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浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试(三)数学(理)试题(无答案)


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本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸 规定的位置上。 2.每小题选出后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 如果事

件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= C k pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) n 台体的体积公式 1 V= h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4π R2 球的体积公式 4 3 V ? πR 3 其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求 的) 一.选择题: 1.设 A ? ?1, 4, 2x? , B ? 1, x 2 ,若 B ? A ,则 x ? A.0 B. ?2 C.0 或 ?2

?

?

(

)

D.0 或 ?2 )

2.设复数 z=(1-i)n(其中 i 为虚数单位,n∈N*) .若 z∈R,则 n 的最小值为( A. 2 B.4 C. 6 D. 8 ( )

3."数列 an ? aqn 为递增数列"的一个充分不必要条件是 A. a ? 0, q ? 1 B. a ? 0, q ? 0 C. a ? 0, q ? 0

D. a ? 0, 0 ? q ? )

1 2

4.设 a 是空间中的一条直线, ? 是空间中的一个平面,则下列说法正确的是( A. 过 a 一定存在平面 ? ,使得 ? // ?

B. 过 a 一定存在平面 ? ,使得 ? ? ?

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C. 在平面 ? 内一定不存在直线 b , 使得 a ? b D. 在平面 ? 内一定不存在直线 b , 使得 a // b

5.某三棱锥的三视图如图所示,已知该三视图中正视图和俯视图均为边长为 2 的正三角形, 侧 视 图 为 如 图 所 示 的 直 角 三 角 形 , 则 该 三 棱 锥 的 体 积 为 ( A. 1 ) B. 3 C. 4 D. 5

?y ? x ? 6.设实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 .若 z=3x+y 的最大值是最小值的 2 倍,则 a 的值 ?x ? a ?
为 A. ( )

1 3

B. 3

C.

1 2

D.2

7. 已知 F、F2 分别是双曲线 C : 1

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点, F2 关于渐近线的对称点恰落 若 a2 b2
( ) D. 2 )

在以 F1 为圆心, | OF1 | 为半径的圆上,则 C 的离心率为: A. 3 8. 若 x ? (0, A. B. 3 C.

2

?

), y ? (0, ), 且 tan2 x=3 tan(x ? y) ,则 x ? y 的可能取值是( .... 2 2
B.

?

? 12

? 4

C.

? 3

D.

7? 12

9.某校周四下午第五、六两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、 乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课。现要求第五、六两

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节课中每节课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容) ,则不同的开课方案 共有 A. 15 种。 B.16 C. 19 ( ) D.20

10.如图,已知四边形 ABCD 中 AB // CD , AD ? AB , BP ? AC ,

BP ? PC ,CD ? AB ,则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合
的是: ( )

A. AB与AD

B. AB与BC

C. BD与BC

D. AD与AP

非选择题部分(100 分)
二、填空题:本 大题共 7 小题每小题 4 分,共 28 分 11.等差数列 {an } 满足: a1 ? 1, a3 ? 2 ,则 S9 ? 12. 已 知 ( 2 ? = . . .

3 , x 3 )? a ? a x ? 2 2 x ? 3 a x则 (a0 ? a2 )2 ? (a1 ? a3 )2 3 a 0 1

13.某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是

14.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) 对任意

x ? R 成立,当 x ? (?1, 0) 时 f ( x) ? 2x ,则 f (log2 5) ?
15. 在 ?ABC 中 , 若 BC ? 4 , cos B ? 为: .
2



1 , 则 AB? AC 的 最 小 值 4

16.已知 F 为抛物线 x ? ay(a ? 0) 的焦点,O 为坐标原点。点 M 为抛物线上的任一点,过 点 M 作抛物线的切线交 x 轴于点 N ,设 k1 , k 2 分别为直线 MO 与直线 NF 的斜率,则

k1k2 ?


2

17.集合 A ? {x | mx ? x ? 0, m为常数} ,

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B ? {x | 2mx2 ? 2m(1 ? m) x ? 1 ? 0, m为常数} , 若 A ? B ? R , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
是: . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c , 且满足 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos? (1)求角 B 的值; (2)若 b ?

