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甘肃省张掖二中2014-2015学年高三(下)5月月考数学试卷(理科)


甘肃省张掖二中 2014-2015 学年高三(下)5 月月考数学试卷(理 科)
一、选择题(满分 60 分) 1.若 A={x|x =1},B={x|x ﹣2x﹣3=0},则 A∩B=( ) A. 3 B. 1 C. ? 2.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( A. (2,4) B. (2,﹣4) C. (4,﹣2) ) D. (4,

2)
2 2

D. ﹣1

3.已知点 A(1,1) ,B(4,2)和向量 =(2,λ) ,若 ∥ A. ﹣ B. C.

,则实数 λ 的值为( D. ﹣



4.把分别标有“A”“B”“C”的三张卡片随意的排成一排,则能使卡片从左到右可以念成“ABC” 和“CBA”的概率是( ) A. B. C. D.

5.在△ ABC 中,若∠A= A. B.



,则 C.

的值为( D.



6.如图,格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最长 的棱的长度等于( )

A.

B.

C. 5

D. 2 , D 为 BC 中点, 则三棱锥 A﹣B1DC1 D.

7. 正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2, 侧棱长为 的体积为( ) A. 3 B. C. 1

8.执行如图的程序框图,输出的 T=(



A. 30

B. 25

C. 20

D. 12

9.设 x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 6,

则 + 的最小值为( A.

) B. C. D.

10. 已知 F1、 F2 是椭圆 C: +

=1 (a>b>0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 ) C. 3
+





若△ PF1F2 的面积为 9,则 b 的值为( A. 1 B. 2

D. 4

11.数列{an}定义如下:a1=1,a2=3,an+2=2an+1﹣an+2(n∈N ) ,则 a11=( ) A. 91 B. 110 C. 111 D. 133 12. 已知 y=f (x) 是定义在 R 上的函数, 且f (1) =1, f′ (x) >1, 则f (x) >x 的解集是 ( ) A. (0,1) B. (﹣1,0)∪(0,1) C. (1,+∞) D. (﹣∞,﹣1) ∪(1,+∞)

二、填空题(满分 20 分) 13.若 sinθ=﹣ ,tanθ>0,则 cosθ= .

14.过抛物线 y =8x 的焦点作倾斜角为 的长是 .

2

直线 l,直线 l 与抛物线相交与 A,B 两点,则弦|AB|

15.图中阴影部分的面积等于



16.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数 f(x+1)为奇函数,对于下 列命题: ①函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) ; ②函数 f(x)图象关于点(1,0)对称; ③函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ④函数 f(x)的最大值为 f(2) ; ⑤f(2009)=0. 其中正确的序号为 .

三、解答题 17.设数列{an}是首项为 1,公差为 d 的等差数列,且 a1,a2﹣1,a3﹣1 是等比数列{bn}的前 三项. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18.平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD=2 ,且∠BAD=45°,以 BD 为折线,把△ ABD 折起, 使平面 ABD⊥平面 CBD,连 AC. (Ⅰ)求证:AB⊥DC (Ⅱ)求二面角 B﹣AC﹣D 平面角的大小; (Ⅲ)求四面体 ABCD 外接球的体积.

19.某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查,对 15~65 岁的人群随机抽取 1000 人的样本,进行了一次“是否是电影明星追星族”调查,得到如下各年龄段样本人数频率分布直 方图和“追星族”统计表: “追星族”统计表 组数 分组 “追星族”人数 占本组频率 一 2 0.1 (1)求 a,b 的值. (2)设从 45 岁到 65 岁的人群中,随机抽取 2 人,用样本数据估计总体,ξ 表示其中“追星族” 的人数,求 ξ 分布列、期望和方差.

20.已知离心率为

的椭圆

上的点到左焦点 F 的最长距离为



(1)求椭圆的方程; (2)如图,过椭圆的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,若点 M 在 x 轴上,且 使得 MF 为△ AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点”,求椭圆的“左特征 点”M 的坐标.

