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第一章 概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义


二、概率的古典定义与统计定义
二、概率的古典定义与统计定义(p5-11) 概率的古典定义与统计定义(p5(p5

确定一个事件的概率有几种方法,这里介绍其中两种最主要的方法,在历史 上,这两种方法分别被称为概率的两种定义,即概率的古典定义及统计定义。 (一) 概率的古典定义 用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下: (1)所涉及的随机现象只有有限个样本点,设共有 n 个样本点; (2)每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件 含有 k 个样本点,则事件 的概率为:

(1.1-1) [例 1.1-3] [例 1.1-3]掷两颗骰子,其样本点可用数组(x , y)表示,其中,x 与 y 分别 例 表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:

它共含 36 个样本点,并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材 6 页 图。这个图很多同学看不懂!其实就是 x+y=?在坐标系反映出来的问题。

(二)排列与组合 (二)排列与组合 用古典方法求概率,经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排 列与组合是两类计数公式,它们的获得都基于如下两条计数原理。 (1)乘法原理: 如果做某件事需经 k 步才能完成,其中做第一步有 m1 种方

法, 做第二步 m2 种方法, 做第 k 步有 mk 种方法, 那么完成这件事共有 m1×m2×…×mk 种方法。 例如, 甲城到乙城有 3 条旅游线路,由乙城到丙城有 2 条旅游线路,那么从 甲城经乙城去丙城共有 3×2=6 条旅游线路。 (2) 加法原理: 如果做某件事可由 k 类不同方法之一去完成,其中在第一类 : 方法中又有 m1 种完成方法, 在第二类方法中又有 m2 种完成方法,在第 k 类方法 中又有 mk 种完成方法, 那么完成这件事共有 m1+m2+…+mk 种方法。
例如,由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机,而汽车有 5 个班次, 火车有 3 个班次,飞机有 2 个班次,那么从甲城到乙城共有 5+3+2=10 个班次供旅游选择。

排列与组合 排列与组合的定义及其计算公式如下:

①排列:从 n 个不同元素中任取)个元素排成一列称为一个排列。按乘法原 理,此种排列共有 n×(n1) ×…×(n-r+1) 个,记为。若 r=n, 称为全排列,全 排列数共有 n!个,记为 ,即:= n×(n-1) ×…×(n-r+1), = n!

②重复排列:从 n 个不同元素中每次取出一个作记录后放回,再取下一个, 如此连续取 r 次所得的排列称为重复排列。按乘法原理,此种重复排列共有个。 注意,这里的 r 允许大于 n。 例如,从 10 个产品中每次取一个做检验,放回后再取下一个,如此连续抽 取 4 次,所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回,则所得排列数为 10×9 ×8×7=5040 。 ③组合: 从 n 个不同元素中任取 x 个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列 顺序)称为一个组合,此种组合数为: .特别的规定 0!=1,因而。另外,在

组合中,r 个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。例如,从 10 个产 品中任取 4 个做检验,所有可能取法是从 10 个中任取 4 个的组合数,则不同取 法的种数为:

这是因为取出的任意一组中的 4 个产品的全排列有 4!=24 种。而这 24 种排 列在组合中只算一种。所以。 注意:排列与组合都是计算"从 n 个不同元素中任取 r 个元素"的取法总数公

式,他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序,则用排列公式;如果不 讲究取出元素间的次序,则用组合公式。至于是否讲究次序,应从具体问题背景 加以辨别。 [例 1.1-4]
[例 1.1-4] 一批产品共有 个,其中不合格品有 例 = " 恰好有 m 个不合格品"的概率是多少? 个,现从中随机取出 n 个,问:事件

从 个产品中随机抽取 n 个共有个不同的样本点,它们组成这个问题的样本 空间。 其中“随机抽取”必导致这个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词 都可以作同样理解。 下面我们先计算事件 概率。 ="恰好有 0 个不合格品"="全是合格品",要使取出的 n 个产品全是合 的概率, 然后计算一般事件 的

事件

格品,那么必须从该批中 概率为: / .

个合格品中抽取,这有

种取法。故事件



事件

="恰好有 1 个不合格品",要使取出的 n 个产品只有一个不合格品,

其他 n-1 个是合格品,可分二步来实现。第一步从 m 个不合格品中随机取出 1 个,共有种取法;第二步从 个合格品中随机取出 n-1 个,共有种取法。依 据乘法原则,事件 /
个不合格品中随机抽取 m 个,而从 共含有个样本点,故事件

共含有

个样本点。故事件

的概率为:

最后,事件

发生,必须从

个合格品中随机抽

取 n-m 个,依据乘法原则,事件

的概率是:

其中 为 n, 中的较小的一个数,它是 m 的最大取值,这是因为 m 既不可能 超过取出的产品数 n, 也不可能超过不合格品总数 因此,假如 ,下面 来计算诸事件 的概率:



等都是不可能事件,因为 10 个产品中只有 2 个不合格品,而要从中抽出 3 个 。

或 4 个不合格品是不可能

[例 1.1-5]
[例 1.1-5](放回抽样)抽样有两种形式:不放回抽样与放回抽样。上例讨论的是不放 例 回抽样,每次抽取一个,不放回,再抽取下一个,这相当于 n 个同时取出,因此可不论其 次序。放回抽样是每次抽一个,将其放回,均匀混合后再抽下一个。这时要讲究先后次序, 现对上例采取放回抽样方式讨论事件 =“恰好有 m 个不合格品”的概率。 从 n 个产品中每次随机抽取一个, 检查后放回抽第二个, 这样直到抽出第 n 个产品为止。 由于每次都有 n 种可能,故在放回抽样的问题中共有 个可能的样本点。事件 b0=“全是合 格品”发生必须从 n-m 个合格品中用放回抽样的方式随机抽取 n 次,它共含有 种 取法,故事件 b0 的概率为: 事件 =“恰好有一件不 合格品”发生,必须从 个合格品中用放回抽样抽取 n-1 次,而从 个不合格品中抽一 次,这样就有 种取法,再考虑不合格品出现的顺序,故事件 的概率为 同样的可求 的概率。

