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初中数学分式计算题及答案


分式计算题精选
一.选择题(共 2 小题) 1. (2012?台州)小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事,然后乘出租车返回,出租车的平均速度比公共 汽车多 20 千米/时,回来时路上所花时间比去时节省了 ,设公共汽车的平均速度为 x 千米/时,则下面列出的方程 中正确的是( A. ) B. C. D.

2. (2011?齐齐哈尔)分式方程 A.0 和 3 二.填空题(共 15 小题) 3.计算 4.若
2

=

有增根,则 m 的值为( C.1 和﹣2

) D.3

B.1

的结果是 _________ . ,xy+yz+zx=kxyz,则实数 k= _________
2

5.已知等式:2+ =2 × ,3+ =3 × ,4+

=4 ×

2

,…,10+ =10 × , (a,b 均为正整数) ,则 a+b= _________

2

6.计算(x+y)?

= _________ .

7.化简

,其结果是 _________ .

8.化简:

= _________ .

9.化简:

= _________ .

10.化简:

= _________ .

11.若分式方程:

有增根,则 k= _________ .

12.方程 13.已知关于 x 的方程

的解是 _________ . 只有整数解,则整数 a 的值为 _________ .

14.若方程

有增根 x=5,则 m=

_________ .

15.若关于 x 的分式方程 16.已知方程

无解,则 a= _________ .

的解为 m,则经过点(m,0)的一次函数 y=kx+3 的解析式为 _________ .

17.小明上周三在超市花 10 元钱买了几袋牛奶,周日再去买时,恰遇超市搞优惠酬宾活动,同样的牛奶,每袋比 周三便宜 0.5 元,结果小明只比上次多花了 2 元钱,却比上次多买了 2 袋牛奶,若设他上周三买了 x 袋牛奶,则根 据题意列得方程为 _________ . 三.解答题(共 13 小题) 18.计算: 19.化简: .

20.A 玉米试验田是边长为 a 米的正方形减去一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下部分,B 玉米试验田是边长为 (a﹣1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了 500 千克. (1)哪种玉米的单位面积产量高?

21.化简:

= _________ . 22.化简:



23.计算:



24.计算



25.解方程:



26.解方程:

27.解方程:

=0.

28.① 解方程:2﹣

=1;

② 利用① 的结果,先化简代数式(1+

)÷

,再求值.

29.解方程: (1) (2) .

30.解方程: (1) ﹣ =1; (2) ﹣ =0.

2014 寒假初中数学分式计算题精选
参考答案与试题解析
一.选择题(共 2 小题) 1. (2012?台州)小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事,然后乘出租车返回,出租车的平均速度比公共 汽车多 20 千米/时,回来时路上所花时间比去时节省了 ,设公共汽车的平均速度为 x 千米/时,则下面列出的方程 中正确的是( A. ) B. C. D.

考点: 由实际问题抽象出分式方程. 专题: 压轴题. 分析: 根据公共汽车的平均速度为 x 千米/时,得出出租车的平均速度为(x+20)千米/时,再利用回来时路上所花
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时间比去时节省了 ,得出分式方程即可. 解答: 解:设公共汽车的平均速度为 x 千米/时,则出租车的平均速度为(x+20)千米/时, 根据回来时路上所花时间比去时节省了 ,得出回来时所用时间为: × 根据题意得出: = × , ,

故选:A. 点评: 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,本题的关键是把握题意,利用回来时路上所花时间比去时节 省了 ,得出方程是解题关键.

2. (2011?齐齐哈尔)分式方程 A.0 和 3 B.1

=

有增根,则 m 的值为( C.1 和﹣2

) D.3

考点: 分式方程的增根;解一元一次方程. 专题: 计算题. 分析: 根据分式方程有增根,得出 x﹣1=0,x+2=0,求出即可. 解答: 解:∵ 分式方程 = 有增根,
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∴ x﹣1=0,x+2=0, ∴ x1=1,x2=﹣2. 两边同时乘以(x﹣1) (x+2) ,原方程可化为 x(x+2)﹣(x﹣1) (x+2)=m, 整理得,m=x+2, 当 x=1 时,m=1+2=3; 当 x=﹣2 时,m=﹣2+2=0, 当 m=0 时,分式方程变形为 故 m=0 舍去, 即 m 的值是 3, ﹣1=0,此时分式无解,与 x=﹣2 矛盾,

故选 D. 点评: 本题主要考查对分式方程的增根,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,理解分式方程的增根的意义是 解此题的关键. 二.填空题(共 15 小题) 3.计算 的结果是 .

