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7.6(1)圆的标准方程


圆的标准方程

求曲线方程的一般步骤:
(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示
曲线上任意一点M的坐标
建系、设点

(2)写出适合条件P的点M的集合
P={M | p(M)};
等量关系

(3)用坐标表示条件p(M),列出方程 f(x,y)=0 坐标化

(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
化简

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 上的点。 查缺补漏

动点M到定点C (?1,2)的距离 等于常数3, 求M的轨迹方程。
解:设 M ( x , y )
y



( x ? 1) ? ( y ? 2 )
2

2

?3
2

?

M

C?

化简为 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 9
2

圆的定义:
平面内与定点的距离等于定长的点的集合

o

x

(轨迹)是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆心坐标为 ( ? 1, 2 ),半径为 3

圆的方程

( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 3
2 2

2

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点, 根据定义,点M到圆心C的 距离 等于r,所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} y r C x

.

M

由两点间的距离公式,点M适合O 的条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得:

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

(圆的标准方程) 几何画板

圆的标准方程
(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

特点:

1. 明确给出了圆心坐标和半径。
2、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r .

3.若圆心在坐标原点,则圆方程为

x2 + y 2 = r2

练习:1、写出下列各圆的方程: (1)圆心在点C(3, 4 ),半径是

(x-3)2+(y-4)2=5 5 (x-8)2+(y+3)2=25

(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
练习:2、

写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) (x-1)2+y2=6

(1,0)
(-1,2) (-a,0)

6 3 |a|

(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2

例1:求以C(1,3)为圆心,并且和
直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 解一:设所求圆的方程为:

(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切 所以圆心C到这条直线的距离等 于半径r 根据点到直线的距离公式,得 | 3×1— 4×3 — 7 | r= 32+(-4)2 = 16 5 y C

O

M

x

因此,所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2 = 256 25

例1:求以C(1,3)为圆心,并且 和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。

y

C

直线和圆的位置关系的数形转化 设直线为: Ax ? By ? C ? 0 圆的方程为: ( x ? a ) ? ( y ? b )
2 2

O

M

x

? r

2


直线和圆相切



d ? r

??0

y 求经过圆上一点 M ( x 0 , y 0 )的切线的方程。 1 . 解一:设切线的斜率为 k,则 k ? ? kOM x 1
?k ? ? ? ?
0

例2 已知圆的方程是 x ? y ? r,
2 2 2

M ( x0 , y0 )

k OM

y0

经过点M 的切线方程是 x y ? y ? ? 0 ( x ? x ), 即 x0 x + y0 y = x02 + y02 0 0 y 0 因为点M 在圆上,所以 x02+y02 = r2
当切线斜率存在或不等 M 点坐标满足 于 0时 ,
2

O

x

x0 x ? y0 y ? r

所求的切线方程是

x0 x+y0 y= r2

例2 已知圆的方程是 x ? y ? r,
2 2 2

y

求经过圆上一点 M ( x 0 , y 0 )的切线的方程。 , y ) P(x 解二(利用平面向量知识): 设 P(x,y) 是切线上的任意一点, 则 OM⊥MP, OM ? MP ? 0 ?
M ( x0 , y0 )


?

( x 0 , 0 ) ? ( x ? x 0, ? y 0 ) ? 0 y y
x0 ( x ? x0 ) ? y 0 ( y ? y0 ) ? 0

O

x

即 x0 x + y0 y = x02 + y02
因为点M 在圆上,所以 x02+y02 = r2

所求的切线方程是 x0 x+y0 y= r2

y 求经过圆上一点 M ( x 0 , y 0 )的切线的方程。 P(x , y ) 解三(利用平面几何知识): M ( x0 , y0 ) 设 P(x,y) 是切线上的任意一点, 在直角三角形OMP中 由勾股定理:
O

例2 已知圆的方程是 x ? y ? r,
2 2 2

x

OM2+MP2=OP2
即 r ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ?
2

x ? y
2

2

? x0x +y0 y = r2

为所求切线方程。

注意圆的平面几何知识和圆的方程结合起来解决实际问题

圆的方程是 x ? y ? r
2 2

2

,经过圆上一点

M ( x 0 , y 0 ) 的切线的方程 x x +y y = r2 0 0 x

过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点

M(x0 , y0)的切线方程为:

.

o

y

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r 2

例3.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的 切线,切点为A、B.求直线PA、PB的方程.
解:1)设过 (

则 ?k ?3 1? k
2

P 圆的切线方程为:

y ? 1 ? k ( x ? 2)
y

kx ? y ? 2 k ? 1 ? 0 .
? 2

? k ? 6k ? 7 ? 0
2
B O

C

A

解得

k ? 7 或 k ? ?1.

x P

故所求切线方程为: 或 y ? 1 ? ?( x ? 2)

y ? 1 ? 7( x ? 2)



7 x ? y ? 15 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 几何画板

例4.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) y 分析:首先我们建立恰当的 解:建立如图所示的坐标系, 直角坐标系,把实际问题 设圆心坐标是(0,b)圆的 转化为数学问题。 半径是r ,则圆的方程是

x2+(y-b)2=r2 。
把P(0,4),B(10,0)代入圆的方程得方程组:
?0 2 ? (4 ? b ) 2 ? r 2 ? ? 2 ?10 ? ( 0 ? b ) 2 ? r 2 ?

x

? b ? ? 10 . 5 , r ? 14 . 5
2

2

? 圆的方程是

x ? ( y ? 10 . 5 ) ? 14 . 5
2 2

2

例4.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)
y

? 圆的方程是 x ? ( y ? 10 . 5 ) ? 14 . 5
2 2 2

将 x ? ? 2 代入圆的 方程,且 y ? 0 得:
2 2

x

y ?

14 . 5 ? ( ? 2 ) ? 10 . 5 ? 3 . 86 ( m )

答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱 跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用 一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)
思考

y

利用圆的几 何性质,你能否 用直线方程求出 圆心坐标?进而 写出圆的方程?
C1

x

小结: (1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为: x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数, 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆;对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐 标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方 程解决实际问题。

作业:
1. 习题7.6 1、2 、 3、4 2.三维设计活页7.6第一课时

圆的方程是

,经过圆上一点 x ? y ? r
2 2 2

M ( x 0 , y 0 ) 的切线的方程

x0x +y0 y = r2

过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0 , y0)的切线方程为:

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r 2
x' ? x ? a 分析: 令 ? ? ? y' ? y ? b
圆方程为
切线方程为

,则在新系下
2

x' ? y' ? r
2 2

, M ( x0 ? a , y0 ? b )

(x0-a)x’+(y0-b)y’ = r 2

在原系下 切线方程为

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r 2

练习2: 已知一个圆的圆心在原点,并与直线4x+3y-70=0相 切,求圆的方程。 x 2+y2=196 练习3:写出过圆x2+y2=10 上一点 M(2, 6 ) 的切线方程。 2x + 6 y =10 练习3:已知圆的方程是x2+y2=1,求: (1)斜率等于1的切线的方程;
y ? x? 2

(2)在y轴上截距是 2 的切线方程。
y ? ?x ? 2


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