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数学期望练习


一对一授课教案
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
基础梳理 离散型随机变量的均值与方差 1.一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn



则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn 为 ξ 的均值或数学期望,简称期望. 称 D? = ( x1 ? E? ) ? p1 + ( x2 ? E? ) ? p2 +?+ ( xn ? E? ) 2 ? pn 为随机变量 ? 的均方差,
2 2

简称为方差,式中的 E? 是随机变量 ? 的期望. 标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ? 的标准差,记作 ?? . 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值的平均水 平;方差 DX 表示 X 对 EX 的平均 偏离程度, DX 越大,表示平均偏离程度越大,说明 X 的取值越分散; DX 越小,表示平均偏离程度越小,说明 X 的取值越集中稳定。 正态分布: 1.正态分布密度函数:
? 1 f ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

,(σ >0,-∞<x<∞)

其中π 是圆周率;e 是自然对数的底;x 是随机变量的取值;μ 为正态分布的均值;σ 是正 态分布的标准差.正态分布一般记为 N (?, ? )
2 2
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2.正态分布 N (?, ? ) )是由均值μ 和标准差σ 唯一决定的分布

3.正态曲 线的性质:正态分布由参数μ 、σ 唯一确定,如果随机变量 ? ~N(μ ,σ ),根
2

据定义有:μ =E ? ,σ =D ? 。 正态曲线具有以下性质:(1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交。(2)曲线关于直线 x = μ 对称。(3)曲线在 x =μ 时位于最高点。(4)当 x <μ 时,曲线上升;当 x >μ 时,曲 线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近。(5)当 μ 一定时,曲线的形状由σ 确定。σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散;σ 越小,曲 线越“瘦高”,表示总体的分布越集中。 4.标准正态曲线:当μ =0、σ =l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是

1

f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

,(-∞<x<+∞),其相应的曲线称为标准正态曲线

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标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问 题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题:
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y 标准正态分布曲线 f?x? =

? ?

1 ?e 2??

? ?
x2 2

x

x

对于标准正态总体 N(0,1), ?( x0 ) 是总体取值小于 x0 的概率,即 ?( x0 ) ? P( x ? x0 ) , 其中 x0 ? 0 ,图中阴影部分的面积表示为概率 P( x ? x0 ) 只要有标准正态分布表即可查表
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解决.从图中不难发现:当 x0 ? 0 时, ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) ;而当 x0 ? 0 时,Φ (0)=0.5 6.对于正态总体 N (?, ? 2 ) 取值的概率:

68.3%
x

95.4%
x

99.7%
x







在区间(μ -σ ,μ +σ )、(μ -2σ ,μ +2σ )、(μ -3σ ,μ +3σ )内取值的概率 分别为 68.26%、95.44%、99.74% 因此我们时常只在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内研究正态总 体 分 布 情 况 , 而 忽略 其中 很 小 的 一 部 分 在 实 际应 用 中 , 通 常 认 为服 从于 正 态 分 布
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的随机变量 X 只取(μ -3σ ,μ +3σ )之间的值,并简称之为 3 ? 原则。 N (?,? 2) 三种分布 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=p(1-p); (2)X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p); (3)若 X 服从超几何分布,则 E(X)=n . 六条性质 (1)E(C)=C(C 为常数) (2)E(aX+b)=aE(X)+b(a、b 为常数) (4)如果 X1,X2 相互独立,则 E(X1·X2)=E(X1)E(X2) (6)D(aX+b)=a ·D(X) 双基自测
2
2

M N

(3)E(X1+X2)=EX1+EX2
2 2

(5)D(X)=E(X )-(E(X))

1.(2010·山东)样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则 样本方差为( ). A. 6 5 6 B. 5 C. 2 D.2

解析 由题意知 a+0+1+2+3=5×1,解得,a=-1.

s2=
答案 D

1-1

2

0-1

2

1-1 5 0 1 3 1 1 6

2

2-1

2

3-1

2

=2.

2. 已知 X 的分

X P

-1 1 2

布列为设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为( A. 7 3 B.4 C.-1 D.1

).

1 1 1 2 7 解析 E(X)=- + =- , E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=- +3= . 2 6 3 3 3 答案 A ξ 3.(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ 的分布 下: 已知ξ 的期望 E(ξ )=8.9,则 y 的值为( ) A.0.4 解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6.① 又 7x+0.8+2.7+10y=8.9, 化简得 7x+10y=5.4.② 答案 A 4.设随机变量 X~B(n,p),且 E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 ). D.n=7,p=0.45
? ?n=8, ?p=0.2. ?

7

8 0.1

9 0.3

10

P

x

y





B.0.6

C.0.7

D.0.9

由①②联立解得 x=0.2, y=0.4.

解析 ∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6, D(X)=np(1-p)=1.28,∴? 5.(2010·上海)随机变量ξ 的概率分布列由下 表给出: 该随机变量ξ 的均值是________. ξ 7 0.3 8 0.35

9 0.2

10 0.15

P

解析 由分布列可知 E(ξ )=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2. 答案 8.2 6 设随机变量ξ ~N(μ ,σ ), 且 P(ξ ≤C)=P(ξ >C),则 C 等于( ) A.0 B.σ C.-μ D.μ 解析:由正态曲线的图象关于直线 x=μ 对称可得答案为 D. 答案:D 7.随机变量ξ 服从正态分布 N(0,1),如果 P(ξ <1)=0.8413,求 P(-1<ξ <0). 解: ∵ξ ~N (0, 1) , ∴P (-1<ξ <0) =P (0<ξ <1) =Φ(1) -Φ(0) =0.8413-0.5=0.3413. 考向一 离散型随机变量的均值和方差 【例 1】? A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1、A2、A3,B 队
3

队员是 B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵队员

A 队队员胜的概率
2 3 2 5 2 5

A 队队员负的概率
1 3 3 5 3 5

A1 和 B1 A2 和 B2 A3 和 B3

现按表中对阵方式出场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 X,Y (1)求 X,Y 的分布列;(2)求 E(X),E(Y). [审题视点] 首先理解 X,Y 的取值对应的事件的意义,再求 X,Y 取每个值的概率,列成分 布列的形式,最后根据期望的定义求期望. 解 (1)X,Y 的可能取值分别为 3,2,1,0.