考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据运算顺序,先对括号里进行通分,给 a 的分子分母都乘以 a,然后利用分式的减法法则,分母不变,只
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把分子相减,进而除法法则,除以一个数等于乘以这个数的倒数,并把 a ﹣1 分解因式,约分即可得到化简 结果. 解答: 解: = = = 故答案为: 点评: 此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算,是一道基础题.注意运算的结果必 须是最简分式. ÷( ? ﹣ )

2

4.若

,xy+yz+zx=kxyz,则实数 k= 3

考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 分别将

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去分母,然后将所得两式相加,求出 yz+xz+xy=3xyz,再将 xy+yz+zx=kxyz

代入即可求出 k 的值.也可用两式相加求出 xyz 的倒数之和,再求解会更简单. 解答: 解:若 则 + + = yz+2xz+3xy=5xyz;① + + = =7, =5, ,

3yz+2xz+xy=7xyz;② ① +② 得,4yz+4xz+4xy=5xyz+7xyz, 4(yz+xz+xy)=12xyz, ∴ yz+xz+xy=3xyz ∵ xy+yz+zx=kxyz, ∴ k=3. 故答案为:3. 点评: 此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握,解答此题的关键是先求出 yz+xz+xy=3xyz.

5. (2003?武汉)已知等式:2+ =2 × ,3+ =3 × ,4+ 109 .

2

2

=4 ×

2

,…,10+ =10 × , (a,b 均为正整数) ,则 a+b=

2

考点: 分式的混合运算. 专题: 规律型. 分析: 易得分子与前面的整数相同,分母=分子 2﹣1. 解答: 2 2 解:10+ =10 × 中,根据规律可得 a=10,b=10 ﹣1=99,∴ a+b=109.
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点评: 此题的关键是找到所求字母相应的规律.

6. (1998?河北)计算(x+y)?

= x+y .

考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 把第一个分式的分母先进行因式分解,再算乘法化简,再算加法即可. 解答: 解:原式=
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点评: 此题要注意运算顺序:先算乘法,再算加法;也要注意 y﹣x=﹣(x﹣y)的变形.

7. (2011?包头)化简

,其结果是



考点: 分式的混合运算. 分析: 运用平方差公式、平方公式分别将分式分解因式,将分式除法转换成乘法,再约分化简,通分合并同类项 得出最简值. 解答: 解:原式= ? ?(a+2)+
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= = = = .

+

故答案为: 点评: 本题主要考查分式的混合运算,其中涉及平方差公式、平方公式、约分、通分和合并同类项等知识点.

8. (2010?昆明)化简:

=



考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先把括号里的式子通分,然后把除法运算转化成乘法运算,最后进行约分. 解答: 解:原式= × = .
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点评: 本题主要考查分式的混合运算,注意运算顺序.

9. (2009?成都)化简:

=



考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 把第二个分式的分子分母先因式分解,再把除法统一成乘法化简,最后算减法. 解答: 解: =1﹣ =1﹣ =
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=



点评: 此题运算顺序:先除后减,用到了分解因式、约分、合并同类项等知识点.

10. (2008?包头)化简:

=



考 分式的混合运算. 点: 专 计算题. 题: 分 能因式分解的分子或分母要先因式分解,先算小括号里的,再算除法. 析: 解 解:原式=[ ﹣ 答:
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=

÷

=

×

故答案为



点 此题主要考查分式的化简、约分.对于一般的分式混合运算来讲,其运算顺序与整式混合运算一样,是先乘方,再乘除 评:最后算加减,如果遇括号要先算括号里面的.在此基础上,有时也应该根据具体问题的特活应变,注意方法.

11. (2012?攀枝花)若分式方程:

有增根,则 k= 1



考点: 分式方程的增根. 专题: 计算题. 分析: 把 k 当作已知数求出 x=
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,根据分式方程有增根得出 x﹣2=0,2﹣x=0,求出 x=2,得出方程

=2,

求出 k 的值即可. 解答: 解:∵ ,

去分母得:2(x﹣2)+1﹣kx=﹣1, 整理得: (2﹣k)x=2, ∵ 分式方程 有增根,

∴ x﹣2=0,2﹣x=0, 解得:x=2, 把 x=2 代入(2﹣k)x=2 得:k=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了对分式方程的增根的理解和运用,把分式方程变成整式方程后,求出整式方程的解,若代入分 式方程的分母恰好等于 0,则此数是分式方程的增根,即不是分式方程的根,题目比较典型,是一道比较好 的题目.