?? ? ?? ? ? A ? cos? ? A ? ?6 ? ?6 ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2

19. (本小题满分 14 分) 已知长方体的长、宽、高分 别为 3、3、4,从长方体的 12 条棱中任取两条。设 ? 为随机变量, 当两条棱相交时, ? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,

? ? 3.
(1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列及数学期望 E (? ) .

20. (本题满分 14 分)

[来源:学#科#网]

已知四棱锥 P ? ABCD ,PA ? 底面 ABCD ,AD ∥ BC,AB ? AD ,

AC 与 BD 交于点 O ,又 PA ? 3 ,

AD ? 2, AB ? 2 3, BC ? 6 .
(1)求证: BD ? 平面 PAC ;
[来源:学科网]

(2)求二面角 O ? PB ? A 的余弦值.

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

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21.(本小题满分 15 分)

如图,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 4 ,过右焦点 F 的直线 l ' 与椭圆交于 4 3

异于左顶点 A 的 P, Q 两点, 直线 AP 、 AQ 交直线 l 分 别于点 M 、 N . (Ⅰ)当 AP ? AQ ?

9 ' 时,求此时直线 l 的方程; 2

(Ⅱ)试问 M 、 N 两点的纵坐标之积是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ?x ? ? e x , g ?x? ? x 2 ? ax ? 1 . (Ⅰ)若函数 y ? f ?x ? ? g ?x ? 在区间 ?1,??? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 记 h? x ? ?

f ?x ? ? 1? ,若 a ? ?0, ? ,则当 x ? ?0, a ? 1?时,函数 h?x ? 的图象是否总在不等 g ?x ? ? 2?

式 y ? x 所表示的平面区域内,请写出判 断过程.

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浙江省高考模拟冲刺卷《提优卷》 数学(理科)测试卷(三)答案
一.选择题:

6. C 解析:作图可知, 若可行区域存在, 则必有 a ? 1 , 故排除 BD;结合图像易得当 x ? 1, y ? 1 时:

z max ? 4 ,当 x ? a, y ? a 时 : z min ? 4a ,由 2 ? 4a ? 4 ,解得 a ?
7. D 解析:方法一:设 P ( x, y ) 为 F2 关于渐近线 l : y ?

1 ,故选 C。 2

b x 的对称点,则有: a

a ? ? y c(a 2 ? b 2 ) ?? x? 2 ? ? x?c ? b a ? b2 , ? y b (x ? c) ,解得: ? ? ? ? ? y ? 2abc2 ? 2 ?2 a a2 ? b ?
由 PF ? PO =0 可得: x ? 2cx ? y ? 0 ,将上式代入化简可得: 1
2 2

(a 2 ? b2 )2 ? 2(a 2 ? b2 )(a 2 ? b2 ) ? 0 ,即 b 2 ? 3a 2 ,即 c 2 ? 4a 2 ,即 e ?
方法二:如图:设 F2 关于其渐近线的对称点为 P,连接 PO ﹑

c ? 2 ,故选D. a

PF1 ,由于点 P 恰落在以 F1 为圆心, | OF1 | 为半径的圆上,

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故有 PF ? PO ? OF ? c , 易得 ?PF F2 ? 600 ,?PF2 F1 ? 300 故 PF1 ? PF2 , O ? F 2 , 又 H P 1 1 1 故 ?OHF2 ? 600 , 即

b c ? tan 60 0 ? 3 ,即 e ? ? 2 .故选 D. a a
2t , 1 ? 3t 2

8. A 解析: x ? y=2 x ? ( x ? y) ,设 tan(x ? y) ? t ,故 tan(x ? y )= tan[2 x ? ( x ? y )] ? 由题可知 t ? 0 ,通过求导或基本不等式可得: tan(x ? y) ? [?

