin x sin x π ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x = 2 sin(2 x ? ) ? 1 , {x | x ? kπ, k ? Z} (步骤 1) 4 f ( x) ?
(1) 原函数的定义域为 {x | x ? kπ, k ? Z} ,最小正周期为 π; (步骤 2) (2) 由 2kπ ?

π π 3π 2kπ+ , k ? Z . 解 得 kπ ? 剟x kπ ? , k ? Z, 又 2 8 8 π 3π {x | x ? kπ,k ? Z} ,原函数的单调递增区间为 [? ? kπ, kπ)k ? Z , (kπ, ? kπ]k ? Z . 8 8 π 3 π 3
2

π π 剟2 x ? 2 4

(步骤 3) 14.(12 天津 T15)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos x ? 1, x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? π π? , 上的最大值和最小值. ? 4 4? ?

【测量目标】三角函数的周期性、最值. 【难易程度】中等 【试题解析】(Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos x ? 1
2

π 3

π 3

π π ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) (步骤 1) 3 4 2π ? π (步骤 2) 函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 π π π π 3π 2 π (Ⅱ) ? 剟x ? ? 剟2 x ? ?? 剟sin(2 x ? ) 1 ? ?1 剟 f ( x) 4 4 4 4 4 2 4 ? 2sin 2 x cos
(步骤 3) 当 2x ?

2

π π π π π π ? ( x ? ) 时, f ( x)max ? 2 ,当 2 x ? ? ? ( x ? ? ) 时, 4 2 8 4 4 4 f ( x)min ? ?1(步骤 4) π ?π ? ) 在 ? , π ? 单调递减,则 ? 的取值范 4 ?2 ?

15.(12 新课标 T9)已知 ? >0,函数 f ? x ? ? sin(? x ? 围是( )

?1 5? A. ? , ? ?2 4?

?1 3? B. ? , ? ?2 4?

? 1? C .? 0 , ? ? 2?

D .? 0 , ? 2

【测量目标】三角函数的单调性. 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】由题意得,函数 f ? x ? ? sin(? x ?

π 5π π 剟? x 剟x ,(步骤 1)所以 4 4 4? 1 5 剟? .(步骤 2) 2 4
则 故选 A.

π π π ) 的单调递减区间为 剟? x ? 4 2 4 5π π π 5π 剠 且 π ,解得 ,则 4? 4? 2 4?

3π , 2

16.(11 福建 T9)对于函数 f ? x ? ? a sin x ? bx ? c (其中, a, b ? R , c ? Z ),选取 a, b, c 的 一组值计算 f ?1? 和 f ? ?1? ,所得出的正确结果一定不可能 是 ..... A. 4 和 6 B. 3 和 1 【测量目标】三角函数的奇偶性. 【难易程度】中等 C. 2 和 4 ( D. 1 和 2 )

【参考答案】D 【试题解析】 f ?1? ? f ? ?1? ? a sin1 ? b ? c ? a sin ? ?1? ? b ? c ? 2c , 因为 c ? Z ,则 f ?1? ? f ? ?1? 为偶数,四个选项中,只有 D, 1 ? 2 ? 3 不是偶数. 17.(11 上海 T8)函数 y ? sin( 【测量目标】三角函数的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】

π π ? x) cos( ? x) 的最大值为 2 6

2? 3 4
π π π 1? π π ? ? x) cos( ? x) = cos x cos( ? x) = ?cos ? cos( ? 2 x) ? 2 6 6 2? 6 6 ?

【试题解析】 y ? sin(

=

1 π 3 2? 3 . cos( ? 2 x) ? ? 2 6 4 4
π 6

18.(11 安徽 T9)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立, 且 f ( ) ? f ( π) , 则 f ( x ) 的单调递增区间是

π 2

(

)

π π , kπ ? ](k ? Z) 3 6 π 2π ](k ? Z) C. [kπ ? , kπ ? 6 3
A. [ kπ ? 【测量目标】三角函数的单调性、最值. 【难易程度】较难 【参考答案】C

B. [kπ, kπ ? D. [kπ ?

π ](k ? Z) 2

π , kπ](k ? Z) 2

【试题解析】对 x ? R 时, f ( x) ? f ( ) 恒成立,所以 f ( ) ? sin( 可得 ? ? 2kπ ?

π 6

π 6

π ? ? ) ? ?1 , 3

π 5π 或? ? 2kπ ? , (步骤 1) 6 6

因为 f ( ) ? sin( π ? ? ) ? ? sin ? ? f ( π) ? sin(2 π ? ? ) ? sin ? ,故 sin ? ? 0 , 所以 ? ? 2kπ ?

