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不等式练习题


不等式练习题(较难)
一、 选择题 1.设 a

A

1 1 ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为 a b 1 . 8 B . 4 C. 1 D. 4
a

考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力。 答案 C 解析

因为 3

? 3 b ? 3 ,所以 a ? b ? 1 , b a 1 1 1 1 b a b a ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 ? a b a b a b a b a b
1 1 ? 0, b ? 0 ,则 ? ? 2 ab 的最小值是( a b
B. 2 )

即a

?b?

1 时 2

“=”成立,故选择 C 2.已知 a

A.2 答案 C

2

C.4

D.5

解析

因为

1 1 1 1 1 1 ? 当且仅当 ? ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 2( ? ab ) ? 4 a b a b ab ab

,且 ,即

a ? b 时,取“=”号。
二、填空题 3.若

x ? 0 ,则 x ?
2 2
2

2 的最小值为 x

.

答案 解析

?x ? 0 ? x?

2 2 ? 2 2 ,当且仅当 x ? ? x ? 2 时取等号. x x

三、解答题 4.(本小题满分 12 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的 新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度 为 x(单位:元) (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 解: (1)如图,设矩形的另一边长为 a m
2



y 2 -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
360 , x

由已知 xa=360,得 a=

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x

(II)? x

? 0,? 225x ?

3602 ? 2 225? 3602 ? 10800 x

? y ? 225x ?

3602 3602 ? 360 ? 10440.当且仅当 225x= x x

时,等号成立.

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.

2005--2008 年高考题
一、 选择题 1.“ a

?

1 a ≥ 1 ”的( ”是“对任意的正数 x , 2 x ? 8 x
B.必要不充分条件



A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A

D.既不充分也不必要条件

2.如果正数 a,b,c,d 满足 a ? b

? cd ? 4 ,那么( A ) ab ≤ c ? d a , b,c,d 的取值唯一 A. ,且等号成立时 B. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 D. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一
答案 A

3.设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立 的是 .... A. | a

? b |?| a ? c | ? | b ? c |

B. a

2

?

1 a
2

?a?

1 a

C. | a

?b|?

1 ?2 a ?b

D.

a ? 3 ? a ?1 ? a ? 2 ? a

【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件,由于给出的是不完全提干,必须结合选择支,才能得出正确的结论。

答案

C

解析 运用排除法,C 选项

a?b ?

1 ? 2 ,当 a-b<0 时不成立。 a?b

【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件 如果 a, b ? R, 那么a
2

? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号)

如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2
)

1 a 4.已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( x y A.2 B.4 C.6 D.8

答案

B

解析 不等式(x+y)(

1 a y ax ? )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则 1 ? a ? ? ≥ a ? 2 a ? 1 ≥9,∴ x y x y

a≥

2或

a ≤-4(舍去),所以正实数 a 的最小值为 4,选 B.
) D.15

1 4 5.设 x,y 为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( x y A. 6 答案 B B.9 C.12

解析 x,y 为正数,(x+y)(

1 4 y 4x ≥9,选 B. ? )≥ 1 ? 4 ? ? x y x y

6.若关于

x 的不等式 (1 ? k 2 ) x ≤ k 4 +4 的解集是 M,则对任意实常数 k ,总
? M,0 ? M; C.2∈M,0 ? M; D.2 ? M,0∈M.

有( ) A.2∈M,0∈M; B.2 答案 A 解析

方法 1:代入判断法,将

x ? 2, x ? 0 分别代入不等式中,判断关于 k

的不等式解集是否为 R ;

方法 2:求出不等式的解集: (1 ?

k 2 ) x ≤ k 4 +4

4 ? x ? k 2 ? 4 ? (k 2 ?1) ? 25 ? 2 ? x ? [(k 2 ?1) ? 25 ? 2]min ? 2 5 ? 2 ; k ?1 k ?1 k ?1
7.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2

3 ,则 2a+b+c 的最小值为
C. 2

A.

3 -1

B.

3 +1

3 +2

D. 2

3 -2

答案 D

解析 若 a, b, c

? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3,

所以 a

2

? ab ? ac ? bc ? 4 ? 2 3 ,

4 ? 2 3 ? a 2 ? ab ? ac ? bc ?


1 1 (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? 2bc) ≤ (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? b 2 ? c 2 ) 4 4

(2 3 ? 2)2 ≤ (2a ? b ? c)2 ,则( 2a ? b ? c )≥ 2 3 ? 2 ,选 D.

8、若直线

x y ? ? 1 通过点 M(cos? , sin? ) ,则 a b 1 1 2 2 C. 2 ? 2 ? 1 B.a 2 ? b 2 ? 1 A. a ? b ? 1 a b
答案 B

D.

