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一元二次不等式及其解法教案



一元二次不等式及其解法教案
【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一 元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力 和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究 一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事 物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】

1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材 P76 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型:

x 2 ? 5 x ? 0 …………………………(1)
2.讲授新课 1)一元二次不等式的定义
象 x ? 5 x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元
2

二次不等式

2)探究一元二次不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集
怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x ? 5x 的图象,如图,观察函数图象,可知:
2

当 x<0,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y>0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

所以,不等式 x ? 5 x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? ,从而解决了本节开始时提出的问题。
2

3)探究一般的一元二次不等式的解法
任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 :

ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)
一般地,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集呢?
2 2

组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑 以下两点:
2 2 (1)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况, 也就是一元二次方程 ax ? bx ? c =0

的根的情况
2 (2)抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号

总结讨论结果:
2 (l)抛物线 y ? ax ? bx ? c (a> 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一

元二次方程 ax ? bx ? c =0 的判别式 ? ? b ? 4ac 三种取值情况(Δ> 0,Δ=0,Δ<0)来确
2 2

定.因此,要分二种情况讨论 (2)a<0 可以转化为 a>0 分 Δ>O,Δ=0,Δ<0 三种情况,得到一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解
2 2

集 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 2 2 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,
2

则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 77 页的表格)

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

二次函数
y ? ax2 ? bx ? c

(a ? 0) 的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
[范例讲解] 例2

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

? ?

(课本第 78 页)求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.
2
2

解:因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ? 所以,原不等式的解集是 ? x x ?

1 . 2

? ?

1? ? 2?

例 3 (课本第 78 页)解不等式 ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 .
解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x
2

? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ? .

从而,原不等式的解集是 ? .

3.随堂练习
课本第 80 的练习 1(1)、(3)、(5)、(7)

4.课时小结
解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+”:A= ax ? bx ? c >0(或<0)(a>0)
2

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x2 , ?

?若A ? 0,则x ? x1或 ? x2; ?若A ? 0,则x1 ? x ? x2 .

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x2 = x0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?

ⅲ. ? <0 时,方程无解, ? ③ 写出解集.

?若A ? 0,则x ? R; ?若A ? 0,则x ??.

5.评价设计
课本第 80 页习题 3.2[A]组第 1 题


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