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一元二次方程根的判别式与韦达定理


一元二次方程根的判别式与韦达定理
一.一元二次方程根的判别式. 2 2 对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0),记 Δ =b -4ac.则有:Δ >0 ? 方程有两个不等 实数根;Δ =0 ? 方程有两个相等实数根;Δ <0 ? 方程没有实数根. 注意:(1)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出 a、b、 c 的值。(2)如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情 2 2 况,此时 b -4ac≥0 切勿丢掉等号.(3)根的判别式 b -4ac 的使用条件,是在一元二次方 程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件 a≠0.(4)显然,当 a 、 c 异号时,Δ >0, 方程必有两不等的根,此结论宜熟记于心. 二.根的判别式有以下应用: ① 不解一元二次方程,判断根的情况. 例 1.不解方程,判断下列方程的根的情况: (1) 2x +3x-4=0;(2) x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 .
2

2

② 根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围. 2 例 2.求 k 的何值时,关于 x 的方程 2(k+1)x +4kx+2k-1=0(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;(4)有一根.

③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根. 2 2 2 例 3.求证方程(m +1)x -2mx+(m +4)=0 没有实数根。

三.韦达定理(一元二次方程根与系数的关系). 2 若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个根分别为 x1 、 x2 ,则有:

x1 ? x2 ? ?

b c , x1 x2 ? . a a

注意:此定理成立的前提是方程为一元二次方程 (a≠0),且方程有两根(包括相等的 两根,即要满足 Δ ≥0) 四.韦达定理的应用. ① 求根或参数的值.
2 例 4.(1)已知方程 x ? px ? q ? 0 的两个根为 ?2 和 4 ,求 p 、 q 的值.

(2)已知方程 x ? 4 x ? m ? 0 的一个根是 2 ? 3 ,求方程的另一个根及 m 的值.
2

(3)若方程 x ? kx ? k ? 5 ? 0 的一个根是 2, 求方程的另一个根及 k 的值.
2

说明:这 3 个题目均有两种解法,即代根法与韦达定理法,其中(1)(2)用韦达定理更简 单,(3)用代根法更简单.
1

② 求与两根有关的对称式的值. 例 5.设 x1 、 x2 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,试求下列各式的值:
2

1 1 ? ;(5) ( x1 ?1)( x2 ?1) ;(6) x1 ? x2 ; x1 x2 x x 3 2 3 2 2 (7) x1 ;(8) 2 ? 1 ;(9) x1 ? x12 x2 ? x1x2 ? x2 ? 2x2 ? 4x2 . x1 x2
2 2 (1) x1 ? x2 ;(2) x1 x2 ;(3) x1 ;(4) ? x2

说明(1)这类题目除了利用韦达定理解外,也可以直接求出方程的根代入各式求值,对于 此题这样做显然计算量大.但如果方程的根为全整数时,比如方程替换为 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则
2
2 宜选用带人求值的方法.(2)一般的,对于方程 ax +bx+c=0(a≠0),当 ? ? 0 时,有 x1 ? x2 =

b 2 ? 4ac ? b c ? , 此结论及其推导 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (? )2 ? 4 = 2 a a a a
过程必须牢记于心. ③ 分析一元二次方程根的范围(主要指符号). 例 6.已知关于 x 的方程 4 x ? (k ? 2) x ? k ?1 ? 0 .根据下列各条件分别求 k 的取值范 围.(1)两根异号;(2)两根均为正数;(3)两根异号,且负根绝对值大.
2

④构造一元二次方程.理论依据是:以 x1、x2 为根的一元二次方程是 x -(x1+x2)x+x1x2=0. 例 7. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1- 5 和 1+ 5 .

2

2

例 8.解下列方程组: (1) ?

?x ? y ? 5 ?x ? y ? 5 ; (2) ? ; ? xy ? 6 ? xy ? 6

(3) ?

?2 x ? 3 y ? 1 ; xy ? 2 ?

(4) ?

? x 2 ? y 2 ? 13 ?x ? y ? 5

.

