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2014世纪金榜课时提升作业(六) 第二章 第三节


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课时提升作业(六)
一、填空题 1.已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lg x,设
6 3 5 则 a,b,c 的大小关系

为___________. a ? f( ), b ? f( ), c ? f( ), 5 2 2

2.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1)=_________. 3.已知定义在 R 上函数 f(x)是奇函数,对 x∈R 都有 f(2+x)=-f(2-x),则 f(2 012)=__________. 4.(2013·南通模拟)已知函数 f(x)=x2-|x|,若 f(-m2-1)<f(2),则 m 的取值范 围是__________. 5.(2013·苏州模拟)已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的单调递增函数,且 f(2m+1)<f(m-3),则 m 的取值范围是____________.
2 ? ? x ? 2x, x ? 0, 6.(2013·扬州模拟)若函数 f ? x ? ? ? 2 是奇函数,则满足 f(x)>a 的 x 的 ? ? ? x ? ax, x ? 0

取值范围是____________. 7.定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,则不等式 f(1)<f(lg x)的解集为___________. 8.(2013·徐州模拟)给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离 参数 x 最近的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x-{x}|的四个命题:
-1-

1 2

1 2

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①函数 y=f(x)的定义域是 R,值域是 [0, ] ; ②函数 y=f(x)的图象关于直线 x ? (k∈Z)对称; ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④函数 y=f(x)在 上是增函数. [ ? ,] 则其中真命题是____________. 9.函数 f ? x ? ?
1 1 2 2 k 2

1 2

? x ? 1?? x ? a ? 为奇函数,则 a=__________.
x
1 , 若 f(1)=-5,则 f ?x?

10.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? f(f(5))=_________.

11.(2012·上海高考)已知 y=f(x)是奇函数,若 g(x)=f(x)+2,且 g(1)=1,则 g(-1)=__________. 12.(能力挑战题)函数 y=f(x)(x∈R)有下列命题: (1)在同一坐标系中,y=f(x+1)与 y=f(-x+1)的图象关于直线 x=1 对称.(2)若 f(2-x)=f(x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.(3)若 f(x-1)=f(x+1),则 函数 y=f(x)是周期函数,且 2 是一个周期.(4)若 f(2-x)=-f(x),则函数 y=f(x) 的图象关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是_________. 二、解答题 13.已知函数 f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值. (1)求实数 a 的取值范围. (2)设 g(x)为定义在 R 上的奇函数, 且当 x<0 时, g(x)=f(x),求 g(x)的解析式. 14.(2013·南京模拟)已知函数 f(x)=|x-a|,g(x)=ax(a∈R). (1)判断函数 f(x)的对称性和奇偶性.
-2-

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(2)当 a=2 时,求使 g2(x)f(x)=4x 成立的 x 的集合. (3)当 a>0 时,记 F(x)=g(x)-f(x),若 F(x)在(0,+∞)上有最大值,求 a 的取值 范围.

答案解析
6 4 4 5 5 5 3 1 1 1 b ? f( ) ? f( ? ) ? ?f( ) ? ?lg ? lg 2, 2 2 2 2 5 1 1 c ? f( ) ? f( ) ? lg , 2 2 2 5 1 5 1 ≧ 2> > , ? lg 2>lg >lg , 4 2 4 2

1.【解析】≧ a ? f( ) ? f( ? ) ? ?f( ) ? ?lg ? lg ,

4 5

5 4

?b>a>c. 答案:b>a>c 2.【解析】因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b=-1,所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 答案:-3 3.【解析】≧f(x)在 R 上是奇函数且 f(2+x)=-f(2-x), ?f(2+x)=-f(2-x)=f(x-2), ?f(x)=f(x+4),故函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ?f(2 012)=f(0)=0. 答案:0
2 ? ? x ? x, x ? 0, 4.【解析】≧ f ? x ? ? x ? x ? ? 2 ? ? x ? x, x ? 0, 2

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其图象如图,若 f(-m2-1)<f(2),则-2<-m2-1<2,?-1<m<1.

答案:(-1,1) 5.【解析】≧函数 f(x)是定义在(-≦,+≦)上的单调递增函数, ?对于两个自变量 x1,x2,f(x1)<f(x2)等价于 x1<x2. 又≧f(2m+1)<f(m-3), ?2m+1<m-3?m<-4. 答案:m<-4 6.【解析】当 x<0 时,-x>0,?f(-x)=x2+2x, ?f(x)=-x2-2x,?a=-2, ? f ?x? ? ?
? x 2 ? 2x, x ? 0, ? 2 ? ? ? x ? 2x, x ? 0.