12. (2012?太原二模)方程

的解是 x=2 .

考点: 解分式方程. 分析: 首先分时两边同时乘以 x﹣3 去分母,再去括号、移项、合并同类项、把 x 的系数化为 1,可以算出 x 的值, 然后要进行检验. 解答: 解: ,
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去分母得:1+2(x﹣3)=﹣(x﹣1) , 去括号得:1+2x﹣6=﹣x+1, 移项得:2x+x=1﹣1+6, 合并同类项得:3x=6, 把 x 的系数化为 1 得:x=2, 检验:把 x=2 代入最简公分母 x﹣3≠0, 则 x=2 是分式方程的解, 故答案为:x=2. 点评: 此题主要考查了分式方程的解法,关键是掌握(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化 为整式方程求解. (2)解分式方程一定注意要验根. 13. (2012?合川区模拟)已知关于 x 的方程 0或4 . 考点: 分式方程的解. 分析: 首先解此分式方程,即可求得 x=
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只有整数解,则整数 a 的值为 ﹣2,

=﹣2﹣

,由方程只有整数解,可得 1﹣a=3 或 1 或﹣3 或﹣1,

然后分别分析求解即可求得答案,注意分式方程需检验. 解答: 解:方程两边同乘以(x﹣1) (x+2) , 得:2(x+2)﹣(a+1) (x﹣1)=3a, 解得:x= =﹣2﹣ ,

∵ 方程只有整数解, ∴ 1﹣a=3 或 1 或﹣3 或﹣1, 当 1﹣a=3,即 a=﹣2 时,x=﹣2﹣1=﹣3, 检验,将 x=﹣3 代入(x﹣1) (x+2)=4≠0,故 x=﹣3 是原分式方程的解; 当 1﹣a=1,即 a=0 时,x=﹣2﹣5=﹣7, 检验,将 x=﹣7 代入(x﹣1) (x+2)=40≠0,故 x=﹣7 是原分式方程的解;

当 1﹣a=﹣3,即 a=4 时,x=﹣2+1=﹣1, 检验,将 x=﹣1 代入(x﹣1) (x+2)=﹣2≠0,故 x=﹣1 是原分式方程的解; 当 1﹣a=﹣1,即 a=2 时,x=1, 检验,将 x=1 代入(x﹣1) (x+2)=0,故 x=1 不是原分式方程的解; ∴ 整数 a 的值为:﹣2,0 或 4. 故答案为:﹣2,0 或 4. 点评: 此题考查了分式方程的解知识.此题难度较大,注意分类讨论思想的应用是解此题的关键. 14.若方程 有增根 x=5,则 m= ﹣5 .

考点: 分式方程的增根. 专题: 计算题. 分析: 由于增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 0 的根,所以将方程两边都乘(x﹣5)化 为整式方程,再把增根 5 代入求解即可. 解答: 解:方程两边都乘 x﹣5,得 x=2(x﹣5)﹣m, ∵ 原方程有增根, ∴ 最简公分母 x﹣5=0, 解得 x=5, 把 x=5 代入,得 5=0﹣m, 解得 m=﹣5. 故答案为:﹣5. 点评: 本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行: ① 让最简公分母为 0 确定增根; ② 化分式方程为整式方程; ③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
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15.若关于 x 的分式方程

无解,则 a= 0 .

考点: 分式方程的解. 专题: 计算题. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,根据分式方程无解得到 x﹣1=0,求出 x 的值代入整式方程即可求出 a 的 值. 解答: 解:去分母得:2x﹣2a+2x﹣2=2, 由分式方程无解,得到 2(x﹣1)=0,即 x=1, 代入整式方程得:2﹣2a+2﹣2=2, 解得:a=0. 故答案为:0. 点评: 此题考查了分式方程的解,注意在任何时候都要考虑分母不为 0.
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16.已知方程

的解为 m,则经过点(m,0)的一次函数 y=kx+3 的解析式为 y=﹣x+3 .

