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二项分布课件


讲课: 刘安庆

俺投篮,也是 讲概率地!!

第一投,我要努力!

Ohhhh,进球拉!!!

第二投,动作要注意!!

又进了,不愧 是姚明啊 !!

第三投,厉害了啊!!

第三次登场了!

这都进了!! 太

离谱了!

第四投,大灌蓝哦!!

……

姚明作为中锋,他职业生涯的罚球命中率为0.8, 假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是 多少?

n投k中呢?

姚明罚球一次,命中的概率是0.8

问题1:他在练习罚球时,投篮4次,全部投中的 概率是多少? 问题2:他在练习罚球时,投篮4次,全部没有投中 的概率是多少? 问题3:他在练习罚球时,投篮4次,恰好投中1次的

概率是多少?
问题4:他在练习罚球时,投篮4次,恰好投中2次的 概率是多少?

姚明罚球一次,命中的概率是0.8

问题1:他在练习罚球时,投篮4次,全部投中的 概率是多少?
分析: 令Ai

? “ 第i次投中” (i ? 1, 2, 3, 4)

用X 表示4次投篮中投中的次数
P( X ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 )
? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
? 0.8 4

问题2:他在练习罚球时,投篮4次,全部没有投中 的概率是多少?
分析: P( X ? 0) ? P( A1 A2 A3 A4 )
? P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 )
4 ? (1 ? 0.8)

问题3:他在练习罚球时,投篮4次,恰好投中1次的 概率是多少?
分析: 共有以下4种情况:
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4

A1 A2 A3 A4

3 每种情况的概率都为:0.81 ? (1 ? 0.8)
3 P ( X ? 1) ? 4 ? 0.81 ? (1 ? 0.8)

1 3 =C1 0.8 ( 1 ? 0.8 ) 4

问题4:他在练习罚球时,投篮4次,恰好投中2次的 概率是多少?
分析:包含C2种情况 4
2 2 0.8 ? ( 1 ? 0.8 ) 每种情况的概率都为:
2 2 2 P ( X ? 2) ? C4 0.8( 1 ? 0.8)

恰好投中三次呢?
3 3 1 P ( X ? 3) ? C4 0.8( 1 ? 0.8)

0 0 4 4 ? C4 0.8( 1 ? 0.8) (1 ? 0.8) P ( X ? 0) ?

1 1 3 P ( X ? 1) ? C4 0.8( 1 ? 0.8)
2 2 2 P ( X ? 2) ? C4 0.8(1 ? 0.8) 3 3 1 P ( X ? 3) ? C4 0.8( 1 ? 0.8)

1 ? 0.8) P ( X ? 4) ? 0.8 ? C 0.8(
4
4 4 4 0

连续投篮n次,恰好投中k次的概率为

P ( X ? k ) ? C 0.8(1 ? 0.8) ( k ? 0,1, 2,? n)
k n k n? k

思考:
在上面的投篮中,如果将一次投篮看成做了一次实验

1.一共进行了几次实验?每次实验有几个可能的结果?

4次试验

2个可能结果:投中和没投中

2.如果将每次实验的两个可能的结果分别称为“ 成功” 功的概率是多少?它们相同吗?

(投中)和“ 失败” (没投中),那么,每次实验成

每次实验成功的概率都是相同的,都为0.8

3.各次实验是否相互独立?
每次实验都是相互独立的

抽象概括:

(1)每次实验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“ 成功”

和“ 失败” ; (2)每次实验“ 成功” 的概率均为p,“ 失败” 的概率

均为1-p; (3)各次实验是相互独立的.
用X 表示这n次试验中成功的次数,则 k k n? k P ( X ? k ) ? Cn p(1 ? p) ( k ? 0,1, 2,? n)

若一个随机变量X的分布列如上所述,则称x服从参
数为n,p的二项分布。简记为

x~(n,p)

试验成功的概率
k n

实验失败的概率
k n ?k

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)

(其中k= 0,1,2,· · · ,n )
试验成功的次数 实验总次数

与二项式定理有联系吗?

例1. 下列随机变量X 服从二项分布吗?如果服从二项分布,
其参数各是什么?