五.作业 1.一元二次方程 (1 ? k ) x2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( ) A. k ? 2 B. k ? 2, 且k ? 1 C. k ? 2 D. k ? 2, 且k ? 1 2.若 x1 , x2 是方程 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根,则
2

A. 2

B. ?2

1 1 ? 的值为( ) x1 x2 1 9 C. D. 2 2
) D. ?5或3
2

3.已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于 O 点,且 OA、OB 的长分别是关于 x 的 方程 x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 3 ? 0 的根,则 m 等于( A. ?3 B. 5
2

C. 5或 ? 3

4.若 t 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根,则判别式 ? ? b ? 4ac 和完全平方 式 M ? (2at ? b)2 的关系是( ) A. ? ? M B. ? ? M C. ? ? M D. 大小关系不能确定

2 2 5.若实数 a ? b ,且 a , b 满足 a ? 8a ? 5 ? 0, b ? 8b ? 5 ? 0 ,则代数式

b ?1 a ?1 ? 的 a ?1 b ?1

值为( ) A. ?20
2

B. 2

C. 2或 ? 20
2

D. 2或20

6.如果方程 (b ? c) x ? (c ? a) x ? (a ? b) ? 0 的两根相等,则 a, b, c 之间的关系是 ______ 7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2 x ? 8 x ? 7 ? 0 的两个根,则这个直 角三角形的斜边长是 _______ . 8.若方程 2 x2 ? (k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 的两根之差为 1,则 k 的值是 _____ . 9. 设 x1 , x2 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两实根,x1 ? 1, x2 ? 1 是关于 x 的方程 x2 ? qx ? p ? 0 的两实根,则 p = _____ , q = _____ . 10.已知实数 a, b, c 满足 a ? 6 ? b, c ? ab ? 9 ,则 a = _____ , b = _____ , c = _____ .
2

11.对于二次三项式 x ? 10 x ? 36 ,小明得出如下结论:无论 x 取什么实数,其值都不可 能等于 10.您是否同意他的看法?请您说明理由.
2

3

2 12. 若 n ? 0, 关于 x 的方程 x ? (m ? 2n) x ?

1 m mn ? 0 有两个相等的的正实数根, 求 的 4 n

值.

13.已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? (4m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 . (1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2) 若方程的两根为 x1 , x2 ,且满足

1 1 1 ? ? ? ,求 m 的值. x1 x2 2

14.已知关于 x 的方程 x ? (k ? 1) x ?
2

1 2 k ? 1 ? 0 的两根是一个矩形两边的长. 4 (1) k 取何值时,方程存在两个正实数根?(2) 当矩形的对角线长是 5 时,求 k 的值.

15.已知关于 x 的方程 (k ? 1) x ? (2k ? 3) x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 .
2

(1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存 在,请您说明理由.

16.已知关于 x 的方程 x ? 3x ? m ? 0 的两个实数根的平方和等于 11.求证:关于 x 的方
2

程 (k ? 3) x ? kmx ? m ? 6m ? 4 ? 0 有实数根.
2 2

17.若 x1 , x2 是关于 x 的方程 x ? (2k ? 1) x ? k ? 1 ? 0 的两个实数根,且 x1 , x2 都大于 1.
2 2

(1) 求实数 k 的取值范围; (2) 若

x1 1 ? ,求 k 的值. x2 2

4

练习答案: 1. B 2. A 6. a ? c ? 2b, 且b ? c 7. 3 8. 9 或 ?3

3.A

4.A

5.A

9. p ? ?1, q ? ?3 11.正确 12.4

10. a ? 3, b ? 3, c ? 0 13. (1)? ? 16m ? 5 ? 0
2

(2)m ? ?

1 2

3 (2)k ? 2 2 13 且k ? 1 15. (1) k ? (2) 不存在 12 16. m ? 1 (1)当 k ? 3 时,方程为 3x ? 1 ? 0 ,有实根;(2) 当 k ? 3 时,? ? 0 也有实根. 3 17.(1) k ? 且k ? 1 ; (2) k ? 7 . 4
14. (1)k ?

5


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