21.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,证明:1+ + +…+ >ln(n+1) (n∈N )
*

x

三.请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对 应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答第 一题评分. 22.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直,并与 AB 相交于点 E,点 F 为弦 CD 上异 于点 E 的任意一点,连接 BF、AF 并延长交⊙O 于点 M、N. (1)求证:B、E、F、N 四点共圆; (2)求证:AC +BF?BM=AB .
2 2

23. (2015?张掖一模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已
2

知直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=8cosθ.

(Ⅰ)求 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求弦长|AB|.

24. (2015?金凤区校级一模)设关于 x 的不等式 lg(|x+3|+|x﹣7|)>a (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R.

甘肃省张掖二中 2014-2015 学年高三(下)5 月月考数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(满分 60 分) 2 2 1.若 A={x|x =1},B={x|x ﹣2x﹣3=0},则 A∩B=( ) A. 3 B. 1 C. ? 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:先求出 A 与 B 的解集,然后根据交集的定义即可得出答案. 2 2 解答: 解:∵A={x|x =1}={﹣1,1},B={x|x ﹣2x﹣3=0}={﹣1,3}, ∴A∩B={﹣1}, 故选 D. 点评:本题考查了交集及其运算,属于基础题,关键是掌握交集的定义. 2.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( A. (2,4) B. (2,﹣4) C. (4,﹣2) 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由题意可得 z= 对应的点的坐标. 解答: 解:复数 z 满足 iz=2+4i,则有 z= = =4﹣2i, )

D. ﹣1

D. (4,2)

,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i,从而求得 z

故在复平面内,z 对应的点的坐标是(4,﹣2) , 故选 C. 点评:本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内 对应点之间的关系,属于基础题.

3.已知点 A(1,1) ,B(4,2)和向量 =(2,λ) ,若 ∥ A. ﹣ B. C.

,则实数 λ 的值为( D. ﹣



考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:直接利用向量的平行的充要条件求解即可. 解答: 解:根据 A、B 两点 A(1,1) ,B(4,2) , 可得 =(3,1) ,∵ ∥ ,

∴2×1﹣3λ=0. , 解得 .

故选:C. 点评:本题考查向量的坐标运算,向量的平行的充要条件的应用.基本知识的考查. 4.把分别标有“A”“B”“C”的三张卡片随意的排成一排,则能使卡片从左到右可以念成“ABC” 和“CBA”的概率是( ) A. B. C. D.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:找出三张卡片任意排列的结果与使卡片从左到右可以念成“ABC”和“CBA”的情况数, 即 可求出所求的概率. 解答: 解:三张卡片任意排列共有 A33=3×2×1=6 个结果, 要使卡片从左到右可以念成“ABC”和“CBA”, 则应将“B”字摆中间其他两个字任意排列共有 A22=2×1=2 个结果, 则能使卡片从左到右可以念成“ABC”和“CBA”的概率 P= = . 故选:A. 点评:此题考查了列举法计算基本事件数及其事件发生的概率,应该注意: (1)要判断该概 率模型是不是古典概型; (2)要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的 总数. 5.在△ ABC 中,若∠A= A. B.



,则 C.

的值为( D.



考点:正弦定理的应用. 专题:计算题. 分析:由题设知 3 = = ,解得 c=6.再由余弦定理求出 a 的值,然后由 能求出其结果. , ,

解答: 解:∵在△ ABC 中,若∠A= ∴3 ∴ = ,解得 c=6. =28,a=2





=

=



故选 D. 点评:本题考查正弦定理和余弦定理的应用,解题时要注意公式的合理运用. 6.如图,格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最长 的棱的长度等于( )

A.

B.

C. 5

D. 2

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据几何体的三视图,得出该几何体是什么图形,从而求出结果. 解答: 解:根据几何体的三视图知, 该几何体为三棱锥, 底面△ ABC 为俯视图中的直角三角形,∠BAC=90°, 其中 AC=4,AB=3,BC=5,PB⊥底面 ABC,且 PB=5, ∴∠PBC=∠PBA=90°, ∴最长的棱为 PC, 在 Rt△ PBC 中,由勾股定理得, PC= 故选:C. = =5 .

