当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省中山一中2009-2010学年高二下学期期中考试文科数学试题


中山一中 2009~2010 学年第三次段考 高二数学(文科)试题 审核人:王君 第 一 卷
一、选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题中真命题的个数是( (1)所有的素数是奇数; )

校对:陈亮

(2) ?x ? R, ( x ? 1) 2 ? 1 ? 1;

(3

)有的无理数的平方是无理数. A.0 B.1 2.不等式 A. (1, 4)

C.2

D.3

x ?1 ? 0 的解集是( x?4
B. (4, ??)

) C. (1, ??) D. (??,1) ) D. a5 ? 0 )

(4, ??)

3.已知等差数列{an}满足 a1 ? a2 ? a3 ? A. a1 ? a10 ? 0 B. a2 ? a9 ? 0
2

? a10 ? 0 ,则(

C. a3 ? a8 ? 0

4.等比数列 {an } 的各项为正,公比 q ? 4 ,则 A.

a3 ? a4 的值为( a4 ? a5

1 4

B.2

C. ? 1 2 )

D. 1 2

5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 ,则 ( A. an = 2n ? 1
2

B. an = 2n ? 1
2 2

C. an = ?

(n=1) (n=1) ?2 ?2 D. an = ? ?2n ? 1 (n>1) ?2n ? 1 (n>1)
) D . 30 ?

6.在 ?ABC 中, a ? c ? b ? ab ,则角 C 为( A. 60 ? B. 45 ? 或 135? C. 120?

7 .平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是: “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ,那么( A.甲是乙成立的充分不必要条件 C.甲是乙成立的充要条件 )

B.甲是乙成立的必要不充分条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件

? x ? y ? ?1 ? 8.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 3 ?
A.4 9. 设椭圆 B.11 C.12 D.14



1 x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同, 离心率为 , 2 2 m n


则此椭圆的方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 12 16

x2 y 2 ? ?1 B. 16 12

x2 y 2 ? ?1 C. 48 64


x2 y 2 ? ?1 D. 64 48

10.在抛物线 y 2 ? 8 x 中,以 (1, ?1) 为中点的弦的方程是( A. x ? 4 y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. 4 x ? y ? 3 ? 0

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.命题: “若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的逆否命题是 12.设 x, y ? R ? 且 .

1 1 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为 x y



13.与双曲线 .

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,并且经过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为 9 16

14.如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过 25 16

F 每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,
是 椭 圆 的 一
3







, . 5


6

P 1

?

F

2

? P

F?

P 4

?

F

? P

F?

P

第 二 卷 三、解答题: (共 80 分) 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 已知 a ? 2 ,

c ? 3 , cos B ?

1 . 4

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin C 的值.

16. (本小题满分 14 分)设 F1 、 F2 分别为椭圆 C : 个焦点.

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右两 a2 b2

(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1 、 F2 两点的距离之和等于 4,求出椭圆 C 的方程和焦 点坐标; (Ⅱ)设 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,求线段 PF 1 的中点 M 的轨迹方程.

3 2

17. (本小题满分 14 分)设 Sn 等比数列 ?an ? 的前 n 项 和,且 a2 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

1 4 , S2 ? 9 9

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

18. (本小题满分 14 分)已知顶点在原点 O ,准线方程是 y ? ?1 的抛物线与过点 M (0,1) 的 直线 l 交于 A , B 两点,若直线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 1 (Ⅰ)求此抛物线的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程; (Ⅲ )求直线 l 与抛物线相交弦 AB 的弦长。

19. (本小题满分 12 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧 墙 (利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建, 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的 进出口,已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的造价为 180元 / m ,设利用的旧墙的长度为

2

x (单位:元)。
(Ⅰ)写出总费用 y 与 x 的函数关系式, (Ⅱ)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

20 . (本小题满分 12 分)已知 △ ABC 的顶点 A , B 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上, C 在直线

l:y ? x ? 2 上,且 AB // l .
(Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积; (Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.

中山一中 2009~2010 学年第三次段考 高二数学(文科)试题(参考答案) 一、选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 C 1 D 2 3 C 4 D 5 C 6 A 7 B 8 B 9 B 10 C

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.若 x ? 0 且 y ? 0 ,则 xy ? 0 ; 12. 4; 13.

x2 y2 ? ? 1; 9 4 4

14. 35.

三、解答题: (共 80 分) 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 已知 a ? 2 ,

c ? 3 , cos B ?

