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【全国百强校】福建省三明一中高中数学系统化单元检测:必修四第三章 三角恒等变换(1) Word版含解析]


第三章 三角恒等变换
一、选择题 1.
1- tan 2 75? 的值是( tan 75?

).
2 3 3

A.

2 3 3

B.-

C.2 3 ).

D.-2 3

2.cos 40°+cos 6

0°+2cos 140°cos2 15°-1 的值是( A.0 B.
3 2

C.

1+ 3 2

D.

1 2
).

3. 已知 sin(?-?)cos ?-cos(?-?)sin ?= A.-
10 3 10 B.- 10 10 1 ? sin? ? cos? 1 4.已知 = ,则 tan ?=( 2 1 ? sin? ? cos?

? 3 , 且?在第三象限, 则 sin 的值是( 5 2
C.± ). C. ?
10 10

D.±

3 10 10

A.

4 3

B. ?

4 3
).

3 4

D.

3 4

5 .tan(? +45°)-tan(45°-?)等于( A.2tan 2? B.-2tan 2?

C.

2 tan 2?

D.-

2 tan 2?

6.已知 sin(?-?)cos??-cos(?-?)sin ?= ( ). A.

3 ,且 ??为第三象限角,则 co s ? 等于 5

4 5

B.-

4 5
).

C.

3 5

D.-

3 5

7.2sin 14°cos 31°+sin 17°等于( A.
2 2

B.-

2 2

C.

3 2

D.- ).

3 2

8.在△ABC 中,若 0<tan Α·tan B<1,那么△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.直角三角形 9.已知 ??为第三象限角且 sin4?+cos4?= A.
2 2 3

B.钝角三角形 D.形状不确定

5 ,则 sin 2?等于( 9
C.-
2 2 3

). D.-

B.

2 3

2 3

10.sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的值为( A.

).

1 16

B. ?

1 16

C.

1 32

D.

1 8

二、填空题 11. 若 sin x-sin y=-

1 1 , cos x-cos y= , x, y 都是锐角, 则 tan(x-y)的值为 2 2



12.化简 2 ? sin2 2 ? cos 4 =__________. 13.若 3sin ?=cos ?,则 tan 4?= . . . .

5 11 4 14.若 ? <?< ? , sin 2? =- ,则 tan ?= 2 4 5
15. 求函数 y=(sin x+cos x)2+2cos2x 的最小正周期= 16.已知

2 sin2 ?+sin 2? ? ? =k( <?< ),试用 k 表示 sin ?-cos ?的值 1+ tan ? 4 2

三、解答题 17.化 简:cos2A+cos2(

2? 4? +A)+cos2( +A). 3 3

18.已知:?∈(0,

? ? 3 ? 4 3 5 ),?∈( , ? )且 cos( -?)= ,sin( ? +?)= , 4 4 4 4 5 4 13

求:cos ?,cos(?+?).

19.(1)已知 tan(?-? )= (2)已知 cos(?- 的值.

1 1 ,tan ?=? ,且?,?∈(0,?),求 2?-?的值. 2 7

?
2

)= ?

? ? 1 ? 2 ,sin( -?)= ,且 <?<?,0<?< ,求 cos(?+?) 9 2 3 2 2

?π ? 20.已知 tan 2?=?? 2 ,2?∈ ? , π ? ,求 ?2 ?

2 cos 2

?
2

-sin?-1

?π ? 2 sin? +? ? ?4 ?



第三章 三角恒等变换
参考答案
一、选择题

1.D 解析:原式=
2 2 2 2 = = =- =-2 3 . 2 tan 75? 1 tan150? -tan30? 1- tan 2 75? 3

2.C 解析:原式= = =
3 1 + 2 2 1? 3 . 2

1 +cos 40°-cos 40°+cos 30° 2

3.D 解析:∵sin(?-?-?)=

3 3 ,∴sin ?=- . 5 5 4 ? .又 cos ?=1-2sin2 , 5 2

又知 ??是第三象限角,∴cos ?=-
2

? 4? 1-?- ? ? ? 5 ? =± 3 10 . ∴sin =± 10 2 2

4.B

2 cos2 +2 sin ? cos 1+sin?+cos? 2 2 2 =1, 解析:∵ = ? ? ? 2 1+sin?-cos? 2 sin2 +2 sin ? cos 2 2 2

?