(二)概率的统计定义
(二)概率的统计定义

要点如下: (1) 与事件 a 有关的随机现象是可以大量重复试验的; (2) 若在 n 次重复试验中,事件 a 发生次,则事件 a 发生的频率为:

(1.1-2) 频率能反映事件 a 发生的可能性大小; (3) 频率将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定,这个频率的稳定值就 是事件 a 的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去,只能用重复 试验次数 n 较大时的频率去近似表示概率。 [例 1.1-6] 1.1- ]说明频率稳定的例子 [例 1.1-6 ]

(1) 为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为 0.5 , 许多人做了大量的重 复试验,图 1.1-10 记录了前 400 次掷硬币试验中频率的变化情况。在重复次数 n 较小时波动剧烈,随着 n 的增大,波动的幅度在逐渐变小。历史上有不少人做 过更多次重复试验。其结果(见表 1.1-1) 表明,正面出现的频率逐渐稳定在 0.5 。这个 0.5 就是频率的稳定值,也是正面出现的概率,这与用古典方法计 算的概率是相同的。图 1.1-10(教材 10 页),表 1.1-1(教材 10 页)。 (2) 在英语中
(2) 在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类的英语书刊中字母 出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定,其使用频率见表 1.1-2。这项 研究在计算机键盘设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造 (使用 频率高的字母应多铸一些)、信息的编码 (使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等 方面都是有用的。表 1.1-2(教材 10 页)

三、概率的性质及其运算法则
三、概率的性质及其运算法则(p11-14) 概率的性质及其运算法则(p11(p11

(一) 概率的基本性质及加法法则 根据概率的上述定义,可以看出它具有以下基本性质: 性质 l:概率是非负的,其数值介于 0 与 1 之间,即对任意事件 a,有: 特别, 不可能事件的概率为 0, 必然事件的概率为 1, 即:



[例 1.1-7] 1.1[例 1.1-7] 抛三枚硬币,至少一个正面出现 (记为事件)的概率是多少? 解: 在抛三枚硬币的随机试验中, 样本空间共有 8 个样本点: (正、 正、 正) 、 (反、反、反)、(正、反、反)、(反、正、反)、(反、反、正)、(正、

正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)。中所含的样本点较多,但其对立 事件="抛三枚硬币,全是反面"={( 反,反,反)},只含一个样本点,从等可能 性可知 再由性质 2,可得:

[例 1.1-8] 1.1-8]一批产品共 100 件,其中 5 件不合格品,现从中随机抽出 10 件, [例 1.1-8] 其中最多有两件不合格品的概率是多少?解:设 ai 表示事件“抽出 10 件中恰好 有 i 件不合格品”,于是所求事件上 =“最多有 2 件不合格品可表示为: 并且 为三个互不相容事件,由性质 5 可知:

余下就是用古典方法算得 ai 的概率。据 a0 的定义,从 100 件产品随机抽出 10 件的所有样本点共有个。要使抽出的 10 件产品中有 0 件不合格品,即全是合 格品,则 10 件必须从 95 件合格品中抽取,所以:

=0.0702 于是所求的概率为: =0.5837+0.3394+00.0702= 0.9933 可见事件 a 发生的概率很接近于 1,说明发生的可能性大;而它的对立 事件 =“抽 10 件产品中至少有 3 件不合格品”的概率 ,发生的可能性很小。 [例 1.1-9] [例 1.1-9]某足球队在未来一周中有两场比赛, 例 在第一场比赛中获胜的概率为 1/2 ,在第二场比赛中获胜的概率是 1/3,如果在两场比赛中都获胜概率是 1/6, 那么在两场比赛中至少有一场获胜的概率是多少?解:设事件 =“第 i 场比赛 获胜”,i=1,2。于是有: 场比赛中至少有一场获胜”可用事件 外由于事件 与 是可能同时发生的,故 表示,所求概率为 与 。由于事件“两 。另

不是互不相容事件,应用性 这

即: 质 4 来求,

表明在未来两场比赛中至少有一场获胜的概率为 2/3 。 (二)条件概率及概率的乘法法则 (二)条件概率及概率的乘法法则 在事件 发生的条件下,事件 发生的概率称为 的条件概率,记为 。

可导出乘法公式

(三) 独立性和独立事件的概率 (三) 独立性和独立事件的概率 ) 设有两个事件 否,则称事件 假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与 相互独立。 相互独立,则 同时发生的概率为:

性质 7:假如两个事件 (1.1-5) 性质 8:假如两个事件

相互独立, 的条件概率等于 的无条件概率。 则

两个事件的相互独立性可以推广到三个或更多个事件的相互独立性。此时性质 7 可以推广到更多个事件上。 [例 1 .1-13] [例 1 .1-13] 用晶体管装配某仪表要用到 128 个元器件,改用集成电路元件 例 后,只要用 12 只就够了,如果每个仪表才能正常工作,试分别求出上述两种场 合下能正常工作 2000 小时的概率。


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