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1.2.2全称量词与存在量词


1.2.2全称量词与存在量词

1.4.1 全 称 量 词

思考:
下列语句是命题吗? 1 )与), 3 2 )与4 )之间有什么关系? 1) x ? 3 2)2 x ? 1 是整数 3)对所有的 x ? R, x ? 3 4)对任意一个x ? Z , 2 x ? 1是整数

一、 全 称 量 词

/>短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常 叫做全称量词.用符号“ ? ”表示。 含有全称量词的命题,叫做全称命题。 常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给”等.

例 如 : ( 1) 对 任 意 n ? Z ,2n ? 1是 奇 数 (2)所 有 的 正 方 形 都 是 矩 形

二、 全称命题的符号表示
通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)? 表示,变量x的取值范围用M表示。

例 如 , 对 任 意 一 个

x ? R, x ? 3

全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符 号简记为

?x ? M , p( x)
读作“任意x属于M,有P(x)成立”。

例1 判断下列全称命题的真假: 1)所有的素数都是奇数;

2)?x ? R, x 2 ? 1 ? 1;
3)对每一个无理数x,x 也是无理数.
?
2

要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一 个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称命题为 假时,只要在给定的集合中找到一个元素x0,使命题 p(x0)为假。

1.4.2 存 在 量 词

思考:
下列语句是命题吗? 1 )与), 3 2 )与4 )之间 有什么关系? 1)2 x ? 1 ? 3; 2) x能被2和3整除; 3)存在一个 x ? R, 使 2 x ? 1 ? 3; 4)至少有一个x ? Z , x能被 2和3整除。

二、 存在量词
短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中 通常叫做存在量词.用符号“ ”表示。

?

含有存在量词的命题,叫做特称命题。 常见的存在量词还有“有些” “有一个” “对某个”“有的”等.
例如: 1 )有一个素数不是奇数。 2 )有的平行四边形是菱形。

二、 特称命题的符号表示
特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用 符号简记为

?x0 ? M , p( x0 )
读作“存在M中的元素x0 ,使p(x0)成立”。

例1 判断下列特称命题的真假: 1)有一个实数x,使x +2x+3=0成立; 2)存在两个相交平面垂直同一条直线; 3)有些整数只有两个正因数. ? 要判断一个特称命题为真,只要在给定的集 合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为真; ?要判断一个特称命题为假,必须对在给定集合 的每一个元素x,使命题p(x)为假。 练习:判断下列命题的真假:
(1)
(2)
2

?x0 ? Z , x ? 1; ?x0 ? Q, x ? 3.
2 0 2 0

练习:判断下列命题的真假

(1)每个指数函数都是单调函数 ? (2)任何实数都有算术平方根 2 ? ? ?x ? x | x是 无 理 数 ,x 是 无 理 数 。 ? (3) ? (4)至少有一个整数,它既不是素数,也不 是合数 2 ?x0 ??x | x是 无 理 数 ? ,x0 是 无 理 数 。 ? (5)
?

1.4.3 含有一个量词的命题

的否定

思考: 写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形;

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
命题(1)的否定 并非所有的矩形都是平行四边形 也就是说:存在一个矩形不是平行四边形 命题(2)的否定 并非每一个素数都是奇数 也就是说:存在一个素数不是奇数 命题(3)的否定 并非所有的x∈R,x2-2x+1≥0都成立 也就是说

?x0 ? R, x ? 2x0 ?1 ? 0
2 0

思考: 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成 了特称命题

一、全称命题的否定
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定, 有如下结论:
全称命题p: 它的否定﹁p:

?x ? M , p( x)

?x0 ? M , ?p( x0 )

全称命题的否定是特称命题

例1写出下列全称命题的否定: ,并判断真假 1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;

2) p : 每 一 个 四 边 形 的 四 个 顶

点 共 圆

3)p:对任意x ? Z,x2的个位数字不等于3。

写出下列命题的否定 思考2: 1)有些实数的绝对值是正数; 2)某些平行四边形是菱形;
命题(1)的否定

3)?x0 ? R, x ? 1 ? 0
2 0

不存在一个实数,它的绝对值是正数

也就是说:所有实数的绝对值都不是正数 命题(2)的否定 没有一个平行四边形是菱形

也就是说:每一个平行四边形都不是菱形 命题(3)的否定 不存在x0∈R,使x02 +1<0成立 也就是说

?x ? R, x ? 1 ? 0
2 0

思考: 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成 了全称命题

二、特称命题的否定
一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有如下结论:
特称命题p: 它的否定﹁p:

?x0 ? M , p( x0 )
?x ? M , ?p( x)

特称命题的否定是全称命题

例1 写 出下列特 称命题 的否定: ,并判断真假 1)p:?x ? R,x +2x+3 ? 0;
2

2)p:有的三角形是等边三角形;
3)p:有一个素数含有三个正因数

例2写出下列命题的否定,并判断真假: 1)p:任意两个等边三角形都是相似的;

2)?x0 ? R, x ? 2 x0 ? 2 ? 0
2 0

3)每个函数都有反函数

4)?x0 ? ?x | x ? Z ? , log 2 x ? 0
5)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根。 6)所有等圆的面积相等,周长也相等。

7)对 任 意 角 ?, 都 有 sin ? ? cos ? ? 1
2 2


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