? 5? ? (0, ] ? [ , ? ) ,故选 A 6 6
9. C

3 3 ,0) ? (0, ] ,即 x ? y 3 3

解析: 以丙、丁教师是否开课来讨论: (1)若丙、丁教师均不开课,情况有 1 种, (2)若丙、
1 1 丁教师中恰有一人开课,情况有 C1 C2 C2 ? 8 种, (3)若丙、丁教师均开课,则①若丙、丁 2

教师在相同节次开课,情况有 C1 ? 2 种,②若丙、丁教师在不同节次开课,情况有 2
2 C1 (C1 ? A2 ) ? 8 种,综上,一共有 1+8+2+8=19 种,故选 C 2 2

10.D 解析:设 AB ? a , ?CAB ? ? ,则 AP ? a cos ? , PC ? BP ? a sin ? ,

AC ? a(cos? ? sin ? ) , AD ? AC sin ? ? a(cos? ? sin ? ) sin ? ,
CD ? AC cos? ? a(cos? ? sin ? ) cos? ,因为 CD ? AB ,故 cos2 ? ? sin ? cos? ? 1
即 sin(2? ?

?
4

)?

? ? 3? ? 2 ,即 ? 2? ? ? ,故 0 ? ? ? 。 4 4 4 4 2

2 A 选项:假设 AB ? AD ,则有: sin ? ? sin ? cos? ? 1 ,即 sin(2? ?

?
4

)?

2 ,无解. 2

B选项:假设 AB ? BC ,则有: 2 sin ? ? 1 ,即 sin ? ?

2 ,无解. 2

2 2 C 选项:假设 BD ? BC ,则有: 2 sin ? ? 1 ? sin ? (sin ? ? cos ? ) ,即

1 ? 2 sin 3 ? cos? ? sin 2 ? ,无解.
D 选 项 : 假 设

[来源:Z|xx|k.Com]

AD ? AP

2 , 则 有 : sin ? ? sin ? cos? ? cos?

, 令

f (? ) ? s i2 ? ? s i? c o ? c o s n n ?s ??

1 ? c o2?s s i2? n ? ? c o ,则 ?s 2 2

? 2 又 故必存在 ? 0 ? 0, f / (? ) ? sin 2? ? cos2? ? sin ? ? 0 , f (0) ? ?1 ? 0 ,f ( ) ? 1 ? 4 2

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使得: f (? 0 ) ? 0 ,故 AD与AP 可能重合。D 选项正确

二.填空题

15. -

1 4 1 4

2 解析:方法一:: AB ? AC ? AB ? ( AB ? BC ) ? c ? 4c ? (? )

1 1 1 ? c 2 ? c ? (c ? ) 2 ? ? ? , 2 4 4 1 2 2 2 方法二:由余弦定理 b ? c ? 16 ? 2 ? 4 ? c ? c ? 2c ? 16 , 4
所以 AB ? AC ? bc cos A ?

b 2 ? c 2 ? 16 1 1 1 1 ? c 2 ? c ? (c ? ) 2 ? ? ? ,故最小值为- 2 4 4 4 2

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方法三: AB ? AC ? bc cos A ?

4 15 sin C cos A 4 15 sin( A ? B) cos A ? sin 2 A sin 2 A

?

1 15 sin A cos A ? 15cos2 A 1 ? 15cot2 A ? 15 cot A ? ? ,故最小值为 - 2 4 4 sin A 1 2

16. -

2 2 x0 2 x0 x0 ), ( x ? x0 ) ? 解析: M ( x 0 , 设 则过点 M 的抛物线的切线方程为:y ? , y?0 令 a a a

得:x N ?

x 1 a a x 0 , N ( 0 ,0) ,F (0, ) , k 2 ? k NF ? ? 故 即: , k1 ? k MO 又 2 4 2 2x0
1 2

2 x0 x ? a ? 0 , x0 a



k1 k 2 ? ?

17. [0,2] 解析: (1)当 m ? 0 时, B ? R ,满足 A ? B ? R .故 m ? 0 符合 (2)当 m ? 0 时, A ? {x | 0 ? x ?