1 . 4
(Ⅱ)求 sin C 的值.
2 2 2

(Ⅰ)求 b 的值;

解: (Ⅰ)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B , 得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?
2 2 2

3分 5分 7分

1 ? 10 , 4

? b ? 10 .
(Ⅱ)方法 1:由余弦定理,得 cos C ? ∵ C 是 ?ABC 的内角, ∴ sin C ? 1 ? cos C ?
2

a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 10 ? 9 10 , ? ? 2ab 8 2 ? 2 ? 10

10 分 11 分

3 6 . 8

14 分

方法 2:∵ cos B ?

1 ,且 B 是 ?ABC 的内角, 4
2

∴ sin B ? 1 ? cos B ? 根据正弦定理,

15 . 4

b c ? , sin B sin C

c sin B ? 得 sin C ? b

3?

15 4 ?3 6 . 8 10

16. (本小题满分 14 分)设 F1 、 F2 分别为椭圆 C : 个焦点.

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右两 a2 b2

(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1 、 F2 两点的距离之和等于 4,求出椭圆 C 的方程和焦 点坐标; (Ⅱ)设 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,求线段 PF 1 的中点 M 的轨迹方程.

3 2

解: (Ⅰ)由椭圆上的点 A(1, ) 到两焦点 F1 、 F2 两点的距离之和等于 4, 知 2a ? 4 ? a ? 2 , 2分
2 2

3 2

3 ( )2 3 x y 1 又点 A(1, ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,因此 2 ? 2 2 ? 1 ? b 2 ? 3 , 2 a b 2 b
2

4分 5分

于是 c ? 1 ,
2

x2 y2 ? ? 1 ,焦点坐标为 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) ; 所以,所求椭圆方程为 4 3

7分

x ?1 ? x? 0 ? ? x0 ? 2 x ? 1 ? 2 (Ⅱ)设中点 M ( x, y ) ,并设动点 P( x0 , y0 ) ,则 ? ?? ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? 0 ? 2 ?
又因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

10 分

x y x2 y2 ? ? 1 上,于是 0 ? 0 ? 1 , 4 3 4 3

2

2

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 1 2 4y2 ? ? 1 ,化简得 ( x ? ) ? ?1 , 即 4 3 2 3
所以,所求轨迹方程为 ( x ? ) ?
2

1 2

4y2 ?1 . 3
1 4 , S2 ? 9 9

14 分

17. (本小题满分 14 分)设 Sn 等比数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a2 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an
? 1 ? a ? ? ? 1 3 ?? ?a ? a q ? 4 ?q ? 1 ? 1 1 ? 9 ? 3 ? 1
6分

1 4 ?a1q ? 9 解: (Ⅰ)设首项为 a1 ,公比为 q ,由 a2 ? , S 2 ? 得 ? 9 9 ? ? an ?
(Ⅱ)

1 . 3n

bn ?

n n ,?bn ? n3 . an


8分

? Sn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? …? n3n ,

?3Sn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? …? n3n?1 .


n ?1

④-③得?2Sn ? n3n?1 ? (3 ? 32 ? 33 ? …? 3n ) .即 2Sn ? n3

?

3(1 ? 3n ) , 10 分 1? 3
14 分

? Sn ?

(2n ? 1)3n ?1 3 ? . 4 4

18. (本小题满分 14 分)已知顶点在原点 O ,准线方程是 y ? ?1 的抛物线与过点 M (0,1) 的 直线 l 交于 A , B 两点,若直线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 1 (Ⅰ)求此抛物线的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程; (Ⅲ )求直线 l 与抛物线相交弦 AB 的弦长。 解: (Ⅰ)由题意可知抛物线焦点在 y 轴正半轴,设抛物线的标准方程为 x2 ? 2 py 由准线方程是 y ? ?1 ,可得 p ? 2 所以抛物线的标准方程为 x2 ? 4 y (Ⅱ)设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1 , 代人抛物线的标准方程消 y 整理得 x ? 4kx ? 4 ? 0
2

4分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

y1 y2 ? ?1 x1 x2



因为 y1 ? kx1 ? 1, y2 ? kx2 ? 1 ,代人①,得 2k ? ( 因为 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,代人②得 k ? 1 所以直线 l 的方程为: y ? x ? 1 (Ⅲ )将直线方程与抛物线的标准方程联立得: ? 消 y 整理得 x ? 4 x ? 4 ? 0
2

1 1 ? ) ?1 x1 x2



9分

? y ? x ?1
2 ?x ? 4 y

因为 x1 ? x2 ? 4 , x1 x2 ? ?4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 8

14 分

19. (本小题满分 12 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧 墙 (利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建, 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的 进出口,已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的造价为 180元 / m ,设利用的旧墙的长度为

2

x (单位:元)。
(Ⅰ)写出总费用 y 与 x 的函数关系式, (Ⅱ)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 解: (Ⅰ)设矩形的另一边长为 a m 则 y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a ? 225x ? 360a ? 360 由已知 ax ? 360 ,得 a ? 所以 y ? 225 x ? 2分

360 , x
6分

3602 ? 360( x ? 0) x 3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 x

(II)

x ? 0,? 225 x ?