π 2

5π 5π ? ? ,所以 f ( x) ? sin ? 2 x ? (步骤 2) ?, 6 6 ? ?

π 5π π ? 2kπ 剟2 x ? ? 2kπ , 2 6 2 π 2π ](k ? Z) ,答案为 C. (步骤 3) 所以 x ? [kπ ? , kπ ? 6 3
函数单调递增区间为 ?

19.(11 北京 T15) 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

π 6

? π π? , 上的最大值和最小值. ? 6 4? ?

【测量目标】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像及其变换,两角和的正弦. 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1

π 6

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 (步骤 1) 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1
? 3 sin 2x ? cos2x
π ? 2sin(2 x ? ) 6
(步骤 2)

所以 f ( x) 的最小正周期为 π (步骤 3)

π π π π 2π 剟x , 所以 ? 剟2 x ? . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2 x ? ? , 即x ? 时, f ( x) 取得最大值 2; (步骤 4) 6 2 6 π π π 当 2 x ? ? ? , 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ?1 .(步骤 5) 6 6 6
(Ⅱ)因为 ? 20.(11 全国 T5)设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图象向右平移 后, 所得的图象与原图象重合,则 ? 的最小值等于 A.

π 个单位长度 3
( )

1 3

B. 3

C. 6

D. 9

【测量目标】三角函数的周期性,三角函数图象的平移变换. 【参考答案】C

π (k ? Z) ,解得 ? ? 6k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 ?min ? 6 . ? 3 π π π 21. (11 山东 T6)若函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 在区间 [0, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上 3 3 2
【试题解析】由题意得



?k ?

单调递减,则 ? ? A. 3

( B. 2 C.

)

3 2

D.

2 3

【测量目标】三角函数的单调性. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】 函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 在区间 [0, 调递减,

π π 3π ] 上单调递增, , ] 上单 在区间 [ 2? 2? 2?

π π 3 ? ,即 ? ? ,答案应选 C. 2? 3 2 π π 2kπ π 2kπ π ? , ? ] 为增 另解 1: 令 ? x ? [2kπ ? , 2kπ ? ](k ? Z) 得函数 f ( x ) 在 x ? [ 2 2 ? 2? ? 2? 2kπ π 2kπ 3π π π ? , ? ] 为减函数,则当 k ? 0, ? 时 函数,同理可得函数 f ( x ) 在 x ? [ ? 2? ? 2? 2? 3 3 符合题意,即 ? ? ,答案应选 C. 2 π π 另解 2:由题意可知当 x ? 时,函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 取得极大值,则 f ?( ) ? 0 , 3 3 π π π 即 ? cos ? ? 0 ,即 ? ? kπ ? (k ? Z) ,结合选择项即可得答案应选 C. 3 3 2 π 另解 3:由题意可知当 x ? 时,函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 取得最大值, 3 3 π π 则 ? ? 2kπ ? (k ? Z) , ? ? 6k ? (k ? Z) ,结合选择项即可得答案应选 C. 2 3 2 7 3 22. (11 四川 T17) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? π) ? cos( x ? π), x ? R . 4 4
则 ( 1 )求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (2)已知 cos( ? ? a ) ?

4 4 π , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) ,求证: [ f (? )]2 ? 2 ? 0 5 5 2

【测量目标】两角和差的正余弦,三角函数的周期性、最值. 【难易程度】中等. 【试题解析】(1)

f ( x) ? sin x cos π ? 2sin( x ? ) 4

7π 7π 3π 3π ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin ? 2 sin x ? 2 cos x 4 4 4 4

?T ? 2π, f ( x)max ? 2 (步骤 1)
(2)

cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

4 5 4 5

cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

cos ? cos ? ? 0

?0 ? ? ? ? ?

π π ? cos ? ? 0 ? ? ? 2 2

? f (? ) ? 2 ? ( f (? ))2 ? 2 ? 0 (步骤 2)
π 23.(11 新课标 T11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 的最小 2

x) ? fx () 正周期为 π , 且 f (?

, 则
? π 3π ? B. f ( x) 在 ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? π 3π ? D. f ( x) 在 ? , ? 单调递增 ?4 4 ?





? π? A. f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? π? C. f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?