点评:本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题的关键是由三视图得出几何体是什 么图形,是基础题目. 7. 正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2, 侧棱长为 的体积为( ) , D 为 BC 中点, 则三棱锥 A﹣B1DC1

A. 3

B.

C. 1

D.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由题意求出底面 B1DC1 的面积,求出 A 到底面的距离,即可求解三棱锥的体积. 解答: 解:∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 ,D 为 BC 中点, ∴底面 B1DC1 的面积: = , . =1.

A 到底面的距离就是底面正三角形的高: 三棱锥 A﹣B1DC1 的体积为:

故选:C. 点评:本题考查几何体的体积的求法,求解几何体的底面面积与高是解题的关键. 8.执行如图的程序框图,输出的 T=( )

A. 30

B. 25

C. 20

D. 12

考点:循环结构. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,T,n 的值,当 S=25,T=30 时,满足条件 T>S,输出 T 的值为 30. 解答: 解:执行程序框图,有 S=0,T=0,n=0 不满足条件 T>S,S=5,n=2,T=2 不满足条件 T>S,S=10,n=4,T=6 不满足条件 T>S,S=15,n=6,T=12 不满足条件 T>S,S=20,n=8,T=20

不满足条件 T>S,S=25,n=10,T=30 满足条件 T>S,输出 T 的值为 30. 故选:A. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

9.设 x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 6,

则 + 的最小值为( A.

) B. C. D.

考点:简单线性规划的应用. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由线性规划结合题意易得 本不等式可求. =1,从而 + =( + ) ( )= +6+ + ,由基

解答: 解:作出约束条件

所对应的可行域(如图阴影) ,

目标函数可化为 y=

x+ z, (a>0,b>0) ,

联立

可解得

,即 A(4,6)

平移直线易得当直线经过点 A(4,6)时,目标函数取最大值 6, 代入数据可得 4a+6b=6,即 ∴ + =( + ) ( ≥ +2 = = =1, +

)= +6+ +2×4=

当且仅当 故选:D

即 a=b= 时, + 取到最小值



点评:本题考查线性规划和基本不等式的综合应用,准确作图并变形为可利用基本不等式的 情形是解决问题的关键,属中档题.

10. 已知 F1、 F2 是椭圆 C: +

=1 (a>b>0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 ) C. 3 D. 4





若△ PF1F2 的面积为 9,则 b 的值为( A. 1 B. 2 考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:通过椭圆定义知 PF1+PF2=2a,通过



可知(PF1) +(PF2) =(2c) ,利用
2 2 2

2

2

2

△ PF1F2 的面积为 9 可得 ?PF1?PF2=9,通过(PF1+PF2) =(PF1) +(PF2) +2PF1?PF2 代入 计算即可. 解答: 解:根据椭圆定义知 PF1+PF2=2a, ∵ ⊥ ,

∴△PF1F2 为直角三角形, 2 2 2 ∴(PF1) +(PF2) =(2c) , 又∵△PF1F2 的面积为 9, ∴ ?PF1?PF2=9, ∴(2a) =(PF1+PF2) 2 2 =(PF1) +(PF2) +2PF1?PF2 2 =4c +36, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =9, ∴b=3, 故选:C.
2 2

