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安元杰-第11节 解析几何-直线&圆


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学 员 辅 导 教 案
学生姓名: 教 学 目 标 安元杰 授课时间___2016__年__3__月__31__日(星期_四__) 科目: 数 学
圆的方程,点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系

复 习

点斜式 斜截式 点到直线之

间的距离公式 直线与直线之间的距离

1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.



2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程

第 一 课 时

学 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 内 容 及
4.圆的一般方程 D E - ,- ?,半径 r= x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0,其中圆心为? 2? ? 2 D2+E2-4F . 2 5.确定圆的方程的方法和步骤



确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程;

书 (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组;
(3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则以 AB 为直径的圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)= 0.( √ ) (3) 方程 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是 A = C≠0 , B = 0 , D2 + E2 -

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4AF>0.( √ ) (4)方程 x2+2ax+y2=0 一定表示圆.( × ) 1? (5)圆 x2+2x+y2+y=0 的圆心是? ?1,2?.( × )

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2 (6)若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外,则 x2 0+y0+Dx0+Ey0+F>0.( √

)

1.(教材改编)x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3) 答案 D B.(-2,3) D.(2,-3)

)

D E? 2 2 解析 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的圆心为? ?- 2 ,- 2 ?,∴圆 x +y -4x+6y=0 的圆心为(2,- 3). 2.(2015· 北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案 D 解析 圆的半径 r= 12+12= 2,∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 3.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( 2 A.a<-2 或 a> 3 C.-2<a<0 答案 D 解析 由题意知 a2+4a2-4(2a2+a-1)>0, 2 解得-2<a< . 3 4. (教材改编)圆 C 的圆心在 x 轴上, 并且过点 A(-1,1)和 B(1,3), 则圆 C 的方程为______________. 答案 (x-2)2+y2=10 2 B.- <a<0 3 2 D.-2<a< 3 ) )

解析 设圆心坐标为 C(a,0), ∵点 A(-1,1)和 B(1,3)在圆 C 上, ∴|CA|=|CB|, 即 ?a+1?2+1= ?a-1?2+9,解得 a=2, ∴圆心为 C(2,0), 半径|CA|= ?2+1?2+1= 10, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10.

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方),且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为__________________; (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________.

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5.(2015· 湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上

答案 解析

(1)(x-1)2+(y- 2)2=2

(2)- 2-1

|AB|?2 2 (1)由题意,设圆心 C(1,r)(r 为圆 C 的半径),则 r2=? ? 2 ? +1 =2,解得 r= 2.所以圆 C

的方程为(x-1)2+(y- 2)2=2. (2) 令 x=0,得 y= 2± 1,所以点 B(0, 2+1).又点 C(1, 2),所以直线 BC 的斜率为 kBC= -1,所以过点 B 的切线方程为 y-( 2+1)=x-0,即 y=x+( 2+1). 令 y=0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1.

基础自测 2 2 2 1.方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 ( )? ? A.a<-2 或 a> ? C.-2<a<0 ?
2 2

2 3

B.- <a<0 ? D.-2<a< ?
2 3

2 3

2.圆 x +y +2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a、b∈R)对称,则 ab 的取值范围是 ( )?
1? ? A. ? ? ? ?, ? ? 4? 1? B. ? ? 0, ? ? 4? ? C. ? ? ? ,0 ? ? 1 ? 4 ? 1? D. ? ? ? ?, ? ? ? 4?

3.过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 ( )? 2 2 2 2 ? A.(x-3) +(y+1) =4 ? B.(x+3) +(y-1) =4 ? 2 2 2 2 ? C.(x-1) +(y-1) =4 ? D.(x+1) +(y+1) =4 ? 4.以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程为 ( )? 2 2 2 2 ? A.(x-2) +(y+1) =3 B.(x+2) +(y-1) =3 ? 2 2 2 2 ? C.(x-2) +(y+1) =9 D.(x+2) +(y-1) =9 ? 2 2 2 5.直线 y=ax+b 通过第一、三、四象限,则圆(x+a) +(y+b) =r (r>0)的圆心位于( A.第一象限 ? B.第二象限? ? C.第三象限 D.第四象限?

)?

