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2013-2014学年高中数学 用二分法求方程的近似解


3.1.2
一、基础过关

用二分法求方程的近似解

1. 用“二分法”可求近似解,对于精确度 ε 说法正确的是 A.ε 越大,零点的精确度越高 B.ε 越大,零点的精确度越低 C.重复计算次数就是 ε D.重复计算次数与 ε 无关 2. 用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零点可以取的初始区间是 A.[-2,1] C.[0,1] B.[-1,0] D.[1,2] (

(

)

)

3. 在用二分法求函数 f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间 可能是 A.[1,4] C.[-2,2.5] B.[-2,1] D.[-0.5,1] ( ) ( )

4. 下列关于函数 y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为 ①若 x0∈[a,b]且满足 f(x0)=0,则(x0,0)是 f(x)的一个零点; ②若 x0 是 f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求 x0 的近似值; ③函数 f(x)的零点是方程 f(x)=0 的根,但 f(x)=0 的根不一定是函数 f(x)的零点; ④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值. A.0 C.3 B.1 D.4

5.设 f(x)=3x+3x-8, 用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0, f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间________. 6. 若函数 f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定 f(x)的零点所在的区间为 ________.(只填序号) ①(-∞,1];②[1,2];③[2,3];④[3,4];⑤[4,5];⑥[5,6];⑦[6,+∞) x f(x) 1 136.123 2 15.542 3 -3.930 4 10.678 5 -50.667 6 -305.678

1 7. 确定函数 f(x)=log x+x-4 的零点所在的区间. 2 8. 证明方程 6-3x=2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度 0.1) 二、能力提升

9. 利用计算器,列出自变量和函数值的对应关系如下表: x y=2x y=x2 0.2 1.149 0.04 0.6 1.516 0.36 1.0 2.0 1.0 1.4 2.639 1.96 1.8 3.482 3.24 2.2 4.595 4.84 2.6 6.063 6.76 3.0 8.0 9.0 3.4 10.556 11.56 ( ? ? ? )

那么方程 2x=x2 的一个根位于下列哪个区间内 A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2) B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0)

10.已知函数 f(x)=logax+x-b (a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n, n+1),n∈N*,则 n=________. 11.用“二分法”求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 x0=2.5,那么下 一个有根的区间是______. 12.借助计算器或计算机,用二分法求函数 f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4 在区间(0,1)内的零 点.(精确度 0.1) 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=x3+x. (1)试求函数 y=f(x)的零点; (2)是否存在自然数 n,使 f(n)=1 000?若存在,求出 n,若不存在,请说明理由.

答案
1.B 2.A 3.D 4.A 5.(1.25,1.5) 6.③④⑤ 7. 解 (答案不唯一) 1 设 y1=log x,y2=4-x,则 f(x)的零点个数即 y1 与 y2 的交点个数,作出两函数图象,如 2 图.

由图知,y1 与 y2 在区间(0,1)内有一个交点, 当 x=4 时,y1=-2,y2=0,f(4)<0, 当 x=8 时,y1=-3,y2=-4,f(8)=1>0, ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点. 故函数 f(x)的两零点所在的区间为(0,1),(4,8). 8. 证明 设函数 f(x)=2x+3x-6, ∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0, 又∵f(x)是增函数, ∴函数 f(x)=2x+3x-6 在区间[1,2]内有唯一的零点, 则方程 6-3x=2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解. 设该解为 x0,则 x0∈[1,2], 取 x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f(1)· f(1.5)<0, ∴x0∈(1,1.5), 取 x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0, f(1)· f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25), 取 x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0, f(1.125)· f(1.25)<0, ∴x0∈(1.125,1.25), 取 x4=1.187 5,f(1.187 5)≈-0.16<0, f(1.187 5)· f(1.25)<0, ∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴1.187 5 可作为这个方程的实数解. 9.C 10.2 11.[2,2.5)

12.解 由题设可知 f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是 f(0)· f(1)<0, 所以,函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点. 下面用二分法求函数 f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4 在区间(0,1)内的零点, 取区间(0,1)的中点 x1 =0.5,用计算器可算得 f(0.5)=-0.55.因为 f(0.5)· f(1)<0,所以 x0∈(0.5,1). 再取区间(0.5,1)的中点 x2=0.75, 用计算器可算得 f(0.75)≈0.32. 因为 f(0.5)· f(0.75)<0, 所以 x0∈(0.5,0.75). 同理可得 x0∈(0.625,0.75), x0∈(0.625,0.687 5). 由于|0.687 5-0.625|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为 0.687 5. 13.解 (1)函数 y=f(x)的零点即方程 x3+x=0 的实数根,解方程得 x=0; (2)计算得 f(9)=738,f(10)=1 010,由函数 f(x)=x3+x 在区间(0,+∞)单调递增,可知 不存在自然数 n,使 f(n)=1 000 成立.


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