点评:本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识,注意解题方法的积累, 属于中档题. 11.数列{an}定义如下:a1=1,a2=3,an+2=2an+1﹣an+2(n∈N ) ,则 a11=( ) A. 91 B. 110 C. 111 D. 133 考点:数列递推式. 专题:计算题. 分析:利用数列{an}定义,分别令 n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,根据递推公式,依次求出 a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11.从而得到正确选项. + 解答: 解:∵a1=1,a2=3,an+2=2an+1﹣an+2(n∈N ) , ∴a3=2×3﹣1+2=7, a4=2×7﹣3+2=13, a5=2×13﹣7+2=21, a6=2×21﹣13+2=31, a7=2×31﹣21+2=43, a8=2×43﹣31+2=57, a9=2×57﹣43+2=73, a10=2×73﹣57+2=91, a11=2×91﹣73+2=111. 故选 C. 点评:本题考查数列的递推公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意递推思想的灵 活运用. 12. 已知 y=f (x) 是定义在 R 上的函数, 且f (1) =1, f′ (x) >1, 则f (x) >x 的解集是 ( ) A. (0,1) B. (﹣1,0)∪(0,1) C. (1,+∞) D. (﹣∞,﹣1) ∪(1,+∞) 考点:函数的单调性与导数的关系;其他不等式的解法. 专题:计算题. 分析:由 f'(x)>1,f(x)>x 可抽象出一个新函数 g(x) ,利用新函数的性质(单调性) 解决问题,即可得到答案. 解答: 解:设 g(x)=f(x)﹣x, 因为 f(1)=1,f'(x)>1, 所以 g(1)=f(1)﹣1=0,g′(x)=f′(x)﹣1>0 所以 g(x)在 R 上是增函数,且 g(1)=0. 所以 f(x)>x 的解集即是 g(x)>0 的解集(1,+∞) . 故选 C. 点评:解决此类问题的关键是灵活由于已知条件推倒出函数的有关性质,然后利用这些性质 求解相关问题即可. 二、填空题(满分 20 分) 13.若 sinθ=﹣ ,tanθ>0,则 cosθ= .
+

考点:同角三角函数间的基本关系. 分析:根据 sin θ+cos θ=1 可得答案. 解答: 解:由已知,θ 在第三象限, ∴ ,
2 2

∴cosθ=



故答案为:﹣ . 点评:本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.
2

14.过抛物线 y =8x 的焦点作倾斜角为 的长是 16 .

直线 l,直线 l 与抛物线相交与 A,B 两点,则弦|AB|

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先设 A、B 两点的坐标,由抛物线的方程求出焦点坐标,再求出直线 l 的方程,联立直 线方程和抛物线的方程消去 y 后,利用韦达定理求出 x1+x2 的值,代入焦点弦公式求解即可. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 根据抛物线 y =8x 方程得:焦点坐标 F(2,0) , 因为直线 l 倾斜角为
2

,所以直线 l 的方程是:y=x﹣2,



得,x ﹣12x+4=0,

则 x1+x2=12, 所以弦|AB|=x1+x2+p=12+4=16, 故答案为:16. 点评:本题考查直线与抛物线相交所得焦点弦问题,以及一元二次方程根与系数的关系,体 现了设而不求思想. 15.图中阴影部分的面积等于 1 .

考点:定积分.

专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:根据题意,所求面积为函数 3x 在区间上的定积分值,再用定积分计算公式加以运算即 可得到本题答案. 解答: 解:根据题意,该阴影部分的面积为 =x
3 2

=(1 ﹣0 )=1

3

3

故答案为:1 点评:本题求曲线围成的曲边图形的面积,着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等 知识,属于基础题. 16.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数 f(x+1)为奇函数,对于下 列命题: ①函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) ; ②函数 f(x)图象关于点(1,0)对称; ③函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ④函数 f(x)的最大值为 f(2) ; ⑤f(2009)=0. 其中正确的序号为 ①②③⑤ . 考点:函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题:函数的性质及应用. 分析:①利用函数的定义判断.②利用点对称的性质判断.③利用轴对称去判断.④利用 函数的周期性和对称性判断.⑤利用周期性和对称性将 f(2009)进行转换求值. 解答: 解:①对 因为 f(x+2)+f(x)=0 得 f(x+2)=﹣f(x) 即 f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=﹣=f(x) ②对 函数 f(x+1)为奇函数,即函数 f(x)向左平移一个单位以后关于(0,0)对称, ∴平移之前的图象应该关于(1,0)对称,故②正确; ③对 由 f(x+2)=﹣f(x) 得 f(x+1+2)=﹣f(x+1) 又由 f(﹣x+1)=﹣f(x+1) 知 f(x+1+2)=f(﹣x+1) 即 f(x+3)=f(﹣x+1) 故函数 f(x)有对称轴 x=2 即 f(x)的图象关于直线 x=2 对称 ④不对 对于 f(x+2)+f(x)=0,因为是奇函数, 所以 f(0)=0,也就是 f(2)=﹣f(0)=0, 因为函数的单调性没有给出,所以无法确定函数的最大值,即④错误. ⑤对 由①知