(1)掷n枚相同的骰子,X 为出现“ 1” 点的骰子数; 1 X 服从二项分布 其参数n ? n,p ? 6 (2)n个新生儿,X 为男婴的个数(假定生男生女是等可能的); 1 X 服从二项分布 其参数n ? n,p ? 2 (3)某产品的次品率为p,X 为n个产品中的次品数;

(4)女性患色盲的概率为0.25%,X为任取n个女人 中患色盲的人数.

例 2. 某射击运动员进行了4次射击,假设每次射击击中目标
3 的概率都为 ,且各次击中目标与否是相互独立的.用 4 X 表示这4次射击中击中目标的次数,求X的分布列.



3 X 服从参数为n ? 4,p ? 的二项分布 4 则它的分布列为
k 4

3 k 1 4? k P ( X ? k ) ? C( ) ( k ? 0,1, 2, 3, 4) ( ) 4 4 即 1 2 4 0 3 X ?k
12 54 108 81 1 P( X ? k ) 256 256 256 256 256
目标被击中的 概率是多少?

二项分布的应用举例
掷硬币问题
①有人认为投掷一枚均匀的硬币10次,恰好5次正面 向上的概率很大。你同意他的想法吗?

1 10 p(X ? 5)? C ( ) ? 0.25 2
5 10

动手实践

②有的同学可能会继续思考,10次投掷中恰有一半 朝上的可能性不大,那么增加投掷次数,比如100 次,恰好出现一半“正面朝上”的可能性会不会大 一些呢?

1 100 P(Y ? 50)? C ( ) ? 0.08 2
50 100

动手实践

练习

9 种植某种树苗,成活率为 ,现在种植这种树苗 10 4棵,试求:

(1)全部成活的概率;
(2)全部死亡的概率;
(3)恰好成活3棵的概率;

(4)至少成活2棵的概率.

用X 表示4棵树苗中成活的棵数,那么X 服从参数 解: 9 为n ? 4,p ? 的二项分布,则它的分布列为 10 9 4? k k 9 k P ( X ? k ) ? C( ) (1 ? ) 4 10 10

(1)全部成活的概率为
9 4 6561 P ( X ? 4) ? C ( ) ? 4 10 10
4 4

(2)全部死亡的概率为
9 4 1 P ( X ? 0) ? C(1 ? ) ? 4 10 10
0 4

小结
1.二项分布

(1)每次实验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“ 成

功” 和“ 失败” ; (2)每次实验“ 成功” 的概率均为p,“ 失败” 的概率 均为1-p;

(3)各次实验是相互独立的.

用X 表示这n次试验中成功的次数,则 k k n? k P ( X ? k ) ? Cn ( k ? 0,1, 2,? n) p(1 ? p)
若一个随机变量X的分布列如上所述,称X 服从参数 为n, p的二项分布,简记为X ? B( n, p).

2.利用二项分布解决实际问题

课后思考题:“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮” 吗? 刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有5名谋士 (不包括诸葛亮),假定对某事进行决策时,每名谋 士贡献正确意见的概率为0.7,诸葛亮贡献正确意 见的概率为0.9.现为此事可行与否而分别征求智 囊团每名谋士的意见,并按智囊团中过半数人的 意见作出决策,这样作出正确决策的概率与诸葛 亮作出正确决策的概率谁大?

学生探究:已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.9,五位谋士贡献
正确意见的概率都为0.7, 每个人必须单独征求意见,符合独立重复 试验模型.由二项分布可求出谋士团体过半数人贡献正确意见的概率.

P( X ? k ) ? C ? 0.7 (1 ? 0.7)
k 3 k

n ?k

则三个人得出正确结论的概率为:
3 P ? 1 ? P(X ? 0)? 1 ? C0 0.3 ? 1 ? 0.027? 0.973 3

(3)恰好成活3棵的概率为
9 3 9 1 2916 P ( X ? 3) ? C ( )(1 ? ) ? 10 10 104
3 4

(4)至少成活2棵的概率为

P ( X ? 2) ? P ( X ? 2) ? P ( X ? 3) ? P( X ? 4)
9 2 9 2 9 1 3 9 3 4 9 4 ? C ( )(1 ? ) ? C4 ( ) (1 ? ) ? C4 ( ) 10 10 10 10 10
2 4

9963 ? 104


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