考点: 解分式方程;一次函数图象上点的坐标特征. 专题: 计算题. 分析: 首先解分式方程求出 m 的值,然后把(m,0)代入一次函数 y=kx+3 的解析式中,从而确定 k 的值,也就 确定了函数的解析式.
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解答:

解:∵



∴ x﹣1=2, ∴ x=3, 当 x=3 时,x﹣1≠0, ∴ m=3, 把(3,0)代入解析式 y=kx+3 中 ∴ 3k+3=0, ∴ k=﹣1, ∴ y=﹣x+3. 点评: 此题考查了分式方程的解法,也考查了待定系数法确定一次函数的解析式,对于解分式方程时要注意验根. 17.小明上周三在超市花 10 元钱买了几袋牛奶,周日再去买时,恰遇超市搞优惠酬宾活动,同样的牛奶,每袋比 周三便宜 0.5 元,结果小明只比上次多花了 2 元钱,却比上次多买了 2 袋牛奶,若设他上周三买了 x 袋牛奶,则根 据题意列得方程为 .

考点: 由实际问题抽象出分式方程. 专题: 应用题;压轴题. 分析: 关键描述语为:“每袋比周三便宜 0.5 元”;等量关系为:周三买的奶粉的单价﹣周日买的奶粉的单价=0.5. 解答: 解:周三买的奶粉的单价为: ,周日买的奶粉的单价为: .所列方程为: .
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点评: 列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.本题中用到的等量关系是:总金额=数量×单价. 三.解答题(共 13 小题) 18. (2010?新疆)计算:

考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展,在计算时,首先要弄清楚运算顺序,先去括号,再进行分 式的乘除. 解答: 解原式=
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= =x+2. 点评: 分式的混合运算中,通分和约分是解题的关键.

19. (2009?常德)化简:



考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先把小括号的通分,再把除法统一为乘法,化简即可.
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解答: 解:原式=

= = = .

点评: 本题主要考查分式的混合运算,注意运算顺序,通分、约分是解题的关键. 20. (2006?大连)A 玉米试验田是边长为 a 米的正方形减去一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下部分,B 玉米试 验田是边长为(a﹣1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了 500 千克. (1)哪种玉米的单位面积产量高? (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 考点: 分式的混合运算. 专题: 应用题. 分析: 此题要先读懂题意,列出式子,再进行分式的混合运算. 解答: 2 2 解: (1)A 玉米试验田面积是(a ﹣1)米 ,单位面积产量是
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千克/米 ;

2

B 玉米试验田面积是(a﹣1) 米 ,单位面积产量是 ∵ a ﹣1﹣(a﹣1) =2(a﹣1) 2 2 ∵ a﹣1>0,∴ 0<(a﹣1) <a ﹣1 ∴ <
2 2

2

2

千克/米 ;

2

∴ B 玉米的单位面积产量高;

(2)

÷

=

×

=

=

. 倍.

∴ 高的单位面积产量是低的单位面积产量的

点评: 此题是一道简单的应用题,学生在利用面积公式列出分式才可化简.

21. (2005?南充)化简:

=



考点: 分式的混合运算. 分析: 首先把括号里的式子进行通分,然后把除法运算转化成乘法运算,进行约分化简. 解答: 解:原式=
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= = = .

点评: 分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展,在计算时,首先要弄清楚运算顺序,先去括号,再进行分 式的乘除.

22. (2002?苏州)化简:



考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 本题的关键是正确进行分式的通分、约分,做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算,而做乘法运算 时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解,然后约分. 解答: 解: =
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=



=1, 故答案为 1. 点评: 本题主要考查分式的混合运算,通分、因式分解和约分是解答的关键.

23. (1997?南京)计算:



考点: 分式的混合运算. 专题: 压轴题. 分析: 先算括号里面的(通分后进行计算) ,同时把除法变成乘法,再约分即可. 解答: 解:原式=[ + ﹣ ]?
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=

?

=﹣1. 点评: 本题考查了分式的混合运算的应用,注意运算顺序:先算括号里面的,再算除法.

24. (2012?白下区一模)计算



考点: 分式的混合运算;分式的乘除法;分式的加减法. 专题: 计算题. 分析: 先把除法变成乘法,进行乘法运算,再根据同分母的分式相加减进行计算即可. 解答: 解:原式= ﹣ × ,
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= = =﹣

﹣ . .



点评: 本题考查可分式的加减、乘除运算的应用,主要考查学生的计算能力,分式的除法应先把除法变成乘法, 再进行约分,同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减.