f(2009) =f(502×4+1) =f(1) 又由②知 F(x)=f(x+1) 令 x=0,则 F(0)=f(0+1)=0 即 f(1)=0 即 f(2009)=0 点评:本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用,还考查了函数的对称及与图象的平移变换, 综合性较强,属于中档题. 三、解答题 17.设数列{an}是首项为 1,公差为 d 的等差数列,且 a1,a2﹣1,a3﹣1 是等比数列{bn}的前 三项. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点:等比数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意可得 d 的方程,解方程可得 d 值,可得通项公式; (Ⅱ)易得等比数列{bn}的首项为 1,公比为 2,由求和公式可得. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可知:a2=a1+d,a3=a1+2d, ∵a1,a2﹣1,a3﹣1 成等比数列, ∴
2



∵a1=1,∴d =2d. 若 d=0,则 a2﹣1=0,与 a1,a2﹣1,a3﹣1 成等比数列矛盾. ∴d≠0,∴d=2 ∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1 (Ⅱ)∵ ,b1=a1=1,

∴等比数列{bn}的首项为 1,公比为 2. ∴ 点评:本题考查等差数列和等比数列,属基础题. 18.平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD=2 ,且∠BAD=45°,以 BD 为折线,把△ ABD 折起, 使平面 ABD⊥平面 CBD,连 AC. (Ⅰ)求证:AB⊥DC (Ⅱ)求二面角 B﹣AC﹣D 平面角的大小; (Ⅲ)求四面体 ABCD 外接球的体积.

考点:用空间向量求平面间的夹角;球的体积和表面积;直线与平面垂直的性质. 专题:综合题;空间角;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)在△ ABD 中,利用余弦定理,可得 BD,从而可得 AB⊥BD,根据平面 ABD⊥ 平面 CBD,可得 AB⊥平面 CBD,从而可得 AB⊥DC; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 ABC 的法向量 ,平面 DAC 的法向量

,利用向量的夹角公式,可得二面角 B﹣AC﹣D 平面角的大小; (Ⅲ)根据△ ABC,△ ADC 均为直角三角形,可得四面体 ABCD 的外接球球心是 AC 的中点, 从而可求四面体 ABCD 外接球的体积. 解答: (Ⅰ) 证明: 在△ ABD 中, ∵AB=2, AD=2 , BD =AB +AD ﹣2AB×AD×cos45°=4, ∴BD=2, 2 2 2 ∴AD =AB +BD ,∴AB⊥BD, ∵平面 ABD⊥平面 CBD,平面 ABD∩平面 CBD=BD ∴AB⊥平面 CBD, ∵DC?平面 CBD, ∴AB⊥DC; (Ⅱ)解:在四面体 ABCD 中,以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 垂直于平面 BDC 的射线为 z 轴,建立如图空间直角坐标系.
2 2 2

则 D(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,A(2,0,2) 设平面 ABC 的法向量为 ∵



,∴取

设平面 DAC 的法向量为 ∵



,∴取

∴cos<

>=

=

∴二面角 B﹣AC﹣D 平面角的大小为 60°; (Ⅲ)解:由于△ ABC,△ ADC 均为直角三角形,故四面体 ABCD 的外接球球心是 AC 的中 点 ∵AC= ,∴R= ∴四面体 ABCD 外接球的体积为 =4 π.