1 } ,对于集合 B ,考虑: m

? ? [2m(1 ? m)]2 ? 8m ? 4m(m2 ? 1)(m ? 2)
①若 ? ? 0 ,即 0 ? m ? 2 时, B ? R ,满足 A ? B ? R .故 0 ? m ? 2 符合
2 ②若 ? ? 0 ,即 m ? 2 时,考虑函数 f ( x) ? 2mx ? 2m(1 ? m) x ? 1 ,由于其对称轴

1? m ? 0 ,结合图像可知: A ? B ? R 不可能成立.故 m ? 2 舍去. 2 1 2 (3)当 m ? 0 , A ? {x | x ? 或x ? 0} ,考虑函数 f ( x) ? 2mx ? 2m(1 ? m) x ? 1 ,结合 m 1 图 像 可 知 : 要 使 A? B ? R 成 立 , 则 必 有 f ( 0 ) 0 f ( ) ? 0 , 但 是 由 于 ? 且 m 1 2 f ( ) ? ? 2m ? 1 ? 0 ,矛盾!故 m ? 0 舍去。综上可得: m ? [0,2] m m x0 ?
18.解: (1)由已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos?

?? ? ?? ? ? A ? cos? ? A ? 得 ?6 ? ?6 ?

2 sin 2 B ? 2 sin 2 A ? 2? 3 cos2 A ? 1 sin 2 A ? ,----------5 分 ? ?
?4 4 ?

化简得 sin B ?

? 2? 3 ,故 B ? 或 .----------7 分 3 3 2

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(2)由正弦定理 故a?

a c b ? ? ? 2 ,得 a ? 2 sin A, c ? 2 sin C , sin A sin C sin B

1 3 ? 2? ? 3 c ? 2 sin A ? sin C ? 2 sin A ? sin? ? A ? ? sin A ? cos A 2 2 ? 3 ? 2
----------10 分

?? ? ? 3 sin? A ? ? 6? ?
因为 b ? a ,所以 所以 a ?

? 2? ? ? ? ? A? , ? A ? ? ,----------12 分 3 3 6 6 2
----------14 分

? 1 ?? ? 3 ? c ? 3 sin ? A ? ? ? ? , 3 ? . ? 2 6? ? 2 ? ?

19.解:(1)若两条棱相交,则交点必为长方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条

8C32 24 4 棱,所以共有 8C 对相交棱,因此 P(? ? 0) ? 2 ? ? .----------5 分 66 11 C12
2 3

(2)若两条棱平行则他们的距离为 3,4,5, 3 2 ,

P(? ? 4) ?

4 4 2 ? ? , 2 C12 66 33 4 4 2 , ? ? 2 C12 66 33 2 2 1 ? ? 2 C12 66 33

--------- -

7分

P(? ? 5) ?

----------8 分

P(? ? 3 2 ) ?

----------9 分

P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? P(? ? 3 2 ) ? P(? ? 0) ? 1 ? 2

4 2 24 32 16 ? ? ? ? 2 C12 66 66 66 33

----------11 分 所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P (? )

0

3

4

5

3 2
[来源:学§科§

4 11

16 33

2 33

2 33
网 Z§X§X§K]

1 33

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E (? ) ? 3 ? 16 2 2 1 66 ? 3 2 ? 4? ? 5? ? 3 2 ? ? 33 33 33 33 33
----------14 分

20 .证 明:以 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,A 为坐标原点, 建立空间直角坐标系。 则 B(2 3,0,0), D(0,2,0), A(0,0,0),C(2 3,6,0), P(0,0,3) ----------2 分

BD ? (?2 3,2,0) AC ? (2 3,6,0), PB ? (2 3,0,?3)
BD ? AC ? ?12 ? 12 ? 0
? BD ? AC
----------5 分

又 ? PA ? 底面 ABCD , PA ? BD ?
? BD ? 平面 PAC ;
(2)设 平面PBO 的法向量为 n ? ( x, y, z, ), ----------7 分

平面PBA的法向量为 m ? (0,1,0, ),

---------9 分

n ? PB ? 2 3x ? 3z ? 0 , n ? BD ? ?2 3x ? 2 y ? 0
n ? (1, 3 , 2 3 ) 3
----------12 分

cos m, n ?

m?n mn

?