?

?

? 2 = 1 ,即 tan ? =2. ∴ ? 2 2 sin 2
cos
∴ tan? =
2 tan? 1-tan
2?



4 4 =- . 1-4 3

2

5.A 解析:原式= = =

1+tan? 1-tan? - 1-tan? 1+tan?

(1+ tan ? )2- (1- tan ? )2 1- tan 2 ? 2(2 tan ? )

1-tan 2 ?

=2tan 2?. 6.B

解析:由已知得 sin(-?)= ∴cos ?=- 7.A

3 3 ,即 sin ? =- ,又 ??为第三象限角, 5 5

4 . 5

解析:原式=2sin 14°cos 31°+sin(31°-14°) =sin 31°cos 14°+cos 31°sin 14° =sin( 31°+14°) =sin 45° =
2 . 2

8.B 解析:∵A,B 是△ABC 内角, 又∵0<tan Α·tan B<1,∴A,B∈(0, ∵0<

sin A ? sin B <1,cos Acos B>0, cos A ? cos B
? , 2

? ). 2

∴cos Acos B-sin Asin B>0, 即 cos(A+B)>0,∴0<A+B< ∴?-(A+B)=C>

? , 2

∴△ABC 一定是钝角三角形. 9.A 解析:∵ sin4 ? ? cos4 ? =

5 , 9 5 , 9

∴(sin2?+cos2?)2-2sin2?·cos2?= ∴1-

1 2 5 sin 2?= , 2 9 8 . 9 3 ?, 2

∴sin22?=

∵2k?+?<?<2k?+

∴4k?+2?<2?<4k?+3?. ∴sin 2?= 10.A
2 2 . 3

解析:sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48° = = = =

2sin 6? ? cos 6? ? cos12? ? cos 24? ? cos 48? 2 cos 6?
23 sin12? ? cos12? ? cos 24? ? cos 48? 23 ? 2 cos 6?

sin 96? 24 cos 6?
1 . 16

二、填空题 11.答案:-
7 . 3

1 ? sin x ? sin y ? ? ? 3 ? 2 解析:由 ? 平方相加,可求 cos(x-y)= . 4 ?cos x ? cos y ? 1 ? 2 ?

∵0<x<

? ? 1 ,0<y< 且 sin x-sin y=- <0, 2 2 2 ? , 2

∴0<x<y< ∴-

? <x-y<0, 2
7 , 4
7 . 3

∴ sin(x-y)=- ∴tan(x-y)=-

12.答案: - 3 cos 2. 解析:原式= 2-sin2 2+cos2 2-sin2 2 = 2-2 sin2 2+cos2 2 = 3 cos2 2 = 3 |cos 2|. ∵

? <2<?, 2

∴cos 2<0. ∴原式=- 3 cos 2. 13.答案:

12 . 7

解析:∵3sin ?=cos ?,

1 ∴tan ?= . 3

2 3 4 ∴tan 2??= = , 2 4 ?1? 1 -? ? ?3? 3 12 4 tan 4??= = . 2 7 ?3? 1 -? ? ?4?
14.答案 : -2.

5 11 解析:∵ ? <?< ? , 4 2
∴5?<2?< ∴

11 5 ? 11 ?, ?< < ?, 2 8 4 2

? ,2??均为第三象限角,?为第二象限角. 2 4 3 ∵sin 2?=- ,∴cos 2?=- , 5 5
又 cos 2?=2cos2 ?-1,
1+ cos 2? ∴cos ?=- =? 2

1-

3 5 =- 5 . 5 2

又 sin 2?=2sin ?cos ?=-
4 5 =2 5 , ∴sin ?= 5 2 cos ? -

4 , 5

∴tan ?=

sin? =-2. cos?

15.答案:?. 解析:y=1+sin 2x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+2= 2 sin(2x+ 故最小正周期为?.
-k . 16.答案: 1

? )+2. 4

解析:∵

2 sin2 ?+sin 2? 2 sin?(sin?+cos? ) = =2sin ?cos ?, sin? 1+ tan ? 1+ cos?