25. (2010?孝感)解方程:



考点: 解分式方程. 专题: 计算题. 分析: 本题考查解分式方程的能力,因为 3﹣x=﹣(x﹣3) ,所以可得方程最简公分母为(x﹣3) ,方程两边同乘(x ﹣3)将分式方程转化为整式方程求解,要注意检验. 解答: 解:方程两边同乘(x﹣3) , 得:2﹣x﹣1=x﹣3, 整理解得:x=2, 经检验:x=2 是原方程的解. 点评: (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解. (2)解分式方程一定注意要验根. (3)方程有常数项的不要漏乘常数项.
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26. (2011?衢江区模拟)解方程:

考点: 换元法解分式方程. 专题: 计算题. 分析: 设 =y,则原方程化为 y= +2y,解方程求得 y 的值,再代入
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=y 求值即可.结果需检验.

解答: 解:设

=y,则原方程化为 y= +2y,

解之得,y=﹣ . 当 y=﹣ 时,有 =﹣ ,解得 x=﹣ .

经检验 x=﹣ 是原方程的根.

∴ 原方程的根是 x=﹣ . 点评: 用换元法解分式方程时常用方法之一,它能够把一些分式方程化繁为简,化难为易,对此应注意总结能用 换元法解的分式方程的特点,寻找解题技巧. 27. (2011?龙岗区三模)解方程: =0.

考点: 专题: 分析: 解答:

解分式方程. 计算题;压轴题. 观察可得方程最简公分母为 x(x﹣1) .方程两边同乘 x(x﹣1)去分母转化为整式方程去求解. 解:方程两边同乘 x(x﹣1) ,得 3x﹣(x+2)=0, 解得:x=1. 检验:x=1 代入 x(x﹣1)=0. ∴ x=1 是增根,原方程无解. 点评: (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解; (2)解分式方程一定注意要验根.
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28.① 解方程:2﹣

=1;

② 利用① 的结果,先化简代数式(1+

)÷

,再求值.

考点: 解分式方程;分式的化简求值. 专题: 计算题. 分析: ① 观察可得最简公分母为(x﹣1) ,去分母后将分式方程求解.同时对② 进行化简,即: (1+
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÷

=

=x+1,再将① 求得数值代入② 求值即可.

解答: 解:① 方程两边同乘 x﹣1,得 2(x﹣1)﹣1=x﹣1, 解得 x=2.经检验 x=2 是原方程的解. ∵ (1+ = × )÷

=x+1. ② 当 x=2 时,原式=2+1=3. 点评: 解分式方程要注意最简公分母的确定,同时求解后要进行检验;② 中要化简后再代入求值. 29.解方程: (1)

(2)



考点: 解分式方程. 专题: 计算题. 分析: (1)观察可得方程最简公分母为(x﹣2) (x+1) ; (2)方程最简公分母为(x﹣1) (x+1) ;去分母,转化为整式方程求解.结果要检验. 解答: 解: (1)方程两边同乘(x﹣2) (x+1) ,得
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(x+1) +x﹣2=(x﹣2) (x+1) , 解得 经检验 , 是原方程的解.

2

(2)方程两边同乘(x﹣1) (x+1) ,得 x﹣1+2(x+1)=1, 解得 x=0.经检验 x=0 是原方程的解. 点评: (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解. (2)解分式方程一定注意要验根. (3)分式中有常数项的注意不要漏乘常数项. 30.解方程: (1) ﹣ =1; (2) ﹣ =0.

考点: 解分式方程. 专题: 计算题. 2 分析: (1)由 x ﹣1=(x+1) (x﹣1) ,可知最简公分母是(x+1) (x﹣1) ; (2)最简公分母是 x(x﹣1) .方程两边都乘最简公分母,可把分式方程转换为整式方程求解. 2 2 解答: (1)解:方程两边都乘(x+1) (x﹣1) ,得(x+1) +4=x ﹣1,解得 x=﹣3. 检验:当 x=﹣3 时, (x+1) (x﹣1)≠0, ∴ x=﹣3 是原方程的解. (2)解:方程两边都乘 x(x﹣1) ,得 3x﹣(x+2)=0 解得:x=1. 检验:当 x=1 时 x(x﹣1)≠0, ∴ x=1 是原方程的解. 点评: 当分母是多项式,又能进行因式分解时,应先进行因式分解,再确定最简公分母.分式方程里单独的一个 数和字母也必须乘最简公分母.
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