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2016-2017学年高中数学第3章变化率与导数1变化的快慢与变化率课后演练提升北师大版选修1-1资料


2016-2017 学年高中数学 第 3 章 变化率与导数 1 变化的快慢与变 化率课后演练提升 北师大版选修 1-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在平均变化率的定义中,自变量的改变量 Δ x 满足( A.Δ x>0 C.Δ x≠0 解析: 当 Δ x>0 时,是从右端逼近, Δ x<0 时,是从左端逼近,但 Δ x≠0,故选 C. 答案: C Δy 2 2. 在曲线 y=x +1 的图像上取一点(1,2)及附近一点(1+Δ x,2+Δ y), 则 为( Δx 1 A.Δ x+ +2 Δx C.Δ x+2 1 B.Δ x- -2 Δx 1 D.2+Δ x- Δx ) B.Δ x<0 D.Δ x=0 )

解析: ∵x1=1,x2=1+Δ x,即 Δ x=x2-x1, ∴Δ y=(x2+1)-(x1+1)=(1+Δ x) +1-(1 +1) =2Δ x+(Δ x) , ∴ Δ y 2Δ x+?Δ x? = =2+Δ x. Δx Δx
2 2 2 2 2 2

答案: C 3. 一物体的运动方程是 s=3+t , 则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( A.0.41 C.4 解析: Δ s 3+2.1 -?3+2 ? = =4.1. Δt 2.1-2
2 2 2

)

B.3 D.4.1

答案: D 4.如果某物体做运动方程为 s=2(1-t )的直线运动(s 的单位为 m,t 的单位为 s),那 么其在 1.2 s 末的瞬时速度为( A.-0.88 m/s C.-4.8 m/s 解析: Δ s=s(1.2+Δ t)-s(1.2) =2[1-(1.2+Δ t) ]-2(1-1.2 )=-2(Δ t) -4.8Δ t, Δ s -2?Δ t? -4.8Δ t ∴ = =-2Δ t-4.8. Δt Δt
1
2 2 2 2 2

) B.0.88 m/s D.4.8 m/s

Δs ∴当 Δ t→0 时, →-4.8. Δt 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.函数 y=x -2x+1 在 x=-2 附近的平均变化率为________. 解析:
2 2

当自变量从-2 变化到-2+Δ x 时,函数的平均变化率为

Δy = Δx

?-2+Δ x? -2?-2+Δ x?+1-?4+4+1? =Δ x-6. Δx 答案: Δ x-6 1 6.质点的运动方程是 s(t)= 2,则质点在 t=2 时的速度为______.

t

解析:

Δ s s?2+Δ t?-s?2? = Δt Δt

1 1 2- ?2+Δ t? 4 4+Δ t = =- 2, Δt 4?2+Δ t? Δs 1 Δ t→0, →- . Δt 4 1 答案: - 4 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知函数 f(x)=2x +3x-5. Δy (1)求当 x1=4,且 Δ x=1 时,函数增量 Δ y 和平均变化率 ; Δx Δy (2)求当 x1=4,且 Δ x=0.1 时,函数增量 Δ y 和平均变化率 . Δx 解析: f(x)=2x +3x-5, ∴Δ y=f(x1+Δ x)-f(x1) =2(x1+Δ x) +3(x1+Δ x)-5-(2×x1+3×x1-5) =2[(Δ x) +2x1Δ x]+3Δ x =2(Δ x) +(4x1+3)Δ x. (1)当 x1=4,Δ x=1 时,Δ y=2+(4×4+3)×1=21, ∴ Δ y 21 = =21. Δx 1
2 2 2 2 2 2

(2)当 x1=4,Δ x=0.1 时, Δ y=2×0.1 +(4×4+3)×0.1=0.02+1.9=1.92,
2

2



Δ y 1.92 = =19.2. Δ x 0.1

8.求函数 y= x+1在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率. 解析: 设函数值变化量为 Δ y, ?x0+Δ x?+1-?x0+1? ∵Δ y= ?x0+Δ x?+1- x0+1= x0+Δ x+1+ x0+1 = Δx

x0+Δ x+1+ x0+1





Δy 1 = . Δx x0+Δ x+1+ x0+1 1

即 y= x+1在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率为 ? 尖子生题库 ?☆☆☆

x0+Δ x+1+ x0+1

.

9.(10 分)若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)
? ?t≥3? ① ?3t +2 s=? 2 ?29+3?t-3? ?0≤t<3? ② ?
2

.求:

(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度 v0; (3)物体在 t=1 时的瞬时速度. 解析: (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为 Δ t=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δ s=3×5 +2-(3×3 +2)=3×(5 -3 )=48, Δ s 48 ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为 = =24(m/s). Δt 2 (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t=0 的瞬时速度. ∵物体在 t=0 附近的平均变化率为 Δ s f?0+Δ t?-f?0? = Δt Δt 29+3[?0+Δ t?-3] -29-3?0-3? = =3Δ t-18, Δt ∴物体在 t=0 处的瞬时变化率为 lim Δs = lim (3Δ t-18)=-18, Δ t Δ t→0
2 2 2 2 2 2

Δ t→0

即物体的初速度为-18 m/s. (3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率. ∵物体在 t=1 附近的平均变化率为
3

Δ s f?1+Δ t?-f?1? = Δt Δt = 29+3[?1+Δ t?-3] -29-3?1-3? =3Δ t-12. Δt
2 2

∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为 lim = Δs =lim (3Δ t-12)=-12. Δ t Δ t→0

Δ t→0

即物体在 t=1 时的速度为-12 m/s.

4


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