【测量目标】三角函数的周期性、奇偶性、单调性. 【难易程度】中等 【参考答案】A

π 2 sin(? x ? ? ? ) ,所以 ? ? 2 , (步骤 1) 4 π π π f ( x) 为 偶 函 数 , ?? ? ? ? kπ ? ? ? ? kπ, k ? Z 又 4 2 4 π ? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,选 A(步骤 2) 2
【试题解析】 f ( x) ?



B ? B C 2 24. (11 新课标 T16) 在 V ABC 中, 则A B ? 60? , AC ? 3 ,
【测量目标】正弦定理、三角函数的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】 2 7 【试题解析】

的最大值为

.

A ? C ? 120? ? C ? 120? ? A , A ? (0,120? ) ,

BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A (步骤 sin A sin B

1)
AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(120? ? A) ? 3 cos A ? sin A ; (步骤 2) sin C sin B
故最大值是 2 7 . ? AB ? 2BC ? 3 cos A ? 5sin A ? 28a sin( A ? ?) ? 2 7 sin( A ? ?) , (步骤 3) 25 .( 11 重 庆 T16 ) 设 ? ? R,f ? x ? ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos (
2

π ? x) 满 足 2

f (?

π π 11π )? f ( ,求函数 0) ] 上的最大值和最小值. f(x)在 [ , 3 4 24

【测量目标】 由 y ? Asin ??x ? ? ? 的部分图象求解析式, 利用函数的单调性求最值,二倍角. 【难易程度】中等 【试题解析】 f ? x ? ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos (
2

π ? x) 2

= a sin x cos x ? cos x ? sin x =
2 2

a sin 2 x ? cos 2 x (步骤 1) 2

由 f ( ? ) ? f (0) 得 ?

π 3

3 a 1 ? ? ? ?1 解得 a ? 2 3 2 2 2

π 6 π π π π π 所以 x ? [ , ] 时 2 x ? ? [ , ] , f ( x ) 是增函数,(步骤 3) 4 3 6 3 2 π 11π π π 3π ] 时 2 x ? ? [ , ] , f ( x) 是减函数,(步骤 4) 所以 x ? [ , 3 24 6 2 4 π 11π π ] 上的最大值是: f ( ) ? 2 ;(步骤 5) 函数 f ( x ) 在 [ , 4 24 3 π 11π ) ? 2 ;(步骤 6) 又 f( )? 3, f( 4 24 π 11π 11π ] 上的最小值为: f ( ) ? 2 ;(步骤 7) 所以函数 f(x)在 [ , 4 24 24
所以 f ? x ? ? 2sin(2 x ? ) ,(步骤 2) 26. (10 湖北 T16) 已知函数 f ( x) ? cos ?

1 1 ?π ? ?π ? ? x ? cos ? ? x ? , g ? x ? ? sin 2 x ? . 2 4 ?3 ? ?3 ?

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的最大值,并求使 h ? x ? 取得最大值的 x 的集合. 【测量目标】同角三角函数的基本关系,三角函数的周期性、最值. 【难易程度】容易 【试题解析】 (I) f ( x) ? cos( ? x) cos( ? x) ? ( cos x ? =

π 3

π 3

1 2

3 1 3 sin x)( cos? sin x) 2 2 2

1 3 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? cos 2 x ? , 4 4 8 8 2 4 2π ? π .(步骤 1) f ( x) 的最小正周期为 2
(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 1 2 π cos 2 x ? sin 2 x ? cos(2 x ? ), 2 2 2 4

当 2x ?

π 2 ? 2kπ(k ? Z) 时, h( x) 取得最大值 .(步骤 2) 4 2

? π ? h( x) 取得最大值时,对应的 x 的集合为 ? x x ? kπ ? , k ? Z? .(步骤 3) 8 ? ?
27. (10 陕西 T3) 对于函数 f ( x) ? 2sin x cos x , 下列选项中正确的是 A. f ( x ) 在( ( )

π π , )上是递增的 4 2

B. f ( x ) 的图象关于原点对称 D. f ( x ) 的最大值为 2

C. f ( x ) 的最小正周期为 2 π

【测量目标】三角函数的单调性、对称性、周期性、最值. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】∵ f ?x ? ? sin 2 x ,∴易知 f ?x ? 在 ?

?π π? , ? 上是递减的,∴选项 A 错误. ?4 2?

∵ f ?x ? ? sin 2 x ,∴易知 f ?x ? 为奇函数,∴ f ?x ? 的图象关于原点对称,∴选项 B 正确. ∵ f ?x ? ? sin 2 x ,∴ T ?