∴k=2sin ?cos ?. 而(sin ?-cos ?)2=1-2sin ?cos ?=1-k. 又

? ? <?< ,于是 sin ?-cos ?>0,所以 sin ?-cos ?= 1 -k . 4 2

三、解答题 17.解析:

1 ? cos 2 A 原式= + 2
= =

1 ? cos(

4? 8? ? 2 A) 1 ? cos( ? 2 A) 3 3 + 2 2

3 1 4? 8? + [cos 2A+cos( ? 2 A )+cos( ? 2 A )] 2 2 3 3

3 3 3 1 1 1 + (cos 2A- cos 2A+ sin 2A- cos 2A- sin 2A) 2 2 2 2 2 2 3 = . 2 2 16 ,cos(?+?)=- . 10 65 3 ? ? ? 解析:∵ <?< π ,∴- < -?<0. 4 2 4 4

18.答案: cos? =

∵cos(

3 ? 4 ? -?)= ,∴sin( -?)=- , 4 5 4 5 ? ? -( -?)] 4 4

∴cos ?=cos[ =cos = =

? ? ? ? ·cos( -?)+cos ·sin( -?) 4 4 4 4

2 2 4 3 · + ·(- ) 2 2 5 5 2 . 10

又∵0<?<

? 3? 3 ,∴ < ? +?<?. 4 4 4

3 5 3 12 ∵sin( ? +?)= ,∴cos( ? +?)= ? , 4 13 4 13
∴cos(?+?)=sin[

? 3 ? +(?+?)]= sin[( ? +?)-( -?)] 2 4 4

3 ? 3 ? =sin( ? +?)·cos( -?)-cos( ? +?)·sin( -?) 4 4 4 4


5 4 12 3 · -(- )·(- ) 13 5 13 5 16 . 65

=-

3 239 19.答案:(1)2?-?=- π ;(2)cos(?+?)=- . 729 4 1 , 2 2 tan(?-? ) 4 ∴tan 2(?-?)= = . 2 1- tan (?-? ) 3
解析:(1)∵tan(?-?)= 又∵2?-?=2(?-?)+?且 tan ?=- ∴tan(2?-?)=

1 , 7

tan 2(?-? ) + tan ? =1. 1- tan 2(?-? )tan ?

1 <0, 7 tan(?-? ) + tan ? 1 tan ?= = ∈(0,1), 1- tan(?-? )tan ? 3
∵?,?∈(0,?)且 tan ?=- ∴0<?<

? ? ? ? , <?<? ? 0<2?< ,-?<-?<- ? -?<2?-?<0, 4 2 2 2

3 而在(-?,0)内使正切值为 1 的角只有一个- π , 4 3 ∴2?-?=- π . 4
(2)∵

? ? ? ? ? ? ? <?<?,0<?< ,∴ <?- <?,? < -?< . 2 2 4 4 2 2 2 ?
2
)=-

又∵cos(?- ∴sin(?- ∴cos

? 1 2 ,sin( -?)= , 3 9 2

?
2

)=

4 5 5 ? ,cos( -?)= , 9 3 2

? ??
2

=cos[(?- )cos(

?
2

)-(

?
2

-?)]

=cos(?- =
7 5 , 27

?
2

?
2

-?)+sin(?-

?
2

)sin(

?
2

-?)

∴cos(?+?)=2cos2

? +?
2

-1= ?

239 . 729

20.答案:-3+2 2 .
2 cos 2

?
2

-sin?-1

解析:

?π ? 2 sin? +? ? 4 ? ?



cos?-sin? 1-tan? = , cos?+sin? 1+tan?

∵tan 2?=

2 tan? =-2 2 , 1-tan 2 ?

∴ 2 tan2?-tan ?- 2 =0,

解得 tan ?= 2 或 tan ?=- ∵

2 . 2

? ? ? <2?<?,∴ <?< ,∴tan ?= 2 , 2 4 2
1? 2 =-3+2 2 . 1? 2

∴原式=


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