当 x≥0 时,由 x2-2x>-2,得 x∈R,?x≥0, 当 x<0 时,由-x2-2x>-2, 得 ?1 ? 3 ? x ? ?1 ? 3, ? ?1 ? 3 ? x ? 0. 综上, x ? ?1 ? 3. 答案: (?1 ? 3, ??) 7. 【解析】 ≧f(x)是 R 上的偶函数且在区间 [0,+≦)上为减函数,?f(x)在(-≦,0]
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上为增函数. 若 f(1)<f(lg x), 则-1<lg x<1,解得 答案: ( ,10)
?? ? ? x, ? 1 ? x ? 1 , 2 2 ? ? 1 3 ? 8.【解析】由题知 x ? ?x? ? ? x ? 1, ? x ? , 2 2 ? 3 5 ? ? x ? 2, 2 ? x ? 2 , ? ? ??

1 ? x ? 10. 10

1 10

作出 f(x)=|x-{x}|的图象如图.

由此可知①②③正确. 答案:①②③ 9.【解析】由题意知,g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数, ?a=-1. 答案:-1 10.【解析】≧ f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? 4? ?
1 , f ?x?

1 ? f ?x?, f ? x ? 2?

-5-

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?f(5)=f(1)=-5, ? f ? f ? 5? ? ? f ? ?5 ? ? f ? 3? ? 答案: ?
1 5
1 1 ?? . f ?1? 5

11.【思路点拨】先根据 g(1)求 f(1),从而 f(-1)可求,再求 g(-1). 【解析】由 g(x)=f(x)+2,且 g(1)=1, 得 f(1)=g(1)-2=-1. ≧f(x)是奇函数,?f(-1)=-f(1)=1, ?g(-1)=f(-1)+2=1+2=3. 答案:3 【变式备选】已知周期函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)的最小正周期 为 3,f(1)<2,f(2)=m,则 m 的取值范围为________. 【解析】≧函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)的最小正周期为 3, ?f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1), 又 f(1)<2,f(2)=m, ?m=-f(1)>-2, ?m>-2. 答案:(-2,+≦) 12.【解析】对于(1),y=f(x+1)的图象由 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位得到, y=f(-x+1)的图象, 由 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到, 而 y=f(x)与 y=f(-x) 关于 y 轴对称, 从而 y=f(x+1)与 y=f(-x+1)的图象关于直线 x=0 对称, 故(1)错. 对于(2),由 f(2-x)=f(x)将 x 换为 x+1 可得 f(1-x)=f(1+x),从而(2)正确. 对于(3),由 f(x-1)=f(x+1)将 x 换为 x+1 可得,f(x+2)=f(x),从而(3)正确.
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对于(4),由 f(2-x)=-f(x)同上可得 f(1-x)=-f(1+x),从而(4)正确. 答案:(2)(3)(4) 【误区警示】解答本题时,易误以为(1)正确,出错的原因是混淆了两个函数 y=f(x+1)与 y=f(-x+1)的图象关系与一个函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(-x+1)时图 象的对称关系. 13.【解析】(1) f ? x ? ? ? ?
?? a ? 2 ? x ? 4,x ? 2, ? ?? a ? 2 ? x ? 4,x<2,
?a ? 2 ? 0, ?-2≤a≤2, ?a ? 2 ? 0,

要使函数 f(x)有最小值,需 ?

即当 a∈[-2,2]时,f(x)有最小值. (2)≧g(x)为定义在 R 上的奇函数, ?g(0)=0, 设 x>0,则-x<0, ?g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,
?? a ? 2 ? x ? 4, x>0, ? ? g ? x ? ? ?0, x ? 0, ? a ? 2 x ? 4, x<0. ? ??

14. 【解析】 (1)由函数 f ? x ? ? ?

? x ? a, x ? a, 可知函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. ?? x ? a, x ? a,

当 a=0 时,函数 f(x)=|x|是一个偶函数; 当 a≠0 时,≧f(a)=0,f(-a)=2|a|≠0, 故函数 f(x)=|x-a|是非奇非偶函数. (2)由题意得 x2|x-2|=x,得 x=0 或 x|x-2|=1, 解得 x=0 或 x=1 或 x ? 1 ? 2 ,故所求的集合为{0,1, 1 ? 2 }.

-7-

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(3)对于 a>0,F(x)=g(x)-f(x)=ax-|x-a|= ? ?

?? a ? 1? x ? a, 0 ? x ? a, ? ?? a ? 1? x ? a, x ? a,

若 a>1,F(x)在区间(0,a),[a,+≦)上单调递增,无最大值; 若 a=1, F ? x ? ? ?
?2x ? 1, 0 ? x ? 1, 有最大值 1; ?1, x ? 1

若 0<a<1, F(x)在区间(0,a)上递增, 在 [a,+≦)上递减, F(x)有最大值 F(a)=a2. 综上所述,当 0<a≤1 时,F(x)有最大值.

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