2π =π ,∴选项 C 错误. 2

∵ f ?x ? ? sin 2 x ,∴ f ?x ? 的最大值为 1 ,∴选项 D 错误. 故综上知,本题应选 B . 28. (10 湖南 T16)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (II)求函数 f ( x ) 的零点的集合. 【测量目标】诱导公式,三角函数的最值,函数的零点. 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2sin(2 x ? 所以,当 2 x ?

π ) ? 1, (步骤 1) 6

π π π ? 2kπ ? , 即 x ? kπ ? (k ? Z) 时, 6 2 6

函数 f ( x ) 取得最大值 1. (步骤 2) (II)解法 1 由(Ⅰ)及 f ( x) ? 0 得 sin(2 x ?

π 1 ) ? (步骤 3) ,所以 6 2

π π π 5π ? 2kπ ? , 或 2 x ? ? 2kπ ? , 6 6 6 6 π 即 x ? kπ, 或 x ? kπ ? . (步骤 4) 3 2x ?

故函数 f ( x ) 的零点的集合为 ? x | x ? kπ, 或x ? kπ ?

? ?

π ? ,k ? Z ? . (步骤 5) 3 ?

解法 2 由 f ( x) ? 0 得 2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x, , (步骤 3)于是 sin x ? 0, 或 3 cos x ? sin x, 即 tan x ? 3. (步骤 4)由 sin x ? 0 可知 x ? kπ ; 由 tan x ? 3 可知 x ? kπ ?

π . (步骤 5) 3

故函数 f ( x ) 的零点的集合为 ? x | x ? kπ, 或x ? kπ ? 29.(10 广东 T16)

? ?

π ? ,k ? Z ? . (步骤 6) 3 ?

已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? π 在 x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)若 f ?

π 时取得最大值为 4. 12

π ? 12 ?2 ? ? ? ? ,求 sinα. 12 ? 5 ?3

【测量目标】函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的性质,三角函数的周期性. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1) Tmin ?



?

?

2π .(步骤 1) 3

(2)由 f ( x ) 最大值为 4, A ? 4 ,

π π ? ? ?π ? f ( x)max ? f ( ) ? 4sin ? 3 ? ? ? ? ? 4 ,即 sin ? ? ? ? ? 1 ,(步骤 2) 12 ? 12 ? ?4 ?
Q 0 ? ? ? π, ?
π π 5π π π π ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? . 4 4 4 4 2 4

π? ? ? f ( x) ? 4sin ? 3x ? ? .(步骤 4) 4? ?
(3) f ?

π? π π ? 12 ?2 ? 2 ? ? ? ? 4sin ?3( ? ? ) ? ? ? , 12 ? 12 4 ? 5 ?3 ? 3

即 sin ?3(

3 π π? 3 π? 3 ? 2 ? ? ? ) ? ? ? , sin ? 2? ? ? ? , ? cos 2? ? ,(步骤 5) 5 12 4 ? 5 2? 5 ? 3 ?

1 ? 2sin 2 ? ?

3 1 5 ? sin 2 ? ? ,? sin ? ? ? .(步骤 6) 5 5 5

30.(10 上海 T22) 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m > y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1)若 x 2 ? 1比 1 远离 0,求 x 的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a 3 ? b3 比 a 2b ? ab2 远离 2ab ab ; (3)已知函数 f ( x ) 的定义域 D ? ? x x ?

? ?

kπ π ? ? , k ? Z, x ? R ? .任取 x ? D , f ( x) 等于 2 4 ?

sin x 和 cos x 中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的基本性质(结论不要
求证明). 【测量目标】解绝对值不等式,基本不等式证明不等式. 【难易程度】较难
2 2 2 【试题解析】 (1)? x ? 1 ? 1 ,? x ? 1 ? 1 或 x ? 1 ? ?1 (舍去) (步骤 1)

? x ? ??, ? 2 ?

?

? ?

2, ?? ; (步骤 2)
3 3 2 2

?

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,有 a ? b ? 2ab b , a b ? ab ? 2ab b , (步骤 3)

? a3 ? b3 ? 2ab b ? a 2b ? ab2 ? 2ab b ? ? a ? b ?? a ? b ? ? 0 ,
2

? a3 ? b3 ? 2ab b ? a 2b ? ab 2 ? 2ab b ,即 a3 ? b3 比 a2b ? ab2 远离 2ab ab ;
(步骤 4)

? π 3π ? ? ? sin x , x ? ? kπ ? 4 , kπ ? 4 ? ? ? ? (3) f ( x) ? ? , (步骤 5) ? cos x , x ? ? kπ ? π , kπ ? π ? ? ? ? 4 4? ? ?
性质:1? f ( x ) 是偶函数,图象关于 y 轴对称;2? f ( x ) 是周期函数,最小正周期 T ? 3? 函 数 f ( x ) 在 区 间 ?