8分

3602 3602 ? y ? 225x ? ? 360 ? 10440.当且仅当 225 x ? 时,等号成立. x x
即当 x ? 24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.
2 2

10 分 12 分

20 . (本小题满分 12 分)已知 △ ABC 的顶点 A , B 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上, C 在直线

l:y ? x ? 2 上,且 AB // l .
(Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积; (Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.

0) ,所以 AB 所在直线的方程为 y ? x . 1 分 解: (Ⅰ)因为 AB // l ,且 AB 边通过点 (0,
设 A , B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 由? 得 x ? ?1 . ?y ? x
所以 AB ?

3分

2 x1 ? x2 ? 2 2 .
2,

4分 5分 6分

又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离.于是 h ? 所以 S△ ABC ?

1 AB h ? 2 . 2

(Ⅱ)设 AB 所在直线的方程为 y ? x ? m ,

由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ?y ? x ? m

得 4 x ? 6mx ? 3m ? 4 ? 0 .
2 2

8分

因为 A , B 在椭 圆上,所以 ? ? ?12m ? 64 ? 0 .
2

9分

设 A , B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) ,

3m 3m2 ? 4 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 2 4

32 ? 6m2 所以 AB ? 2 x1 ? x2 ? . 2
又因为 BC 的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离,即 BC ?
2 2 2

10 分

2?m 2



11 分

2 2 所以 AC ? AB ? BC ? ?m ? 2m ? 10 ? ?(m ? 1) ? 11 .

所以当 m ? ?1 时, AC 边最长, (这时 ? ? ?12 ? 64 ? 0 ) 此时 AB 所在直线的方程为 y ? x ? 1 . 12 分


相关文章:
广东省中山一中2009-2010学年高二下学期期中考试文科数学试题
中山一中 20092010 学年第三次段考 高二数学(文科)试题 审核人:王君 第一卷一、选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题中...
广东省中山一中2009-2010学年高二下学期期中考试文科数学试题
广东省中山一中2009-2010学年高二下学期期中考试文科数学试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。55445 学年第三次段考 中山一中 2009~2010 学年第三次段考 ~...
广东省中山一中2009-2010学年高二下(必修5+选修1-1)
中山一中 20092010 学年第三次段考 高二数学(文科)试题 第一卷一、选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题中真命题的个数...
广东省中山市第一中学2009-2010学年度高一数学第一次段考测试 新人教版
广东省中山市第一中学 20092010 学年度高一级第一次段考数学满分 150 分,时间 120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A={2,4,6}...
中山一中2009—2010学年度下学期第三次段考高二数学(文科)试题
2009— 中山一中 20092010 学年度下学期第三次段考高二数学(文科) 高二数学(文科)试题(时间:120 分钟,满分:150 分) 第一卷一、选择题: (每题只有一个正确...
广东省中山一中2009—2010学年度高二下学期第三次段考
2009— 广东省中山一中 20092010 学年度高二下学期第三次段考英语试题 试题第一部分: 听力理解(5 段共 15 小题;每小题 1 分,满分 15 分) 听第一段对话...
广东省中山一中2009-2010学年高二下(选修2-1)
广东省中山一中2009-2010学年高二下(选修2-1) 隐藏>> 中山一中 2009—2010 学年度上学期第三次段考 高 二 数 学 试 卷 满分 150 分,时间 120 分钟 一、...
四川省南溪一中2009-2010学年高二下学期期中考试理科数学试题
广东省中山一中2009-2010学... 8页 5财富值 广东省中山一中2009-2010学......四川省南溪一中2009-2010学年高二下学期期中考试理科数学试题 隐藏>> 南溪一中高...
中山一中2009—2010学年度下学期第三次段考高二数学(理科)试题
2009— 中山一中 20092010 学年度下学期第三次段考高二数学( 高二数学(理科)试题(时间:120 分钟,满分:150 分) 第一卷一、选择题:本大题共 10 题,每小题...
2009-2010学年度 朝阳区高二数学文科期末试题
江苏省新海高级中学2009... 5页 2下载券 中山一中20092010学年... 10页...朝阳区 2008——2009 学年第二学期期末高二年级数学学科试卷 (文科)一、选择题...
更多相关标签:
高二文科数学期中试卷 | 高二文科物理期中考试 | 高二物理期中文科试卷 | 高二上文科数学期中 | 高一生物下学期期中 | 高二下学期数学 | 高二下学期班会 | 2016年下学期期中考试 |