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1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系. d<r?相交;d=r?相切;d>r?相离. >0?相交; ? ? (2)代数法:Δ= ― ― → ?=0?相切; b2-4ac ? ?<0?相离.
判别式

2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0). 方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 【知识拓展】 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆 x2+y2=r2 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为 x0x+y0y=r2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0 条;②内切:1 条;③相交:2 条;④外切:3 条; ⑤外离:4 条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的必要不充分条件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × ) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × ) (5)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2.( √ ) (6)过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则 O,P,A,B 四点 共圆且直线 AB 的方程是 x0x+y0y=r2.( √ ) 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 代数法: 联立两圆方程组成方程组 的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

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1.(教材改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 C.相交过圆心 答案 B B.相交但直线不过圆心 D.相离

)

|2×1-2-5| 解析 由题意知圆心(1, -2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= = 5< 6且 2×1+(-2) 22+1 -5≠0,所以直线与圆相交但不过圆心. 2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1] C.[-3,1] 答案 C 解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, ∴ |a-0+1| ≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 12+?-1?2 ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) )

3.(2014· 湖南)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m 等于( A.21 C.9 答案 C B.19 D.-11

解析 圆 C1 的圆心 C1(0,0),半径 r1=1,圆 C2 的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心 C2(3,4),半径 r2= 25-m,从而|C1C2|= 32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即 1+ 25-m =5,解得 m=9,故选 C. 4.(2015· 山东)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反 射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5 答案 D 解析 由已知,得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性, 知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y |-3k-2-2k-3| +3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有 d= =1,解得 k k2+1 4 3 =- 或 k=- ,故选 D. 3 4 5.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. ) 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4

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答案 4 3

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解析 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2, 即 |4k-2|
2

4 ≤2.整理,得 3k2-4k≤0.解得 0≤k≤ . 3 k +1

4 故 k 的最大值是 . 3

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.已知点 A(1,-1),B(-1,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是 ( A.x2+y2=2 C.x2+y2=1 答案 A 解析 AB 的中点坐标为(0,0), |AB|= [1-?-1?]2+?-1-1?2=2 2, ∴圆的方程为 x2+y2=2. 2.设圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若 0<a<1,则原点与圆的位置关系是 ( A.原点在圆上 C.原点在圆内 答案 B 解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a,因为 0<a<1, 所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0, 即 ?0+a?2+?0+1?2> 2a, 所以原点在圆外. 3.已知圆 M 的圆心在 x 轴上,且圆心在直线 l1:x=-2 的右侧,若圆 M 截直线 l1 所得的弦长为 2 3,且与直线 l2:2x- 5y-4=0 相切,则圆 M 的方程为 ( A.(x-1) +y =4 C.x2+(y-1)2=4 答案 B ?a+2? +? 3? =r , ? ? 解析 由已知,可设圆 M 的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为 r,得?|2a-4| =r, ? ? 4+5
2 2 2 2 2

)

B.x2+y= 2 D.x2+y2=4

)

B.原点在圆外 D.不确定

)

B.(x+1) +y =4 D.x2+(y+1)2=4

2

2

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? ?a=-1, 解得满足条件的一组解为? ?r=2, ?

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所以圆 M 的方程为(x+1)2+y2=4. 4.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 答案 A 解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 x2 0+y0=4,连线中点坐标为(x,y),

)

?2x=x0+4 ?x0=2x-4, ? ? 则? ?? ?2y=y0-2 ?y0=2y+2, ? ?
2 2 2 代入 x2 0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1.

2 5.圆心在曲线 y= (x>0)上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为 ( x A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y-1)2=25 答案 A 2 解析 由圆心在曲线 y= (x>0)上, x 2? 设圆心坐标为? ?a,a?,a>0. 又圆与直线 2x+y+1=0 相切, 2 2a+ +1 a 4+1 所以圆心到直线的距离 d= ≥ = 5, 5 5 2 当且仅当 2a= ,即 a=1 时取等号, a 所以圆心坐标为(1,2), 圆的半径的最小值为 5, 则所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.

)

6.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是__________________. 答案 解析 如图, 3 25 y+ ?2= (x-2)2+? ? 2? 4

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设圆心坐标为(2,y0),半径为 r,则
2 2 ? ?y0+4=r , ? ?|1-y0|=r, ?

3 5 解得 y0=- ,r= , 2 2 3?2 25 ∴圆 C 的方程为(x-2)2+? ?y+2? = 4 . 7.(2015· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相 切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为_____________________________________. 答案 解析 (x-1)2+y2=2 直线 mx - y - 2m - 1 = 0 恒过定点 (2 ,- 1) ,由题意,得半径最大的圆的半径 r =

?1-2?2+?0+1?2= 2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. 8.已知 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c.点 P(x,y)是圆 x2+y2=r2 (r>0)上一点, 且满足 ax+by=c,则 r 的最小值为________. 答案 1 解析 由题设得,直线 ax+by=c 与圆 x2+y2=r2 有公共点,所以 r≥ 为 1. c =1,故 r 的最小值 a2+b2





直线的点斜式方程

本次课程实际授课时间:_____月____日______点至_______点结束

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