π ; 2

? kπ π kπ π ? ? kπ π kπ π ? ? , ? ? ( k ?Z )单调递增,在区间 ? ? , ? ? ? 2 4 2 2? ? 2 4 2 4?

( k ? Z )单调递减;

4?函数 f ( x ) 的值域为 ? 31.(10 天津 T17)

? 2 ? ,1? . (步骤 6) ? 2 ?

已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值; 2 (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

? π? ? ?

6 ?π π? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

【测量目标】三角函数、二倍角公式和三角函数的周期、最值. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos 2 x ?1 ,得

π f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 π (步骤 1) 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π? ?π π? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?π? ?π? ? π? 所以函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2, 最小值为 f (0) ? 1, f ? ? ? 2, f ? ? ? ?1 , ?6? ?2? ? 2?
?1 (步骤 2)
(Ⅱ)由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

π? ? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 π? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , 6 ?3 6? ?4 2? ? 从而 cos ? 2 x0 ? 所以

?π π?

π

? 2π 7 π ?

? ?

π? π? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? π ? π? π? π π? π 3? 4 3 ? ? (步 cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
骤 3) 32. (10 浙江 T11)函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 sin x 的最小正周期是_________ .
2

π 4

【测量目标】二倍角,两角和与差的正弦,三角函数的周期性. 【难易程度】中等 【参考答案】 π 【试题解析】 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 sin x = sin(2 x ? ) ? 2(1 ? 2sin x) ? 2
2 2

π 4

π 4

(步骤 1) = sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ? 2 = sin(2 x ?

π 4

π ) ? 2 (步骤 2) 4

? ? ? 2 ,故最小正周期为 T ? π ,故答案为: π .
33. (10 安徽 T9)动点 A( x, y) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒 旋转一周.已知定时 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( ,

1 3 ) ,则当 0 剟t 2 2
D.

12 时,动点 A 的纵
( [0,1]和[7,12] )

坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 A. [0,1] B. [1,7] 【测量目标】平面解析几何. 【难易程度】中等 【参考答案】D C. [7,12]

【试题解析】由于 12 秒旋转一周,则每秒转过

2π π π 3 = ,而 t ? 0 时, y ? =sin ,那么 12 6 3 2

π π ( t ? [0,12]) , (步骤 1) t+ ) 6 3 π π π π 则对应的单调递增区间为 t + ∈[ 2kπ - , 2kπ + ], k ? Z , (步骤 2) 6 3 2 2 则有 t ? [12 k ? 5,12 k +1],k ? Z ,由于 t ? [0,12],则当 k ? 0 时,t ? [0,1],当 k ? 1
动点 A 的纵坐标关于 t 的函数关系式为 y =sin( 时, t ? [7,12]; (步骤 3) 34.(09 湖南 T11)若 x ? (0, ) 则 2tanx+tan( 【测量目标】诱导公式,基本不等式求最值. 【难易程度】容易 【参考答案】 2 2

π 2

π ? x)的最小值为 2

.

【试题解析】 2 tan x ? tan(

π 1 ? x) ? 2 tan x ? 2 tan x

∵ x ? (0, ),∴tan x>0 ,(步骤 1)

π 2

? 2 tan x ?

1 1 2 时, 等号成立.) (步骤 2) …2 2 tan x? ? 2 2(当且仅当 tan x ? 2 tan x tan x

故答案为: 2 2 . 35.(09 全国Ⅰ T16) 若

π π ? x ? ,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为 4 2

.

【测量目标】三角函数的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】 ?8 【试题解析】令 tan x ? t , ?

π π ? x ? ?t ? 1 , 4 2

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4

36.(09 安徽 T8)已知函数 f ( x) ? 3sin ?x ? cos ?x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 2 的 两个相邻交点的距离等于 ? , 则 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [kπ ? π , kπ ? 5π ], k ? Z 12 12 C. [kπ ? π , kπ ? π ], k ? Z 3 6 B. [kπ ? 5π , kπ ? 11π ], k ? Z 12 12 D. [kπ ? π , kπ ? 2π ], k ? Z 6 3
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【测量目标】两角和的余弦,三角函数的单调性,函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象、性质及 其变换. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】 f ( x) ? 2sin(? x ?

