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1.5 正弦函数的性质与图像(第2课时) 课件 高中数学必修4(北师大版)


求函数的定义域 1.确定函数定义域的依据 (1)分式中,分母不能为零. (2)偶次根式中,被开方式非负. (3)指数式中,底数为0时指数必然大于0. (4)对数式中,底数大于零且不等于1,真数大于零. 2.解三角不等式sinx>m(或sinx<m)的一般步骤. 利用图像解不等式sinx>m(或<m)的关键就 是求方程sinx=m的解,也就是求函数y=sinx,x∈R的图像与 直线y=m的交点横坐标. 【例1】求下列函数的定义域 (1) y ? sinx. (2) y ? log 2 1 ? 1. sinx 【审题指导】本题中有二次根式、对数式、分式,可利用 求函数定义域的依据,列出不等式 (组),通过解不等式(组) 求出定义域. 【规范解答】(1)为使函数有意义,需要满足sinx≥0,由 正弦函数的图像可知2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z. ∴原函数的定义域为{x︳2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z}. 1 ? log ?1 ? 0 2 (2)为使函数有意义,需要满足 ? sinx ? ? 1 ? ?sinx>0 sinx ? ? 即? 2 ? ?sinx>0. 方法一:画正弦函数的图像(如图所示) 方法二:画单位圆(如图所示) 由图像可知原函数的定义域为 ? 5? {x | 2k?<x ? 2k? ? , k ? Z} ? {x | 2k? ? ? x<2k? ? ?, k ? Z}. 6 6 函数奇偶性的判断及应用 函数奇偶性的判断 (1)依据:函数奇偶性的定义. (2)方法: ①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称. ②若定义域不关于原点对称,则知原函数既不是奇函数, 也不是偶函数;若定义域关于原点对称,则继续判断f(x) 与f(-x)的关系. ③若f(x)=-f(-x),则知f(x)是奇函数. 若f(x)=f(-x),则知f(x)是偶函数. 对于正弦函数要注意诱导公式sin(-x)= -sinx的应用. 【例2】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=xsin(π +x). (2) f ? x ? ? 2sinx ? 1. (3) f ? x ? ? lg(sinx ? 1 ? sin 2 x ). 【审题指导】解答本题要注意以下两个关键问题:(1)先判 断定义域是否关于原点对称.(2)注意用诱导公式及对数的 运算性质变形,判断f(x)与f(-x)的关系. 【规范解答】(1)函数f(x)=xsin(π+x)的定义域为R. ∵f(x)=xsin(π+x)=x(-sinx)=-xsinx ∴f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x) ∴函数f(x)=xsin(π+x)是偶函数. (2)由2sinx-1≥0,即 sinx ? 1 ,得函数定义域为 ? 5? (k∈Z), [2k? ? , 2k? ? ] 6 6 2 此定义域在x轴上表示的区域不关于原点对称. ∴该函数既不是奇函数,也不是偶函数. (3)∵ 1 ? sin 2 x> sin 2 x ?| sinx | ∴ 1 ? sin 2 x ? sinx>0 ∴函数的定义域为R f ? ? x ? ? lg(?sinx ? 1 ? sin 2 x ) ? lg ? lg (?sinx ? 1 ? sin 2 x )(sinx ? 1 ? sin 2 x ) sinx ? 1 ? sin 2 x 1 sinx ? 1 ? sin 2 x ? ?lg(sinx ? 1 ? sin 2

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