1 1 ? 2 ?1 2 a b
” 的 充 要 条 件 ; ③ 函 数

9 、 ①

?x ? R, 2x2 ? x ? 1 ? 0 ; ② “ x ? 1 1 的最小值为 2 y ? x2 ? 2 ? x2 ? 2



y?2

” 是 “

x? y ?3

其中假命题的为_________(将你认为是假命题的序号都填上) 答案 ①

二、 填空题

10.已知 x, y, z ? R , x ? 2 y ? 3z
答案 3 11.已知

?

? 0 ,则

y2 xz

的最小值



x, y ? R ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____
1 16
? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A
在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0, 则

答案

12 .函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a 为 答案 8 .

1 2 ? m n

的最小值

13.三个同学对问题“关于 的解题思路.

x 的不等式 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自
. x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”

甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 丙说: “把不等式两边看成关于

. x 的函数,作出函数图像”

参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 是 解析 由 .

a 的取值范围

x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax,1? x ?12 ? a ? x ? 25 ? | x 2 ? 5 x | ,而 x ] 成 立 ; 且 | x 2 ? 5x ? | 0, 等 号 当 且 仅 当 x ? 25 ? 2 x?25 ?10 , 等 号 当 且 仅 当 x ? 5? [1,1 2时 x x 时成立;所以, x ? 5? [1,1 2 ] a ?[ x ? 25 ? | x 2 ? 5 x |]min ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;故 x a ?(??,10] ;

答案(-∞,10) 14.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 费与总存储费用之和最小,则 _______

x?

x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4 x 万元,要使一年的总运
吨. 则需要购买 x 吨,

400 次, 运费为 4 万元/次, 一年的总存储费用为 4 x x 400 400 1600 ? 4 ? 4 x 万元, ? 4 ? 4 x ≥160,当 ? 4 x 即 x ? 20 吨 万元,一年的总运费与总存储费用之和为 x x x
解析 某公司一年购买某种货物 400 吨, 每次都购买 时,一年的总运费与总存储费用之和最小。 答案 2 15.已知直线 l 过点 P ( 2, 最小值为 答案 4 .

1 ) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, O

为坐标原点,则三角形 OAB 面积的

解析

设直线 l 为

,则有关系





应用2元均值

不等式,得

,即 ab≥8 .于是,△OAB 面积为

.从而应填 4.

第二部分 三年联考题汇编 2009 年联考题
一、选择题

1、下列结论正确的是

(

)

A .当

x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ?

1 ?2 lg x
D. 0

B. 当x

? 0 时, x ?

1 ?2 x

C.当

x ? 2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

? x ? 2 时, x ?

1 无最大值 x

答案 B 2、若直线 ax ? 2by ? 2

? 0(a ? 0, b ? 0) ,始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,
( B.5 D. )



1 ? 2 的最小值为 a b

A.1 C.

4 2

3? 2 2

答案 D 二、填空题

2007-2008 年联考题
1、当 x>1 时,不等式 x+ A.(-∞,2] 答案 D 2、已知正整数 a , b 满足 4a+b=30 ,使得 A.(5,10) 答案 A B. (6,6)

1 ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ?1
B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]

1 1 ? 取最小值时,则实数对( a, b) 是( a b
D. (7,2)



C. (10,5)

? 0, b ? 0 且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是 ( ) 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 1 C. ab ? 2 D. 2 ? A. B. 2 ab 2 a b 8 a ?b
3、若 a 答案 D

4、设 f (x)= x -6x+5,若实数 x、y 满足条件 f (y)≤ f (x)≤0,则

2

y x

的最大值为(



A. 9-4

5

B. 1

C. 3

D. 5

答案 D

5、已知 a, b ? R ,且 ab>0,则下列不等式不正确 的是( ...



A. |

a ? b |? a ? b

B. |

a ? b |?| a | ? | b |

C. 2

ab ?| a ? b |

D.

b a ? ?2 a b

答案 B 6、设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是

A.

a ?b ? a ?c ? b ?c
a ? 3 ? a ?1 ? a ? 2 ? a

B. a

2

C.

1 1 ?a? 2 a a 1 ?2 D. a ? b ? a?b ?

答案 D

7、若

a2 1 1 b a ? ? 0 ,则下列不等式:① | a |?| b | ;② a ? b ? ab ;③ ? ? 2 ;④ ? 2a ? b a b a b b
) B.2个 C.3个 D.4个

中,正确

的不等式有( A.1个 答案 C 8、已知 0 A.

? a ? b ,且 a+b=1,则下列不等式中,正确的是(
B. 2


a ?b

log2 a ? 0 log2 a ? log2 b ? ?2

?

1 2

C.

D. 2 b a

a b ?

?

1 2

答案 C 9、已知 a,b 为正实数,且 a

? 2b ? 1, 则
B.6

1 1 ? 的最小值为( a b
C.3-



A.

4 2

2 2

D.3+

2 2

答案 D 10、如果存在实数 x,使 cos

??

x 1 ? 成立,那么实数 x 的取值范围是( 2 2x
B.



A.{-1,1}

{x | x ? 0或x ? 1} {x | x ? ?1或x ? 1}

C.

{x | x ? 0或x ? ?1}

D.

答案 A


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