点评:本题考查面面垂直,考查线面垂直,考查面面角,考查四面体 ABCD 外接球的体积, 考查利用向量的方法解决面面角问题,确定平面的法向量是关键. 19.某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查,对 15~65 岁的人群随机抽取 1000 人的样本,进行了一次“是否是电影明星追星族”调查,得到如下各年龄段样本人数频率分布直 方图和“追星族”统计表: “追星族”统计表 组数 分组 “追星族”人数 占本组频率 一 2 0.1 (1)求 a,b 的值. (2)设从 45 岁到 65 岁的人群中,随机抽取 2 人,用样本数据估计总体,ξ 表示其中“追星族” 的人数,求 ξ 分布列、期望和方差.

考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;极差、方差与标准差;离散型随机 变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图能求出 a=300,b=0.1. (2) .由范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为 布列、期望和方差. 解答: (本小题满分 12 分) ,ξ~B(2, ) ,由此能求出 ξ 分

解: (1)由题设知范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为 ξ~B(2, )…(6 分)



故 ξ 的分布列是: ξ 0 p 0.81 …(8 分) ξ 的期望是 ξ 的方差是

1 0.18 …(10 分)

2 0.01

…(12 分)

点评:本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法, 是中档题,解题时要注意二项分布的性质的合理运用.

20.已知离心率为

的椭圆

上的点到左焦点 F 的最长距离为



(1)求椭圆的方程; (2)如图,过椭圆的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,若点 M 在 x 轴上,且 使得 MF 为△ AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点”,求椭圆的“左特征 点”M 的坐标.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:新定义. 分析: (1) 利用椭圆 离心率为 , 其上的点到左焦点 F 的最长距

离为 ,可建立方程组,即可求得椭圆的方程; (2)设 M(m,0)为椭圆的左特征点,根据椭圆左焦点,设直线 AB 方程代入椭圆方程,由 ∠AMB 被 x 轴平分,kAM+kBM=0,利用韦达定理,即可求得结论. 解答: 解: (1)由题意知 ,∴a=2,c= ,∴

∴椭圆的方程为



(2)设 M(m,0)为椭圆 可设直线 AB 的方程为 x=ky﹣ 代入 ,得: (ky﹣

的左特征点,椭圆的左焦点 F(﹣ (k≠0) )y +4y2=4,即(k +4)y ﹣ ,y1y2=﹣
2 2 2

,0) ,

ky﹣1=0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)得 y1+y2=

∵∠AMB 被 x 轴平分,kAM+kBM=0,即 即 y1(ky2﹣ )+y2(ky1﹣ 所以,2ky1y2﹣(y1+y2) (m+ 于是,2k×( )﹣ )﹣(y1+y2)m=0 )=0 ×(m+ )=0



∵k≠0,∴1+

(m+

)=0,即 m=

,∴M(

,0)

点评:本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用,直线与椭圆相交关系的处理,要注 意解题中直线 AB 得方程设为 x=ky﹣2(k≠0)的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在. 21.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,证明:1+ + +…+ >ln(n+1) (n∈N )
* x

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)通过对函数 f(x)求导,讨论 f(x)的单调性可得函数 f(x)的最小值; (2)根据条件可得 g(a)=a﹣alna﹣1≥0,讨论 g(a)的单调性即得结论; (3)由(2)得 e ≥x+1,即 ln(x+1)≤x,通过令
x

(k∈N ) ,可得

*

(k=1,2,…,n) ,然后累加即可. x 解答: 解: (1)由题意 a>0,f′(x)=e ﹣a, x 令 f′(x)=e ﹣a=0,解得 x=lna, 先当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0;当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0. 即 f(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增, 所以 f(x)在 x=lna 处取得极小值,且为最小值, lna 其最小值为 f(lna)=e ﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1; (2)∵f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立, ∴在 x∈R 上,fmin(x)≥0, 由(1) ,设 g(a)=a﹣alna﹣1,则 g(a)≥0, 令 g′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna=0,解得 a=1,