P(X=3)= × × = ,P(X=2)= × × + × × + × × = , P(X=1)= × × + × × + × × = ,P(X=0)= × × = ;
8 28 根据题意 X+Y=3,所以 P(Y=0)=P(X=3)= ,P(Y=1)=P(X=2)= , 75 75 2 3 3 5 3 1 2 3 5 3 5 5 1 3 2 2 3 5 5 5 1 3 3 3 3 5 5 25

2 2 3 5

2 8 5 75

2 3

2 3 5 5

1 2 3 5

2 2 5 3

3 2 5 5

28 75

P(Y=2)=P(X=1)= ,P(Y=3)=P(X=0)= . X 的分 X P
0 3 25 1 2 5 2 28 75 3 8 75 布列为

2 5

3 25

Y 的分

Y P

3 3 25

2 2 5

1 28 78

0 8 75

布列为

8 28 2 3 22 23 (2)E(X)=3× +2× +1× +0× = ;因为 X+Y=3,所以 E(Y)=3-E(X)= . 75 75 5 25 15 15 (1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列,然后利用公 式计算. (2)由 X 的期望、方差求 aX+b 的期望、方差是常考题之一,常根据期望和方差的性质求解. 【训练 1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自 行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收
4

费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各 1 1 租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 , ;两小时以上且不超过三小时 4 2 1 1 还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过四小时. 2 4 (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ ,求ξ 的分布列及数学期望 E(ξ ). 1 1 解 (1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 , . 4 4 1 1 1 1 1 1 5 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A,则 P(A)= × + × + × = . 4 2 2 4 4 4 16 5 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . 16 (2)ξ 可能取的值有 0,2,4,6,8.

P(ξ =0)= × = ;P(ξ =2)= × + × = ;P(ξ =4)= × + × + × = ; P(ξ =6)= × + × = ;P(ξ =8)= × = .
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ 的分布列为 ξ 0 1 8 2 5 16 4 5 16 6 3 16 8 1 16 1 1 2 4 1 1 4 4 3 16 1 4 1 1 4 16

1 1 4 2

1 8

1 4

1 1 4 2

1 5 2 16

1 2

1 1 4 4

1 1 2 4

1 5 4 16

P

1 5 5 3 1 7 所以 E(ξ )=0× +2× +4× +6× +8× = . 8 16 16 16 16 2 考向二 均值与方差性质的应用 1 2 【例 2】设随机变量 X 具有分布 P(X=k)= ,k=1,2,3,4,5,求 E(X+2) ,D(2X-1), 5

D X-1 .
[审题视点] 利用期望与方差的性质求解. 1 1 1 1 1 15 解 ∵E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = =3. 5 5 5 5 5 5

E(X2)=1× +22× +32× +42× +52× =11. D(X)=(1-3)2× +(2-3)2× +(3-3)2× +(4-3)2× +(5-3)2× = (4+1+0+1+4)
=2. ∴E(X+2) =E(X +4X+4)=E(X )+4E(X)+4=11+12+4=27.
2 2 2

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

5

D(2X-1)=4D(X)=8, D X-1 = D X = 2.
若 X 是随机变量,则η =f(X)一般仍是随机变量,在求η 的期望和方差时,熟练 应用期望和方差的性质,可以避免再求η 的分布列带来的繁琐运算. 考向三 均值与方差的实际应用 【例 3】? (2011·福建)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?, 8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符 合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

X1 P

5 0.4

6

7

8 0.1

a

b

且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值; (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2, 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件, 相应的等级系数组 成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 4 3 4 3 8 5 5 7 5 3 4 3 4 4 7 6 3 8 5 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性? 说明理由. 注:(1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. [审题视点] (1)利用分布列的性质 P1+P2+P3+P4=1 及 E(X1)=6 求 a,b 值. (2)先求 X2 的分布列,再求 E(X2),(3)利用提示信息判断. 解 (1)因为 E(X1)=6,所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即 6a+7b=3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1,即 a+b=0.5.
?6a+7b=3.2, ? 由? ?a+b=0.5, ?

解得?

?a=0.3, ? ?b=0.2. ?

(2)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2 f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如 下:
6

X2 P
所以

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下: 6 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 =1. 6 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 据此,乙厂的产品更具可购买性. 【训练 3】 某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后 1 1 1 可能获利 10%,可能损失 10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;如果 2 4 4 投资乙项目, 一年后可能获利 20%, 也可能损失 20%, 这两种情况发生的概率分别为α 和β (α +β =1). (1)如果把 10 万元投资甲项目, 用 X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金), 求 X 的概率分布及 E(X);(2)若把 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的 平均收益,求α 的取值范围. 解 (1)依题意,X 的可能取值为 1,0,-1, 4.8 =1.2. 4

X 的分布列为 X P E(X)= - = .
(2)设 Y 表示 10 万元投资乙项目的收益,则 Y 的分布列为: 1 1 1 2 4 4 1 1 2 0 1 4 -1 1 4

Y P

2 α

-2 β 1 4 9 16

E(Y)=2α -2β =4α -2,依题意要求 4α -2≥ ,∴ ≤α ≤1.

7


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