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【金版学案】2015-2016高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习 新人教A版必修2


2.1.2
基 础 梳 理

空间中直线与直线之间的位置关系

1.空间两条直线的位置关系. 空间两条直线的位置关系有且只有三种. (1)从是否有公共点的角度来分:
? ?平行 ? ?没有公共点? ?异面 ? ? ? ? 有且仅有一个公共点相交

(2)从是否共面的角度来分:
? ?平行 ? ?在同一平面内? ?相交 ? ? ? ? 不同在任何一平面内——异面

练习1:三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线? 答案:三对 2.异面直线. (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. (2)画法:图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托).

3.平行公理(公理 4). 文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行的传递性. 符号表述: a∥b? ? ?? a∥c. ? b∥c?

4.等角定理. 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 5.异面直线所成的角. (1)定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角 θ 的取值范围:(0°,90°]. (3)当 θ =90°时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b. 练习2:两条直线在同一个平面上,它们的位置关系是什么? 答案:平行或相交
1

?思考应用 1.分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗? 解析:从图中可以看出 a,b 虽然在两个平面内,但是它们相交或平行,是共面直线.

2.对于等角定理中在什么情况下相等、互补? 解析:如图,AB∥A1B1,BC∥B1C1,对于∠ABC 与∠A1B1C1 两个角的方向相同,这两个角 相等;对于∠ABC 与∠E1B1C1 两个角的方向不同,这两个角互补,即∠ABC+∠E1B1C1=180°.

3.如下定义两条异面直线所成的角,是否合理?对空间中的任一点 O 有无限制条件? 已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,我们把 a′与 b′ 所成的角(或补角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). 解析: 在这个定义中, 空间中有一点是任意取的,若在空间中, 再取一点 O′, 过点 O′ 作 a″∥a,b″∥b,根据等角定理,a″与 b″所成的锐角(或直角)和 a′与 b′所成的锐角 (或直角)相等, 即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线, 它们所成的锐角(或 直角)都是相等的,值是唯一的、确定的,而与所取的点位置无关,这表明这样定义两条异 面直线所成角的合理性.注意:有时,为了方便,可将点 O 取在 a 或 b 上. 自 测 自 评

1.下列说法中正确的是(B)

A.不在一个平面内的两条直线是异面直线 B.若两条直线不是异面直线,则这两条直线平行或相交 C.直线 a 与直线 c 异面,直线 b 与直线 c 异面,则直线 a 与直线 b 异面 D.两条直线垂直则这两条直线一定相交
解析:A,C,D 不正确,故选 B. 2.空间任意两个角 α ,β ,且 α 与 β 的两边对应平行,α =60°,则 β 为(D)

A.60° B.120° C.30° D.60°或 120°
解析:α 与 β 相等或互补,β 为 60°或 120°,故选 D.
2

3.已知 a,b 是异面直线,直线 c∥直线 a,那么 c 与 b(C)

A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
解析:c 与 b 可以相交,也可以异面,故选 C. 4.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(D)

A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能
解析:∵两个平面的位置不确定, ∴两条直线的位置关系不确定,

题型一 空间直线位置关系的判定 题型二 证明两直线是异面直线

题型三 求异面直线所成的角

基 础 达 标 1.如果两条直线 a 和 b 没有公共点,则 a 和 b(D)

A.共面

B.平行

C.异面 D.平行或异面
解析:a 和 b 无公共点,两直线的位置关系为平行或异面. 2.已知在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AC,BD 的中点,若 AB=2,CD=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为(D)

A.90° B.45° C.60° D.30°
3.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,CD 在原正方体的位置关系是(D)

3

A.平行 B.相交且垂直 C.异面 D.相交成 60°角
解析:把展开图还原到直观图,如图所示,连接 AC,△ABC 为等边三角形,AB 与 CD 相 交成 60°角.

4.如图所示,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为各边的中点,G、H、I、J 分别为 AF、 AD、BE、DE 的中点.将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为(B)

A.90° B.60° C.45° D.0°
解析:将三角形折成三棱锥如图所示

4

1 B 点、C 点均与 A 点重合,HG 与 IJ 为一对异面直线.在三棱锥 A?DEF 中,IJ 綊 AD,HG 2 1 綊 DF,所以∠ADF 即为所求,可知△ADF 为等边三角形,所以 HG 与 IJ 所成角为 60°. 2 5.对于平面 α 外的任意的直线 l 与平面 α ,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与 l(D)

A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线
6.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为________. 答案:60° 巩 固 提 升 7.如图,空间四边形 SABC 中各边及对角线长都相等,若 E,F 分别为 SC,AB 的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于(C)

A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:求 EF 与 SA 所成的角,可把 SA 平移,使其角的顶点在 EF 上,为此取 SB 的中点 G,连接 GE,GF,AE.

1 1 如图,由三角形中位线定理,得 GE= BC,GF= SA,且 GE∥BC,GF∥SA,则∠GFE 就 2 2
5

1 3 是 EF 与 SA 所成的角(或补角).若设此空间四边形边长为 a,那么 GF=GE= a,EA= a, 2 2 EF= 2 2 ?1 ? 2 EA -? AB? = a, 2 2 ? ?

因此△EFG 为等腰直角三角形,∠EFG=45°, 所以 EF 与 SA 所成的角为 45°. 8.如图,a,b 是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F 分别是线段 AC 和 BD 的中点,判 断 EF 和 a,EF 和 b 的位置关系,并证明你的结论.

解析:假设 EF 和 a 共面,设这个平面为 α , 则 EF? α ,a? α , ∴A,B,E,F∈α ,∴BF? α ,AE? α . 又∵C∈AE,D∈BF, ∴C,D∈α .于是 b? α . 从而 a,b 共面于 α ,这与题设条件 a,b 是异面直线相矛盾. ∴EF 和 a 共面的假设不成立. ∴EF 和 a 是异面直线. 同理可得 EF 和 b 也是异面直线. 9.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 AD,AA1 的中点. (1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 解析:

(1)连接 DC1,
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∵DC1∥AB1, ∴DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. ∵∠CC1D=45°,∴AB1 和 CC1 所成的角为 45° . (2)连接 DA1,A1C1. ∵EF∥A1D,AB1∥DC1, ∴∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. ∵△A1DC1 是等边三角形, ∴∠A1DC1=60°. 即直线 AB1 和 EF 所成的角为 60°.

1.异面直线的对数用分类的方式记数. 2.异面直线所成的角不可能为钝角. 3.求异面直线所成角一般先平移到两条直线相交后求夹角.

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