3 4
3 4
----------14 分

由题可知二面角 O ? PB ? A 为锐角,故余弦值为 注:也可以 cos? ?

S ?ABP S ?PBD

21.解: (Ⅰ)①当直线 PQ 的斜率不存在时,由 F (1,0) 可知 PQ 方程为 x ? 1

代入椭圆 C :

3 3 x2 y2 ? ? 1 得 P(1, ), Q(1,? ) 又 A(?2,0) 2 2 4 3

3 3 27 ? AP ? (3, ), AQ ? (3,? ), AP ? AQ ? 不满足-----------------2 分 2 2 4
②当直线 PQ 的斜率存在时,设 PQ 方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0)

代入椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 -----------------------4 分 4 3

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设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 得 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? -------------------------5 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 9k 2 3 ? 4k 2

y1 y 2 ? k 2 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 (? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 1) ?

AP ? AQ ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y 2 27k 2 9 ? ? 2 2 3 ? 4k
-? k ? ?

6 2 6 ?x ? 1?------------------------7 分 2

故直线 l 的方程; y ? ?
'

22.解: (1)因 y ? f ?x? ? g ?x? ? e ? x ? ax ? 1
x 2

? y ' ? e x ? 2x ? a
因函数 y ? f ?x ? ? g ?x ? 在 x ? ?1,??? 上单调递增

? y ' ? e x ? 2x ? a ? 0 在 x ? ?1,??? 上恒成立.

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a ?e?2
(2) h ' ( x) ? --- ---------------------5 分

e x ( x 2 ? ax ? 1 ? 2 x ? a) e x ( x ? 1)(x ? a ? 1) ? ( x 2 ? ax ? 1) 2 ( x 2 ? ax ? 1) 2
'

e x ( x 2 ? 1 ? 2 x) e x ( x ? 1) 2 ①当 a ? 0 时, ( x) ? 所以函数 h(x) 在 ?0,1? 单调递增, h ? 2 ? 0, ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2
所以其最小值为 h(0) ? 1 , x 在 ?0,1? 的最大值为 1, 而 所以函数 h(x) 图象总在不等式 y ? x 所表示的平面区域内 ②当 a ? ? 0, ? 时 , …………….8 分

? ?

1? 2?

(ⅱ) x ? ? ,1 ? a? , 当 函数 h(x) 在 x ? ? ,1 ? a? 单调递减, 所以其最小值为 h(1 ? a ) ? 1 1

e a ?1 a?2

所以下面判断 h(1 ? a) 与 1 ? a 的大小, 即判断 e 与 (1 ? x) x 的大小, 其中 x ? 1 ? a ? ?1, ? 2
x

? 3? ? ?

令m( x) ? e x ? (1 ? x) x , m' ( x) ? e x ? 2 x ? 1, m ' ( x) ? e x ? 2 因 x ? 1 ? a ? ?1, ? 所以 m ' ( x) ? e x ? 2 ? 0 , m ( x) 单调递增; 2
'

'

? 3? ? ?

'

3 ? 3? 所以 m (1) ? e ? 3 ? 0 , m ( ) ? e 2 ? 4 ? 0 故存在 x 0 ? ?1, ? 2 ? 2?
'
'

3

使 m ( x0 ) ? e 得
'

x0

? 2x0 ? 1 ? 0
? ? 3? 2?

所以 m(x) 在 ?1, x0 ? 上 调 减 在? x0 , ? 单 递 单 递 , 调 增 所 m( x) ? m( x0 ) ? e 以
x0 2 2 ? x0 ? x0 ? 2x0 ? 1 ? x0 ? x0 ? ?x0 ? x0 ? 1 2

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2 所以 x 0 ? ?1, ? 时, m( x0 ) ? ? x0 ? x0 ? 1 ? 0 2

? 3? ? ?

即e x ? (1 ? x) x 也 h(1 ? a) ? 1 ? a 即 所以函数 h(x) 图象总在不等式 y ? x 所表示的平面区域内 ……………..15 分


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