π ), (步骤 1) 6

由题设 f ( x ) 的周期为 T ? π ,?? ? 2; (步骤 2)

π π π 得, kπ ? 剟x kπ ? , k ? Z ,故选 C.(步骤 3) 2 3 6 π 2 37.(09 山东 T17)设函数 f ? x ? ? cos(2x ? ) ? sin x . 3
由 2kπ ?

π π 剟2 x ? 2 6

2kπ ?

(1) 求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期.

C 为△ABC 的三个内角, (2) 设 A ,B , 若 cosB ?

1 C 1 ,f ( ) ? ? , 且 C 为锐角, 求 sinA . 3 3 4

【测量目标】三角函数的最值、周期性,同角三角函数的基本关系,两角和与差的余弦,二 倍角. 【难易程度】容易 【试题解析】 (1)

π π π 1 ? cos 2 x 1 3 ? f ? x ? ? cos(2x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2

? 函数 f ? x ? 的最大值为

1? 3 ,最小正周期 π .(步骤 1) 2

(2)? f ?

2C 3 3 2C 1 ?C? 1 ,(步骤 2) ? sin ? ? ,? sin ?? ? 3 2 3 4 ?3? 2 2

2C π π ? ,? C ? ,(步骤 3) 3 3 2 1 ? sinA ? cosB ? .(步骤 4) 3
? C 为锐角,?
38. ( 09 江西 T4 )若函数 f ( x) ? 1 ? 3 tan x cos x, (0 剟x ( A.1 ) B.2 C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?

?

π ) ,则 f ( x) 的最大值为 2

【测量目标】同角三角函数的基本关系,三角函数的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】? f ( x) ? 1 ? 3 tan x cos x ? cos x ? 3 sin x

?

?

π? ? ? 2cos ? x ? ? (0 剟x 3? ?
当x?

π ) .(步骤 1) 2

π ?π π? 时, f ( x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos 0 ? 2 . 故选 B.(步骤 2) 3 ?3 3?

39. (09 上海 T6)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是_________. 【测量目标】三角函数的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】1 ?

2

【试题解析】

y ? 2cos2 x ? sin 2x ? 1 ? cos 2x ? sin 2x ? 1 ? 2(

2 2 cos 2 x ? sin 2 x) =1+ 2 2

π π π 2 sin(2 x ? ) (步骤 1)当 2 x ? =2k π ? , k ? Z , y 有最小值 1 ? 2 ,故答案为 4 4 2
1?

2 .(步骤 2)
π π , ) , 2 2

40. (09 上海 T12) 已知函数 ( f x) =sin x+tan x, 项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈ (? 且公差 d≠0,若 f(a1)+f(a2)+ …+f(a27)=0,则当 k=________时,f(ak)=0. 【测量目标】三角函数的奇偶性. 【难易程度】中等 【参考答案】14

【试题解析】 因为函数 f (x) =sinx+tanx 是奇函数, 所以图像关于原点对称, 图像过原点. (步 骤 1) 而等差数列{an}有 27 项,an∈( ?

π π , ) .若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+ …+f(a27)=0,则 2 2

必有 f(a14)=0, 所以 k=14.故答案为:14.(步骤 2) 41. (09 重庆 T16)设函数 f ( x) ? sin( (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时

πx π πx ? ) ? 2 cos 2 ?1. 4 6 8

4 3

y ? g ( x) 的最大值.
【测量目标】三角函数的周期性、最值和两角和与差的正弦. 【难易程度】容易. 【试题解析】 (Ⅰ) f ( x ) = sin

π π π π π x cos ? cos x sin ? cos x 4 6 4 6 4

=

3 π 3 π sin x ? cos x 2 4 2 4

π π x? ). (步骤 1) 4 3 2π 故 f ( x ) 的最小正周期为 T ? =8. (步骤 2) π 4
= 3 sin( (Ⅱ)解法一:在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) .

由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

π π g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3 π π π ? 3 sin[ ? x ? ] 2 4 3 π π ? 3 cos( x ? ) . (步骤 3) 4 3 4 π π π 2π 4 当 0 剟x 时, 剟 x ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 3 4 3 3 3

gmax ? 3 cos

π 3 . (步骤 4) ? 3 2
4 3 2 3

解法二:因区间 [0, ] 关于 x ? 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于

4 2 x ? 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值. (步骤 1) 3 3 π π 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( x ? ) , 4 3 2 π π π π 当 剟x 2 时, ? 剟 x ? , 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 3

g max ? 3 sin

π 3 . (步骤 2) ? 6 2


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