易知 g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,而 g(1)=0. 因此 g(a)≥0 的解为 a=1,即 a=1; x (3)由(2)得 e ≥x+1,即 ln(x+1)≤x,当且仅当 x=0 时,等号成立, 令 所以 (k∈N ) ,则
*

,即 (k=1,2,…,n) ,
*



累加,得 1+ + +…+ >ln(n+1) (n∈N ) . 点评:本题考查函数的最值,单调性,通过对表达式的灵活变形是解决本题的关键,属于中 档题. 三.请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对 应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答第 一题评分. 22.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直,并与 AB 相交于点 E,点 F 为弦 CD 上异 于点 E 的任意一点,连接 BF、AF 并延长交⊙O 于点 M、N. (1)求证:B、E、F、N 四点共圆; 2 2 (2)求证:AC +BF?BM=AB .

考点:与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 专题:选作题;立体几何. 分析: (1)连结 BN,证明∠BEF+∠BNF=180°,即可证明 B、E、F、N 四点共圆; (2) 由直角三角形的射影原理可知 AC =AE?AB, 由 Rt△ BEF 与 Rt△ BMA 相似可知: 即可得出结论. 解答: 证明: (1)连结 BN,则 AN⊥BN, 又 CD⊥AB, 则∠BEF=∠BNF=90°,即∠BEF+∠BNF=180°, 则 B、E、F、N 四点共圆.…(5 分) 2 (2)由直角三角形的射影原理可知 AC =AE?AB, 由 Rt△ BEF 与 Rt△ BMA 相似可知: ,
2



∴BF?BM=BA?BE=BA?(BA﹣EA) , 2 ∴BF?BM=AB ﹣AB?AE, 2 2 2 2 ∴BF?BM=AB ﹣AC ,即 AC +BF?BM=AB .…(10 分)

点评:本题考查四点共圆,考查三角形相似,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

23. (2015?张掖一模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已
2

知直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=8cosθ.

(Ⅰ)求 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求弦长|AB|. 考点:直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:直线与圆. 分析: (I)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出. (2)把直线 l 的参数方程代入抛物线 C 的方程,利用参数的几何意义即可得出. 解答: 解: (I)由曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=8cosθ,得 ρ sin θ=8ρcosθ. 2 ∴y =8x 即为 C 的直角坐标方程;
2 2 2 2

(II)把直线 l 的参数方程

, (t 为参数) ,代入抛物线 C 的方程,整理为 3t ﹣16t﹣

64=0, ∴ , . = .

∴|AB|=|t1﹣t2|=

点评:熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到 根与系数的关系、直线参数方程的参数的几何意义等是解题的关键.

24. (2015?金凤区校级一模)设关于 x 的不等式 lg(|x+3|+|x﹣7|)>a (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题.

分析: (1)转化成绝对值不等式,令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分 区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集. (2)解决恒成立问题,可将问题转化为研究函数 f(x)的最小值大于 a 即可. 解答: 解: (1)由题意得:|x+3|+|x﹣7|>10, 当 x≥7 时 x+x﹣4>10 得:x>7(3 分) 当﹣3<x<7 时,x+10﹣x>10 不成立(5 分) 当 x≤﹣3 时﹣x+4﹣x>10 得:x<﹣3(7 分) 解得:x<﹣3 或 x>7(6 分) (2)设 t=|x+3|+|x﹣7|, 则由对数定义及绝对值的几何意义知 t≥10, 因 y=lgx 在(0,+∞)上为增函数, ∵|x+3|+|x﹣7|的最小值为 10, ∴lg(|x+3|+|x﹣7|)的最小值为 1(8 分) 要使不等式的解集为 R,则须 a<1(10 分) 点评:本题考查了对数的运算性质,以及绝对值不等式的解法,所谓零点分段法,即令每项 等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并 集.


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